1.2.3 直线与圆的位置关系-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线与圆的位置关系，系统讲解相交、相切、相离的判定方法，以及切线方程、弦长计算等核心内容。通过情境问题导入，衔接平面几何判定方法与代数方程应用，构建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于融合几何法与代数法对比教学，结合情境导学培养直观想象，通过多解法例题提升数学运算素养。分层训练与母题变式设计，帮助学生深化逻辑推理能力，为教师提供系统教学资源，助力高效课堂实施。

第一章　直线与圆 §2　圆与圆的方程 2.3　直线与圆的位置关系 学习任务 核心素养 1．理解并掌握直线与圆的位置关系：相切、相交、相离．(重点) 2．会用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系．(难点) 3．会求圆的弦长及切线方程等问题．(重点) 1．通过学习几何法、代数法判断直线与圆的位置关系，培养直观想象素养． 2．通过求圆的弦长及切线方程等问题，提升数学运算素养． 2.3　直线与圆的位置关系 1．直线与圆有哪几种位置关系？ 2．在平面几何中，直线与圆的位置关系是如何判定的？ 3．如何利用直线与圆的方程来判定直线与圆的位置关系？ 必备知识·情境导学探新知 2.3　直线与圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 判断 方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d__r d__r d__r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ__0 Δ__0 Δ__0 <　 ＝　 >　 >　 ＝　 <  课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 思考　用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？ [提示]　用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面、不同的思路来判断的．“几何法”侧重于“形”，很好地结合了图形的几何性质；“代数法”侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 √ 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)直线与圆最多有两个公共点． (　　) (2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心． (　　) (3)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交． (　　) √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 2．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 　 D．既不充分也不必要条件 3．圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为__________． √ x2＋y2＝2　[设圆的方程为x2＋y2＝a2(a＞0)，由＝a，得a＝．∴x2＋y2＝2．] x2＋y2＝2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 4．已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，则直线l的方程为___________________________． x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0　[将圆的方程写成标准形式，得x2＋(y＋2)2＝25，所以圆心的坐标是(0，－2)，半径长r＝5． 因为直线被圆截得的弦长为4，所以弦心距为＝， 设过点M的直线方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0． 由弦心距为，得＝，解得k＝－或k＝2，所以所求直线有两条，它们的方程分别为x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0．] x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 关键能力·合作探究释疑难 类型1　直线与圆位置关系的判断 【例1】　已知直线l的方程mx－y－m－1＝0，圆C的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，直线l与圆C：有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？ 2.3　直线与圆的位置关系 [解]　法一：将直线代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0． ∵Δ＝4m(3m＋4)， ∴当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ<0时，即－<m<0，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 法二：圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，则圆心为C(2，1)，半径r＝2． 圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝． 当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当d>2时，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 反思领悟　判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系判断． (2)代数法：联立方程之后利用判别式Δ与0的大小关系判断． 上述方法中，最常用的是几何法． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 [跟进训练] 1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝2的位置关系是(　　) A．相交　 B．相离 C．相交或相切 　 D．相切 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 A　[法一：直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1，0)，而点(－1，0)在圆x2＋y2＝2内，故直线与圆相交，故选A． 法二：因为圆心到直线的距离d＝<＝r，所以直线与圆相交，故选A． 法三：由直线方程与圆的方程消去x得，y2－2ky－1＝0，所以Δ＝4k2＋4＝8k2＋4>0，所以直线与圆相交，故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 类型2　直线与圆相切问题 【例2】　(1)过点P(2，3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线的方程是______________． (2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　) A．1　 B．2　　 C．　 D．3 √ x＝2或 y＝3　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 (1)x＝2或y＝3　(2)C　[(1)易知点P(2，3)在圆外，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，符合要求；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y－3＝k(x－2)，根据圆心到直线的距离等于半径，得d＝＝1，解得k＝0，所以直线的方程为x＝2或y＝3． (2)由题意得，圆心(3，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝2，圆的半径为1，故切线长的最小值为＝＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 反思领悟　过圆外一点作圆的切线一定有两条．其求法有两种： (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程． (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，代入圆的方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出． 提醒：设直线的方程时，要检验直线x＝x0是否是圆的切线． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 [跟进训练] 2．将直线2x－y＋λ＝0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为(　　) A．－3或7 　 B．－2或8 C．0或10 　 D．1或11 √ A　[直线y＝2x＋λ沿x轴向左平移1个单位后，所得直线方程为y＝2(x＋1)＋λ，化简得2x－y＋(λ＋2)＝0，圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，根据圆心到直线距离等于半径，解得λ＝－3或λ＝7．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 3．求过点M(3，1)，并且与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程． [解]　∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点M在圆C外部． 当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0． 又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r， 即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线． 当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝． ∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0． ∴与圆C相切的直线方程为x＝3或3x－4y－5＝0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 类型3　弦长问题 【例3】　【链接教材P36例8】 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长． [思路点拨]　本题可以利用弦心距，半弦长和半径构成的直角三角形求解；也可以联立解方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 [解]　法一：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标为(0，1)，半径r＝． 点(0，1)到直线l的距离为d＝＝，弦长l＝2＝，所以截得的弦长为． 法二：设直线l与圆C交于A、B两点． 由得交点A(1，3)，B(2，0)， 所以弦AB的长为|AB|＝＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 [母题探究] 1．若本例改为“过点(2，0)的直线被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为，求该直线方程”，又如何求解？ [解]　由例题知，圆心C(0，1)，半径r＝，又弦长为， 所以圆心到直线的距离d＝＝＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 又直线过点(2，0)，知直线斜率一定存在． 可设直线斜率为k，则直线方程为y＝k(x－2)， 所以d＝＝，解得k＝－3或k＝，所以直线方程为y＝－3(x－2)或y＝(x－2)，即3x＋y－6＝0或x－3y－2＝0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 2．若本例改为“求过点M(1，2)且被圆C：x2＋y2－2y－4＝0所截弦长最短时，直线的方程”，又如何求解？ [解]　由例题知圆心C(0，1)，圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝5． 因为12＋(2－1)2<5，故点M(1，2)在圆内． 则当CM与直线垂直时弦长最短，又kCM＝1， 所以所求直线的斜率为－1，又过点M(1，2)， 所以直线方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋y－3＝0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 3．若本例改为“已知直线l：x－y－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y＋)2＝4交于点M，N，点P在圆C上，且∠MPN＝，求a的值”，又如何求解？ [解]　因为圆的半径是r＝2，圆心坐标是C(3，－)，∠MPN＝，且P在圆C上，所以∠MCN＝，则|MN|＝2． 又点C到直线l的距离d＝＝＋d2＝r2， 所以()2＋＝4，解得a＝4或8． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 【教材原题·P36例8】 例8　已知直线m：3x＋4y－2＝0与圆P：x2＋y2－2x－2y＝0． (1)写出圆P的圆心坐标和半径，并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形； (2)由(1)所画图形，判断直线m与圆P的位置关系，若相交，求直线m被圆P截得的弦长；若相切或相离，给出证明． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 [解]　(1)将圆的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－1)2＝2，即圆P是以点(1，1)为圆心，为半径的圆(如图1－33(1))． 图1－33 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 (2)因为圆心P到直线m的距离d＝＝1＜，所以直线m与圆P相交． 设交点为A，B，圆P的半径为r(如图1－33(2))，易知△PAB是等腰三角形，腰PA，PB的长为圆P的半径长，即PA＝PB＝r＝，底边 AB上的高为圆心P到直线m的距离d．所以由勾股定理，得|AB|＝2＝2． 故直线m被圆P截得的弦长为2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 反思领悟　求弦长的两种方法 (1)由于半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋＝r2求解，这是常用解法． (2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 学习效果·课堂评估夯基础 √ 1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　) A．相交且过圆心　 B．相切 C．相离 　 D．相交但不过圆心 D　[圆心为(1，－1)，r＝3，圆心到直线的距离d＝＝，所以0<d<r，所以直线与圆相交但不过圆心．] 2.3　直线与圆的位置关系 2．设直线l过点P(－2，0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是(　　) A．±1 　 B．± C．± 　 D．± √ C　[设l：y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0． 又l与圆相切，∴＝1．∴k＝±．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 3．过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　) A．1 　 B． C． 　 D． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 B　[如图，由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝，所以圆心到点(0，－2)的距离为＝2，由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin ＝＝＝，所以cos ＝，所以sin α＝2sin cos ＝2×＝．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 4．当直线x＋y－a＝0与圆x2＋(y－1)2＝2相离时，a的取值范围是_______________________． (－∞，－1)∪(3，＋∞)　[圆x2＋(y－1)2＝2的圆心为(0，1)，半径r＝，圆心(0，1)到直线x＋y－a＝0的距离d＝，依题意，>，解得a<－1或a>3．] (－∞，－1)∪(3，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 5．求直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长． [解]　圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25．故圆心为(3，4)，半径r＝5． 又直线方程为2x－y＋3＝0， 所以圆心到直线的距离d＝＝， 所以弦长为2＝2×＝2＝4． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 1．判断直线与圆的位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算． 2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 课时分层作业(九)　直线与圆的位置关系 一、选择题 1．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是(　　) A．－2　　　 B．－4　 C．－6　　　 D．－8 37 B　[将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为(　　) A．4 　 B．3 C．2 　 D．1 √ C　[圆x2＋y2＝1的圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离d＝＝<1，所以直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝1相交．故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 39 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　) A．10 　 B．20 C．30 　 D．40 √ B　[圆心坐标是(3，4)，半径是5，圆心到点(3，5)的距离为1．根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为2＝4，所以四边形ABCD的面积为|AC||BD|＝×10×4＝20．