精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县第一中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

巴楚县第一中学2025-2026学年第一学期 高二年级期中考试 数学学科 时间：90分钟 考生须知： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．本卷由试题卷和答题卡两部分组成，其中试题卷共4页，答题卡共2页.要求在答题卡上答题，在试题卷上答题无效. 3．答题前，请先在答题卡上认真填写姓名、准考证号和座位号.要求字体工整、笔迹清楚. 4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量，则（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 2. 过点和点的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交 4. 如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 6. 已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ） A. B. C D. 7. 已知，则直线与的位置关系是（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 相交但不垂直 8. 若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下说法正确的是（ ） A. 设、是两个空间向量，则、不一定共面 B. 设、是两个空间向量，则 C. 设、、是三个空间向量，则、、一定不共面 D. 设、、是三个空间向量，则 10. 已知表示圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 圆心坐标为 C. 半径 D. 半径 11. 下列说法中，正确的有（ ） A 已知直线：，始终过定点 B. 直线在轴上的截距是2 C. 直线的倾斜角为 D. 过点并且倾斜角为的直线方程 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线过，且，则直线的斜率为______． 13. 已知，，则向量在向量上投影向量是_________ 14. 如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为___________；异面直线与夹角的余弦值为___________． 四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16-17题每小题15分，第18-19题每小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸） 15. 如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，， （1）用，，表示向量 （2）求 16. 已知两顶点坐标为是边的中点，是边上的高. （1）求所在直线的方程； （2）求高所在直线的方程； （3）求过点，且到距离相等的直线的方程. 17. 写出下列圆标准方程： （1）已知圆经过两点，圆心在轴上； （2）经过点，圆心为点． （3）经过三点的圆的方程． 18. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 19. 如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，D为中点． （1）求证：； （2）当时，求平面和平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴楚县第一中学2025-2026学年第一学期 高二年级期中考试 数学学科 时间：90分钟 考生须知： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．本卷由试题卷和答题卡两部分组成，其中试题卷共4页，答题卡共2页.要求在答题卡上答题，在试题卷上答题无效. 3．答题前，请先在答题卡上认真填写姓名、准考证号和座位号.要求字体工整、笔迹清楚. 4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量，则（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，则. 故选：C 2. 过点和点的倾斜角为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由两点间斜率公式求出直线斜率，再结合斜率定义即可求倾斜角. 【详解】由题过点和点的直线的斜率为， 设过点和点的直线的倾斜角为，则，且， 所以. 故选：C. 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆心距和半径的关系即可求解. 【详解】的圆心和半径为，，的圆心和半径为，, 故,,故两圆相交， 故选：D 4. 如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件可得出，然后根据空间向量的减法即可得解． 【详解】，， 是BC的中点， ， ， 故选： 5. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对分类讨论，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系即可求解. 【详解】当时，得，此时与不垂直； 当时，若，则，解得. 故选：A. 6. 已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行的斜率关系，再由点斜式方程即可得出结果. 【详解】由题意，直线与直线平行，故直线的斜率为2； 又直线过点，则直线的方程为， 即． 故选：D 7. 已知，则直线与的位置关系是（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 相交但不垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率来进行判断. 【详解】， 由图可知不共线，所以． 故选：B 8. 若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可． 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上点到直线的距离为1的点有且仅有2个，所以，解得， 即r的取值范围是． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下说法正确的是（ ） A. 设、是两个空间向量，则、不一定共面 B. 设、是两个空间向量，则 C. 设、、是三个空间向量，则、、一定不共面 D. 