2.1.1 椭圆及其标准方程-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦椭圆的定义、标准方程及应用，通过“绳子两端固定笔尖移动”的情境导入，对比2a与两定点距离的关系引出椭圆定义，结合思考辨析、初试身手等学习支架，帮助学生衔接圆的知识，逐步构建椭圆概念体系。 其亮点在于以情境问题培养数学眼光，通过定义辨析（如2a与|F₁F₂|关系）和焦点三角形计算（如用余弦定理求面积）发展数学思维，用待定系数法（如设Ax²+By²=1）强化数学语言。采用类型题分层与结构化小结，助力学生深化理解，教师可高效实施教学。

第二章　圆锥曲线 §1　椭圆 1.1　椭圆及其标准方程 学习任务 核心素养 1．了解椭圆的实际背景，理解椭圆、焦点、焦距的定义．(重点) 2．掌握椭圆的标准方程及推导过程．(难点) 3．会求简单的椭圆的标准方程．(易混点) 1．通过对椭圆、焦点、焦距等概念的学习，逐步培养数学抽象素养． 2．借助求椭圆的标准方程，培养数学运算素养． 1.1　椭圆及其标准方程 将绳子(绳子长度大于两定点距离)的两端分别固定在两个定点上，用笔尖勾直绳子，使笔尖移动． 1．当两定点间的距离等于绳长时，笔尖的轨迹是什么？ 2．当两定点间的距离小于绳长时，笔尖的轨迹是什么？ 必备知识·情境导学探新知 1.1　椭圆及其标准方程 1．椭圆的有关概念 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离________________________的点的集合(或轨迹)叫作椭圆 焦点 两个____叫作椭圆的焦点 焦距 两个焦点间的____叫作椭圆的焦距，焦距的____称为半焦距 集合语言 P＝{M|________________，2a>|F1F2|} 之和等于常数(大于|F1F2|)　 定点　 距离　 一半　 |MF1|＋|MF2|＝2a 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 思考　1．椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”，其他条件不变，点的轨迹是什么？ [提示]　当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 2．椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) 焦点 ____________________ ____________________ a，b，c的关系 __________ (－c，0)，(c，0)　 (0，－c)，(0，c)　 b2＝a2－c2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 思考　2．椭圆＝1的焦点是在x轴上，还是在y轴上？ [提示]　椭圆＝1的焦点在y轴上． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆． (　　) (2)椭圆＋y2＝1的焦距为2． (　　) (3)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2． (　　) (4)当m>0，n>0且m≠n时，方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆． (　　) × × √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 √ 2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是 (　　) A．1　　 B．2 C．3 　 D．4 B　[由题意得，椭圆标准方程为x2＋＝1，又焦点在y轴上，所以－1＝12，解得k＝2．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 3．若a＝5，c＝3，则焦点在y轴上的椭圆的标准方程为___________． ＝1　[∵b2＝a2－c2＝16，∴焦点在y轴上的椭圆标准方程为＝1．] ＝1　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 4．椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标为_____________________． 　[方程4x2＋9y2＝1可化为＝1，∴a2＝，b2＝，∴c2＝a2－b2＝＝，∴c＝， ∴焦点坐标为．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 关键能力·合作探究释疑难 类型1　椭圆定义及应用 【例1】　(1)椭圆＝1上一点A到焦点F的距离为2，B为AF的中点，O为坐标原点，则|OB|的值为(　　) A．8　　　　 B．4　　 C．2　　　　 D． √ 1.1　椭圆及其标准方程 (2)已知B，C，且△ABC的周长等于24，则顶点A的轨迹方程为________________． (3)已知F1，F2是椭圆＝1(a＞b＞0)的焦点，过F1的直线AB与椭圆交于A，B两点，则△ABF2的周长为____． ＝1(y≠0) 4a　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 (1)B　(2)＝1(y≠0)　(3)4a　[(1)设F′为椭圆的另一焦点，则|AF|＋|AF′|＝2a＝10， ∴|AF′|＝8．∵O，B分别为FF′，AF的中点， ∴|OB|＝|AF′|＝4． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 (2)由已知得，|AB|＋|AC|＝14，由椭圆的定义可知，顶点A的轨迹是椭圆， 又2c＝10，2a＝14，即c＝5，a＝7，所以b2＝a2－c2＝24． 当点A在直线BC上，即y＝0时，A，B，C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是＝1(y≠0)． (3)∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， ∴△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 反思领悟　由椭圆定义可知，椭圆上任一点到椭圆的两个焦点距离之和为定值，所以椭圆定义有以下应用： (1)实现两个焦半径之间的相互转化； (2)将两个焦半径之和看成一个整体，求解定值问题． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 [跟进训练] 1．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程． [解]　将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，可知圆心坐标为B(－2，0)，半径为6，如图，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 所以已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，所以|BM|＋|CM|＝6，又|CM|＝|AM|， 所以|BM|＋|AM|＝6， 根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2，0)和点A(2，0)为焦点，线段AB的中点O(0，0)为中心的椭圆．所以a＝3，c＝2，b＝＝， 所以所求圆心M的轨迹方程为＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 类型2　求椭圆的标准方程 【例2】　写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，并且过点(－)； (2)经过点P1(，1)，P2(－，－)． [思路点拨]　(1)设出相应焦点位置的椭圆方程，利用关系式b2＝a2－c2及点(－)在椭圆上求待定系数；(2)由于焦点位置不明确，可将其设成Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)的形式，再进一步确定A，B． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 [解]　(1)依题意知椭圆的焦点在x轴上，可设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)． 由已知得c＝4，所以a2－b2＝16．① 因为点(－)在椭圆上， 所以＝1，即＝1．② 由①②得a2＝20，b2＝4． 