专题03 直线与圆综合大题14大考点30题（高效培优期中专项训练）高二数学上学期北师大版

专题03 直线与圆综合大题 考点01 判断直线与圆的位置关系（共2小题）（重点） 1 考点02 与圆有关的轨迹问题（共2小题） 1 考点03 弦长问题（共3小题）（重点） 2 考点04 面积问题（共2小题）（难点） 2 考点05 圆过定点问题（共2小题）（难点） 3 考点06 圆中直线过定点问题（共2小题）（难点） 3 考点07 定值问题（共2小题）（难点） 4 考点08 定直线问题(共2小题)（难点） 4 考点09 圆的切线问题（共2小题）（重点） 5 考点10 两圆公共弦问题（共2小题） 5 考点11 两圆公切线问题(共2小题) 6 考点12 存在性问题(共2小题)（难点） 6 考点13 实际应用题（共2小题）（难点） 6 考点14 新定义题（共3小题）（难点） 7 考点01 判断直线与圆的位置关系（共2小题） 1．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）已知圆，直线，直线，. (1)探求与是否垂直； (2)若，判断与圆的位置关系； 2．（24-25高二上·北京昌平·期末）已知圆. (1)过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的方程； (2)判断直线与圆的位置关系，并说明理由. 考点02 与圆有关的轨迹问题（共2小题） 3．（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知射线和，棍棒的两端分别在射线和上滑动，． (1)求的最大值； (2)设为的中点，求的取值范围； (3)设为的中点，求点的轨迹． 考点03 弦长问题（共3小题） 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，圆． (1)若直线是圆的一条对称轴，求的值； (2)从①若直线被圆截得的弦长为4，②若直线被圆截得的弦长最短这两个条件中选择一个作为已知，求直线的方程． 注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 6．（25-26高二上·全国·期中）已知定点，点为圆上的动点，为的中点． (1)求的轨迹方程； (2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 7．（25-26河北保定市大数据应用调研）已知圆C经过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)若点在圆C上，求的最大值与最小值； (3)过原点的直线l交圆C于M，N两点，若，求直线l的方程． 考点04 面积问题（共2小题） 8．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线与相交于点，且. (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线与交于两点，以线段为直径的圆经过坐标原点. （ⅰ）证明：直线与圆相切； （ⅱ）求面积的最小值. 9．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知曲线. (1)点在曲线上，求点的横坐标的取值范围； (2)为坐标原点，直线与曲线交于两点. (i)若，求面积的最大值； (ii)若，求证:与圆心为的定圆相切. 考点05 圆过定点问题（共2小题） 10．（24-25高三上·云南·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的3倍．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设曲线与轴的负半轴交于点为坐标原点，若点不在轴上，直线分别与直线交于两点，探究以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 11．（2021高二·江苏·专题练习）已知圆，直线l的方程为，点P是直线l上一动点，过点P作圆的切线PA、PB，切点为A、B. (1)当P的横坐标为时，求的大小； (2)求四边形PAMB面积的最小值； (3)求证：经过A、P、M三点的圆N必过定点，并求出所有定点的坐标. 考点06 圆中直线过定点问题（共2小题） 12．（24-25高二上·贵州·期中）设，，，，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点． (1)求圆的方程； (2)若圆上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； (3)设斜率为k直线l与圆相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点． 13．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆交于两点，且． (1)求． (2)过上且在圆外的一动点作圆的两条切线，切点分别为． （i）当点的坐标为时，求点的坐标； （ii）证明：直线过定点． 考点07 定值问题（共2小题） 14．（24-25高二上·湖北·期中）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线 (1)求曲线的方程 (2)过点作直线交曲线于两个不同的点，，且不过曲线的中心，再过点，分别作曲线的切线，两条切线交于点，求证：点在同一直线上，并求出该直线的方程 (3)斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点，，直线，的斜率分别为，，且.若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值 15．（24-25高二上·湖北荆州·期中）已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点. (1)当时，求的长； (2)是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由； (3)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.并计算出定值. 考点08 定直线问题(共2小题) 16．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆，直线与圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足分别为分别异于. (1)求实数的取值范围; (2)若，用含的式子表示四边形的面积; (3)当时，若直线和直线交于点，证明点在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程. 17．（24-25高二上·四川广安·期中）平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于P，Q两点，且P，Q不在y轴上, ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于E，F两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线，相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 考点09 圆的切线问题（共2小题） 18．已知圆的方程为. (1)求使得圆的面积最小的的值； (2)过点作满足（1）中条件的圆的切线，切点分别为，，求直线的方程. 19．（2025高二·全国·专题练习）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 考点10 两圆公共弦问题（共2小题） 20．已知圆，圆. (1)若圆与圆恰有三条公切线，求实数的值； (2)设时，圆与圆相交于、两点，求. 21．（25-26高二上·四川内江·开学考试）过点的圆的两条切线，切点为，求： (1)求切线的方程； (2)求切线段的长度． 考点11 两圆公切线问题(共2小题) 22．已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求圆与圆的公切线的交点的坐标，并求公切线方程. 23．已知圆，圆交于两点，在第二象限． (1)求以为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 考点12 存在性问题(共2小题) 24．已知两定点，，动点M满足，其轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)是否存在斜率为的直线l，使得以l被曲线C截得的弦PQ为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由. 25．（24-25高二上·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，四点都在圆上. (1)求圆的方程； (2)已知为坐标原点，点，圆上是否存在点，满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 考点13 实际应用题（共2小题） 26．某高速公路隧道内设双行线公路，某截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成，已知隧道总宽度米，行车道总宽度米，和为相对的两个车道，侧端面米，弧顶高米. (1)求圆弧所在圆的半径的长度； (2)为进一步保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米，则该隧道应规定的车辆限制高度为多少米. 27．某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 考点14 新定义题（共3小题） 28．（24-25高二上·四川成都·期中）已知与轴分别相交于，过点的直线交圆于． (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积取得最大值时，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在一点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由； (3)在圆上任取一点，过作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段 的中点的轨迹记为曲线，曲线与直线交于，直线与直线相交于，在定直线上，直线与直线相交于，在定直线上，判断直线，的位置关系，并注明． 29．（24-25高二上·重庆·期中）已知二次曲线表示圆的充要条件为，且.关于二次曲线，有以下结论：若，，，为平面内三条直线，且，，，则过，，三点的二次曲线系方程为（，为参数）.若，，，为平面内四条直线，且，，，，则过四点的二次曲线系方程为（为参数）. (1)若三角形三边所在直线方程分别为：，，.求该三角形的外接圆方程. (2)记（1）中所求的外接圆为，直线与交于，两点（在第一象限），直线与交于，两点（在第二象限），直线交轴于点，直线交轴于点，直线与直线交于点. （i）求证：； （ii）求的最小值. 30．（24-25高二上·河南濮阳·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作. (1)已知点和点，直线：，求和. (2)已知圆C：和圆E：. （i）若两圆心的切比雪夫距离，判断圆C和圆E的位置关系； （ii）若，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线为，直线为，证明：. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线与圆综合大题 考点01 判断直线与圆的位置关系（共2小题）（重点） 1 考点02 与圆有关的轨迹问题（共2小题） 3 考点03 弦长问题（共3小题）（重点） 6 考点04 面积问题（共2小题）（难点） 9 考点05 圆过定点问题（共2小题）（难点） 12 考点06 圆中直线过定点问题（共2小题）（难点） 15 考点07 定值问题（共2小题）（难点） 18 考点08 定直线问题(共2小题)（难点） 22 考点09 圆的切线问题（共2小题）（重点） 26 考点10 两圆公共弦问题（共2小题） 27 考点11 两圆公切线问题(共2小题) 29 考点12 存在性问题(共2小题)（难点） 31 考点13 实际应用题（共2小题）（难点） 32 考点14 新定义题（共3小题）（难点） 35 考点01 判断直线与圆的位置关系（共2小题） 1．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）已知圆，直线，直线，. (1)探求与是否垂直； (2)若，判断与圆的位置关系； 【答案】(1)答案见解析 (2)相离 【分析】（1）根据两直线垂直的判定方法求解讨论即得； （2）求出圆的圆心到直线的距离与圆的半径作比较即可判断； 【详解】（1）因为， 若，则与垂直； 若，则与不垂直. （2）当时，，圆， 则圆的圆心为，半径为， 因圆心到直线的距离为， 与圆相离. 2．（24-25高二上·北京昌平·期末）已知圆. (1)过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的方程； (2)判断直线与圆的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)或. (2)直线与圆相交，理由见解析 【分析】（1）易知直线符合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程，利用点线距公式和几何法求弦长建立关于的方程，解之即可求解； （2）法一：求出直线恒过定点，将定点代入圆的方程，结合点与圆的位置关系即可下结论； 法二：利用点线距公式，结合直线与圆的位置关系计算即可下结论. 【详解】（1）由圆可得，圆心，半径. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为. 圆心到直线的距离为， 此时，符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即. 圆心到直线的距离为. 因为，所以.所以. 解得.所以直线的方程为，即. 综上，所求直线的方程为或. （2）法一： 因为直线过定点， 又因为， 所以点在圆内. 所以直线与圆相交. 法二： 圆心到直线的距离， 因为，所以. 所以. 所以直线与圆相交. 考点02 与圆有关的轨迹问题（共2小题） 3．（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 【答案】(1) (2)以为圆心，为半径的圆 【分析】（1）从A，两点坐标可看出线段平行于轴，则它的垂直平分线垂直于轴，所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,圆心到点的距离为半径，从而得到求圆C的方程． （2）设,,将向量式进行坐标表示，得到与，与的关系，因为点为圆上任意一点，所以利用圆的方程(即与关系)，进而得到与的关系(即点Q的轨迹方程)，从而得到点Q的轨迹. 【详解】（1）因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上. 因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率， 所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:. 因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为. 又半径，所以圆的方程为:． （2）设，．由，得, 所以即 因为点在圆上，所以，所以， 化简整理得的轨迹方程为:， 所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知射线和，棍棒的两端分别在射线和上滑动，． (1)求的最大值； (2)设为的中点，求的取值范围； (3)设为的中点，求点的轨迹． 【答案】(1)12 (2) (3)点的轨迹是与原阿波罗尼斯圆等大小的圆 【分析】（1）由已知得出顶点的轨迹是圆心在直线上、半径的阿波罗尼斯圆上，即可求解的最大值； （2）法一：由圆的性质即可求解；法二：由三角形中线长定理得，，设，则，即可求解的取值范围； （3）建立平面直角坐标系，设，则，，由，得，化简即可得出点的轨迹． 【详解】（1）先证明：在平面上给定两点，设点在同一平面内且满足，当且时，点的轨迹是圆，称之为阿波罗尼斯圆， 证明：不妨设， 若设，则， 整理得， 所以点的轨迹为圆心，半径为的圆，证毕； 由题可知，顶点的轨迹是圆心在直线上、半径的阿波罗尼斯圆． 所以． （2）解法1：由圆的性质知． 解法2：先证明三角形中线长定理： 如图，在三角形中，为边上中线，则， 证明：， 所以 ，证毕； 取中点，如图，由三角形中线长定理知： ， 设，则， ，所以． （3）如图，建立平面直角坐标系． 设，则，， 由，得， 即，即， 所以点的轨迹是与原阿波罗尼斯圆等大小的圆，即图中的． 考点03 弦长问题（共3小题） 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，圆． (1)若直线是圆的一条对称轴，求的值； (2)从①若直线被圆截得的弦长为4，②若直线被圆截得的弦长最短这两个条件中选择一个作为已知，求直线的方程． 注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意直线过圆的圆心，将代入直线的方程，计算得． （2）根据题意直线恒过定点．代入圆的方程判断在圆内部，可得直线与圆恒相交．①三角形中勾股定理计算得到点到直线AB的距离，再根据点到直线距离公式计算的结果；②设定点为点，依题意当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短，利用两直线斜率之积为，计算可得直线的结果； 【详解】（1）因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过圆的圆心（圆是轴对称图形，直径所在直线都是对称轴）， 将代入直线的方程，得，解得． （2）直线，即，则直线恒过定点． 因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆恒相交． 若选①． 如图1，设直线与圆交于两点，连接，则． 过点作于点，则， 所以，即点到直线AB的距离． 由，得， 所以直线的方程为．    若选②． 设定点为点，则直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短（如图2）， 此时，故， 直线的方程为． 6．（25-26高二上·全国·期中）已知定点，点为圆上的动点，为的中点． (1)求的轨迹方程； (2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设点的坐标为，表达出点的坐标，将其代入中，整理可得的轨迹方程； （2）考虑直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，由点到直线距离和弦长公式进行求解，得到答案. 【详解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为， 点为圆上的动点， ，化简得， 故的轨迹方程为． （2）圆的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 化简得， 因为，所以圆心到直线的距离， 由圆心到直线的距离公式得， 所以，即，平方得， 整理得，解得，故直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或．    7．（25-26河北保定市大数据应用调研）已知圆C经过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)若点在圆C上，求的最大值与最小值； (3)过原点的直线l交圆C于M，N两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为． (3)或． 【分析】（1）可设圆心为，由求出圆心坐标及半径进行求解； （2）由表示原点与圆C上的点间的距离，进行求解； （3）分直线的斜率存在与不存在进行求解． 【详解】（1）由已知可设圆心为， 则，即， 解得，∴，， ∴圆C的方程为． （2）表示原点与圆C上的点间的距离， 而原点O在圆C外，，圆C的半径， ∴的最大值为，最小值为． （3）当l垂直于x轴时，l即为y轴，将代入圆C的方程， 得， ∴，， 此时截得的弦长为，满足条件： 当l不垂直于x轴时，设l的方程为y＝kx， 圆心C到直线l的距离， 由点到直线的距离公式得，解得． ∴直线l的方程为x＝0或． 考点04 面积问题（共2小题） 8．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线与相交于点，且. (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线与交于两点，以线段为直径的圆经过坐标原点. （ⅰ）证明：直线与圆相切； （ⅱ）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据条件得到和，再结合，即可求解； （2）（i）当当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立曲线方程，通过消得到，从而得到，结合条件得到，再利用直线与圆的位置关系，即可求解；（ii）利用弦长公式，结合（i）中结果，得到，令，得到，利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，由，得到，当时，由，得到， 又，得到，整理得到， 当时，，满足，所以点的轨迹的方程为. （2）（ⅰ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 由，消得到， 则，且， 又， 因为以线段为直径的圆经过坐标原点，则，得到， 所以，即，整理得到， 又原点到直线的距离为，此时直线与圆相切， 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，由， 得到，只有一个交点，不合题意， 综上，直线与圆相切. （ⅱ）因为，由（ⅰ）可得， 又，得到， 所以面积为， 令，则，所以， 当且仅当，即或（舍）时取等号， 所以面积的最小值为. 【点晴】关键点点晴，本题的关键在于第（2）中的（i）问，利用韦达定理，结合条件得到，再利用间的关系，结合条件，即可求解. 9．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知曲线. (1)点在曲线上，求点的横坐标的取值范围； (2)为坐标原点，直线与曲线交于两点. (i)若，求面积的最大值； (ii)若，求证:与圆心为的定圆相切. 【答案】(1) (2)(i)；(ii)证明见解析 【分析】（1）法一：直接配方得，则，解出即可；法二：利用判别式法即可得到答案； （2）(i)设，联立直线与曲线方程，再计算出面积表达式，利用基本不等式即可求面积最值； (ii)设，联立曲线方程得到韦达定理式，再代入向量表达式得，最后计算得圆心到直线的距离等于半径即可. 【详解】（1）法一：由方程配方得， 则，解得. 法二：由，解得. （2）(i)设. 由得.所以. 由，有. 则. 所以. 当且仅当时等号成立.故面积的最大值为. (ii)当直线斜率为时，设. 由.得. 所以. 由，化简得. 由，有，即. 即.即，满足成立. 且到的距离满足:，则为定值. 当直线斜率不存在时，由(i)，，得. 故到的距离始终为，即始终与定圆相切. 【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问的关键是采用设线法得到韦达定理式，再整体代入向量数量积的表达式，化简得到. 考点05 圆过定点问题（共2小题） 10．（24-25高三上·云南·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的3倍．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设曲线与轴的负半轴交于点为坐标原点，若点不在轴上，直线分别与直线交于两点，探究以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)以为直径的圆过定点，或，理由见解析 【分析】（1）设，由代入坐标化简可得答案； （2）求出，设，直线的方程分别为、，根据得，直线的方程分别与联立求出点坐标，再求出以为直径的圆的方程，根据方程可得答案. 【详解】（1）设，由题意得， 即，化简得， 所以曲线的方程为； （2）以为直径的圆过定点，或，理由如下， 令，可得，或，所以， 设，直线的方程分别为、， 因为，所以，可得， 由得，由得， 可得的中点为，， 以为直径的圆的方程为 ， 整理得， 由，得或， 可得以为直径的圆过定点，或. 11．（2021高二·江苏·专题练习）已知圆，直线l的方程为，点P是直线l上一动点，过点P作圆的切线PA、PB，切点为A、B. (1)当P的横坐标为时，求的大小； (2)求四边形PAMB面积的最小值； (3)求证：经过A、P、M三点的圆N必过定点，并求出所有定点的坐标. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，， 【分析】（1）由题可知，圆M 的半径r=2，和P点坐标，根据MP=2r，可得，从而可求 的大小； （2）要求四边形PAMB面积最小值，由题意可知只需求PM的最小值，利用点到直线的距离公式可求答案; （3）设P的坐标，求出经过A、P、M三点的圆的方程，即可得到圆过定点； 【详解】（1）由题可知，圆M的半径，，因为PA是圆M的一条切线， 所以 ,又因， 又； （2），要使四边形PAMB面积最小，只需PA最小. 又，只需PM最小. 当时，PM有最小值，， ,此时四边形面积最小为. （3）证明：设，因为，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径， 方程为： ， 即， 由，解得或, 所以圆过定点，. 考点06 圆中直线过定点问题（共2小题） 12．（24-25高二上·贵州·期中）设，，，，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点． (1)求圆的方程； (2)若圆上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； (3)设斜率为k直线l与圆相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）首先分析圆只能过点，，三点，再求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，，，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. 【详解】（1）若圆经过，，则圆心必在的垂直平分线上，不合题意； 又与关于轴对称，圆心在轴的正半轴上，所以圆只能过点，，三点， 因为，的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即， 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组解得， 所以圆心为，半径为，所以圆的方程为． （2）设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即可两圆相交， 又， 则，解得． （3）设直线的方程为，，， 由得， 所以，， 所以 ，所以， 所以直线方程为，令，解得，即直线过定点． 13．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆交于两点，且． (1)求． (2)过上且在圆外的一动点作圆的两条切线，切点分别为． （i）当点的坐标为时，求点的坐标； （ii）证明：直线过定点． 【答案】(1)2 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据圆心到直线距离与弦长，利用勾股定理直接计算即可得半径； （2）（i）结合（1）中结论可知，由点与圆的位置关系，利用对称性可求得点的坐标； （ii）由题意知在以为直径的圆上，其方程为，求出直线方程为，即可得直线过定点. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为． 点到的距离为， 所以． （2）（i）因为分别是过点的两条切线与圆的切点，所以点关于直线对称． 由（1）知点的坐标为， 则， 由得； 则，所以直线的方程为． 设，则； 解得， 即． （ii）设点． 由题意知，所以在以为直径的圆上，如下图所示： 以为直径的圆的方程为， 与作差，可得直线的方程为， 整理得， 由，解得 即直线过定点． 考点07 定值问题（共2小题） 14．（24-25高二上·湖北·期中）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线 (1)求曲线的方程 (2)过点作直线交曲线于两个不同的点，，且不过曲线的中心，再过点，分别作曲线的切线，两条切线交于点，求证：点在同一直线上，并求出该直线的方程 (3)斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点，，直线，的斜率分别为，，且.若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值 【答案】(1) (2)详见解析； (3)证明见详解 【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程； （2）设，，，由，可得直线所在的直线方程，又点在直线上，可得证； （3）设直线与圆的方程联立，利用韦达定理表示，即可求解定点坐标，由几何图形可知，，再利用直角三角形，斜边的中线等于斜边的一半，即可求出定点坐标. 【详解】（1）设线段的中点为，， ，即， 因为点在圆上， 所以，化简得， 所以曲线的方程为. （2）设，，，点在圆外部， 由，可得，即， 又，可得， 同理，由可得， 所以直线所在的直线为，又点在直线上， ，即， 所以点在同一条直线上，直线方程为. （3）设直线，，，， 由，得， ，， ，即， ，所以， 所以直线的方程为，即直线过定点， 因为为定值，为直角三角形，为斜边， 所以当是的中点时，， 所以存在定点，使得为定值. 15．（24-25高二上·湖北荆州·期中）已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点. (1)当时，求的长； (2)是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由； (3)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.并计算出定值. 【答案】(1) (2)存在， (3)证明见解析， 【分析】（1）由题意求出直线方程，利用圆的几何性质求弦长即可； （2）假设存在，求出弦心距，讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线距离即可得解； （3）分类讨论直线斜率是否存在，存在时由根与系数的关系及斜率公式化简即可证明. 【详解】（1）因为，所以，直线的方程为， 圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，则， 所以； （2）取的中点为，如图， 假设存在弦被点三等分，设，，则， ，解得， 当斜率不存在时，，故斜率存在， 设斜率为，则：， ，解得， 即存在弦被点三等分，直线的斜率为； （3）由题意知，, 当直线斜率不存在时，，， 不妨取， 则，此时； 直线斜率存在时，设方程为， 代入圆的方程可得， 设，则， 又， 所以， 综上，为定值. 考点08 定直线问题(共2小题) 16．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆，直线与圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足分别为分别异于. (1)求实数的取值范围; (2)若，用含的式子表示四边形的面积; (3)当时，若直线和直线交于点，证明点在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离，即可求出参数的取值范围； （2）设，，则，，联立直线与圆的方程，消元，列出韦达定理，由，表示出，则； （3）表示出直线、的方程，由，得到，再联立、的方程，求出、，即可得到，从而得解. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆交于，两点，所以圆心到直线的距离， 解得， 所以实数的取值范围为； （2）当时，设，，则，， 由，消元整理得， 所以，，， 所以， 因为四边形为直角梯形， 所以四边形的面积 ； （3）由，，则，，且直线、的斜率存在， 当时，由（2）知，，，，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 因为、相交，所以，即，， 所以，解得， 联立、的方程得， ， ， 所以， 所以点在定直线上运动.    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 17．（24-25高二上·四川广安·期中）平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于P，Q两点，且P，Q不在y轴上, ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于E，F两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线，相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【答案】(1)； (2)①最大值为7；②点N在定直线上. 【分析】（1）设圆的标准方程，根据所过的点列方程求参数，即可得圆的方程； （2）①法一：设直线为，直线为，应用几何法求弦长，结合得到关于k的表达式，应用基本不等式求最值； 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，应用几何法得弦长关于、的表达式，结合、基本不等式求最值； ②设，，联立直线与圆得一元二次方程，应用韦达定理并结合直线的方程为，直线的方程为求点N坐标. 【详解】（1）设圆的方程为， 则，解得， 所以圆M的标准方程为； （2）①设直线为，即， 则圆心到直线距离，所以， 若，则直线斜率不存在，则，，则， 若，则直线为，即， 则圆心到直线距离，所以， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 综上所述，因为，所以S的最大值为7； 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，则，， 又直线与直线垂直，所以，， 当且仅当时取等，所以S的最大值为7；    ②设，，联立， 消y得，则，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得， 则， 所以，所以点N在定直线上. 考点09 圆的切线问题（共2小题） 18．已知圆的方程为. (1)求使得圆的面积最小的的值； (2)过点作满足（1）中条件的圆的切线，切点分别为，，求直线的方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）将圆的方程化为标准形式，根据半径的二次函数形式计算最值即可； （2）由直线与圆的位置关系确定在以为直径的圆上，结合两圆方程求公共弦即可. 【详解】（1）圆的方程为， 该圆的半径. 要使圆的面积最小，即要其半径最小，故当时，圆的半径最小，即圆的面积最小. （2）当时，该圆的方程为，其圆心为. ，， 点，在以为直径的圆上， 易知的中点，，以为直径的圆的方程为， 即.联立方程， 两式相减得，即， 所求的直线的方程为. 19．（2025高二·全国·专题练习）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 【分析】（1）分斜率存在或不存在两种情况，若不存在，设直线的方程，利用即可； （2）在中勾股定理即可. 【解析】（1）圆的方程可化为， 则圆的圆心为，半径， ①当直线的斜率不存在，则直线方程为，满足题意； ②当直线的斜率存在时，可设直线的方程是，即， 由圆心到直线l的距离，解得， 此时直线的方程是， 综上，直线的方程是或. （2）由（1）得直线的方程是， 则, 所以. 考点10 两圆公共弦问题（共2小题） 20．已知圆，圆. (1)若圆与圆恰有三条公切线，求实数的值； (2)设时，圆与圆相交于、两点，求. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）因圆与圆恰有条公切线，所以两圆相外切，由两圆外切得，直接可得实数的值； （2）将两圆方程相减得相交弦的方程，再由圆的弦长公式即可求公共弦长. 【详解】（1）因圆与圆恰有条公切线，所以两圆相外切 圆，得圆心，半径. 又圆，得圆心，半径. 所以圆心距，， 所以，得，解得或. （2）当时，圆，此时两圆的圆心距，两圆相交. 将两圆方程相减得直线的方程为. 所以圆心到直线的距离，且半径， 由圆的弦长公式得. 21．（25-26高二上·四川内江·开学考试）过点的圆的两条切线，切点为，求： (1)求切线的方程； (2)求切线段的长度． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分切线斜率不存在和存在两种情况讨论求解即可； （2）根据切线长的性质可得，进而结合图形求解即可. 【详解】（1）由圆，则圆心为，半径为3， 当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到切线方程为的距离为3，等于半径，满足题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 则切线方程为，即. 综上所述，切线方程为或. （2）由切线的性质，得， 当切线为时，此时切线与轴垂直， 则. 考点11 两圆公切线问题(共2小题) 22．已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求圆与圆的公切线的交点的坐标，并求公切线方程. 【答案】(1)， (2)，和 【分析】（1）两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，几何法利用勾股定理求弦长； （2）由图可知一条公切线为，直线与的交点为，设另一条公切线的方程为，利用圆心到直线距离等于半径求出k即可得切线方程. 【详解】（1）圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 已知圆，圆，即， 两圆方程相减可得公共弦直线方程为. 点到的距离为，所以公共弦长为. （2）结合图象可知，点到直线的距离为1，点到直线的距离为3， 圆与圆有一条公切线为：. 直线与的交点为. 设另一条公切线的方程为，即， 则点到公切线的距离，解得. 此时满足点到直线的距离为1， 所以另一条公切线的方程为，即 综上，两圆的公切线方程为和. 23．已知圆，圆交于两点，在第二象限． (1)求以为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两圆方程相减得公共弦所在直线方程，再根据已知两圆心得出中点坐标（即所求圆圆心坐标），求出半径后可得圆方程； （2）设直线的方程是，由几何法求弦长，再由弦长相等求得，从而得直线方程． 【详解】（1）根据题意，圆，圆心为，半径为3， 圆，圆心为，半径为4，两圆方程相减得，所以直线的方程为． 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为． （2）A在第二象限，由（1）可得， 如图，不妨设点分别在圆和圆上，易知直线的斜率存在，设直线的方程是，即，则点到直线的距离为，点到直线的距离为． 因为，所以，解得， 所以直线的方程为． 考点12 存在性问题(共2小题) 24．已知两定点，，动点M满足，其轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)是否存在斜率为的直线l，使得以l被曲线C截得的弦PQ为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用两点距离公式设点坐标化简计算即可； （2）假设存在，设线设点，利用圆的性质得，联立直线与圆方程利用韦达定理计算参数即可. 【详解】（1）设，则， 整理得； （2）设存在， 联立圆C方程有，整理得， 则，则， 此时弦PQ为直径的圆过原点， 即 ，即，符合题意； 即或. 25．（24-25高二上·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，四点都在圆上. (1)求圆的方程； (2)已知为坐标原点，点，圆上是否存在点，满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)两圆内含，故两圆无公共点. 【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法可求圆的方程； （2）求出点的轨迹方程，根据圆心距与半径差的关系可判断两圆内含. 【详解】（1）设圆， 则，故， 故圆的方程为，而， 故也在圆上，故圆的方程为. （2）设，则， 整理得到：，其标准方程为， 故的轨迹为圆，圆心，半径为， 而圆：，而，其半径为， ，故两圆内含，故两圆无公共点. 考点13 实际应用题（共2小题） 26．某高速公路隧道内设双行线公路，某截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成，已知隧道总宽度米，行车道总宽度米，和为相对的两个车道，侧端面米，弧顶高米. (1)求圆弧所在圆的半径的长度； (2)为进一步保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米，则该隧道应规定的车辆限制高度为多少米. 【答案】(1)半径为； (2) 3.5米 【分析】（1）以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设圆的方程为，通过，在圆上，求出参数值，即可得到半径； （2）设限高为，作交圆弧于，则，将的横坐标代入圆的方程，求出，然后求出限高． 【详解】（1）由题，设，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的直角坐标系， 因为，和为相对的两个车道，侧墙面米，弧顶高米， 则，，， 易知圆心在轴上，设圆的方程为， 又，在圆上，则， 解得：，， 所以，圆弧所在圆的半径为； （2）设限高为，作交圆弧于，则， 由（1）知，圆的方程为：， 将的横坐标代入圆的方程， 有，解得：或（舍， 所以， 即车辆通过隧道的限制高度是3.5米． 27．某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 【答案】(1)作图见解析 (2)不会有触礁危险，理由见解析 【分析】（1）根据方位角的概念直接在图中标出即可. （2）建立平面直角坐标系，求出航线的直线方程及圆的方程，利用判别式法判断直线与圆的位置关系，即可判断. 【详解】（1） （2）以小岛中心为原点，东西方向为轴，建立上图所示的直角坐标系， 为了运算的简便，取10千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为， 轮船所在位置坐标为， 则受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 轮船航线所在直线的方程为即， 由，得， 由，可知方程组无解． 所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险. 考点14 新定义题（共3小题） 28．（24-25高二上·四川成都·期中）已知与轴分别相交于，过点的直线交圆于． (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积取得最大值时，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在一点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由； (3)在圆上任取一点，过作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段 的中点的轨迹记为曲线，曲线与直线交于，直线与直线相交于，在定直线上，直线与直线相交于，在定直线上，判断直线，的位置关系，并注明． 【答案】(1) (2)存在， (3)与重合，证明见解析 【分析】（1）设，由圆心到直线的距离公式和圆内弦长列方程求解即可； （2）由三角形面积公式得到，再令，由对勾函数的单调性求出，然后建立如图所示坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，代入空间向量的二面角公式计算即可； （3）直曲联立表示出韦达定理，再设，，联立两直线方程得到点在定直线上，设然后再联立直线与圆方程得到韦达定理，得到即可； 【详解】（1）易知直线的斜率不为0，设，即， 则圆心到直线的距离， 又 即， 解得，所以直线的方程为， （2）易知直线的斜率不为0，设，即， 由（1），，，又， 化简得， 令，则， ，又 ， 故最大时，由对勾函数的单调性可得，故此时 ， 建立空间直角坐标系，如图，则，，， ，， 设平面的法向量为，则，即， 取，则， 设，其中，则，， 设平面的法向量为，则，即， 取，易得， ，解得，， （3）设， 联立，化简得， ， ， ， 设，， 联立，得， 又，代入得， 即点在定直线上， 易得， 联立，化简得， 设，则， 所以，同理，在定直线上， 所以与重合. 29．（24-25高二上·重庆·期中）已知二次曲线表示圆的充要条件为，且.关于二次曲线，有以下结论：若，，，为平面内三条直线，且，，，则过，，三点的二次曲线系方程为（，为参数）.若，，，为平面内四条直线，且，，，，则过四点的二次曲线系方程为（为参数）. (1)若三角形三边所在直线方程分别为：，，.求该三角形的外接圆方程. (2)记（1）中所求的外接圆为，直线与交于，两点（在第一象限），直线与交于，两点（在第二象限），直线交轴于点，直线交轴于点，直线与直线交于点. （i）求证：； （ii）求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由题意，根据三条直线方程设出二次曲线系方程，通过方程表示圆的充要条件待定系数可得； （2）由四条直线方程设出二次曲线系方程，再由已知圆的一般方程，对比两方程寻找系数的等量关系，由关系可证得，由关系式（即）可得交点在定直线上上，进而求解最值. 【详解】（1）则由题意，可设所求三角形的外接圆方程为：（，为参数）， 即 ，（） 若方程表示圆，则，解得. 将代入（）式化简得， 验证：由，可知该方程表示圆. 故该三角形的外接圆方程为. （2）如图，在平面直角坐标系中， 设直线与轴的交点，直线与轴的交点， 由题意知直线均不与轴垂直， 则直线方程可设为，直线方程可设为， 由题意可知，且. 不妨记直线分别为， 且， 其中，，，. 故由题意，过四点的二次曲线系方程可设为 （为参数）， 即 ①， 若时，方程表示两条直线，不表示圆， 故. 由四点不共线，且都在圆②上， 所以方程①②表示同一圆， 则有③，且④. （i）由③式及，可得， 即；故（i）得证； （ii）由③式可得，令，则， 代入④式可得， 联立直线方程，解得， 即交点在定直线上，故. 如图2，由对称性可知，当时，交点在轴上， 即，此时. 故的最小值为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键有两点，一是理解二次曲线系方程的设法，能够根据题目提供的条件由直线方程设出二次曲线方程；二是二次曲线系方程的应用，本题主要是三角形外接圆与四边形外接圆的应用，第（1）问通过方程表示圆的充要条件待定系数，第（2）问通过同一圆的两种不同方程表达形式寻求等量关系从而解决问题. 30．（24-25高二上·河南濮阳·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作. (1)已知点和点，直线：，求和. (2)已知圆C：和圆E：. （i）若两圆心的切比雪夫距离，判断圆C和圆E的位置关系； （ii）若，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线为，直线为，证明：. 【答案】(1)，； (2)（i）内切；（ii）证明见解析． 【分析】（1）根据新定义直接计算，设是上一点，分类讨论计算出，再确定最小值得； （2）（i）求出圆心坐标，根据切比雪夫距离的定义，由或求得参数，并检验是否满足题意，然后根据圆心距判断两圆位置关系； （ii）由已知求出，得出两点坐标，设直线方程为，，直线方程代入圆方程后，应用韦达定理得，从而证明，得直线与关于轴对称，然后由直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系，且，则其最小值也相等，从而证得结论成立， 【详解】（1），，，所以， 直线方程为，是上一点，， 当，即时，， 当，即或时，， 所以的最小值是2，所以； （2）（i）圆标准方程是，圆心为，半径为2， 圆的圆心为，半径为， ， 若，则或， 时，，不合题意，时，，满足题意， 此时，，因此两圆内切； 若，则或， 时，，不合题意，时，，满足题意， 此时，，两圆内切． 所以圆C和圆E内切； （ii）圆E与x轴交于M，N两点， 则方程，即（*）有两个不等的实数解， 所以，解得，又，所以， ，方程（*）的两解为，则， 由韦达定理有， 所以，解得或（舍去）， 时方程（*）为，解得，，交点为和， 点M在圆C外，则，因此，， 设直线的方程为，设， 由得， ，， ，， ， 所以，因此直线关于轴对称， 直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系， ，， 即， 所以的最小值与的最小值相等，即． 【点睛】方法点睛：本题第（2）小题的第（ii）问，证明点到两条直线的“切比雪夫距离”相等，如果单纯从“切比雪夫距离”角度考虑，这个“距离”没法求解，换个角度，在直线与圆相交问题中，利用韦达定理证得直线的斜率是相反数，它们关于轴对称，而点在轴上，因此我们可得出这两条直线上的点与点的“切比雪夫距离”所组成的集合相等，从而最小值相等，最小值即为点线间的“切比雪夫距离”，完成证明． 3 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $