第02讲 一元一次方程及其解法（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

第02讲 一元一次方程及其解法 知识点1：解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1. 去分母 两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 【题型一 解一元一次方程】 【典例1】解方程： (1) (2) 【变式1】解下列方程： (1) (2) 【变式2】解下列一元一次方程 (1) (2) 【变式3】解方程： (1)． (2)． (3)． 【题型二 一元一次方程的整数解问题】 【典例2】已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)当时，求方程的解 (2)若该方程有整数解，求的值 【变式1】已知关于的方程有整数解，那么满足条件的整数有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】关于的一元一次方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A．9 B．21 C．24 D．27 【题型三 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】 【典例3】已知关于 x 的方程和的解相同． (1)求m的值； (2)求代数式的值． 【变式1】已知方程与的解相同，求m的值． 【变式2】已知关于x的方程的解比的解小5，求m的值． 【变式3】已知方程的解比关于的方程的解大5． (1)求方程的解； (2)求的值． 【题型四 错解一元一次方程的问题】 【典例4】小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 【变式1】小林在解方程去分母时，方程右边的忘记乘8，因而得到方程的错解．你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【变式2】学习情境·错解问题 小明在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，请你帮助小明求出的值，并正确解出原方程． 【变式3】小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解． 【题型五 一元一次方程的解在新定义中运用】 【典例5】现定义一种新运算“☆”：对于任意有理数a，b，有．例如：．求 (1)的值； (2)若，求x的值． 【变式1】定义新运算： 例如： 求： (1)； (2)解方程： 【变式2】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如． (1)求的值； (2)若，求的值． 【变式3】用“”定义一种新运算，规则如下：． (1)计算：______； (2)若，求的值． 一、单选题 1．下列方程中，属于一元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．若代数式与的值相等，则x的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 3．解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 4．方程的解是(   ) A． B． C． D． 5.某书中有一个方程，■处在印刷时被墨盖住了．若已知书后的答案为，则■处的数字应是（   ） A．7 B．5 C． D． 6．代数式与的值互为相反数，则m的值为（   ） A． B． C． D．1 二、填空题 7．若关于的方程有正整数解，则整数的值为 ． 8．关于的一元一次方程的解是，则的值为 ． 9．若与互为相反数，则 10．方程的解为 11．若代数式和1互为相反数，则 ． 12．已知，，，则 ． 13．若关于x的方程的解是，则a的值为 ． 14．定义，如果，则 ． 三、解答题 15．方程与解的关系 关于的方程与的解互为相反数． (1)求的值； (2)求这两个方程的解． 16．已知数轴上A、B两点表示的数分别为和3，点P为数轴上一动点，其表示的数为x． (1)A、B两点之间的距离是多少？ (2)若点P到A、B两点的距离相等，求x的值． (3)当点P到A点的距离为6时，求点P到B点的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 一元一次方程及其解法 知识点1：解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1. 去分母 两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 【题型一 解一元一次方程】 【典例1】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤 “去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1”是解题的关键． （1）按移项，合并同类项，系数化为1”的步骤求解即可； （2） 按“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1” 的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为，得 （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为，得 【变式1】解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． 根据解一元一次方程的步骤，合并同类项、系数化为即可求出方程的解； 根据解一元一次方程的步骤，移项、合并同类项、系数化为即可求出方程的解． 【详解】（1）解：， 合并同类项得：， 系数化为得：； （2）解：， 移项得：， 合并同类项得：． 【变式2】解下列一元一次方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法是解题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化为1即可求解； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解： 移项，合并同类项，得， 将系数化为1，得； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 将系数化为1，得． 【变式3】解方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题包含三个一元一次方程的求解，需根据每个方程的形式，运用解一元一次方程的一般步骤（去括号、去分母、移项、合并同类项、系数化为等）来解题． 【详解】（1）解：去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得．系数化为1，得． （2）解：去分母，得． 去括号，得．移项，得． 合并同类项，得．系数化为1，得． （3）解：将分母化为整数，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，根据方程特点灵活运用这些步骤是解题的关键． 【题型二 一元一次方程的整数解问题】 【典例2】已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)当时，求方程的解 (2)若该方程有整数解，求的值 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）将代入关于的一元一次方程，得到，解得； （2）当时，解关于的一元一次方程得到，根据该方程有整数解，，当取及时才能满足题意，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：关于的一元一次方程， 当时，， 即， 解得； （2）解：关于的一元一次方程有整数解， 当时，， 当取、时才能使该方程有整数解为整数， 或或或． 【点睛】本题考查一元一次方程综合，涉及一元一次方程的解、一元一次方程的定义及解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法步骤、掌握由一元一次方程的整数解求参数是解决问题的关键． 【变式1】已知关于的方程有整数解，那么满足条件的整数有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，把当做已知量表示出方程的解，再根据方程的解为整数的条件即可得出值，根据解得的条件确定的可能取值解题的关键． 【详解】解：由得， ， ∴， ∵关于的方程有整数解， ∴或， 解得：或或或， ∴整数有个， 故选：． 【变式2】关于的一元一次方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A．9 B．21 C．24 D．27 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的概念是解题的关键．解方程得，再由题意可得的值为，再求和即可． 【详解】解：， ， ， 解方程得， 关于的一元一次方程有正整数解， 的值为， 所有满足条件的整数的值之和为． 故选B． 【题型三 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】 【典例3】已知关于 x 的方程和的解相同． (1)求m的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和代数式求值，准确计算是解题的关键． （1）根据两个方程的解相同求出m即可； （2）把m代入求解即可． 【详解】（1）解：解方程得， 解方程得， ∵关于 x 的方程和的解相同， ∴， 解得． （2）解： ． 【变式1】已知方程与的解相同，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． 先分别求出两方程的解，再根据两方程的解相同得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， ∵方程与的解相同， ∴， 解得：． 【变式2】已知关于x的方程的解比的解小5，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． 分别求出两个方程的解，然后根据两个方程解的关系得到关于m的方程，由此求解即可． 【详解】解：方程， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得：， ∵关于x的方程的解比的解小5， 因此方程的解为， 将代入，得， 解得：． 【变式3】已知方程的解比关于的方程的解大5． (1)求方程的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程以及一元一次方程的解，熟练掌握方程解的定义和解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）直接解方程即可； （2）通过前面方程的解推出后面方程的解，再将解代入后面方程，解出k即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）∵方程的解比关于的方程的解大5． ∴方程的解为， 将代入方程得到， ∴， 解得， 故的值为． 【题型四 错解一元一次方程的问题】 【典例4】小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法，解题关键是根据错误的去分母过程求出的值．根据错误解法求得，进一步求得，再代入原方程求解正确的解即可． 【详解】解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 小玲解得， ，， 将代入得： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 【变式1】小林在解方程去分母时，方程右边的忘记乘8，因而得到方程的错解．你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】能，，方程正确的解为 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．由题意得，小林得到的方程为，代入，求出的值，再对原方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出方程正确的解． 【详解】解：由题意得，小林得到的方程为， 代入得，， 解得：， 原方程为：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∴方程正确的解为． 【变式2】学习情境·错解问题 小明在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，请你帮助小明求出的值，并正确解出原方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由题意得：方程的为，将代入可求得得出原方程为，即可求解； 【详解】解：由题意得：方程的为， 将代入方程得：， 解得： ∴原方程为， 去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为： 【变式3】小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照小玲的解方程过程，去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解得，由小玲解得，可求得，再按照正确的解题过程求解即可得到答案． 【详解】解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得，， ∵小玲解得， ∴， ∴； 正确解法如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 【题型五 一元一次方程的解在新定义中运用】 【典例5】现定义一种新运算“☆”：对于任意有理数a，b，有．例如：．求 (1)的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查含乘方有理数的混合运算、新定义，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． （1）根据，可以计算出所求式子的值； （2）先根据，表达出，最后可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）解：∵ ， 又∵， ∴， 解得． 【变式1】定义新运算： 例如： 求： (1)； (2)解方程： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，化简绝对值，解一元一次方程； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）先根据新定义列出方程，再根据绝对值的意义，分类讨论，分别解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）由 得： ， 即 ， 分类讨论： 若 ，则 ，方程为 ， ， 解得：（舍去） ， 若 ，则 ，方程为 ， ， ， 解得：． 