第一章 直角三角形的边角关系（高效培优单元测试·强化卷）数学北师大版九年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章直角三角形的边角关系（高效培优单元测试·强化卷） (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.已知a,是锐角，cosa=2 那么锐角α的度数是() 2 A.30° B.45 C.60° D.75° 2在R△C中，∠C=90,如果4C=6,cas4=,那么B的长为（) A月 B. 8 C.8 D.10 3.如果把Rt△ABC的各边长都扩大到原来的4倍，那么锐角A的余弦值() A.扩大到原来的4倍 B。缩小到原来的号 C.没有改变 D,无法判断是否发生改变 4.在下列Rt△ABC中，可解的直角三角形是() A.已知b=3,∠C=90° B.已知∠C=90°，∠B=46 C.已知a=3,b=6,∠C=90 D.已知∠B=25°，∠A=65° 5.如图，小丽从点A出发，沿坡角为20°的斜坡向上走了150米到达点B,则她沿垂直方向升高了() B 120° 150 A. an20加米 B.15 、米 C.150.tan20°米 D.150sin20°米 sin20° 6.在ABC,已知∠A、∠B都是锐角，N5-3tanB+V2cosA-1=0,那么ABC是() A.等腰三角形B.直角三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 7.如图所示，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC的顶点都在这些小正方形的顶 点上，那么sin/CAB的值为() A.3V5 B.7 5 c D 1/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定律如图1所示：折射率n=sin (a代 sinB 表入射角，B代表折射角).小明为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验：通过细管可以看见 水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不到物块.图3是实验的示意图，点A,C,B在同一直线上， 测得BC=28cm,BF=48cm,DF=64cm.则光线从空气射入水中的折射率n的值为() 入射角aK法线 介质 介质（折射率n) B 折射角B 型 图1 图2 图3 A.5 B. 4 C. D. 2-3 9.如图，一无人机在建筑物AB上空点P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大37°，己知建 筑物AB位于水平地面AC上，小明从A处出发沿着AC走了24米后到达点C处，发现无人机正好在他的 上方，无人机，建筑物4B都当水平面垂直，则建筑物4B的高度为(）（参考数据：sn37°飞子 3号a37 3) 4 379 B 53 A A. B. 15米 C.25米 D.28米 1O.魏晋数学家刘微利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD,CGFE和BHIE都 是正方形.如果图中△DEM与△AB的面积比为 ,则tan∠FEI的值为() 青入E M D 朱出对 C ,青出 朱入 2/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4-5 B. D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.已知a是锐角，若tana-15)= 3 ,则cosa的值为 12.如图，某位学生沿着坡度为i=1:2.4的斜坡由A到B直行了26米，那么他上升的高度BC长是米. B 13.已知点P位于第一象限内，0P=6,且OP与y轴正半轴夹角的正弦值为 ，那么点P的坐标是 14.如图，P是反比例函数r-0)图象上的一点，PH上x轴于点H.若OP=5sin∠POH- 5,则 15.如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔45海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段 时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为海里.（参考数据： s如37号cos37*行am87月 3 4 北 个 →东 B 167c 309 60 16.如图，菱形ABCD的边长为6√3，∠A=60°，P为边AB上一动点，连接DP,当DP的长为整数时， AP的长为 3/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A P B 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17.计算： ()4sin60°-V12+(V5-1°； (2)2sin30°+3cos60°-4tan45°. 18.在ABC中，AB=AC,BC=6,sinB= 5 B C (I)求AB的长 (②)延长BC至点D,使CD=4V5-3,连接AD,求∠ADB的度数. 19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. A 6 B (1)若a:c=2:3,求sinA和sinB的值 (2)若sin4=4 ,BC=6,求ABC的周长. 20.(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=√5，求∠A度数. (2)在ABC中，AB=8,∠A=30°，BC=5,求AC长度 21.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，LA、∠B、∠C的对边分别为a、b、c. B A b 4/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)根据锐角三角函数的定义，证明：sin2A+cos2A=1; (2)若sinA= =3,求cosA的值， 22.如图，在水平地面上有两座建筑物AD,BC,其中BC=18m,从A,B之间的E点(A,E,B三点在 同一水平线上)测得D点、C点的仰角分别为75°和30°，从C点测得D点的仰角为30°. 30°C 75 30 (I)求LCDE的度数 (2)求建筑物AD的高度（结果保留根号）. 23.麦积山位于甘肃省天水市麦积区，是小陇山中的一座孤峰，因山形酷似麦垛而得名.麦积山石窟始建 于384-417年，存有221座洞窟、10632身泥塑石雕、1300余平方米壁画，以其精美的泥塑艺术闻名世界， 被誉为东方雕塑艺术陈列馆.