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 40 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆＋＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝(　　) A．± 　 B．± C．1或7 　 D．4± √ D　[因为△ABC为等边三角形且边长为2，所以C到AB的距离为，由圆的方程可得C，所以＝，解得a＝4±．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 41 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[设圆心C(a，b)，半径r＝1，由于圆心在第一象限，且与x轴相切，则b＝r＝1，则C(a，1)，圆心C到直线4x－3y＝0的距离d＝＝＝r＝1，解得a＝2或a＝－(舍去)，则该圆的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．圆心在y轴上，经过点(3，1)且与x轴相切的圆的方程是_______________． x2＋y2－10y＝0　[由题意，设圆的方程为x2＋(y＋a)2＝a2，因为圆经过点(3，1)，所以把点(3，1)代入圆的方程，得32＋(1＋a)2＝a2，整理得2a＝－10，所以a＝－5，所以圆的方程为x2＋(y－5)2＝(－5)2，即x2＋y2－10y＝0．] x2＋y2－10y＝0　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．过圆x2＋y2＝4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆的方程是__________________． (x－2)2＋(y－1)2＝5　[∵圆心为O(0，0)， 又∵△ABP的外接圆就是四边形OAPB的外接圆，其直径d＝|OP|＝2，∴半径r＝． 而圆心为(2，1)， ∴外接圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．] (x－2)2＋(y－1)2＝5　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．已知圆C：x2＋y2－4x－2y－15＝0上有两个不同的点到直线l：y＝ k(x－7)＋6的距离等于，则k的取值范围是______________________ ____________． (－∞，－2)∪(2，＋∞)　[圆x2＋y2－4x－2y－15＝0的圆心为(2，1)，半径为2，∵圆C：x2＋y2－4x－2y－15＝0上有两个不同的点到直线l：y＝k(x－7)＋6的距离等于，∴<<3，∴k的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．] (－∞，－2) ∪(2，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程． [解]　圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，于是弦心距d＝＝＝3． 因为圆心O(0，0)到直线x＝－3的距离恰为3， 所以直线x＝－3是符合题意的一条直线． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 设直线y＋＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋＝0的距离等于3， 于是＝3，解得k＝－． 故直线的方程为3x＋4y＋15＝0． 综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 48 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0． (1)m∈R时，证明：l与C总相交； (2)m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 49 [解]　(1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，由点斜式可知，直线过点P(4，－3)． 由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交． (2)圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25．如图， 当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB 的长度最短． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 此时PC⊥l， 又kPC＝＝3，所以直线l的斜率为－，则2m＝－，所以m＝－． 在Rt△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5． 所以|AB|＝2＝2． 故当m＝－时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　) A．1＋　　B．4 C．1＋3　　D．7 C　[将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最值，此时＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值为1＋3，故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有(　　) A．1条　　　 B．2条　 C．3条　　　 D．4条 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2．可分为两种情况讨论： (1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1； (2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝，解得a＝4(a＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．(多选题)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ABD　[对于A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，A正确． 对于B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2＜r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＞r，∴直线l与圆C相离，B正确． 对于C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2＞r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＜r，∴直线l与圆C相交，C错误． 对于D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，D正确．故选ABD．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 56 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则 (1)a的取值范围是________； (2)直线l的方程为_____________． a<3　 x－y＋5＝0　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 57 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (1)a<3　(2)x－y＋5＝0　[(1)依题意得，点C在圆内，所以＋32＋2×－4×3＋a<0，解得a<3． (2)由圆的一般方程可得圆心为M(－1，2)．由圆的性质易知，M(－1，2)与C(－2，3)的连线与弦AB垂直，故有kAB＝－＝1，故直线l的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 58 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0<a≤4)的圆心为C，直线l：y＝x＋m． (1)若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值； (2)若直线l是圆心下方的切线，当a在(0，4]变化时，求m的取值范围． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 59 [解]　(1)已知圆的标准方程是 (x＋a)2＋(y－a)2＝4a(0<a≤4)， 则圆心C的坐标是(－a，a)，半径为2． 直线l的方程化为x－y＋4＝0， 则圆心C到直线l的距离是＝|2－a|． 设直线l被圆C所截得弦长为L，由弦长、弦心距和圆的半径之间的关系，得 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 L＝2 ＝2＝2． ∵0<a≤4， ∴当a＝3时，L的最大值为2． (2)∵直线l与圆C相切， 则有＝2， 即|m－2a|＝2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 ∵点C在直线l的上方， ∴a>－a＋m， 即2a>m， ∴2a－m＝2， ∴m＝(－1)2－1． ∵0<a≤4， ∴0<≤2， ∴m∈[－1，8－4]． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.3　直线与圆的位置关系 $