第3章 一次方程（组） （高效培优单元测试·强化卷）数学湘教版2024七年级上册

第3章 一次方程（组） 单元测试卷·强化卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．下列式子中，是一元一次方程的有（    ） A． B． C． D． 2．下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．若是关于的方程的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么的值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时，现先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合作．完成整个工程一共需要多少小时？若设一共需要x小时，则所列的正确的方程是（    ） A． B． C． D． 6．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 7．已知关于，的方程组，对于下列结论不正确的是（    ） A．当时，方程组的解也是方程的解 B．当时， C．取任意实数，的值始终不变 D．取任意实数，都不能使成立 8．已知关于x的方程有正整数解，则整数a的所有可能的取值的积为（     ） A． B． C．45 D． 9．在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 10．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示， 每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现填入如图2所示的 “幻方” 中，部分数据已填入，则图中的值为（    ）      A． B．5 C． D．7 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．已知关于、的方程是二元一次方程，则 ． 12．已知关于的方程的解比方程的解大，则 ． 13．若的结果是最大的负整数，则的值为 ． 14．若关于x，y的二元一次方程组的解是二元一次方程2x+3y＝10的解，则x﹣y的值是 ． 15．某次数学竞赛共有25道题，做对一道得4分，做错一道或者不做扣2分．某同学得分为88分．设他做对道题，可列方程为 ． 16．若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是 ． 17．有两种消费券：券，满元减元，券，满元减元，即一次购物大于等于元、元，付款时分别减元、元．小敏有一张券，小聪有一张券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款元，则所购商品的标价是 元 18．已知关于的方程有无数个解，则的值为 ． 三、解答题：（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．解下列方程组． (1) (2) 20．利用一元一次方程解决实际问题：     (1)小轩今年12岁，妈妈今年40岁，_____________年后，小轩年龄是妈妈的一半． (2)一件衣服按成本提价然后打八折卖出，最后赚了8元，则这件衣服卖出价是_____________元． (3)鸡兔同笼，共有35个头，100条腿，求鸡兔各几只． (4)如图1是边长为12的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知长方体的宽是高的2倍，求长方体的体积． 21．【问题呈现】 期中复习时，小斌同学对书本关于有理数的定义“整数和分数统称为有理数”这句话有疑义，于是找王老师提出疑问“有限小数可以化成分数，但无限循环小数能化成分数吗？为什么它是属于有理数？” 王老师以无限循环小数为例，带着小斌同学做了以下的验证： 设， 由于，其循环节有1位， ． 通过王老师的解答，小斌同学发现循环节有1位的无限循环小数可以写成分数的形式，于是提出了新的疑问“循环节有2位，3位的无限循环小数是不是也可以写成分数的形式？” 【问题探究】 （1）请你用无限循环小数，帮助小斌同学初步验证循环节有2位的无限循环小数是否可以写成分数的形式？（注：写出解答过程） 【拓展迁移】 （2）通过对无限循环小数的化简，小斌同学进一步发现了另一类无限循环小数也可以写成分数，如，，，，…，请你选择上述给出的无限循环小数中的一个，并将其化成分数的形式． 22．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元. (1)表中的值为________； (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电的平均电价为元/度，求老李家8月份的用电量. 23．甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，若甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道时，共用时间4天． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？ (2)已知该段隧道挖掘工程为600米，甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好102万元，求甲工程队应先单独挖掘多少天？ 24．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件售价为 元，每件乙种商品利润率为 ； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 25．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，、满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为_________，点表示的数为_______，线段的长为_______． (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______________． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向终点移动；当点出发秒后，点也从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动，设点移动的时间为秒，问：当为多少时： ①、两点相距个单位长度； ②、两点到原点的距离相等． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 一次方程（组） 单元测试卷·强化卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．下列式子中，是一元一次方程的有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，故A符合题意； B．