某学习小组把测量本城市麦积山（图②）最高点离地面的高度作为一次课题 活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量麦积山最高点离地面的高度 B 示意图 D aEB 图1 图2 如图2，麦积山的最高点B到地面的高度为BA,在测点C用仪器测得点B的仰角为，前进 说明 段距离到达测点E,再用该仪器测得点B的仰角为B,且点A,B,C,D,E,F均在同一竖直 平面内，点A,C,E在同一条直线上. 仪器CD(EF) 测量数 a的度数 B的度数 CE的长度 的高度 5/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 据 37° 45° 47米 1米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出麦积山最高点离地面的高度.（参考数据 sin37°0.6c0s37°≈0.8，an37°≈0.75，sin45°=cos45°= 2 ,tan45°=1,2≈1.414) 24.【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了tanl5°的值. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，作线段AB的垂直平分线交BC于点D,连接AD,则 BD=AD,LBAD=LB=15°，∠ADC=30°.设AC=k,则BD=AD=2k,DC=V2K)-K2=V3k, tanB=tanl5°=AC=k 2-√5 BC2k+V3k(2+5)(2-5) =2-V3 图1 【类比探究】(1)仿照小明的思路，可以计算出tan22.5°= 3 (2)如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠B=a,tana= 4,由上述小明思路的启发，你能算出 tan tan2a 2 人C 图2 【拓展应用】(3)在实际生活中，如图3，为了测量一棵树AB的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测 得仰角为a,nC二&，然后她向后退到D处，测得此时的仰角为号，接着，她向前移动到D,处，测得 此时的仰角变为2α.在此过程中，小红同学的眼晴位置始终保持在同一水平线（即点C、CC,共线且与 地面DB平行)，若小红眼晴到地面的距离为1.6米（即CD=C,D,=C,D2=1.6米），后退与前进的距离之和 为21米（即CC,+CC2=21米），请求出这棵树AB的高度. 6/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 --- 3y -- 2 2 人20 C D D D D D B 图3 25.综合应用 【问题发现】 (1)如图1，在正方形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作AC的垂线， 两条垂线交于点F,连接EF,求证：AE=CF; 【类比探究】 (2)如图2，在矩形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作AC的垂线，两 条垂线交于点F,且tan∠BCF= 5,连接EF,求CE的值： AE 【拓展延伸】 (3)如图3，在(2)的条件下，将E改为直线AC上的动点，其余条件不变，取线段EF的中点M,连接 BM,CM.若AB=25,则当△CBM是直角三角形时，求CF的长 D E 图1 图2 图3 7/7 第一章 直角三角形的边角关系（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知α是锐角，，那么锐角α的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握相关数值是解题关键．根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵ ，且 ，α 是锐角， ∴， 故选：B． 2．在中，，如果，，那么的长为（　　） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查余弦定义，根据余弦定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，即， 解得， 故选：D． 3．如果把的各边长都扩大到原来的4倍，那么锐角A的余弦值（    ） A．扩大到原来的4倍 B．缩小到原来的 C．没有改变 D．无法判断是否发生改变 【答案】C 【分析】本题考查了余弦的定义，分式的性质，掌握“锐角的余弦值等于的邻边与斜边的比值”是解题关键．余弦值是邻边与斜边的比值，各边长扩大相同倍数后，比值不变． 【详解】解：设原中，的邻边为b，斜边为c，则． ∵ 各边长扩大到原来的4倍， ∴ 新邻边为，新斜边为， ∴， 故锐角A的余弦值没有改变． 故选：C． 4．在下列中，可解的直角三角形是（   ） A．已知 B．已知 C．已知 D．已知 【答案】C 【分析】可解的直角三角形是指已知除直角外的两个元素（至少有一个是边），从而可以求出其他所有元素的直角三角形． 【详解】解：A、已知，只已知除直角外的一个元素（边），不满足可解条件，不符合题意； B、已知：，只已知除直角外的一个元素（角），不满足可解条件，不符合题意； C、已知：，知道两条直角边，可根据勾股定理求出斜边，再根据三角函数求出两个锐角，符合题意； D、已知：，仅知道三个角，没有边的长度，无法求出边的长度，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了可解直角三角形的判定，解题关键是明确可解直角三角形需要已知除直角外的两个元素且至少有一个是边． 5．如图，小丽从点出发，沿坡角为的斜坡向上走了150米到达点，则她沿垂直方向升高了（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图所示， 根据题意：，米， 故， 故选：D． 6．在，已知、都是锐角，，那么是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，由题意得：，进而得，推出、即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴； ∴、； ∴； ∴是直角三角形； 故选：B 7．如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作于点D，在中，利用勾股定理求得线段的长，再按照正弦函数的定义计算即可． 本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 根据题意，得， 在中，根据勾股定理，得 ， ∴， 故选：D． 8．光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定律如图1所示：折射率（代表入射角，代表折射角）．小明为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不到物块．图3是实验的示意图，点，，在同一直线上，测得，，．则光线从空气射入水中的折射率的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，勾股定理．过D作于G，则四边形是矩形，利用勾股定理求出，可得，，求解，；代入计算即可． 【详解】解：，，， ， 过D作于G，则四边形是矩形， ，， ， ， ； 折射率． 故选：C． 9．如图，一无人机在建筑物上空点P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大，已知建筑物位于水平地面上，小明从A处出发沿着走了24米后到达点C处，发现无人机正好在他的正上方．无人机，建筑物都与水平面垂直．则建筑物AB的高度为（　　）（参考数据：，，） A．米 B．米 C．25米 D．28米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过点B作于点D，根据题意可得，四边形是矩形，再根据锐角三角函数求出，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，过点B作于点D， 根据题意可知： ， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得 即， 解得． 所以建筑物的高度为25米． 故选：C． 10．魏晋数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，正切函数等；由正方形的性质及相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，，由可判定，由全等三角形的性质得，由正切函数的定义，即可求解；掌握正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：设， 四边形，和都是正方形， ，，，，， ， ， ， 设，则， ， 在和中 ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知是锐角，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 由根据特殊角的锐角三角函数值可得，求出，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 12．如图，某位学生沿着坡度为的斜坡由A到B直行了26米，那么他上升的高度BC长是 米． 【答案】10 【分析】本题考查了坡度的定义及勾股定理的应用，熟练掌握坡度的定义及勾股定理是解题关键． 先根据坡度定义设米，则米；再由勾股定理列出方程，求出进而求出长即可． 【详解】解：， 设米，则米， 由勾股定理得， 即， 解得或（长度不能为负舍去）， 米． 故答案为10． 13．已知点P位于第一象限内，，且与y轴正半轴夹角的正弦值为，那么点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及坐标与图形，解直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，代入，则，然后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，如图：过点P作轴： ∵与y轴正半轴夹角的正弦值为， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 14．如图，P是反比例函数图象上的一点，轴于点H．若，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了反比例函数解析式的求解，解题的关键是找到反比例函数图象上任意一点的坐标． 在中由三角函数得，则，将其代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：在中， ， 点的坐标为． 把代入，解得． 故答案为：12． 15．如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，， 【答案】75 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得，，，海里，进而求出，根据三角形内角和定理进一步求出，最后根据正弦的定义即可求出答案． 【详解】解：如图所示标注字母， 根据题意得，，，海里， ，， ， 在中，， （海里）， 即：此时与灯塔的距离约为75海里． 故答案为：75． 16．如图，菱形的边长为，，为边上一动点，连接，当的长为整数时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题重点考查菱形的性质、直角三角形的性质以及锐角三角函数的应用，熟练掌握菱形的基本性质并灵活构造直角三角形是解题的关键． 通过，确定或，分情况讨论即可． 【详解】菱形的边长为，，为边上一动点， 当垂直轴时，的长最短，最短为，最长为， 所以， 所以当的长为整数时，即或， 当时， ； 当靠近，且时，过向作垂线，垂足为，，， ， 所以； 当靠近，且时，过向作垂线，垂足为，，， ， 所以； 综上，的长为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的混合运算和特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键． （1）利用特殊角的三角函数值、二次根式的化简、零指数幂进行计算即可； （2）代入特殊角的三角函数值，再进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 18．在中， (1)求的长 (2)延长至点D，使，连接，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确添垂线是解题的关键． （1）过点作于点，运用勾股定理以及解即可求解； （2）由于，而，故，； 【详解】（1）解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， ∴，； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．如图，在中，． (1)若，求和的值． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，，由勾股定理得，然后利用三角函数即可求解； （）由，得，由勾股定理得，然后通过三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 20．（1）在中，，求度数． （2）在中，，求长度． 【答案】（1）（2）或 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值求解； （2）通过作高将转化为两个直角三角形，利用角的性质和勾股定理求出相关线段长度，再分两种情况计算的长度． 【详解】解：（1）在中，，， ∴； （2）如图，作于点， 在中，， ∴， ， 在中，， ∴， ∴； 如图，作交的延长线于点， 在中，， ∴， ， 在中，, ∴， ∴； 综上，的长为或． 21．如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 22．如图，在水平地面上有两座建筑物AD，BC，其中．从A，B之间的E点（A，E，B三点在同一水平线上）测得D点、C点的仰角分别为和，从C点测得D点的仰角为． (1)求的度数． (2)求建筑物AD的高度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)建筑物的高度为 【分析】（1）过点作于点，根据题意可得，，，利用三角形内角和分别求和，最后根据角的和差即可求得； （2）过点作于点，由（1）中结论可得，从而可得，然后在和中利用含的直角三角形的性质求得、、，接着在中，可得，从而求得的长度．在中，可得，然后证明四边形是矩形，可得，最后根据线段的和差即可求得． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，则． 由题意，得， ， ． （2）解：如图所示，过点作于点，则， ， ． 在中，． 在中，， ． 在中，， 在中，． ， ∴四边形是矩形， ， ． 故建筑物的高度为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题关键． 23．麦积山位于甘肃省天水市麦积区，是小陇山中的一座孤峰，因山形酷似麦垛而得名．麦积山石窟始建于年，存有座洞窟、身泥塑石雕、余平方米壁画，以其精美的泥塑艺术闻名世界，被誉为东方雕塑艺术陈列馆．某学习小组把测量本城市麦积山（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量麦积山最高点离地面的高度 示意图 说明 如图，麦积山的最高点到地面的高度为，在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点均在同一竖直平面内，点在同一条直线上． 测量数据 的度数 的度数 的长度 仪器（）的高度 米 米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出麦积山最高点离地面的高度．（参考数据 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，延长，交于点，由四边形和四边形是矩形可得米，米，设米，分别解和可得米，米，进而由米得到，解方程求出的值即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，延长，交于点，则， 由题意可知，四边形和四边形均为矩形， ∴米，米， 设米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∵米， ∴， 解得， ∴米， 答：麦积山最高点离地面的高度为米． 24．【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】（1）仿照小明的思路，可以计算出______________． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____________．_______________． 【拓展应用】（3）在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处 ，测得此时的仰角为 ，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为米（即米），后退与前进的距离之和为21米（即米），请求出这棵树的高度． 【答案】（1）；（2），；（3）米 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用． （1）如图，，，在上截取，设，可得，进一步求解即可． （2）如图，作的角平分线，在上截取，设，则，可得，进一步求解即可．如图，在中，，设，，在上截取，设，则，设，利用，可得：，进一步求解即可． （3）如图，延长交于，结合题意可得：，，，，结合，，，设，，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）如图，，，在上截取， ∴， ∴， 设， ∴， ∴． （2）如图，作的角平分线，在上截取， ∴，， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在中，，设，， 在上截取， ∴，， ∵， ∴设，则，设， ∴， 解得：， ∴， ∴． （3）如图，延长交于， 结合题意可得：，，，， ∵， ∴， 同理：， ∵，，， 设，， ∴，，，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴，即树的高度为米． 25．综合应用 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，．若，则当是直角三角形时，求的长． 【答案】 （1）证明过程见解析； （2）的值为； （3）的长为或． 【分析】（1）由正方形性质，结合同角的余角相等，证明，从而可证得结论； （2）由矩形的性质，结合同角的余角相等，可得，，可得，证明，对应边成比例，即可得的值； （3）由（2）结合已知可得，利用得到，利用直角三角形性质得到， ，进而得到，由是直角三角形，可得，设，则，按照点在线段上和点在延长线上，分类讨论，结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值为． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵，，为的中点， ∴，， ∴， 由是直角三角形，可得， ∴， ∴， ∴， 设，则， 当在线段上时，， ∵， ∴， ∴ ∴或（不合题意，舍去）， 当在延长线上时， ，，， ， ， ， ， （不合题意，舍去）或， 综上所述，的长为或． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $