第一章 直线与圆 章末综合提升-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“直线与圆”，涵盖方程求解、位置关系等核心知识，通过知识整合回顾基础，题型探究以光线反射、圆的方程求解等例题搭建从基础到综合应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是分层设计（巩固层、提升层）与系统测评，结合几何法与代数法培养数学思维，例题步骤规范用数学语言表达，助力学生提升推理与应用能力，教师可直接用于教学和测评，提高效率。

第一章　直线与圆 章末综合提升 巩固层·知识整合 章末综合提升 提升层·题型探究 类型1　求直线方程 求直线方程时，注意其适用条件： (1)点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线． (2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线． (3)一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0． 章末综合提升 【例1】　从点P(3，－2)发出的光线l，经过直线l1：x＋y－2＝0反射，若反射光线的反向延长线恰好经过点Q(5，1)，求l的方程． [思路点拨]　已知点P在l上，只需在直线l上再求出一个点即可． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 [解]　设点P(3，－2)关于l1：x＋y－2＝0对称的点P1的坐标为(x，y)，则直线l1为线段PP1的垂直平分线，可得方程组 解得 即P1(4，－1)． 于是直线P1Q的方程为2x－y－9＝0． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 设直线l1与直线P1Q交于A， 联立解得A． 又直线l经过点P，点A， 于是l的方程为x－2y－7＝0． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 类型2　求圆的方程 利用待定系数法求圆的方程： (1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，进而求出a，b，r的值． (2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 【例2】　(1)以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为 (　　) A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2　　 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8 (2)在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(　　) A．x2＋(y－1)2＝4　 B．x2＋(y－1)2＝2 C．x2＋(y－1)2＝8 　 D．x2＋(y－1)2＝16 √ √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 (1)B　(2)B　[(1)直径的两端点分别为(0，2)，(2，0)，∴圆心为(1，1)，半径为，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2． (2)由直线x－by＋2b＋1＝0可得该直线过定点A(－1，2)，设圆心为B(0，1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，则rmax＝|AB|＝＝，所以半径最大的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2．故选B．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 类型3　直线与圆的方程的应用 直线与圆位置关系的判断方法 (1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r．若d<r，则直线和圆相交；若d＝r，则直线和圆相切；若d>r，则直线和圆相离． (2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离． 提醒：研究直线与圆位置关系综合问题时易忽视直线斜率k不存在情形，要注意作出图形进行判断． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 【例3】　(1)已知直线ax＋y＋2－a＝0与圆C：x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．2　 　　B．3　　 　C．4　　 　D．6 (2)已知圆C：x2＋y2＋4x＋2y－11＝0，过点P(2，1)作圆C的切线m，则m的方程为(　　) A．x＝2 B．3x＋4y－10＝0 C．3x＋4y－10＝0或x＝2 D．3x＋4y－10＝0或3x－4y－2＝0 √ √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 (1)C　(2)C　[(1)设直线为l：ax＋y＋2－a＝0，即l：a(x－1)＋y＋2＝0，易知l过定点P(1，－2)，圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝5，所以圆心为C(0，－2)，半径为，且点P在圆C内．因为当PC⊥AB时，圆心C到直线l的距离最大，此时|AB|取得最小值，易得|PC|＝|xP－xC|＝1，所以|AB|＝2＝4，故选C． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 (2)将圆C：x2＋y2＋4x＋2y－11＝0化为标准方程(x＋2)2＋(y＋1)2＝16，则圆心C(－2，－1)，半径r＝4，因为(2＋2)2＋(1＋1)2＝20＞16，所以P在圆外． 当切线m的斜率不存在时，切线m的方程为x＝2，此时直线m与圆C相切； 当切线m的斜率存在时，设切线m的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，由题意知，4＝，解得k＝－. 此时切线m的方程为3x＋4y－10＝0. 综上，切线m的方程为x＝2或3x＋4y－10＝0. 故选C.] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 章末综合测评(一)　直线与圆 16 17 18 19 (满分：150分　时间：120分钟) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若直线过点，则此直线的倾斜角是(　　) A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90° A　[由k＝＝，得直线的倾斜角为30°．] 14 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2．若两直线ax＋2y＝0和x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，则a的值是 (　　) A．－1或2 　 B．－1 C．2 　 D． √ C　[由a(a－1)－1×2＝0，得a＝－1或2， 经检验a＝－1时，两直线重合，所以a＝2．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 15 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3．圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　) A． 　 B．2 C．3 　 D．3 √ D　[化圆的方程为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以该圆的圆心(1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为＝＝3．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 16 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4．若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A． 　 B．－ C．1 　 D．－1 √ A　[若直线是圆的对称轴，则直线过圆心坐标(a，0)，所以由2a＋0－1＝0，解得a＝．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 17 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5．以A，B为端点的线段的垂直平分线方程是(　　) A．3x－y－8＝0 　 B．3x＋y＋4＝0 C．3x－y＋6＝0 　 D．3x＋y＋2＝0 √ B　[∵kAB＝＝， AB的中点坐标为(－2，2)， ∴所求直线方程为y－2＝－3(x＋2)，即3x＋y＋4＝0． 故选B．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 18 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为 (　　) A． 　 B．2 C． 　 D．2 √ D　[由题意得直线方程为y＝x，圆的方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心到直线的距离d＝＝1，弦长|AB|＝2＝2．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 19 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m＝(　　) A．±2 　 B．± C．± 　 D．±3 √ C　[数形结合，m为直线在y轴上的截距，m＝±＝±．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 20 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8．不论a为何数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过(　　) A．第一象限 　 B．第二象限 C．第三象限 　 D．第四象限 √ D　[由(a－3)x＋2ay＋6＝0，得(x＋2y)a＋(6－3x)＝0． 令得 ∴直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过定点(2，－1)．从而该直线恒过第四象限．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 21 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列过点的直线方程是(　　) A．y－2＝k(x＋1) 　 B．k＝ C．x＋1＝0 　 D．y－2＝0 √ ACD　[经检验，只有B不正确．] √ √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 22 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且||＝||，其中O为原点，则实数a的值可能为(　　) A．2 　 B．－2 C． 　 D．－ √ √ AB　[由||＝||，得OA⊥OB，又|OA|＝|OB|，∴△OAB是等腰直角三角形，∴圆心到直线x＋y＝a即x＋y－a＝0的距离d＝r，即＝×2，解得a＝±2．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 23 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11．已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则 (　　) A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 √ √ √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 24 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ACD　[设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋＜5＋＝10，故A正确． 易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4＜－4＝1，故B不正确． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 25 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q， 如图所示，连接MB，MN，MQ， 则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝ ＝＝3， 当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3， 故C，D都正确．综上，选ACD．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 26 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________． 8　[圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1， 圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，∴|C1C2|＝5． 又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点， ∴线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8．] 8 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 27 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13．已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值_______________________________． 2(2，－2，，－中任意一个均可)　[设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径R＝2，圆心C到直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2＝．由S△ABC＝，得＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±．故答案可以为2．] 2(2，－2，，－中任意一个均可) 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 28 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则|OP|的最小值为________；四边形PAOB面积的最小值为______． 2　8　[如图所示，因为S四边形PAOB＝2S△POA．又OA⊥AP，所以 S四边形PAOB＝2×|OA|·|PA| ＝2 ＝2． 2 8　 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 29 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小， 即为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离|OP|min＝＝2． 故所求最小值为2＝8．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 30 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值． (1) l1⊥l2且l1过点(－3，－1)； (2) l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 31 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0，① 又l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0．② 解①②组成的方程组得 (2)∵l2的斜率存在，l1∥l2， ∴直线l1的斜率存在． ∴k1＝k2，即＝1－a．③ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 32 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l1∥l2， ∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数， 即＝－(－b)．④ 由③④联立，解得或 经检验此时的l1与l2不重合，故所求值为 或 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 33 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16．(15分)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l1：x＋y－4＝0平行； (2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直； (3)过切点A(4，－1)． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)设切线方程为x＋y＋b＝0(b≠－4)， 则＝，∴b＝1±2， ∴切线方程为x＋y＋1±2＝0． (2)设切线方程为2x＋y＋m＝0， 则＝， ∴m＝±5， ∴切线方程为2x＋y±5＝0． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)∵kAC＝＝， ∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3， ∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17．(15分)已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x所截得的弦长为2，求该圆的方程． [解]　法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a，a)， 又所求圆与y轴相切， ∴半径r＝3|a|， 又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2， 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝， ∴d2＋()2＝r2， 即2a2＋7＝9a2， ∴a＝±1． 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9， 即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为， ∴r2＝＋7，即2r2＝(a－b)2＋14．① 由于所求圆与y轴相切， ∴r2＝a2，② 又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上， ∴a－3b＝0，③ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 联立①②③，解得 或 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9， 即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 法三：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心坐标为， 半径r＝． 在圆的方程中，令x＝0， 得y2＋Ey＋F＝0． 由于所求圆与y轴相切， ∴Δ＝0，则E2＝4F．① 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 圆心到直线y＝x的距离为d＝， 由已知得d2＋()2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．② 又圆心在直线x－3y＝0上， ∴D－3E＝0．③ 联立①②③，解得或 故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18．(17分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于点P，Q， (1)求直线PQ的方程； (2)求线段PQ的取值范围． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)依题意，A，P，C，Q四点共圆，其中线段AC是该圆的直径，故该圆的方程为x＋y＝0， 所以直线PQ的方程为x0x－3y＋7＝0． (2)由圆的弦长公式得＝＝， 所以线段PQ的取值范围是． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19．(17分)已知圆C的圆心在直线l：2x－y＝0上，且与直线l1：x－y＋1＝0相切． (1)若圆C与圆x2＋y2－2x－4y－76＝0外切，试求圆C的半径； (2)满足已知条件的圆显然不止一个，但它们都与直线l1相切，我们称l1是这些圆的公切线．这些圆是否还有其他公切线？若有，求出公切线的方程，若没有，说明理由． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)设圆C的圆心坐标为(a，2a)， 则半径r＝＝， 两圆的圆心距为＝|a－1|＝r， 因为两圆外切， 所以r＝r＋9， 所以r＝＋1． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)如果存在另一条切线，则它必过l与l1的交点(1，2)， ①若斜率不存在，则直线方程为x＝1， 圆心C到它的距离|a－1|＝r＝， 由于方程需要对任意的a都成立，因此无解， 所以它不是公切线． ②若斜率存在，设公切线方程为y－2＝k(x－1)， 则d＝＝r＝对任意的a都成立， ＝＝， 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 两边平方并化简得k2－8k＋7＝0， 解得k＝1或k＝7， 当k＝1时，直线与l1重合， 当k＝7时，直线方程为7x－y－5＝0， 故还存在一条公切线， 其方程为7x－y－5＝0． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 $