因此，所求椭圆的标准方程为＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 (2)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)，由已知得 解得A＝，B＝． 所以所求的椭圆的标准方程为＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 反思领悟　1．求椭圆标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程． (2)待定系数法：设出椭圆的标准方程，再依据条件确定a2，b2的值，其一般步骤是： ①定位：确定椭圆的焦点在x轴还是y轴上，从而设出相应的标准方程的形式． ②定量：根据已知条件，建立关于a，b，c的方程组，求出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程． 2．椭圆的标准方程在形式上可统一为Ax2＋By2＝1，其中A，B是不等的正常数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 [跟进训练] 2．(1)求焦点在y轴上，且经过点(0，2)和(1，0)的椭圆的标准方程． (2)某椭圆的两个焦点坐标分别是(0，－2)，(0，2)且过，求椭圆的标准方程． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 [解]　(1)椭圆的焦点在y轴上，设其标准方程为＝1(a＞b＞0)．又椭圆过点(0，2)和(1，0)， ∴解得 ∴椭圆的标准方程为＋x2＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 (2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)，由椭圆的定义知， 2a＝＝2，所以a＝，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6，所以所求标准方程为＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 类型3　椭圆标准方程的简单应用 【例3】　(1)已知方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为________． (2)已知椭圆方程为kx2＋3y2－6k＝0，焦距为4，则k的值为______． 　 1或5　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 (1)　(2)1或5　[(1)∵椭圆焦点在y轴上，∴其标准方程应为＝1(a＞b＞0)，∴|m|－1＞5－2m＞0，解得2＜m＜，∴m的取值范围为． (2)将方程kx2＋3y2－6k＝0化为＝1． ∵焦距为4，∴2c＝4，即c＝2． 当焦点在x轴上时，6－2k＝4，解得k＝1； 当焦点在y轴上时，2k－6＝4，解得k＝5． 综上，k＝1或5．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 [母题探究] 将本例(1)中的方程改为：“＝1”，其他不变，则实数m的取值范围为________． 　[∵焦点在y轴上，∴m－1＞5－2m＞0，∴2＜m＜．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 反思领悟　1．判断焦点所在坐标轴的依据是看x2项、y2项的分母哪个大，焦点在分母大的对应的坐标轴上． 2．对于方程＝1(m＞0，n＞0)，当m>n>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n＞m＞0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．特别地，当n＝m＞0时，方程表示圆心在原点的圆． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 类型4　椭圆中的焦点三角形问题 【例4】　已知F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上的任一点． (1)求|PF1|·|PF2|的最大值； (2)若∠F1PF2＝，求△PF1F2的面积． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 [解]　(1)由|PF1|＋|PF2|≥2知， |PF1|·|PF2|≤＝＝100，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝10时，等号成立， 即|PF1|·|PF2|取到最大值100． (2)c2＝a2－b2＝100－64＝36，c＝6， 则F1(－6，0)，F2(6，0)． ∵P为椭圆上任一点，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝20． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝12，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|． ∵|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|，∴122＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，∴122＝202－3|PF1|·|PF2|， ∴|PF1|·|PF2|＝＝． ∴＝|PF1|·|PF2|sin ＝＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 反思领悟　1．焦点三角形的概念 如图，设M是椭圆上一点，F1，F2为椭圆的焦点， 当点M，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成 一个三角形——焦点三角形． 2．关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|MF1|＋|MF2|＝2a，利用这个关系式转化求解．因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 3．焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c． (2)在△MF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cos θ． (3)焦点三角形的面积＝|MF1||MF2|·sin θ＝b2tan ．(选择题、填空题可直接应用此公式求解) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 [跟进训练] 3．点P是椭圆＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积． [解]　在椭圆＝1中，a＝，b＝2， ∴c＝＝1． 又点P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2． ① 由余弦定理知： |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 30°＝＝(2c)2＝4． ② 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 ①式两边平方，得 |PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20． ③ ③－②，得 (2＋)|PF1|·|PF2|＝16． ∴|PF1|·|PF2|＝． ∴＝|PF1|·|PF2|·sin 30°＝8－4． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 学习效果·课堂评估夯基础 1．已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　) A．＝1(y>0)　　 B．＝1(y>0) C．＝1(y>0) 　 D．＝1(y>0) √ 1.1　椭圆及其标准方程 A　[设点M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，又点P在曲线C上，所以＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)，即点M的轨迹方程为＝1(y>0)．故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 2．已知椭圆＝1上一点P，它到左焦点F1的距离为2，则它到右焦点F2的距离为(　　) A．4　　B．6　　C．30　　D． √ B　[由定义|PF1|＋|PF2|＝8，知|PF2|＝6．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 3．若方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　) A．(－9，25) 　 B．(8，25) C．(16，25) 　 D．(8，＋∞) √ B　[依题意有解得8＜m＜25，即实数m的取值范围是(8，25)．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 4．已知椭圆的焦点在x轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为___________． ＋y2＝1　[由已知得，2a＝8，2c＝2，∴a＝4，c＝，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1， ∴椭圆的标准方程为＋y2＝1．] ＋y2＝1　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 5．(教材P51例2改编)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)； (2)两焦点分别为(－1，0)，(1，0)，且经过点． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 [解]　(1)9x2＋5y2＝45可化为＝1，故焦点为F1(0，2)，F2(0，－2)． 设所求椭圆的方程为＝1(λ＞0)，将x＝2，y＝代入，得＝1，解得λ＝8，λ＝－2(舍去)． 故所求椭圆的标准方程为＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 (2)设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)． 由题意知c＝1，2a＝， ∴a＝，b＝＝1， ∴椭圆的标准方程为＋y2＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 1．平面内一点M到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a， 当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆； 当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2； 当2a<|F1F2|时，轨迹不存在． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 2．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a求解，回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法． 3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 阅读材料·拓展数学大视野 倾斜的试管液面轮廓一定是椭圆 在化学课上，你一定有注意到，当装有液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是椭圆形的．你知道怎样利用有关的数学知识证明这一点吗？ 如图所示，假设平面α与圆柱相交，而且 平面α不与圆柱的轴垂直，我们需要证明的是： 平面α与圆柱表面的交线C是一个椭圆． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 取半径与圆柱底面半径相同的两个球，从平面α的两侧放入圆柱内(这两个球称为圆柱面的两个内切球)，并使得两个球都与平面α相切，切点分别为F1，F2． 设P为交线C上任意一点，过P作圆柱的母线，分别与两个球相切于A，B．可以看出，PF1与PA是同一个球的两条切线，PF2与PB也是同一个球的两条切线，因此 |PF1|＝|PA|，|PF2|＝|PB|，从而 |PF1|＋|PF2|＝|PA|＋|PB|＝|AB|， 又因为AB的值是不变的，因此P到F1与F2的距离之和是一个常数，且|AB|＞|F1F2|，这就证明了C是一个椭圆． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 课时分层作业(十一)　椭圆及其标准方程 一、选择题 1．如果方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　) A．(3，＋∞)　　 B．(－∞，－2) C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(－6，－2)∪(3，＋∞) 1.1　椭圆及其标准方程 49 D　[由于椭圆的焦点在x轴上，所以 即解得a>3或－6<a<－2，故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：|MA|＋|MB|为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么(　　) A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 √ B　[若|MA|＋|MB|为定值，只有定值大于|AB|时，点M轨迹才是椭圆，故p为q的必要不充分条件．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3．已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13　 　 B．12　 　 　 C．9　 　 D．6 √ C　[由椭圆C：＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．已知椭圆＝1，焦点在x轴上，若焦距为4，则m等于 (　　) A．4 　 B．5 C．7 　 D．8 √ A　[椭圆焦点在x轴上，∴a2＝10－m，b2＝m－2．又c＝2，∴(10－m)－(m－2)＝4，∴m＝4．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5．“2<m<6”是“方程＝1表示椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[若＝1表示椭圆， 则有∴2<m<6且m≠4． 故“2<m<6”是“＝1表示椭圆”的必要不充分条件．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．椭圆8x2＋3y2＝24的焦点坐标为____________________． (0，－)，(0，)　[方程可化为＝1，所以a2＝8，b2＝3，且焦点在y轴上，又c＝＝， 所以，其焦点坐标为(0，－)，(0，)．] (0，－)，(0，)　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 56 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．已知F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为_____． 8　[根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8．] 8　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 57 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为________． 5　[易知B为椭圆的一个焦点，设椭圆的另一焦点为B′，则B′(0，1)，如图，连接PB′，AB′，根据椭圆的定义得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，所以|PB|＝4－|PB′|，因此，|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝ 4＋|PA|－|PB′|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5，当且仅当点P在 AB′的延长线上时，等号成立，所以|PA|＋|PB|的最大 值为5．] 5 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 58 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．已知椭圆的方程为＝1，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积． [解]　由已知a＝2，b＝，所以c＝＝1， |F1F2|＝2c＝2， 在△PF1F2中，由余弦定理得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|．① 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 59 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF2|＝4－|PF1|．② 将②代入①解得|PF1|＝， 所以＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝×2×＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 60 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．已知动圆M过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程． [解]　设动圆M和定圆B内切于点C，由|MA|＝|MC|得|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝8，即动圆圆心M到两定点A(－3，0)，B(3，0)的距离之和等于定圆的半径，∴动圆圆心M的轨迹 是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝8，2c＝6， b＝＝，∴M的轨迹方程是＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 61 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　) A．2　　　 B．6　 C．4　　　 D．12 C　[由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a， ∴周长为4a＝4(F是椭圆的另外一个焦点)．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 62 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．(多选题)对于曲线C：＝1，下面说法正确的是(　　) A．曲线C不可能是椭圆 B．“1<k<4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件 C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件 D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<2.5”的充要条件 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 63 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 CD　[对于A，当1<k<4且k≠2.5时，曲线C是椭圆，所以A错误； 对于B，当k＝2.5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，所以B错误； 对于C，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则解得2.5<k<4， 所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件，所以C正确； 对于D，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 解得1<k<2.5，所以D正确．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 64 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．(多选题)设椭圆＝1的右焦点为F，直线y＝m(0<m<)与椭圆交于A，B两点，则(　　) A．|AF|＋|BF|为定值 B．△ABF的周长的取值范围是[6，12] C．当m＝时，△ABF为直角三角形 D．当m＝1时，△ABF的面积为 √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 65 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ACD　[设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|， ∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确； △ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|， ∵|AF|＋|BF|为定值6， |AB|的取值范围是(0，6)， ∴△ABF的周长的取值范围是(6，12)，B错误； 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 66 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 将y＝与椭圆方程联立，可解得A，B，又∵F(，0)，∴＝＝0，∴AF⊥BF， ∴△ABF为直角三角形，C正确； 将y＝1与椭圆方程联立， 解得A(－，1)，B(，1)， ∴S△ABF＝×2×1＝，D正确．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 67 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．椭圆＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________． 2　120°　[由题意知a＝3，b＝，c＝． 由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝6． ∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2． 又∵|F1F2|＝2，在△F1PF2中，由余弦定理可得cos ∠F1PF2＝－，∴∠F1PF2＝120°．] 2　 120° 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 68 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)． (1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|·|PF2|的最大值； (2)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值； (3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 69 [解]　(1)因为椭圆的方程为＋y2＝1， 所以a＝2，b＝1，c＝，即|F1F2|＝2， 又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4， 所以|PF1|·|PF2|≤＝＝4， 当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”， 所以|PF1|·|PF2|的最大值为4． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 (2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)，由＝λ得x0＝，y0＝－． 又＝1，所以＝1， 化简得λ2＋6λ－7＝0， 解得λ＝－7或λ＝1，因为点C异于B点， 所以λ＝－7． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 (3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|， 所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8， 所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1　椭圆及其标准方程 $