第06讲 有理数的乘方与混合运算（知识点+题型+强化训练）2025-2026学年七年级数学上册同步讲义与测试（北师大版2024）

第06讲 有理数的乘方与混合运算（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.乘方的意义 2.乘方的运算 3. 的意义 4.用科学记数法表示数 5.还原用科学记数法表示的数 6.有理数混合运算的法则 7.“24 点”游戏 8.利用计算器进行有理数的基本运算 9.准确数与近似数 题型巩固 一、有理数幂的概念理解 二、有理数的乘方运算 三、有理数乘方逆运算 四、乘方运算的符号规律 五、乘方的应用 六、用科学记数法表示绝对值大于1的数 七、将用科学记数法表示的数变回原数 八、算“24”点 九、含乘方的有理数混合运算 十、程序流程图与有理数计算 十一、计算器——有理数 十二、求一个数的近似数 十三、求近似数的精确度 十四、近似数推断取值范围 强化训练 单选题（10） 填空题（8） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.乘方的意义 1.乘方的意义 求n个相同因数a的积的运算叫作乘方 ， 乘方的结果叫作幂 . 一般地， 个 记作 ， 其中 叫作底数， n 叫作指数. 读作“ 的 n 次幂”(或“ 的 n 次方”) . 2.乘方与乘法的关系 表示 n 个相同因数 的积，其中相同的因数是底数，因数的个数是指数，因此，可以把相同因数的乘法转化为乘方或把乘方转化为乘法 . 知识点2.乘方的运算 1. 有理数乘方的符号法则 2. 有理数的乘方运算 有理数的乘方运算同有理数的乘法运算一样分两步走：一是确定结果的符号；二是确定结果的绝对值 . ，－ 及 (－) 的异同点与联系 项目 － (－) 不同点 意义不同 n 个 相乘的积 n 个 相乘的积的相反数 n 个 － 相乘的积 底数不同 － 相同点 指数都是 n 联 系 n 为正奇数 － =(－) ， 且 － ，(－)均与 互为相反数( ≠ 0) n 为正偶数 =(－) ，且 ，(－)均与 －互为相反数 ( ≠ 0) n 为正整数 =－=(－)=0( =0) 知识点3. 的意义 表示 1 后面有 n 个 0 的数，即 特别解读 表示n个10相乘的积. 知识点4.用科学记数法表示数 科学记数法 定义 一般地，一个大于 10 的数可以表示成 × 的形式，其中 1 ≤ <10， n 是正整数，这种记数方法叫作科学记数法 确定 的方法 将原数的小数点移到最高数位的数字后边即可得到 的值 确定 n 的方法 ①用整数的位数来确定 n， n 等于原数的整数位数减 1. ②按小数点移动的位数来确定 n，小数点向左移动了几位， n 就等于几 知识点5.还原用科学记数法表示的数 还原方法  把用科学记数法表示的数 × 还原成原数时，只需把 中的小数点向右移动 n 位，并去掉乘号和 即可，若向右移动的位数不够，则用 0 补足 . 注意还原时，不要弄错原数的位数 . 知识点6.有理数混合运算的法则 1. 有理数的混合运算法则 先算乘方，再算乘除，最后算加减 ；如果有括号，先算括 号里面的 . 2. 有理数的混合运算需注意的几个问题 (1)有理数的运算，加减法 是第一级运算；乘除法是第二级运算；乘方是第三级运算 . 一个式子中含有多级运算时，先做第三级运算，再做第二级运算，最后做第一级运算，有括号时，先做括号内的运算，一般按照小括号、中括号、大括号的顺序进行运算 . (2)灵活运用运算律，改变运算顺序，可以简化计算 . 知识点7.“24 点”游戏 “24 点”游戏是这样进行的：从一副扑克牌 (去掉大、小王)中任意抽取 4 张，根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌必须用一次 且只能用一次，可以加括号)，使得运算结果为24 或 －24. 其中红色扑克牌代表负数 , 黑色扑克牌代表正数，A， J， Q， K 分别代表 1，11，12，13. 由于任意取出的四张牌上的数字经过什么运算才能得到 24 或 －24 具有不确定性，因此大家要灵活运用有理数的加、减、乘、除、乘方运算，要多尝试、多探索 . 知识点8.利用计算器进行有理数的基本运算 1.利用计算器进行有理数的基本运算 利用计算器进行简单计算时，遵循“从左到右”的原则进行，即与算式的书写顺序相同，尤其是有理数的混合运算，也是从左到右，而无需考虑“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序 . 2. 使用计算器进行简单运算的步骤与方法开机 (1) 开机：按开机键 ，以接通计算器的电源 ； (2) 输入：按照算式的书写顺序输入数据，即从左往右依次输入，最后按 EXE 键显示计算结果； (3) 关机：先按 键，再按 AC 键，关闭计算器 . 知识点9.准确数与近似数 1. 准确数 与实际完全相符的数，称为准确数 . 2. 近似数 与实际非常接近，但存在一定偏差的数叫近似数 . 在实际问题中有的量不可能或没有必要用准确数表示，而用一个有理数近似地表示出来，这个数 就是 这个量的近似数(或近似值) . 3. 近似数的精确度 近似数与准确 数的接近程度，用精确度表示 . 一个数 四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，如 2 =2.333…，结果取 2，就说精确到个位；取 2.3，就说精确到十分位(或精确到 0.1)；取 2.33，就说精确到百分位(或精确到 0.01) . 例如：48 000 精确到万位，则 48 000 ≈ 5× . 4. 近似数的精确度的表达方法 (1)用数位表示，如精确到百分位，千分位等； (2)用小数表示，如精确到 0.1，0.01 等； (3)对带有单位的数用单位表示，如精确到 kg， m 等 . 题型巩固 题型一、有理数幂的概念理解 1．（24-25七年级上·河北张家口·期末）化简＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了乘方的意义，根据乘方的意义分别表示出分子分母即可． 【详解】解：由乘方的意义可得分子表示个相乘，表示为；由乘法的意义可得分母表示个相加，表示为， ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级上·福建三明·期中）中，底数是 ． 【答案】 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了有理数幂的定义，根据指数幂的定义进行解答即可． 【详解】解：中，底数是， 故答案为：． 3．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果： = ，= ； （2）关于除方，下列说法错误的是 A．任何非零数的圈2次方都等于1；    B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；    C．       D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方＝　 　；5的圈5次方＝　 　；的圈6次方＝　 　． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 【答案】初步探究（1）；；（2）C；深入思考（1），，；（2）；（3）． 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式解决（1），总结（1）得到通项（2）．根据法则计算出（3）的结果． 【详解】初步探究 解：初步探究 （1）， 故答案为：，； （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数，都等于1； 所以选项B正确； C、，，则； 所以选项C错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； 本题选择说法错误的，故选C； 深入思考 （1）； ； ； 故答案为：，，． （2）． 故答案为：． （3） ． 【点睛】本题考查了新运算，幂的运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义． 