设、、是三个空间向量，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用共面向量的定义可判断AC选项的正误；利用空间向量数量积的定义可判断B选项的正误；利用空间向量数量积的运算性质可判断D选项的正误． 【详解】对于A选项，任意两个空间向量都共面，A错误； 对于B选项，由空间向量数量积的定义可知，， 由于，故，B正确； 对于C选项，在中，，，，则、、共面，C错误； 对于D选项，由空间向量数量积的运算性质可得，D正确． 故选：BD． 10. 已知表示圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 圆心坐标为 C. 半径 D. 半径 【答案】BD 【解析】 【分析】配方化为圆的标准方程即可得圆心、半径. 【详解】由可得， 所以圆心为，半径为， 所以AC错误，BD正确. 故选：BD 11. 下列说法中，正确的有（ ） A. 已知直线：，始终过定点 B. 直线在轴上的截距是2 C. 直线的倾斜角为 D. 过点并且倾斜角为的直线方程 【答案】AD 【解析】 【分析】代入验证可判定A；根据纵截距的定义可判定B；根据直线的斜率与倾斜角的关系可以判定C；根据倾斜角为的直线斜率不存在，方程为的形式，进而可以判定D. 【详解】对于A，∵，可知A正确； 对于B，由直线的斜截式方程可知，直线在轴上的截距是，B不正确； 对于C，由方程可得直线的斜率为，可知倾斜角为60°，故C错误； 对于D，根据倾斜角为90°的直线斜率不存在，方程为的形式， 再根据经过点，∴直线的方程为，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线过，且，则直线的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两点坐标求直线的斜率，结合两直线的位置关系即可求解. 【详解】设直线斜率为，直线斜率为， 因为直线过，， 所以斜率为， 因为，所以， 所以，即直线斜率为. 故答案为：. 13. 已知，，则向量在向量上的投影向量是_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量定义直接代入计算可得结果. 【详解】由，可得， 易知向量在向量上投影向量为. 故答案为： 14. 如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为___________；异面直线与夹角的余弦值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）设，，．由，利用向量法能求出的长． （2）由，，，能求出与所成角的余弦值． 【详解】（1）设，， 由已知得，，，， 又， ． （2），． ． 故答案为：； 四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16-17题每小题15分，第18-19题每小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸） 15. 如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，， （1）用，，表示向量 （2）求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量线性运算求解即可； （2）根据，再平方求解可得答案. 【小问1详解】 因为，，， 所以； 【小问2详解】 依题意，得，， 所以， ， 所以. 16. 已知的两顶点坐标为是边的中点，是边上的高. （1）求所在直线的方程； （2）求高所在直线的方程； （3）求过点，且到距离相等的直线的方程. 【答案】（1） （2） （3）和 【解析】 【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用两点式求直线方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可. （3）当过中点时由两点式可得，与平行时由点斜式可得. 【小问1详解】 因为是边的中点，由中点坐标公式可得， 由两点式可得，整理可得. 【小问2详解】 因为是边上的高，结合上问结论可知：， ，所以， 因此高所在直线的方程为：，即. 【小问3详解】 由题意可得当所求直线过的中点， 所以由两点式可得，整理可得； 当所求直线平行于时，其斜率为，由点斜式可得， 整理可得. 综上，所求直线方程为和. 17. 写出下列圆的标准方程： （1）已知圆经过两点，圆心在轴上； （2）经过点，圆心为点． （3）经过三点的圆的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由斜率关系和中点坐标求出弦的垂直平分线方程，再解出圆心坐标，然后得到圆的标准方程； （2）由两点间距离得到半径，再写出圆的标准方程即可； （3）由圆的一般方程利用待定系数法求解可得. 【小问1详解】 由题，所以其垂线斜率，且AB中点为，即， 所以AB的垂直平分线方程为，即， 由圆的垂径定理可知，与轴的交点即为圆心的坐标， 所以圆的半径为 ， 所以圆的标准方程为 【小问2详解】 圆心为，且经过点， 故圆的半径为， 故圆的标准方程为． 【小问3详解】 设圆的方程为， 则由题意， ∴圆的方程为：，标准方程为. 18. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的方程配方，由题意得，求解即得； （2）结合图形，由垂径定理求出，在中列出方程，求解即得. 【小问1详解】 方程可化为， 此方程表示圆，，即， 故实数的取值范围是； 【小问2详解】 由（1）可得圆心，半径， 如图，过点作于点，则， 圆心到直线的距离为， 由图可得：，即， 解得：． 即值为2. 19. 如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，D为中点． （1）求证：； （2）当时，求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】(1)用线面垂直证明线线垂直; (2)建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,利用法向量夹角的余弦值, 求得两个平面夹角的余弦值,也可以作出二面角的平面角,几何法求解. 【小问1详解】 证明：设的中点为,连接,连接,则, 又因为为等腰直角三角形,, , 又是正三角形,, 又因为平面,则面, 面,. 【小问2详解】 【法一】 由题意知,,又由, 得为等腰直角三角形,且; 又,得,,且,在面内, 所以面,面,得面面且交线为, 设的中点为,则,面. 以为坐标原点,过点与平行的直线为轴,分别以、所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系, 得,，,, 为的中点,得, ,; 设平面的一个法向量为， 则，， 可取； 平面的一个法向量可取， 因为， 所以平面和平面夹角的余弦值为． 【法二】 取的中点,连结,则,且,, ,,,又,面, 又,面,而平面，, 过作于,,且, 又,平面,面, 而平面，得, 为二面角的平面角, ,, 所以平面和平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $