第一章 直角三角形的边角关系（高效培优单元测试·提升卷）数学北师大版九年级下册

第一章 直角三角形的边角关系（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．计算的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题可直接根据特殊角的三角函数值来求解的值．本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解： 故选：B． 2．在中，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理．先利用勾股定理计算出，然后根据三角函数的定义对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， ． 故选项D符合题意． 故选：D． 3．如图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−−坡度坡角问题，解题的关键是根据题意得，代入即可求解． 【详解】解：∵滑坡的坡度是， ∴在中，， ∵， ∴， 故选：C． 4．比较，，的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较三角函数值的大小，构造含的直角三角形，分别求得，，的值，再比较大小，即可求解． 【详解】解：如图，在中，，， ∴ 设 ∴， ∴， ∴ ∴， 故选：B． 5．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数，正切值的计算，根据一次函数与坐标轴的交点得到的值，结合正切值的计算即可求解． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A，B两点， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 6．如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正弦值、勾股定理与网格、勾股定理逆定理等知识点，在网格中构造直角三角形是解题的关键． 如图：根据网格以及勾股定理及其逆定理确定格点D，使得是直角三角形，根据勾股定理得出的长，然后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：确定格点D，使得是直角三角形， 根据勾股定理得：， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：B． 7．如图，化妆镜由镜面和镜柱组成，其中镜面是以为直径的，镜柱为，高约的橡皮与镜子在同一水平上竖立，旋转镜面至，若A，B，C三点共线，，此时测得，此时A点到桌面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过作于，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，，，求解，，，而，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 8．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，一般成年人头部的高度在范围内．图2为其示意图，摄像头A的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点B处，若此人要能被摄像头识别，他的身高为，则h的取值范围为（   ）(参考数据：，，) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，过点作于，延长交于点，则四边形为矩形，从而可得，，再解直角三角形即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，延长交于点， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴，即他的身高不能超过， ∵一般成年人头部的高度在范围内． ∴同理可得：他的身高不能低于， ∴h的取值范围为， 故选：C． 9．如图1，在直角三角形中，．定义的对边与斜边的比叫作的正弦，记作，即定义的邻边与斜边的比叫作的余弦，记作，即如图2，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，1为半径作圆，A为圆O上的一点，且位于第一象限，连接与x轴的正半轴的夹角为α，则点A的坐标可表示为（   ） A．（） B．（） C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了新定义．根据新定义得到，进一步即可得到答案． 【详解】解：过点A作轴于点H， 根据定义可知，， ∵以点O为圆心，1为半径作圆，A为圆O上的一点，且位于第一象限， ∴ ∴ 故选：B 10．在中，，点为边的中点，连接．点为边上一点，满足．连接交于点，连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据点为边的中点，设，则，如图2，作于点，则，故，作交于点，交的延长线于点，证明，由，解得，根据，得，，再运用，得，，即，故，即可作答． 【详解】解：如图1， ∵点为边的中点， 设， ∵ 则，排除C选项； 如图2，作于点， ∴是等腰直角三角形， ∴ 则， 故，排除D选项； 如图3，作交于点，交的延长线于点 ∴， ∴， ∴， ∵， ， 由， 则， 解得， ， ， ， 则，排除B选项 如图3， ， ， 故选：A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知∠A是锐角，且满足，则的大小为 ． 【答案】． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 据题目所给的等式求出的值，即可求出的大小． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12．如图，在中，，是直角边上一点，于点，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数，熟练掌握正弦和余弦函数是解题的关键；首先根据三角形内角和定理求得，然后在中即可求得的值，即可知道的值. 【详解】解:; ． 又 在中， ； 故答案为：． 13．在中，若，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，再利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】解：， ，， ，， 是等边三角形． 故答案为：等边． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 14．如图，航拍无人机从处测得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为，那么该建筑物的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，分别解和，求出和，进而即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 【答案】220 【分析】过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：如图： 过点作的垂线，垂足为点． ， 设，， ， 可设，， ， ， ， 由，得， 则 故． 故答案是：220 【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键． 16．点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图象经过的三等分点，则 【答案】3或12 【分析】本题考查反比例函数图象上点的特征，三角形面积，解直角三角形．利用正切函数的定义求得，，得到点的坐标为，再分两种情况求得的三等分点的坐标，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴设的三等分点为点，，则， ∵， ∴， 解得， ∴，则， ∴点的坐标为， 当点靠近点时，则点的坐标为， ∴； 当点靠近点时，则点的坐标为， ∴； 故答案为：3或12． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值的混合运算， 对于（1），根据，再计算即可； 对于（2），根据，再计算即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（1）在中，，a、b、c分别是、、的对边，，，解这个直角三角形． （2）如图，中，，，，求的长． 【答案】（1），，；（2） 【分析】题考查了直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定，特殊角的三角函数值等， 熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； （1）利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可； （2）过点C作于点D，先推出，可得， 再利用特殊角的三角函数值求出，的值，再求的长即可． 【详解】（1）解：依题意作图如下： ，， ， ，， 由勾股定理得， ，，． （2）解：如图2，过点C作于点D，则， ，， ， ， ， 又， ， ． 19．综合实践 【阅读材料】风筝制作在中国具有悠久的历史，其渊源可以追溯到春秋战国时代．墨子以木材制成鸟禽状器械，放之能飞，称为“木鸢”．汉代开始以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”．后来又在纸鸢上附加竹哨、弓弦，放飞时因风吹而引起哨响弦鸣，声音悦耳，如同筝鸣，故称“风筝”． 【设计应用】某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝，在骨架设计中，两条侧翼的长度，风筝顶角，在，上分别取点D，E，骨架， ．另作一条骨架，于点G，交于点．求B，C两点间的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，平行线的性质和三线合一．根据平行线的性质和三线合一得到，解直角三角形可以得到，进而求得答案． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵ ∴， 解得：， ∴， 即B，C两点间的距离为． 20．亲爱的同学们，在我们进入高中以后，还会学到三角函数公式：，． 例：． (1)试仿照例题，求出的准确值． (2)已知，试求出的准确值． (3)根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出的准确值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照例题，将拆分为，利用两角和的余弦公式计算； （2）利用正切的定义，结合和的结果计算； （3）构造含角的直角三角形，通过线段关系计算正切值． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． （3）解：如图所示． 设，则， ． 【点睛】本题考查两角和的三角函数公式与直角三角形的应用，掌握利用两角和的公式拆分角度计算三角函数值，通过构造直角三角形结合线段关系求解正切值是解题的关键． 21．图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，） (1)求点到地面的高度； (2)若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 【答案】(1)点到地面的高度约为 (2)的度数约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，延长交于点，由题意得：，，，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系求得的长； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而可知的长，利用线段的和差关系求出的长， 在中，利用锐角三角函数的定义可求出的值，从而得到的度数． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， 在中，，， ， ， 点到地面的高度约为； （2）解：由题意得：， 在中，，， ， ， ， 在中，，   ， 即的度数约为． 22．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为（单位：）． ①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）直接利用含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）①分别在和中求出和，即可求解；②过点作，垂足为．则四边形是矩形．得出，可得．在中， 利用，列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ．即的长为； （2）解：①在中，， ． 在中，由，得． ．即的长为． ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， 四边形是矩形． ． 可得． 在中，， ，即． ． 答：塔的高度约为． 23．【问题呈现】 如图①，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点和和相交于点．求的值． 【方法归纳】 利用网格将线段平移得到线段，连接，得到格点，且，则就变换成中的． 【问题解决】 （1）图①中的值为___________． （2）如图②，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点和与交于点，求的值． 【思维拓展】 （3）如图③，，垂足为，点在上，且，连接交的延长线于点，利用网格求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由题意可得，则，在中，由锐角三角函数的定义可得出答案． （2）过点A作，连接，证明，在中，由锐角三角函数的定义可得出答案． （3）以为边长构造网格，过点作，连接，由图可知点在格点上，证明，再由锐角三角函数的定义可得出答案． 【详解】解：（1）由勾股定理得： ． ∴， ∴， ∵， ． 故答案为． （2）如图①，过点作， 连接，由图可知点在格点上， 由勾股定理得， ∴， ∴， ． （3）如图②，构造网格，过点作，连接，由图可知点在格点上， 同理可得：， 由勾股定理可得：， ． 【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理及其逆定理的应用，二次根式的除法运算，锐角三角形函数的应用等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 24．2025年春晚的机器人舞蹈《秧》展示了科技与文化的完美融合，机器人通过高精度技术实现精准动作、并与人类舞者默契配合，吸引了全球关注．某科技兴趣小组对此有着浓厚的兴趣，决定对机器人的动作进行研究，并测量一些数据，制作成一份动画作品．请根据表格中提供的信息，解决下列问题．(结果保留一位小数，参考数据∶，) 活动主题 机器人舞蹈动画制作 活动流程 小组成员分别收集了一些春晚机器人舞蹈的视频图片(如图①)，对动作进行逐帧分解，测量确定一些数据，绘制出一些图形，之后利用动画软件进行制作 分解动作与模型抽象    图形绘制与数据测量 将图形绘制抽象为图②，腰部平行于水平面，上半身腰部，大腿与腰部的夹角，与小腿的夹角，足部与水平面的夹角，，，， ，所有点均位于同一平面内 (1)如图②，过机器人腰部点作垂直水平面于点，求机器人膝盖点到机器人腰部点的水平距离； (2)求机器人脖子点到水平面的距离． 【答案】(1)机器人膝盖点到机器人腰部点的水平距离约为 (2)机器人脖子点到水平面的距离约为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，合理添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键： （1）易得，进而得到，解，求出的值即可； （2）过点作交的延长线于点，交于点，作交于点，分别解，，，根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，则， 在中， ∵cm，， ∴． 答∶机器人膝盖点到机器人腰部点的水平距离约为； （2）∵， ∴脖子点到水平面的距离为． 如图，过点作交的延长线于点，交于点，作交于点， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． ∵，由(1)知：， ∴． 在中，∵cm，， ∴， 在中，∵cm，， ∴， 在中，∵，cm，， ， ∴， ∴． 答∶机器人脖子点到水平面的距离约为． 25．在平行四边形中，点，分别在边，上． 【尝试初探】（1）如图，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值； 【深入探究】（2）如图，，，，求的值； 【拓展延伸】（3）如图，与交于点，，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）证明，由为中点得到，则，得到，，即可得到答案； （2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，证明都是等腰直角三角形，则，证明，即可得到答案； （3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，利用解直角三角形和相似三角形的判定和性质进行证明即可． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∵都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）延长，交于点，过点作于，过点作交延长线于， ∵平行四边形， ∴， 不妨设，，则， 由，得， ∵， ∴， 设， 则由勾股定理得， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章直角三角形的边角关系（高效培优单元测试提升卷） (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.计算tan60°的值为() V3 A.1 B.5 C.2 D.2 2.在Rt△ABC中，∠C=90,a=5,b=12,则下列说法正确的是() A.sin A=. 12 12 13 B.tan C.cos B= 5 12 D.sinB=12 3 3.如图，已知滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度AC是12m,则高BC是() ie1:3 A A.2m B.3m C.4m D.5m 4.比较sin75°，cos75°，tan75°的大小，正确的是() A.cos75°<tan75°<sin75o B.cos75°<sin75°<tan75o C.tan75°<cos75°<sin75o D.sin75°<cos75°<tan75o 5.如图，直线y=4x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点，则tan∠BA0的值是() B 0衣 B. c. D. 6.如图，△ABC的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为() 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.5 C. 2v5 D.3 7.如图，化妆镜由镜面和镜柱组成，其中镜面是以1B为直径的O0,镜柱为OF,高约5VS©m的橡皮 CE与镜子在同一水平上竖立，能转镜面至∠BOF=30°，若4，B,C三点共线，0B=号0C,此时测得 EF=15cm,此时A点到桌面的距离为() B ■ E A.20W3+7 B.255 c.255- D.20N5 8.图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），一般成年人头部的 高度在18-25cm范围内.图2为其示意图，摄像头A的仰角、俯角均为15°，高度OA为l65cm,某人笔直 站在离摄像头水平距离100cm的点B处，若此人要能被摄像头识别，他的身高为hcm,则h的取值范围为 ()(参考数据：sinl5°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27) 仰角15 摄像头A≤ …水平线 俯角15 0川分 B 图1 图2 A.163≤h≤192B.138≤h≤184 C.156≤h≤192 D.156≤h≤217 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.如图1，在直角三角形ABC中，∠C=90°.定义∠A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作siA, BC AC 即sinA= B定义∠A的邻边与斜边的比叫作∠4的余弦，记作coA即osA=B如图2，在平面直角 坐标系中，以点O为圆心，1为半径作圆，A为圆O上的一点，且位于第一象限，连接OA,OA与x轴的正 半轴的夹角为a,则点A的坐标可表示为() B 图1 图2 (11 A.(sina,cosa) B.(cosa,sina) c sina'cosa D.cosa sina 10.在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点D为边AC的中点，连接BD.点E为边BC上一点，满足 CP=BC,BE.连接M征交BD于点F,连接CF.则下列结论错误的是() 4. an∠BFE=V5+1 2 B.tan∠BCF=5-l C.tan∠CBD= D.tan∠ABD= 3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1Ⅱ，已知∠A是锐角，且清足20s4-5=0,则∠4的大小为一 12.如图，在R△1BC中，∠C=90°，M是直角边1C上一点，MN上AB于点N,W=34M=4, 则 cosB的值为： 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B 13.在ABC中， 若SnA Y3十csB-=0则MBC是一三角形 14.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部的俯角为60°，此时航拍无人 机与该建筑物的水平距离AD为110m,那么该建筑物的高度BC为m. B 60°D 5.已知在ABC中，1、一B是锐角，且snB三8n4三，B=44m则ABC的面积等于 cm2. 16、点A在第一象限，4C1箱，廉足为C,O1=N而，am∠1写，反比例函数y=兰的图家经过OH 的三等分点，则k= 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.计算： 05+n0-- (2)2cos30°-tan60°+sin45°+tan45° 18.(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠B=60°，a=4,解这 个直角三角形 4/8 命学科网·上好课 www.z×xk.com 上好每一堂课 (2)如图，△MBC中，∠B=60°，∠C=75°，4C=35,求B的长」 19.综合实践 【阅读材料】风筝制作在中国具有悠久的历史，其渊源可以追溯到春秋战国时代.