题型二、有理数的乘方运算 4．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方，掌握知识点是解题的关键． 逐一分析各选项的运算是否正确，重点考查乘方运算的符号和计算规则． 【详解】解：选项A：表示先计算，再取负号，结果为；而，显然不等，故A错误． 选项B：，但，两者不等，故B错误． 选项C：表示三个相乘，即．右边的计算顺序不影响结果，同样为，故等式成立，C正确． 选项D：，，两者不等，故D错误． 故选C． 5．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ； ； ； ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的运算法则是解题的关键． 根据乘方的定义计算即可； 【详解】解：； ； ； ． 故答案为；；；． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式直接进行四次方运算即可得到答案； （2）原式直接进行四次方运算即可得到答案； （3）原式直接进行立方运算即可得到答案； （4）原式将分子进行立方运算即可得到答案； （5）根据的偶次方等于1可得结果． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 题型三、有理数乘方逆运算 7．（22-23七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【答案】B 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】先把原式变形为，从而得到，即可求解． 【详解】解： ＝1×8 ＝8 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键． 8．如果一个数的平方是，那么这个数是 ． 【答案】 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】根据有理数的乘方运算即可求出答案． 【详解】解：， 这个数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是熟练运用有理数的乘方运算，本题属于基础题型． 9．观察下面三行数： 2，-4，8，-16，32，-64，……；① -4，2，-10，14，-34，62，……；② ，1，-2，4，-8，16，…….③ (1)用式子表示第①行数的第20个数字：___________； (2)用式子表示第②行数的第21个数字：___________； (3)用式子表示第③行数的第n个数字：___________； (4)是否存在正整数n，取每行的第n个数字相加的和为254，若存在，求n的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，n=10 【知识点】有理数乘方逆运算、数字类规律探索 【分析】(1)找到规律：第n个数为，据此即可解答； (2)找到规律：第n个数为，据此即可解答； (3)找到规律：第n个数为，据此即可解答； (4)根据题意列出方程，即可解答． 【详解】（1）解：2，-4，8，-16，32，-64，……， 第n个数为， 故用式子表示第①行数的第20个数字为：， 故答案为：； （2）解：-4，2，-10，14，-34，62，……， 第n个数为， 故用式子表示第②行数的第21个数字为：， 故答案为：； （3）解：，1，-2，4，-8，16，…….， 第n个数为， 故答案为：； （4）解：存在； 根据题意得：， 得， 得， 故n=10． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化得出每一行第n个数的表达式是解题的关键． 题型四、乘方运算的符号规律 10．对于任意有理数a，下列各式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】根据有理数的乘方及绝对值性质逐一判断即可． 【详解】解：A．一定成立，故A选项不符合题意； B．一定成立，故B选项不符合题意； C．一定成立，故C选项不符合题意； D．不一定成立，故D选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方，掌握有理数的乘方运算的符号法则是解答本题的关键． 11．（23-24七年级上·广东韶关·阶段练习）若，则 ， ． 【答案】 / 【知识点】绝对值非负性、乘方运算的符号规律 【分析】本题考查了绝对值的非负性及乘方运算的符号规律，根据绝对值的非负性及乘方的非负性即可求解，熟练掌握绝对值的非负性及乘方运算的符号规律是解题的关键． 【详解】解：依题意得：，即：， ，即：， 故答案为：，2． 题型五、乘方的应用 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）若，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了非负数的性质，有理数的乘方； 根据偶次方的非负性求出，，再根据有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非”．如图，将一个边长为1的正方形纸片依次分割为若干部分，部分①的面积是，部分②的面积是，部分③的面积是，以此类推，第部分的面积是（是大于1的整数）．请你用“数形结合”的思想计算 ． 【答案】 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用．观察图形可知：阴影的部分的面积为，那么所求的式子其实就是正方形的面积减去阴影部分的面积． 【详解】解：观察图形，可得阴影部分的面积=． 故答案为：． 14．（24-25七年级上·福建莆田·期中）计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法． (1)根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量． 【答案】(1)11 (2)采集到的野果数量为个 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，解的关键是： （1）根据题意写成，进而进行计算即可求解； （2）由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为：，进而计算即可求解． 【详解】（1）解：1011转化为十进制数是： ； （2）解∶ 由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为： ． 答：采集到的野果数量为个． 题型六、用科学记数法表示绝对值大于1的数 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽原子钟的精度达到了万年误差不超过．数据万用科学记数法表示为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握“把一个大于的数表示成的形式，其中，是正整数”是解题的关键. 【详解】解：万 用科学记数法表示为 因此，万用科学记数法表示为， 故答案为：B. 16．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）法国奥运会期间，巴黎总计接待访客数量约1120万人次．其中数据1120万用科学记数法表示为 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：1120万． 故答案为：． 17．（23-24七年级上·全国·课堂例题）用科学记数法表示下列各数： (1)__________________； (2)__________________； (3)__________________． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】（1）； 故答案为：； （2） 故答案为：； （3） 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 题型七、将用科学记数法表示的数变回原数 18．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列求原数不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题主要考查科学记数法—原数，科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，此项计算不正确，符合题意． 故选：D． 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列用科学记数法表示的数原来各是什么数？ ； ； ． 【答案】 1000000 50340.6 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题主要考查将科学记数法表示的数还原，将一个用科学记数法表示的数还原时，n是几就移动|n|位，是正数向右移，是负数向左移；根据上步所述，用小数表示时，要把小数点向右移动6个位置，同理还原其余数． 【详解】解：； ； ； 故答案为：1000000；；50340.6． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列用科学记数法表示的数的原数填在横线上． (1)___________． (2)___________． (3)___________ (4)___________． 【答案】(1)3618 (2)-21000 (3) (4)-800000 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查了的是科学记数法的表示方法，解答的关键是理解掌握科学记数法的表示方法. 科学记数法的标准形式为（n为整数）；数据中的，指数n等于3，所以需要把3.618的数小数点向右移动3位，就得到原数，同理解答其他小题. 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 故答案为： （1）3618；（2）-21000；（3）-712.3；（4）-800000． 题型八、算“24”点 21．（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 22．（24-25七年级上·内蒙古乌海·阶段练习）请你在2，，4，，6中任选四个数，利用有理数的混合运算，使得这四个数的运算结果为24，请列出2种表达式 【答案】， 【知识点】算“24”点 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握“二十四点”游戏规则是解本题的关键．任选四个数，用加减乘除乘方任意运算连在一起，结果为24即可． 【详解】解：， ； 故答案为：，． 23．（24-25七年级上·广东佛山·期中）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【答案】（1），（答案不唯一）（2）（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据题意可得图1中的4张牌分别代表，再根据和列出算式即可得； （2）先根据题意可得图2中的4张牌分别代表，再根据列出算式即可得． 【详解】解：（1）由题意得：图1中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：，， 故答案为：，（答案不唯一）． （2）由题意得：图2中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：， 故答案为：（答案不唯一）． 题型九、含乘方的有理数混合运算 24．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）（　　） A．0 B． C． D． 【答案】A 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】 ． 故选：A． 25．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算，结果应是 ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则．先算乘方，再算乘除，最后算减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 26．（23-24七年级上·青海西宁·期中）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)1 (2) (3) (4)2 (5)8 (6) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）根据加减运算法则，进行计算即可； （2）先进行乘法运算，再进行加减运算即可； （3）除法变乘法，约分化简即可； （4）利用乘法分配律进行计算即可； （5）利用混合运算法则和运算顺序进行计算即可； （6）利用混合运算法则和运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ； （3）原式； （4）原式； （5）原式； （6）原式． 题型十、程序流程图与有理数计算 27．（24-25七年级上·湖北黄冈·期末）如图所示是某计算程序，若输入数字2，则最后输出的结果是（   ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数乘法与减法的应用，读懂计算程序图是解题的关键．将代入程序图，根据有理数的乘法与减法法则进行计算，直到计算结果大于10即可得． 【详解】解：输入时，输出的结果为， 输入时，输出的结果为， 则最后输出的结果是， 故选：A． 28．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）按如图程序计算，如果输入的数是，那么输出的数是 ． 【答案】3 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的乘法：同号得正，异号得负，再把绝对值相乘． 根据有理数的运算法则，可得答案． 【详解】解：依题意，，，， 输出的数是， 故答案为：． 29．（2024七年级上·全国·专题练习）小亮在电脑上设计了一个有理数的运算程序：输入a，按“*”键，再输入b，得到运算． (1)求的值； (2)小明在运算程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作”，猜想他在输入数据时，可能出现什么情况，为什么？ 【答案】(1) (2)或 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，除数不能为0，掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）根据新定义运算法则结合有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据除数不能为0解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：因为分母不能为0，所以当时程序无法操作； 因为为除数，而除数不能为0，所以当时，程序无法操作． 所以有两种可能：或． 题型十一、计算器——有理数 30．与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算器——有理数 【分析】根据计算器的使用方法，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得计算任务是； 故选：D． 【点睛】此题考查了计算器的使用方法，解题的关键是让同学们能熟练应用计算器，会用科学计算器进行计算． 31．使用计算器计算： ． 【答案】184 【知识点】计算器——有理数 【分析】按照有理数的计算法则用计算器求解即可得到答案． 【详解】解：按照计算顺序可得结果为184． 故答案为：184． 【点睛】本题主要考查了计算器的使用，解题的关键在于能够熟练掌握计算器的使用方法． 32．用计算器计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【知识点】计算器——有理数 【分析】（1）依据数值依次按键输入即可计算得到答案； （2）依据数值依次按键输入即可计算得到答案． 【详解】解：（1）按键顺序为 计算器显示结果为，可以按键切换为小数格式，所以． （2）按键顺序为 计算器显示结果为． 【点睛】此题考查计算器输入方法，利用计算器计算的输入顺序，正确掌握输入计算器的顺序及各键的功能是解题的关键． 题型十二、求一个数的近似数 33．（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）小华称得一个物体的质量为，用四舍五入法将2.108精确到0.01的近似数为（   ） A．2 B．2.10 C．2.1 D．2.11 【答案】D 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题主要考查有效数字．对千分位数字8，四舍五入即可． 【详解】解：用四舍五入法将2.108精确到0.01的近似值为2.11， 故选：D． 34．（24-25七年级上·广东韶关·期中）近似数表示 （精确到0.01）； 【答案】 【知识点】求一个数的近似数、求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数的精确取值，解题的关键是掌握四舍五入法取近似数的规则． 要将精确到，即保留两位小数，需看千分位上的数字，根据四舍五入法进行取舍． 【详解】解：精确到，也就是保留小数点后两位．此时看小数点后第三位数字，小数点后第三位是7， 根据四舍五入法：如果尾数的最高位数字是5或者比5大，就把尾数舍去并且在它的前一位进“1”， 所以精确到时，因为千分位，则把百分位的6进1变为7，得到，即（精确到）， 故答案为：． 35．（25-26七年级上·全国·课后作业）用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到）； (4)（精确到千分位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数的精确度，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示． （1）直接对十万分位上的数字7进行四舍五入即可； （2）直接对十分位上的数字1进行四舍五入即可； （3）直接对千分位上的数字6进行四舍五入即可； （4）直接对万分位上的数字1进行四舍五入即可． 【详解】（1）解：（精确到）。 （2）解：（精确到个位）。 （3）解：（精确到）。 （4）解：（精确到千分位）。 题型十三、求近似数的精确度 36．（24-25七年级上·全国·课后作业）下面所描述的数据中，不属于近似数的是（    ） A．小明班上有45人 B．吐鲁番盆地低于海平面 C．某次地震中，伤亡大约十万人 D．小红测得数学书的长度为 【答案】C 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题主要考查近似数和精确数，根据近似数和精确数的概念求解即可． 【详解】解：A、小明班上有人，是精确数据，符合题意； B、吐鲁番盆地低于海平面，是近似数，不符合题意； C、某次地震中，伤亡大约十万人，是近似数，不符合题意； D、小红测得数学书的长度为，是近似数，不符合题意； 故选：A． 37．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）下列说法：①近似数千与近似数精确度相同；②近似数与近似数的精确度相同；③近似数万与近似数的精确度相同．其中正确的是 （填写序号）． 【答案】③ 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数，近似数精确到哪一位，看末位数字实际在哪一位即可，掌握近似数的有关知识是解题的关键．据此逐个判断即可． 【详解】解：①近似数千精确到千位，近似数的精确到个位，故错误； ②近似数精确到十分位，近似数精确到百分位，故错误； ③近似数万精确到百位，近似数精确到百位，即近似数万与近似数的精确度相同，故正确； 故答案为：③． 38．下面表述中的数据，哪些是准确数？哪些是近似数？ (1)实验室里有18盏日光灯； (2)某人的身高是168厘米； (3)多媒体教室共有45台电脑； (4)世界著名海峡马六甲海峡长1080千米． 【答案】(1)准确数 (2)近似数 (3)准确数 (4)近似数 【知识点】求近似数的精确度 【分析】根据近似数和准确数的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：实验室里有18盏日光灯，18是准确数． （2）解：某人的身高是168厘米，其中168厘米是近似数． （3）解：多媒体教室共有45台电脑，其中45是准确数． （4）解：世界著名海峡马六甲海峡长1080千米，其中1080千米是近似数． 【点睛】此题主要考查对近似数和精确数的概念的理解，注意它们的区别，准确数就是真实准确的数，而近似数就是与准确数相接近，通过估计得到的数． 题型十四、近似数推断取值范围 39．（24-25七年级上·全国·单元测试）把数a精确到百分位得到的近似数是5.88，则下列不可能是a的值的是（   ） A．5.878 B．5.883 C．5.889 D．5.875 【答案】C 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题考查了近似数和有效数字，先根据近似数的精确度得到，然后分别进行判断． 【详解】∵a精确到百分位得到的近似数是5.88， ∴． 故选：C． 40．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）近似数的准确值a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】根据近似数的定义判断即可． 【详解】解：由题可知时，近似数是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了近似数的知识点，准确理解四舍五入是解题的关键． 41．对非负有理数数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．例如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜18.75＞＝＜19.499＞＝19，…．解决下列问题： （1）＜π＞＝ （π为圆周率）； （2）若＜x＞＝6，则x的取值范围是 ． 【答案】（1）3；（2）5.5≤x＜6.5 【知识点】近似数推断取值范围 【详解】【分析】（1）利用近似数的精确度和新定义求解； （2）利用近似数的精确度按5＜x＜6，但x的小数部分大于等于0.5；6＜x＜7，但x的小数部分小于0.5两种情况分析求解． （1）π＝3.1415..． ∵0.1415...＜0.5， ∴＜π＞＝3， 故答案为：3； （2）若＜x＞＝6， ①当5＜x＜6，但x的小数部分大于等于0.5时，即x≥5.5， ②当6＜x＜7，但x的小数部分小于0.5时，即x＜6.5， ∴x的取值范围是5.5≤x＜6.5， 故答案为：5.5≤x＜6.5． 强化训练 一、单选题 1．用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到百分位） C．（精确到千分位） D．（精确到） 【答案】C 【知识点】求近似数的精确度、求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度常用的表示形式，它可以体现出误差值绝对数的大小． 根据近以数的精确度对各选项进行判断． 【详解】A．(精确到0.1)，所以A选项正确，不符合题意； B．(精确到百分位)，所以B选项正确，不符合题意； C．(精确到千分位)，所以C选项不正确，符合题意； D．(精确到0.001)，所以D选项正确，不符合题意； 故选C． 2．科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算器——有理数 【分析】本题主要考查科学计算器的使用，根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值即可． 【详解】解：用计算器计算得． 故选：A． 3．小勤设计了一个计算程序（如图），如果输入的数是4，那么输出的结果是（　　） A． B．6 C． D．9 【答案】D 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数运算，根据程序，当计算的结果小于或等于0时，要将结果再输入，直到结果大于0才可以输出结果． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 输出结果为 故选：D． 4．计算：的结果是（    ） A．9 B． C． D．36 【答案】D 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，先算乘方，并把除法转化为乘法，再算乘法即可． 【详解】解： 故选 D． 5．据商务部消息，年以来，电动自行车以旧换新取得积极成效．截至月日，今年全国 电动自行车售旧、换新各万辆，超过年总和．数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故选：． 6．下列每组数中，不相等的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方、绝对值，计算出每组数据的值，即可判断出正确答案． 【详解】解：A．，，相等，不符合题意； B．，，相等，不符合题意； C．，，不相等，符合题意； D．，，相等，不符合题意； 故选：C． 7．若，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【知识点】绝对值非负性、乘方运算的符号规律 【分析】根据绝对值和平方的非负性得到，，代入求解即可； 【详解】由题意，得，，解得，，所以． 故选D． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性应用和代数式求值，准确计算是解题的关键． 8．我们知道相同加数可以写成乘法，如：，这样可以给我们解决问题带来方便．其实相同因数的乘法也可以写成乘方的形式，如，那么根据上述提示计算（ ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题主要考查了乘方，表示个相乘，展开就是，一共有个相乘，所以，根据乘法法则计算即可． 【详解】解：. 故选：D. 9．计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 10．一根长的铜丝，第一次剪去铜丝的，第二次剪去剩下铜丝的，如此剪下去，第次剪完后剩下铜丝的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，明确题意，准确得到规律是解题的关键．根据题意可得第一次剪去铜丝的，剩下铜丝的长度是m，第二次剪去剩下铜丝的，剩下铜丝的长度是m，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：第一次剪去铜丝的，剩下铜丝的长度是m， 第二次剪去剩下铜丝的，剩下铜丝的长度是m， ……， 第次剪完后剩下铜丝的长度是m． 故答案为：C． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数运算法则. 先乘方，再算乘除，最后加减. 【详解】解：原式 故答案为： ． 12．根据相关部门统计，2020年全国普通高校毕业生约人．将用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值大于的数，正确确定和的值是解题关键．科学记数法的一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1．据此即可获得答案． 【详解】解：由题意得 ． 故答案为：． 13．计算： ， ， ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方，直接利用有理数的乘方进行计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：；；． 14．的底数是 ，指数是 ，结果是 ． 【答案】 4 【知识点】有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了乘方的相关概念：底数、指数、乘方的结果等，乘方的运算；根据乘方的相关概念及运算法则即可解答． 【详解】解：的底数是，指数是4，结果是； 故答案为：，4，． 15．数用四舍五入精确到0.1得到 ，近似数精确到 位． 【答案】 十 【知识点】求近似数的精确度、求一个数的近似数 【分析】此题考查了科学记数法与近似数，不是用科学记数法表示的数需要确定精确到哪一位，主要看最后一位是什么位，就是精确到哪一位，如果是用科学记数法表示的数先把原数还原，再看它所在位的位置即可． 根据四舍五入法即可得出答案． 【详解】解：数用四舍五入精确到得到，近似数精确到十位． 故答案为：，十． 16．使用数字3、4、5、8，通过加、减、乘、除四则运算得到结果24（每种运算可以使用任意次数，但每个数字只能使用一次），请写出一种算式 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 考虑可得结论． 【详解】解： ， 故答案为：（答案不唯一）． 17．若，则的值是 ． 【答案】/0.5 【知识点】绝对值非负性、乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算 【分析】根据绝对值、平方的非负性，可得 ，再代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 解得： ， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了绝对值、平方的非负性，乘方运算，熟练掌握绝对值、平方的非负性，乘方运算法则是解题的关键． 18．如果一个数的平方等于，那么这个数是 ，如果一个数的立方等于，那么这个数是 ． 【答案】 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】根据平方与立方的运算即可求解． 【详解】∵（）2=，（）3= 故答案为：；． 【点睛】此题主要考查乘方与立方的运算，解题的关键是熟知乘方的运算法则． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)0.027 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式直接进行立方运算即可得到答案； （2）原式先将变形为，然后再进行平方运算即可； （3）原式直接进行立方运算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 20．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，底数表示相同的因数；指数3表示相同因数的个数 (2)，底数表示相同的因数，指数4表示相同因数的个数 (3)，底数表示相同的因数，指数5表示相同因数的个数 【知识点】有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算 【分析】此题考查的是有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数乘方的意义． （1）首先仔细观察给出的几个因数，先处理符号，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义； （2）首先仔细观察给出的几个因数，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义； （3）首先仔细观察给出的几个因数，先处理符号，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． 【详解】（1）解：原式， 底数表示相同的因数；指数3表示相同因数的个数； （2）解：原式， 底数表示相同的因数，指数4表示相同因数的个数； （3）解：原式 底数表示相同的因数，指数5表示相同因数的个数． 21．计算：． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，绝对值；根据含乘方的有理数混合运算法则和绝对值化简进行计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ． 22．计算题： (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到百分位）； (4)（精确到）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题主要考查近似数的求法，掌握最后一位所在的位置就是精确度，注意保留数位上的0不能去掉． （1）精确到，即保留小数点后面第一位，看小数点后面第二位，利用“四舍五入”法解答即可； （2）精确到个位，就看小数点后面第一位，利用“四舍五入”法解答即可； （3）精确到百分位，即保留小数点后面第二位，看小数点后面第三位，利用“四舍五入”法解答即可； （4）精确到，就看千分位，利用“四舍五入”法解答即可． 【详解】（1）解：（精确到）； （2）解：（精确到个位）； （3）解：（精确到百分位）； （4）解：（精确到）． 24．写出下列用科学记数法表示的数的原数： (1)北京故宫的占地面积约为； (2)长城长约千米； (3)太阳和地球的距离大约是千米； (4)全球每年大约有的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽． 【答案】(1)720000 (2)6300 (3)150000000 (4) 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】（1）将的小数点向右移动5位即可； （2）将的小数点向右移动3位即可； （3）将的小数点向右移动8位即可； （4）将的小数点向右移动14位即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【点睛】本题主要考查了将用科学记数法表示的数化为原数，解题的关键是掌握用科学记数法表示的数的形式，其中，n为整数，小数点向右移动的位数等于n的值． 25．某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______； (2)计算：． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】有理数乘方逆运算、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，读懂题意掌握运算法则是解题关键． （1）根据规定，进行求解即可； （2）先根据规定，求出，再进行加法运算即可； 【详解】（1）解：因为，所以． 故答案为： （2）因为，所以． 又因为， 所以． 所以． 26．一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数：否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程……直到出现了与之前重复的数，那就输出此数作为最终结果，结束操作． (1)上面的文字语言可以转化为流程图表达．如图是流程图的一部分，请把这个流程图补充完整．① ，② ，③ （在每空中填入题干中的关键词句，把这个运算程序补充完整） (2)现在输入一个三位数，如123作为起始数，操作第3次后得到的数是多少？请你写出过程． (3)继续第（2）问的运算，操作 次能够结束循环？最后输出的结果是 ． (4)若起始数输入的三位数各位上的数字都是相同的数，如输入111，最后输出的结果是 ；输入222，最后输出的结果是 ． 【答案】(1)①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． (2)49 (3)169 (4)1，169 【知识点】有理数四则混合运算、程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了程序流程图、有理数的混合运算等知识点，掌握有理数的混合运算法则成为解题的关键． （1）根据题意直接补全流程图即可； （2）按照流程图进行列式计算即可； （3）根据流程图进行列式计算即可； （4）分别输入111，222并根据流程图进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：①是3的倍数吗？②把它除以3的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． 故答案为：①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． （2）解：第1次：123是3的倍数，； 第2次：41不是3的倍数，； 第 3 次：25不是3的倍数，， 所以操作第3次后得到的数是49． （3）解：第4次：49不是3的倍数，； 第5次：169不是3的倍数，； 第6次：256不是3的倍数，， ∴169出现重复，即操作6次结束循环，最后输出结果是169， 故答案为：，． （4）解：当输入111时， 第1次：111是3的倍数，； 第2次：37不是3的倍数，； 第3次：100不是3的倍数，； 第4次：1不是3的倍数，，出现循环；则最后输出的为：1． 当输入222时， 第1次：222是3的倍数，； 第2次：74不是3的倍数，； 第3次：121不是3的倍数，； 第4次：25不是3的倍数，； 第5次：49不是3的倍数，； 第5次：169不是3的倍数，； 第6次：256不是3的倍数，；出现循环，则最后输出的为：169． 故答案为：1，169． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 有理数的乘方与混合运算（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.乘方的意义 2.乘方的运算 3. 的意义 4.用科学记数法表示数 5.还原用科学记数法表示的数 6.有理数混合运算的法则 7.“24 点”游戏 8.利用计算器进行有理数的基本运算 9.准确数与近似数 题型巩固 一、有理数幂的概念理解 二、有理数的乘方运算 三、有理数乘方逆运算 四、乘方运算的符号规律 五、乘方的应用 六、用科学记数法表示绝对值大于1的数 七、将用科学记数法表示的数变回原数 八、算“24”点 九、含乘方的有理数混合运算 十、程序流程图与有理数计算 十一、计算器——有理数 十二、求一个数的近似数 十三、求近似数的精确度 十四、近似数推断取值范围 强化训练 单选题（10） 填空题（8） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.乘方的意义 1.乘方的意义 求n个相同因数a的积的运算叫作乘方 ， 乘方的结果叫作幂 . 一般地， 个 记作 ， 其中 叫作底数， n 叫作指数. 读作“ 的 n 次幂”(或“ 的 n 次方”) . 2.乘方与乘法的关系 表示 n 个相同因数 的积，其中相同的因数是底数，因数的个数是指数，因此，可以把相同因数的乘法转化为乘方或把乘方转化为乘法 . 知识点2.乘方的运算 1. 有理数乘方的符号法则 2. 有理数的乘方运算 有理数的乘方运算同有理数的乘法运算一样分两步走：一是确定结果的符号；二是确定结果的绝对值 . ，－ 及 (－) 的异同点与联系 项目 － (－) 不同点 意义不同 n 个 相乘的积 n 个 相乘的积的相反数 n 个 － 相乘的积 底数不同 － 相同点 指数都是 n 联 系 n 为正奇数 － =(－) ， 且 － ，(－)均与 互为相反数( ≠ 0) n 为正偶数 =(－) ，且 ，(－)均与 －互为相反数 ( ≠ 0) n 为正整数 =－=(－)=0( =0) 知识点3. 的意义 表示 1 后面有 n 个 0 的数，即 特别解读 表示n个10相乘的积. 知识点4.用科学记数法表示数 科学记数法 定义 一般地，一个大于 10 的数可以表示成 × 的形式，其中 1 ≤ <10， n 是正整数，这种记数方法叫作科学记数法 确定 的方法 将原数的小数点移到最高数位的数字后边即可得到 的值 确定 n 的方法 ①用整数的位数来确定 n， n 等于原数的整数位数减 1. ②按小数点移动的位数来确定 n，小数点向左移动了几位， n 就等于几 知识点5.还原用科学记数法表示的数 还原方法  把用科学记数法表示的数 × 还原成原数时，只需把 中的小数点向右移动 n 位，并去掉乘号和 即可，若向右移动的位数不够，则用 0 补足 . 注意还原时，不要弄错原数的位数 . 知识点6.有理数混合运算的法则 1. 有理数的混合运算法则 先算乘方，再算乘除，最后算加减 ；如果有括号，先算括 号里面的 . 2. 有理数的混合运算需注意的几个问题 (1)有理数的运算，加减法 是第一级运算；乘除法是第二级运算；乘方是第三级运算 . 一个式子中含有多级运算时，先做第三级运算，再做第二级运算，最后做第一级运算，有括号时，先做括号内的运算，一般按照小括号、中括号、大括号的顺序进行运算 . (2)灵活运用运算律，改变运算顺序，可以简化计算 . 知识点7.“24 点”游戏 “24 点”游戏是这样进行的：从一副扑克牌 (去掉大、小王)中任意抽取 4 张，根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌必须用一次 且只能用一次，可以加括号)，使得运算结果为24 或 －24. 其中红色扑克牌代表负数 , 黑色扑克牌代表正数，A， J， Q， K 分别代表 1，11，12，13. 由于任意取出的四张牌上的数字经过什么运算才能得到 24 或 －24 具有不确定性，因此大家要灵活运用有理数的加、减、乘、除、乘方运算，要多尝试、多探索 . 知识点8.利用计算器进行有理数的基本运算 1.利用计算器进行有理数的基本运算 利用计算器进行简单计算时，遵循“从左到右”的原则进行，即与算式的书写顺序相同，尤其是有理数的混合运算，也是从左到右，而无需考虑“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序 . 2. 使用计算器进行简单运算的步骤与方法开机 (1) 开机：按开机键 ，以接通计算器的电源 ； (2) 输入：按照算式的书写顺序输入数据，即从左往右依次输入，最后按 EXE 键显示计算结果； (3) 关机：先按 键，再按 AC 键，关闭计算器 . 知识点9.准确数与近似数 1. 准确数 与实际完全相符的数，称为准确数 . 2. 近似数 与实际非常接近，但存在一定偏差的数叫近似数 . 在实际问题中有的量不可能或没有必要用准确数表示，而用一个有理数近似地表示出来，这个数 就是 这个量的近似数(或近似值) . 3. 近似数的精确度 近似数与准确 数的接近程度，用精确度表示 . 一个数 四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，如 2 =2.333…，结果取 2，就说精确到个位；取 2.3，就说精确到十分位(或精确到 0.1)；取 2.33，就说精确到百分位(或精确到 0.01) . 例如：48 000 精确到万位，则 48 000 ≈ 5× . 4. 近似数的精确度的表达方法 (1)用数位表示，如精确到百分位，千分位等； (2)用小数表示，如精确到 0.1，0.01 等； (3)对带有单位的数用单位表示，如精确到 kg， m 等 . 题型巩固 题型一、有理数幂的概念理解 1．（24-25七年级上·河北张家口·期末）化简＝（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·福建三明·期中）中，底数是 ． 3．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果： = ，= ； （2）关于除方，下列说法错误的是 A．任何非零数的圈2次方都等于1；    B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；    C．       D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方＝　 　；5的圈5次方＝　 　；的圈6次方＝　 　． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 题型二、有理数的乘方运算 4．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ； ； ； ． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型三、有理数乘方逆运算 7．（22-23七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 8．如果一个数的平方是，那么这个数是 ． 9．观察下面三行数： 2，-4，8，-16，32，-64，……；① -4，2，-10，14，-34，62，……；② ，1，-2，4，-8，16，…….③ (1)用式子表示第①行数的第20个数字：___________； (2)用式子表示第②行数的第21个数字：___________； (3)用式子表示第③行数的第n个数字：___________； (4)是否存在正整数n，取每行的第n个数字相加的和为254，若存在，求n的值，若不存在，请说明理由. 题型四、乘方运算的符号规律 10．对于任意有理数a，下列各式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级上·广东韶关·阶段练习）若，则 ， ． 题型五、乘方的应用 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）若，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非”．如图，将一个边长为1的正方形纸片依次分割为若干部分，部分①的面积是，部分②的面积是，部分③的面积是，以此类推，第部分的面积是（是大于1的整数）．请你用“数形结合”的思想计算 ． 14．（24-25七年级上·福建莆田·期中）计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法． (1)根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量． 题型六、用科学记数法表示绝对值大于1的数 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽原子钟的精度达到了万年误差不超过．数据万用科学记数法表示为（   ）. A． B． C． D． 16．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）法国奥运会期间，巴黎总计接待访客数量约1120万人次．其中数据1120万用科学记数法表示为 17．（23-24七年级上·全国·课堂例题）用科学记数法表示下列各数： (1)__________________； (2)__________________； (3)__________________． 题型七、将用科学记数法表示的数变回原数 18．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列求原数不正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列用科学记数法表示的数原来各是什么数？ ； ； ． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列用科学记数法表示的数的原数填在横线上． (1)___________． (2)___________． (3)___________ (4)___________． 题型八、算“24”点 21．（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 22．（24-25七年级上·内蒙古乌海·阶段练习）请你在2，，4，，6中任选四个数，利用有理数的混合运算，使得这四个数的运算结果为24，请列出2种表达式 23．