，不是一元一次方程，故B错误； C．属于代数式，不是方程，故C不符合题意； D．含有两个未知数，属于二元一次方程，不是一元一次方程，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程只有一个未知数且次数为1是解答本题的关键． 2．下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质：基本性质1：等式两边同时加(或减)同一个数(或式子)，所得结果仍是等式；基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数), 所得结果仍是等式．据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A、若，则，此选项判断错误，不符合题意； B、若，，则，此选项判断错误，不符合题意； C、若，则，此选项判断错误，不符合题意； D、若，则，此选项判断正确，符合题意； 故选：D． 3．若是关于的方程的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，已知方程的解求参数，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 根据方程的解的定义得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 解得：， 故选：A． 4．解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么的值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】先将两组解代入方程组中的第一个方程可得关于的方程组，解方程组可得的值，再将代入方程组中的第二个方程可得的值，然后代入计算即可得． 【详解】解：由题意，将和代入方程得：， 解得， 将代入得：，解得， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 5．一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时，现先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合作．完成整个工程一共需要多少小时？若设一共需要x小时，则所列的正确的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设一共需要x小时，则乙工作（x﹣5）小时，总工作量为单位“1”，根据共需要x小时完成任务，列方程即可． 【详解】解：设一共需要x小时，则乙工作（x﹣5）小时， 由题意得，5+（）（x﹣5）＝1． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 6．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，仿照已知方程组的解确定出所求方程组x，y的关系，再联立解出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解为：， 解得， 故选：C． 7．已知关于，的方程组，对于下列结论不正确的是（    ） A．当时，方程组的解也是方程的解 B．当时， C．取任意实数，的值始终不变 D．取任意实数，都不能使成立 【答案】D 【分析】用加减消元法解二元一次方程组，再分别验证选项即可； 【详解】， 得：， 将代入得：， 当时，，， ∴，故A说法正确，不符合题意； 当时，， 解得：，故B说法正确，不符合题意； ∵，故C说法正确，不符合题意； 当时，， 解得：，故D说法不正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了与二元一次方程组的解有关的计算，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 8．已知关于x的方程有正整数解，则整数a的所有可能的取值的积为（     ） A． B． C．45 D． 【答案】C 【分析】先去分母，再去括号，可得，然后分两种情况：当时，当时，再由是正整数，可求出整数a的所有可能的取值，即可求解． 【详解】解： ， 去分母得：， 去括号得：， ∴， 当时，不成立， 当时，解得： ， ∵是正整数， ∴或时，x的解都是正整数， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键． 9．在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 【答案】D 【分析】本题考查了求方程组的正整数解，根据题意列出方程，并确定方程组的解为正整数是解题关键．设购买、、三种奖品分别为个，根据题意列方程得，化简后根据均为正整数，结合种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可． 【详解】解：设购买、、三种奖品分别为个， 根据题意列方程得， 即， 由题意得均为正整数． ①当时， ， 分别取，，，，，，，共种情况时，为正整数； ②当时， ， 可以分别取，，，，，共种情况，为正整数； 综上所述：共有种购买方案． 故选：D． 10．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示， 每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现填入如图2所示的 “幻方” 中，部分数据已填入，则图中的值为（    ）      A． B．5 C． D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，求出每个三角形顶点数字的和是解题的关键． 设每个三角形的三个顶点上的数字之和为x，列方程求出的值x，再根据题意得出的值即可． 【详解】解：设每个三角形的三个顶点上的数字之和为x， 根据题意列方程得，，解得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．已知关于、的方程是二元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】根据二元一次方程的定义可得，且，然后求解即可解答． 【详解】解：， 由题意得：，且， 解得． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，且两个未知数的次数都为1，这样的整式方程叫二元一次方程． 12．已知关于的方程的解比方程的解大，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程及方程的解，先求出方程的解，即得方程的解，再代入方程即可求出的值，掌握解一元一次方程的方法及方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：解方程，得， ∵方程的解比方程的解大， ∴方程的解是， 把代入方程得， 解得， 故答案为：． 13．若的结果是最大的负整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程，代数式，有理数的知识，解题的关键是掌握最大的负整数为，则，得到，即可． 【详解】解：∵的结果是最大的负整数， ∴， 解得：． 故答案为：． 14．若关于x，y的二元一次方程组的解是二元一次方程2x+3y＝10的解，则x﹣y的值是 ． 【答案】4 【分析】先用加减消元法解二元一次方程组，再将所求的解代入二元一次方程中，求出k的值，从而确定x、y的值即可求解． 【详解】解：， ①﹣②得，5y＝k， 解得y＝， 将y＝代入②得，x＝， ∴方程组的解为， 将代入二元一次方程2x+3y＝10， 可得 2×+3×＝10， 解得k＝2， ∴x＝，y＝， ∴x﹣y＝﹣＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，解一元一次方程是解题的关键． 15．某次数学竞赛共有25道题，做对一道得4分，做错一道或者不做扣2分．某同学得分为88分．设他做对道题，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据得分为88分列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 16．若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键；将代入中，化简得到，由不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是可知，k的值对方程没有影响，即可得到，求解即可． 【详解】不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是， ， ， ， ，， ，， ． 故答案为：． 17．有两种消费券：券，满元减元，券，满元减元，即一次购物大于等于元、元，付款时分别减元、元．小敏有一张券，小聪有一张券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款元，则所购商品的标价是 元 【答案】或/80或95 【分析】设所购商品的标价是元，然后根据两人共付款元的等量关系，分所购商品的标价小于元和大于元两种情况，分别列出方程求解即可． 【详解】解：设所购商品的标价是元，则 ①所购商品的标价小于元， ， 解得； ②所购商品的标价大于元， ， 解得． 故所购商品的标价是或元． 故答案为或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键． 18．已知关于的方程有无数个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解．根据题意，先将方程整理为的形式，再根据其有无数个解即可． 【详解】解：由得 关于的方程有无数个解 ， ． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．解下列方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键： （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把①代入②，得：，解得：； 把代入①，得：； ∴方程组的解为：； （2）原方程组转化为： ，得：，解得：； 把代入③，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 20．利用一元一次方程解决实际问题：     (1)小轩今年12岁，妈妈今年40岁，_____________年后，小轩年龄是妈妈的一半． (2)一件衣服按成本提价然后打八折卖出，最后赚了8元，则这件衣服卖出价是_____________元． (3)鸡兔同笼，共有35个头，100条腿，求鸡兔各几只． (4)如图1是边长为12的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知长方体的宽是高的2倍，求长方体的体积． 【答案】(1)16 (2)208 (3)有鸡20只，兔子15只 (4) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键： （1）设年后小轩年龄是妈妈的一半，则年小轩年龄为岁，妈妈年龄为岁，由小轩年龄是妈妈的一半建立方程即可； （2）设成本为元，先算出提价再打折后的价格减去成本记为利润，即可建立方程； （3）设有只鸡，则有只兔子，根据腿总数为100条建立方程； （4）设该长方体的高为，则长方体的宽为，利用展开图得到，然后解方程得到x的值，从而得到该长方体的高、宽、长，于是可计算出它的体积． 【详解】（1）解：设年后小轩年龄是妈妈的一半， 由题意得：， 解得：， 故答案为：16； （2）解：设成本为元，由题意得： ， 解得：， ∴卖出的价格为：元， 故答案为：208； （3）解：设有只鸡，则有只兔子， 由题意得：， 解得：， ∴兔子有只， 所以有鸡20只，兔子15只； （4）解：设该长方体的高为，则长方体的宽为，长为 由题意得， 解得， ∴该长方体的高为，则长方体的宽为4cm，长为， ∴它的体积为． 21．【问题呈现】 期中复习时，小斌同学对书本关于有理数的定义“整数和分数统称为有理数”这句话有疑义，于是找王老师提出疑问“有限小数可以化成分数，但无限循环小数能化成分数吗？为什么它是属于有理数？” 王老师以无限循环小数为例，带着小斌同学做了以下的验证： 设， 由于，其循环节有1位， ． 通过王老师的解答，小斌同学发现循环节有1位的无限循环小数可以写成分数的形式，于是提出了新的疑问“循环节有2位，3位的无限循环小数是不是也可以写成分数的形式？” 【问题探究】 （1）请你用无限循环小数，帮助小斌同学初步验证循环节有2位的无限循环小数是否可以写成分数的形式？（注：写出解答过程） 【拓展迁移】 （2）通过对无限循环小数的化简，小斌同学进一步发现了另一类无限循环小数也可以写成分数，如，，，，…，请你选择上述给出的无限循环小数中的一个，并将其化成分数的形式． 【答案】（1）循环节有2位的无限循环小数可以写成分数；（2）我选择， 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设，则，然后作差解方程即可； （2）选择，设，则，，然后作差后解方程即可． 【详解】解：（1）可以，过程如下： 设，则， 那么， 解得：， 即； （2）选择， 设，则，， 那么， 解得：， 即． 22．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元. (1)表中的值为________； (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电的平均电价为元/度，求老李家8月份的用电量. 【答案】(1) (2)300 (3)800 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解分档用电量的计算是解题的关键． （1）利用电费=电价×月用电量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值． （2）设老李家9月份的用电量为x度，先求出月用电量为240度时的电费，由该值小于183，可得出，再利用电费超过240度的部分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． （3）设老李家8月份的用电量为y度，根据8月份老李家用电的平均电价为元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）依题意得：， 解得：． 故答案为：． （2）设老李家9月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴． 依题意得：， 解得：． 答：老李家9月份的用电量为300度． （3）．∵三个档次的平均价格为（元），8月份老李家用电的平均电价为元/度， ∴老李家8月份用电量一定超过400度， 设老李家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：． 答：老李家8月份的用电量为800度． 23．甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，若甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道时，共用时间4天． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？ (2)已知该段隧道挖掘工程为600米，甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好102万元，求甲工程队应先单独挖掘多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米 (2)8天 【分析】本题考查一元一次方程的应用．理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米，根据甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道，共用时间4天，列方程求解即可； （2）设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘天，根据总费用刚好102万元，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米，根据题意，得 解得： ∴ 答：甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米． （2）解：设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘天，根据题意，得 解得： 答：甲工程队应先单独挖掘8天． 24．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件售价为 元，每件乙种商品利润率为 ； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)60， (2)购进甲商品40件，乙商品10件 (3)13或14件 【分析】（1）根据题意直接列式计算即可； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，然后根据题意列一元一次方程求解即可； （3）设第一天购买乙种商品a件，设第二天购买甲种商品b件，然后分别列方程求得，最后求和即可． 【详解】（1）解：（元）， 所以甲种商品每件售价为60元，每件乙种商品利润率为． 故答案为：60，． （2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 由题意得，， 解得：，则． 答：购进甲商品40件，乙商品10件． （3）解：设第一天购买乙种商品a件， 依题意得，， 解得或4.5（舍去）， 所以第一天购买乙种商品5件． 设第二天购买甲种商品b件， 依题意得，， 解得或9， 所以第二天购买甲种商品8或9件， （件）或（件）． 答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共13或14件． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意、找准等量关系、正确列出方程是解答本题的关键． 25．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，、满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为_________，点表示的数为_______，线段的长为_______． (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______________． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向终点移动；当点出发秒后，点也从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动，设点移动的时间为秒，问：当为多少时： ①、两点相距个单位长度； ②、两点到原点的距离相等． 【答案】(1)，， (2)或 (3)①秒；②秒或秒 【分析】本题考查数轴上的动点问题，绝对值的性质，非负数的性质，解题的关键是分类讨论． （1）根据非负数的性质可得和的值，再利用两点间的距离公式可得线段的长； （2）设点在数轴上表示的数为，则，，再根据题意列出方程即可求解； （3）①经过后，点表示的数为，点表示的数为，分情况讨论：点在点的左侧时；点在点的右侧时；根据题意列方程即可求解；②经过后，点表示的数为，点表示的数为，根据题意可得：，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 点表示的数为，点表示的数为，线段的长为， 故答案为：，，； （2）设点在数轴上表示的数为，则，， ， ， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（不合题意，舍去）， 综上所述，点在数轴上表示的数为或， 故答案为：或； （3）①经过后，点表示的数为，点表示的数为， 分情况讨论： 情况一：点在点的左侧时， ， 解得：； 情况二：点在点的右侧时， ， 解得：， 又， 当点从点到达点的时间为：， ， 舍去； 综上所述，当为秒时，、两点相距个单位长度； ②经过后，点表示的数为，点表示的数为， ，， 根据题意得：， 即， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（舍去）； 综上所述，当为秒或秒时，、两点到原点的距离相等． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$