墨子以木材制成鸟禽状 器械，放之能飞，称为“木鸢”·汉代开始以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”·后来又在 纸鸢上附加竹哨、弓弦，放飞时因风吹而引起哨响弦鸣，声音悦耳，如同筝鸣，故称“风筝”. 【设计应用】某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝，在骨架设计中，两条侧翼的长度AB=AC, 风等顶角∠BC=10w,在B”AC上分别取点D,E,骨架DEBC,MD-写B=20em.另作一条骨 架AF,AF⊥DE于点G,交BC于点F.求B,C两点间的距离.（结果精确到lcm.参考数据： sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19) B 20.亲爱的同学们，在我们进入高中以后，还会学到三角函数公式：sin(+BP)=sinc+osi cos(a+B)=cosacosB-sinasinB 例：simn75°=sin(30+459）=sin30cos450+c0s30rsin45°=V5+V6 4 (1)试仿照例题，求出Cos75°的准确值、 (2)已知tana=sina cosa,试求出tan75的准确值. (3)根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出tan75°的准确值. 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 30° 15o 设 ，则 A BC=a AC=a,AD=AB=2a :tan75°=tan∠CBD=CD-V5a+2a-V5+2 BC 21.图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成.图2是某种工作状态下的侧面结构示意 MN PO EM∥QN 图( 是基座的高，是主臂，心是伸展臂， .已知基座高度N为1m,主臂MP长为 4 ,测得主臂伸展角∠pME=37°.（参考数据：s1n37≈，an37°≈3 5m, 3sm53o≈，tan53≈2) 主臂 P 伸展臂 M 基座 图1 图2 ()求点P到地面的高度： 2若挖据机能挖的最远处点”到点V的距离为m,求 PQW 的度数. 22.综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度. 如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD=5m,∠DCE=30°，点E,C,A在同一条水平直线上. 某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27° D 279 b30 E C (I)求DE的长： (2)设塔AB的高度为h(单位：m)· ①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）； 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②求塔1B的高度 tan27°0.5√51.7 取 取 ”,结果取整数). 23.【问题呈现】 如图①，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A,B和C,D,AB和CD相交于点P.求an∠BPD的 值. 图① 图② 图③ 【方法归纳】 利用网格将线段CD平移得到线段BE,连接AE,得到格点△ABE,且AE⊥BE,则∠BPD就变换成 Rt△ABE中的∠ABE. 【问题解决】 (I)图①中sin∠BPD的值为 (2)如图②，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A,B和C,D,AB与CD交于点P,求 tan∠BPD的值. 【思维拓展】 (3)如图③，AB⊥CD,垂足为B,AB=4BC,BD=2BC,点E在AB上，且AE=BC,连接AD交CE 的延长线于点P,利用网格求sin∠CPD的值. 24.2025年春晚的机器人舞蹈《秧BOT》展示了科技与文化的完美融合，机器人通过高精度技术实现精 准动作、并与人类舞者默契配合，吸引了全球关注.某科技兴趣小组对此有着浓厚的兴趣，决定对机器人 的动作进行研究，并测量一些数据，制作成一份动画作品.请根据表格中提供的信息，解决下列问题.（结 果保留一位小数，参考数据： sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73√2≈1.41 活动主题 机器人舞蹈动画制作 小组成员分别收集了一些春晚机器人舞蹈的视频图片（如图①），对动作进行逐帧分解，测 活动流程 量确定一些数据，绘制出一些图形，之后利用动画软件进行制作 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 分解动作与 D 模型抽象 E F-K 水平面 图① 图② 图形绘制与 将图形绘制抽象为图②，腰部BC平行于水平面，上半身AD⊥腰部BC,大腿CF与腰部 数据测量 BC的夹角∠BCF=70°，与小腿FH的夹角∠CFH=145°，足部W与水平面的夹角 ∠HJL=45°，AD=10cm,CF=8cm,FH=5cm,HW=3cm,所有点均位于同一平面 内 (I)如图②，过机器人腰部点C作CL垂直水平面于点L,求机器人膝盖点F到机器人腰部点C的水平距离 FK: (2)求机器人脖子点A到水平面的距离. 25.在平行四边形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上. D E B E B E 图-1 图-2 图-3 CF 【尝试初探】(1)如图-1'若平行四边形ABCD是正方形，E为BC的中点，∠AEF=90°，求DF的值： CE 【深入探究】(2)如图-2，∠B=45°，∠AEF=90°，AE=EF,求DF的值： 【拓展延伸】(3)如图-3”r与nE交于点0m∠80E-an乙A-=手，B,e=3.求 CF 3’AD7'EC=4,求DF的 值 8/8