（24-25七年级上·广东佛山·期中）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 题型九、含乘方的有理数混合运算 24．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）（　　） A．0 B． C． D． 25．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算，结果应是 ． 26．（23-24七年级上·青海西宁·期中）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型十、程序流程图与有理数计算 27．（24-25七年级上·湖北黄冈·期末）如图所示是某计算程序，若输入数字2，则最后输出的结果是（   ） A．22 B．24 C．26 D．28 28．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）按如图程序计算，如果输入的数是，那么输出的数是 ． 29．（2024七年级上·全国·专题练习）小亮在电脑上设计了一个有理数的运算程序：输入a，按“*”键，再输入b，得到运算． (1)求的值； (2)小明在运算程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作”，猜想他在输入数据时，可能出现什么情况，为什么？ 题型十一、计算器——有理数 30．与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是（    ） A． B． C． D． 31．使用计算器计算： ． 32．用计算器计算： （1）； （2）． 题型十二、求一个数的近似数 33．（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）小华称得一个物体的质量为，用四舍五入法将2.108精确到0.01的近似数为（   ） A．2 B．2.10 C．2.1 D．2.11 34．（24-25七年级上·广东韶关·期中）近似数表示 （精确到0.01）； 35．（25-26七年级上·全国·课后作业）用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到）； (4)（精确到千分位）． 题型十三、求近似数的精确度 36．（24-25七年级上·全国·课后作业）下面所描述的数据中，不属于近似数的是（    ） A．小明班上有45人 B．吐鲁番盆地低于海平面 C．某次地震中，伤亡大约十万人 D．小红测得数学书的长度为 37．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）下列说法：①近似数千与近似数精确度相同；②近似数与近似数的精确度相同；③近似数万与近似数的精确度相同．其中正确的是 （填写序号）． 38．下面表述中的数据，哪些是准确数？哪些是近似数？ (1)实验室里有18盏日光灯； (2)某人的身高是168厘米； (3)多媒体教室共有45台电脑； (4)世界著名海峡马六甲海峡长1080千米． 题型十四、近似数推断取值范围 39．（24-25七年级上·全国·单元测试）把数a精确到百分位得到的近似数是5.88，则下列不可能是a的值的是（   ） A．5.878 B．5.883 C．5.889 D．5.875 40．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）近似数的准确值a的取值范围是 ． 41．对非负有理数数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．例如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜18.75＞＝＜19.499＞＝19，…．解决下列问题： （1）＜π＞＝ （π为圆周率）； （2）若＜x＞＝6，则x的取值范围是 ． 强化训练 一、单选题 1．用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到百分位） C．（精确到千分位） D．（精确到） 2．科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（   ） A． B． C． D． 3．小勤设计了一个计算程序（如图），如果输入的数是4，那么输出的结果是（　　） A． B．6 C． D．9 4．计算：的结果是（    ） A．9 B． C． D．36 5．据商务部消息，年以来，电动自行车以旧换新取得积极成效．截至月日，今年全国 电动自行车售旧、换新各万辆，超过年总和．数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 6．下列每组数中，不相等的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 7．若，则（    ） A． B． C．6 D． 8．我们知道相同加数可以写成乘法，如：，这样可以给我们解决问题带来方便．其实相同因数的乘法也可以写成乘方的形式，如，那么根据上述提示计算（ ） A．3 B．6 C．9 D．27 9．计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 10．一根长的铜丝，第一次剪去铜丝的，第二次剪去剩下铜丝的，如此剪下去，第次剪完后剩下铜丝的长度是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．计算： ． 12．根据相关部门统计，2020年全国普通高校毕业生约人．将用科学记数法表示应为 ． 13．计算： ， ， ． 14．的底数是 ，指数是 ，结果是 ． 15．数用四舍五入精确到0.1得到 ，近似数精确到 位． 16．使用数字3、4、5、8，通过加、减、乘、除四则运算得到结果24（每种运算可以使用任意次数，但每个数字只能使用一次），请写出一种算式 ． 17．若，则的值是 ． 18．如果一个数的平方等于，那么这个数是 ，如果一个数的立方等于，那么这个数是 ． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)； (3)． 20．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． (1)； (2)； (3)． 21．计算：． 22．计算题： (1) (2) 23．用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到百分位）； (4)（精确到）． 24．写出下列用科学记数法表示的数的原数： (1)北京故宫的占地面积约为； (2)长城长约千米； (3)太阳和地球的距离大约是千米； (4)全球每年大约有的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽． 25．某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______； (2)计算：． 26．一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数：否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程……直到出现了与之前重复的数，那就输出此数作为最终结果，结束操作． (1)上面的文字语言可以转化为流程图表达．如图是流程图的一部分，请把这个流程图补充完整．① ，② ，③ （在每空中填入题干中的关键词句，把这个运算程序补充完整） (2)现在输入一个三位数，如123作为起始数，操作第3次后得到的数是多少？请你写出过程． (3)继续第（2）问的运算，操作 次能够结束循环？最后输出的结果是 ． (4)若起始数输入的三位数各位上的数字都是相同的数，如输入111，最后输出的结果是 ；输入222，最后输出的结果是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$