2.4有理数的乘方(基础篇）讲义2025-2026学年北师大版数学七年级上册

有理数的乘方 2.4有理数的乘方 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 传送门 复习 有理数的乘法 课前复习 有理数的除法 新课探索 乘方的概念 新课探索 科学记数法 题型练习 有理数幂的概念理解 题型练习 有理数的乘方运算 有理数乘法逆运算 乘方运算的符号规律 乘方的应用 科学计数法 易错点 易错点 总结 总结 课前复习 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0;乘积是1的两个数互为倒数. 同号得正异号负， 一项为零积为零。 有理数的除法 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 这个法则也可以表示成：a÷b=a x (b≠0) 两数相除，同号得正，异号得负， 并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，都得0 新课探索 1、 乘方的概念 求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂。在a的n次方中，a叫做底数，n叫做指数。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.正数的任何次幂都是正数，0的任何正数次幂都是0. 【练习】 (1)在6⁴中，底数是（ ）,指数是（ ） (2)在(-6)⁴中，底数是（ ）,指数是（ ） (3)在-6⁴中，底数是（ ）,指数是（ ）①一个数可以看作这个数本身的一次方.例如，5就是5¹,指数1通常省略不写. ②因为a”就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算. ③在书写乘方时，要注意底数的表示方法.当底数为负数、分数或含运算关系的式子时，应加括号后再写指数. 例如：“-5的平方”应写成(-5)²,而不要写成-5²;“3的立方”应写(3)³,“2a的五次幂”应写成(2a)⁵,“π+3的4次方”应写成(π+3)⁴. 2、 科学计数法 把一个大于10数表示成a×10”的形式(其中a大于或等于1且小于10,n是整数),既简单明了，又便于比较大小和进行计算，这种记数法，习惯上叫科学记数法。 【练习】据报道：受特大干旱天气影响，我国西南地区林地受灾面积达到43050000亩.用科学记数法可表示为( ) A 4.305×10⁸亩 B 4.305×10⁶亩 C 43.05×10⁷亩 D 4.305×10⁷亩 题型练习 有理数幂的概念理解 1．表示的意义是（　 ） A．5个3相乘 B．5个3相加 C．3个5相加 D．3个5相乘 2．下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个2相加 C．与意义相同 D．的指数是3 有理数的乘方运算 3．在，，，，中，负数的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 乘方运算中的符号规律 5．如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 6．平方等于9的数是（  ） A． B．3 C． D． 有理数乘方逆运算 7．下列选项中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 8．一个负数的奇次幂为（    ） A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．分数 乘方的应用 9．某种细胞每30分钟分裂一次（每次分裂为两个），若初始有1个细胞，则经过3小时后，细胞总数为（  ） A．32 B．64 C．128 D．256 10．《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢…”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢…文中的鸟巢共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．27个 科学计数法 11．“五一”假期全市纳入监测的80家A级景区共接待游客约5013400人次，将5013400用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 12．月球到地球的平均距离约为380000千米，这个数据用科学记数法表示为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 易错点 1. 混淆乘方的底数与指数：容易将底数和指数的意义弄反，例如将理解为4个3相加，而非3自乘4次。 2. 忽略负号在括号内外的区别：如与不同。前者表示4个-2相乘结果为正16，后者按运算优先级是先算再取负号，结果为-16。 3. 对0和1的特殊性质认识不清：任何非零数的0次幂都为1，但部分学生可能误认为是0；1的任何次幂恒为1，也可能被忽视。 4. 分数作为底数时处理不当：比如，有时会错误地将分子分母分别做乘方或颠倒顺序。 5. 小数参与乘方运算易出错：例如，由于小数点移动规律掌握不牢，可能会得到错误答案。 6. 未能正确应用幂的运算法则：包括同底数幂相乘指数相加、幂的乘方指数相乘等规则，在实际计算中常因记忆模糊或者条件判断失误而用错。 7. 关于奇偶次幂影响结果符号的认知偏差：对于负数而言，偶次幂产生正结果，奇次幂保持负号，这一特性有时会被忽略导致最终答案符号错误。 总结 乘方的概念 求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂。在a的n次方中，a叫做底数，n叫做指数。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.正数的任何次幂都是正数，0的任何正数次幂都是0. 科学计数法 把一个大于10数表示成a×10”的形式(其中a大于或等于1且小于10,n是整数),既简单明了，又便于比较大小和进行计算，这种记数法，习惯上叫科学记数法。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 有理数的乘方 2.4有理数的乘方 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 页码 传送门 复习 有理数的乘法 2 课前复习 有理数的除法 新课探索 乘方的概念 3 新课探索 科学记数法 题型练习 有理数幂的概念理解 5 题型练习 有理数的乘方运算 有理数乘法逆运算 乘方运算的符号规律 乘方的应用 科学计数法 易错点 10 易错点 总结 11 总结 课前复习 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0;乘积是1的两个数互为倒数. 同号得正异号负， 一项为零积为零。 有理数的除法 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 这个法则也可以表示成：a÷b=a x (b≠0) 两数相除，同号得正，异号得负， 并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，都得0 新课探索 1、 乘方的概念 求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂。在a的n次方中，a叫做底数，n叫做指数。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.正数的任何次幂都是正数，0的任何正数次幂都是0. 【练习】 (1)在6⁴中，底数是（ ）,指数是（ ） (2)在(-6)⁴中，底数是（ ）,指数是（ ） (3)在-6⁴中，底数是（ ）,指数是（ ）①一个数可以看作这个数本身的一次方.例如，5就是5¹,指数1通常省略不写. ②因为a”就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算. ③在书写乘方时，要注意底数的表示方法.当底数为负数、分数或含运算关系的式子时，应加括号后再写指数. 例如：“-5的平方”应写成(-5)²,而不要写成-5²;“3的立方”应写(3)³,“2a的五次幂”应写成(2a)⁵,“π+3的4次方”应写成(π+3)⁴. 2、 科学计数法 把一个大于10数表示成a×10”的形式(其中a大于或等于1且小于10,n是整数),既简单明了，又便于比较大小和进行计算，这种记数法，习惯上叫科学记数法。 【练习】据报道：受特大干旱天气影响，我国西南地区林地受灾面积达到43050000亩.用科学记数法可表示为( ) A 4.305×10⁸亩 B 4.305×10⁶亩 C 43.05×10⁷亩 D 4.305×10⁷亩 答案：D、 分析：43050000用科学记数法表示为4.305×10⁷. 故选：D. 题型练习 有理数幂的概念理解 1．表示的意义是（　 ） A．5个3相乘 B．5个3相加 C．3个5相加 D．3个5相乘 【答案】D 【分析】根据幂的意义，表示n个a相乘解答即可． 本题考查了幂的意义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 选项D正确． 故选：D． 2．下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个2相加 C．与意义相同 D．的指数是3 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘方的概念． 根据乘方的定义，逐个选项判断正误． 【详解】解：A.的底数是2，原说法错误； B.表示3个2相乘，原说法错误； C.表示三个相乘，表示三个2相乘的相反数，意义不同，原说法错误； D.的指数是3，原说法正确； 故选：D． 有理数的乘方运算 3．在，，，，中，负数的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查有理数的分类，绝对值，乘方，化简多重符号，先化简，，，再进行分类即可． 【详解】解：是负数； ，是负数； ，是负数； 不是负数； ，是正数，不是负数； 综上可知，负数的个数是3， 故选：B． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方和绝对值的运算．根据平方和绝对值的定义，逐一计算每个选项即可判断正确性． 【详解】A．∵ ，∴ ，故A正确． B．∵ ，故B错误． C．∵ ，∴ ，故C错误． D．∵ ，故D错误． 故选：A． 乘方运算中的符号规律 5．如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 6．平方等于9的数是（  ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘方的逆运算，根据，进而可求解，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 平方等于9的数是， 故选C． 有理数乘方逆运算 7．下列选项中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了乘方符号的规律，根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，逐项进行比较即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 8．一个负数的奇次幂为（    ） A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．分数 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，根据正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂为负数求解即可． 【详解】解：正数的任何次幂都是正数，几次幂就是几个数相乘，例如2的3次幂就是3个2相乘，8的5次幂就是5个8相乘…都是正数相乘，结果肯定是正数．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．因为负负得正，所以两个负数相乘等于正数，负数的奇次幂两两配对后，还多一个负数，所以结果就是负数， 故选：B． 乘方的应用 9．某种细胞每30分钟分裂一次（每次分裂为两个），若初始有1个细胞，则经过3小时后，细胞总数为（  ） A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘方计算，3小时可以分裂6次，每一次分裂得到的结果都是前一次分裂的结果的2倍，那么分裂n次可以得到个，据此求解即可． 【详解】解：因为分钟小时，所以分裂次数为（次），， ∴经过3小时，细胞由1个可分裂成个， 故选：B． 10．《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢…”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢…文中的鸟巢共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．27个 【答案】C 【分析】本题考查古代数学问题，读懂题意是解决问题的关键． 根据题意，由乘法运算列式求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，文中的鸟巢共有， 故选：C． 科学计数法 11．“五一”假期全市纳入监测的80家A级景区共接待游客约5013400人次，将5013400用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正整数指数科学记数法， “对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 12．月球到地球的平均距离约为380000千米，这个数据用科学记数法表示为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，n比原整数位数少1，解题的关键是准确确定a与n值． 【详解】解：， 故选：B． 易错点 1. 混淆乘方的底数与指数：容易将底数和指数的意义弄反，例如将理解为4个3相加，而非3自乘4次。 2. 忽略负号在括号内外的区别：如与不同。前者表示4个-2相乘结果为正16，后者按运算优先级是先算再取负号，结果为-16。 3. 对0和1的特殊性质认识不清：任何非零数的0次幂都为1，但部分学生可能误认为是0；1的任何次幂恒为1，也可能被忽视。 4. 分数作为底数时处理不当：比如，有时会错误地将分子分母分别做乘方或颠倒顺序。 5. 小数参与乘方运算易出错：例如，由于小数点移动规律掌握不牢，可能会得到错误答案。 6. 未能正确应用幂的运算法则：包括同底数幂相乘指数相加、幂的乘方指数相乘等规则，在实际计算中常因记忆模糊或者条件判断失误而用错。 7. 关于奇偶次幂影响结果符号的认知偏差：对于负数而言，偶次幂产生正结果，奇次幂保持负号，这一特性有时会被忽略导致最终答案符号错误。 总结 乘方的概念 求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂。在a的n次方中，a叫做底数，n叫做指数。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.正数的任何次幂都是正数，0的任何正数次幂都是0. 科学计数法 把一个大于10数表示成a×10”的形式(其中a大于或等于1且小于10,n是整数),既简单明了，又便于比较大小和进行计算，这种记数法，习惯上叫科学记数法。 1 学科网（北京）股份有限公司 $