【变式2】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查新定义题型，理解新定义题型的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义计算即可得到的值； （2）根据新定义进行计算，解一元一次方程即可求得的值． 【详解】（1）解： （2）解：， ， ， ， ， ， ． 【变式3】用“”定义一种新运算，规则如下：． (1)计算：______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数混合运算及新定义，解题的关键是理解新定义． （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． 故答案为：． （2）解： 解得：． 一、单选题 1．下列方程中，属于一元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的定义，理解掌握定义是解答的关键． 根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，逐一判断各选项即可． 【详解】解： A：含有两个未知数x和y，故选项不符合题意； B：方程中含分式，不是整式方程，故选项不符合题意； C：只含未知数x，且x的次数为1，等式两边均为整式，符合定义，故选项符合题意； D：未知数x的最高次数为2，故选项不符合题意． 故选：C． 2．若代数式与的值相等，则x的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 根据题意得： ，根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：∵代数式与的值相等， ∴ ， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 故选：D． 3．解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，方程两边乘以6去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】解： 方程左右两边同时乘以6，得：， 故选D. 4．方程的解是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程的求解，将方程移项、求解未知数即可. 【详解】解：移项得，， 解得， 故选：B． 5.某书中有一个方程，■处在印刷时被墨盖住了．若已知书后的答案为，则■处的数字应是（   ） A．7 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，把代入原方程，得到关于■的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ ∴ ∴， 解得： ， 故选B. 6．代数式与的值互为相反数，则m的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数，解一元一次方程等知识，根据相反数的定义列出关于m的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 去分母得： 去括号得： 移项，合并同类项得：， 化系数为1：， 故选B． 二、填空题 7．若关于的方程有正整数解，则整数的值为 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查的是一元一次方程的正整数解，先解方程可得，再根据正整数解的含义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 当时， ∴． ∵原方程有正整数解，且为整数， ∴或3． 故答案为：1或3 8．关于的一元一次方程的解是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解是， ∴， 解得， 故答案为：． 9．若与互为相反数，则 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解一元一次方程，熟练掌握相反数定义，是解题的关键．根据相反数定义列出方程，解方程即可． 【详解】解：因为与互为相反数，所以， 即， 解得：． 故答案为：． 10．方程的解为 【答案】5 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 故答案为：5． 11．若代数式和1互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数． 根据相反数相加等于0列方程求解即可． 【详解】解：∵代数式和1互为相反数， ∴， 解得：． 故答案为：． 12．已知，，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查绝对值方程的求解．根据绝对值的定义求出x可能的值，再根据y的值和确定x的取值，代入即可求解． 【详解】解：，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 13．若关于x的方程的解是，则a的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，解题的关键是能得出关于的一元一次方程． 把代入方程，即可得出一个关于的一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入方程， 得． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 故答案为：． 14．定义，如果，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题中所给新定义运算列出方程，然后进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：； 故答案为：2． 三、解答题 15．方程与解的关系 关于的方程与的解互为相反数． (1)求的值； (2)求这两个方程的解． 【答案】(1)1 (2)第一个方程解为，第二个方程解为 【分析】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． （1）先分别解关于x的一次方程得到和，再利用相反数的定义得到，然后解关于m的方程即可； （2）把m的值分别代入和中得到两方程的解． 【详解】（1）解：解第一个方程得：， 解第二个方程：， 因为两方程的解互为相反数，则有：， 解得； （2）解：第一个方程解为：， 第二个方程解为：． 16．已知数轴上A、B两点表示的数分别为和3，点P为数轴上一动点，其表示的数为x． (1)A、B两点之间的距离是多少？ (2)若点P到A、B两点的距离相等，求x的值． (3)当点P到A点的距离为6时，求点P到B点的距离． 【答案】(1) (2) (3)14或2 【分析】该题成立两点之间的距离，一元一次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （2）根据点P到A、B两点的距离相等，列方程求解即可． （3）分为①当点P在A左侧时，②当点P在A右侧时，分别求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：， 解得：． （3）解：①当点P在A左侧时，， 点P到B点的距离为：； ②当点P在A右侧时，， 点P到B点的距离为：， 综上所述：当点P到A点的距离为6时，点P到B点的距离为14或2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $