精品解析：福建省厦门海沧实验中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷

厦门市海沧实验学校2024-2025学年高二（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量为，且直线经过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，先求出直线的斜率，再结合直线的点斜式公式，即可求解． 【详解】直线的一个方向向量为 则直线的斜率为， 直线过点， 则，即． 故选：A． 2. 已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得，然后两边平方，结合向量数量积的运算求向量的夹角. 【详解】设与的夹角为，由，得， 两边同时平方得， 所以1，解得， 又，所以. 故选：D 3. 已知圆，，P是圆C上的动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的定义结合垂直平分线的性质判定即可. 【详解】由题意可得圆心，半径. 因为M是线段的垂直平分线，所以， 则. 因为，所以点M的轨迹是以A，C为焦点的双曲线. 故选：C 4. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 5. 若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（ ） A. 5 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在圆外及方程表示圆求出的范围得解. 【详解】因为点在圆C：的外部， 所以，解得， 又方程表示圆，则，即， 所以，结合选项可知，m的取值可以为. 故选：C 6. 如图，在正方体中，､分别为，的中点，则下列说法错误的是（ ） A. 平面 B. C. 直线与平面所成角为45° D. 异面直线与所成角为60° 【答案】D 【解析】 【分析】连结BD，A1D，可得MN∥A1D，得到MN∥平面ADD1A1，判定A正确；证明AB⊥平面ADD1A1，得AB⊥A1D，结合MN∥A1D，得MN⊥AB，判断B正确；求出直线MN与平面ABCD所成角判断C正确；求出异面直线MN与DD1所成角判断D错误． 【详解】如图，连结BD，A1D， 由M，N分别为AC，A1B的中点，知MN∥A1D， 而MN⊄平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1， ∴MN∥平面ADD1A1，故A正确； 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，则AB⊥A1D， ∵MN∥A1D，∴MN⊥AB，故B正确； 直线MN与平面ABCD所成角等于A1D与平面ABCD所成角等于45°，故C正确； 而∠A1DD1为异面直线MN与DD1所成角，应为45°，故D错误． 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的判定与性质、直线与平面所成角、异面直线所成角等基础知识；考查空间想象能力、论证推理能力，属于中档题． 7. 若方程表示曲线C，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线C为椭圆 B. 若曲线C为双曲线，则 C. 曲线C不可能是圆 D. 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆，双曲线，圆以及焦点在x轴上的椭圆对方程结构的要求，建立不等式组求之即得. 【详解】对于A项，方程表示椭圆等价于，解得：，故A项错误； 对于B项，方程表示双曲线等价于，解得：或，故B项错误； 对于C项，方程表示圆，等价于解得：,故C项错误； 对于D项，方程表示焦点在x轴上的椭圆等价于，解得：，故D项正确. 故选：D. 8. 椭圆的左、右焦点分别为、，上存在两点、满足，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作点关于原点的对称点，连接、、、，推导出、、三点共线，利用椭圆的定义可求得、、、，推导出，利用勾股定理可得出关于、的齐次等式，即可求得该椭圆的离心率. 【详解】作点关于原点的对称点，连接、、、， 则为、的中点，故四边形为平行四边形，故且，则， 所以，，故、、三点共线， 由椭圆定义，，有，所以，则， 再由椭圆定义，有， 因为，所以， 在中，即，所以，离心率． 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列命题，其中正确的是（　　） A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是 C. 已知直线与直线垂直，则实数的值是 D. 已知三点不共线，对于空间任意一点O，若，则四点共面 【答案】AD 【解析】 【分析】利用空间向量的基本性质即可判断选项A，选项B利用空间坐标系的点对称做出判断，选项C利用两直线垂直的充要条件判断，选项D由空间向量共面的推论做出判断即可. 【详解】对于选项A：空间基底向量是三个不共面的空间向量， 所以不共面，将其想象为立方体相邻的三条两两垂直的棱， 所以也不共面，可以作为一组基底，故A选项正确； 选项B：点关于坐标平面的对称点是，故选项B错误； 选项C：若直线与直线垂直， 则， 即， 解得或，故选项C错误； 选项D：因为，由空间向量共面的推论可知成立，故选项D正确． 故选：AD． 10. 已知圆，圆，直线，过点作圆的两条切线，切点分别为．下列说法中，正确的是（ ） A. 圆与圆相交 B. 直线过定点 C. 圆被直线截得的弦长的最小值为 D. 直线的方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由几何法判断两圆的位置关系即可判断A；将化为，由即可求出直线过的定点判断B；当直线与垂直时，弦长最小，由弦长公式求解即可判断C；则直线为过的圆与圆的公共弦，两个方程相减即可判断D. 【详解】，所以圆心，半径， 由圆，圆心，半径， 则两圆心的距离，所以圆与圆内含，故A错误； ， 所以，即， 所以，故，所以直线过定点为，故B正确； 当直线与垂直时，弦长最小，则圆心到直线的距离为：， 所以最小弦长为：，故C正确； 过点作圆的两条切线，切点分别为． 则所在圆的圆心为的中点，半径为， 所以所在圆的方程为：， 则直线为圆与圆的公共弦， 与圆两式相减得： ，故D正确； 故选：BCD 11. 已知双曲线C：的左右焦点分别为，且，A、P、B为双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则下列正确的是（ ） A. 双曲线C的实轴长为 B. 双曲线C的离心率为 C. 若，则三角形的周长为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意可知，设，则，，代入可求解出，对A，根据，可求得实轴长为，可判断；对B，根据离心率，可判断选项；对C，根据，可知，则，，可求得，所以三角形的周长为，可判断；对D，设与双曲线联立，若有解，需要解之可求出取值，可判断选项. 【详解】根据题意可知，所以，设，则， 将分别代入到双曲线后相减可得，代入可求解出， 对A，根据，解之可得，所以双曲线C的实轴长为，故A错误； 对B，根据离心率，将代入可得，故B正确； 对C，根据，可知，则， ，故， 可求得， 所以三角形的周长为，故C正确； 对D，设与双曲线联立可得，若有解， 需要解之可求出或，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】直线与直线平行，则，解得， 直线为， 所以它们之间的距离是. 故答案为： 13. 点关于直线对称的点在圆：上，则 等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求得点坐标，然后代入圆的方程，从而求得. 【详解】点关于直线的对称点为， 将点坐标代入圆的方程得，所以. 故答案为： 14. 已知曲线，直线，曲线上恰有3个点到直线的距离为1，则的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据曲线的表达式画出半圆图象，再利用直线与曲线的临界位置讨论的取值范围，由于曲线上恰有3个点到直线的距离为1，根据两平行线间的距离公式并结合图象即可确定实数的取值范围. 【详解】由，得曲线是以为圆心，半径为2的圆的上半部分. 在曲线中，令，得或4，将代入直线得， 将代入直线得， 当直线与曲线相切时，由圆心到直线的距离为2，得， 所以当或时，直线与曲线有一个公共点； 当时，直线与曲线有两个公共点.如下图所示： 记与曲线相切的直线为， 过且斜率为1的直线记为. 当直线与距离为1时，即，∴或， 取，此时曲线上有2个点到直线距离为1； 当直线与距离为1时，即，∴或， 取，此时恰有3个点到直线的距离为1. ∴. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l和圆 （1）若直线l过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程； （2）过点引直线与圆C相切，切点为N，求线段MN的长． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）讨论所求直线是否过原点，分别求出对应方程即可； （2）利用直线与圆相切的性质，结合两点距离公式与勾股定理即可得解. 【小问1详解】 当直线过原点时，直线的方程是，即. 当直线不过原点时，设直线的方程为，即， 把点代入方程得，则直线的方程是. 综上，所求直线的方程为或 【小问2详解】 因为圆可化为， 则圆的圆心为，半径为，如图， 因为直线相切于圆，所以， 又，， 所以. 16. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段的中点，且直线l过定点. （1）求点M的轨迹方程； （2）记（1）中求得的图形为曲线E，若直线l与曲线E只有一个公共点，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用相关点法，代入圆方程即可得解. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合圆心到直线的距离等于半径即可得解. 【小问1详解】 设，， 是线段中点，，整理可得， 在圆上，， 整理可得点轨迹方程为：. 【小问2详解】 由（1）知，曲线E是以圆心，半径的圆， 所以若直线l与曲线E只有一个公共点，即直线l与曲线E相切， 当直线斜率不存在时，方程为，是圆的切线，满足题意； 当直线斜率存在时，设其方程为，即， 圆心到直线距离，解得， 所以直线为，即； 综上，直线的方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，由证明； （2）由，结合，利用线面垂直的判定定理证明； （3）求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由求解． 【小问1详解】 因为底面，，底面， 所以，， 又底面是正方形，所以， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设． 依题意得，，，． 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则有 即取，则， 因为平面，因此平面． 【小问2详解】 依题意得， 因为， 所以． 由已知，且，平面， 所以平面． 【小问3详解】 依题意得，且，． 设平面的一个法向量为， 则 即，取． 易知平面的一个法向量为， 所以． 所以平面与平面的夹角为． 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程及双曲线所过的点列方程求参数，即可得方程； （2）设，应用点差法得，结合中点坐标及点斜式写出所求直线方程. 【小问1详解】 由题意，知，解得，故双曲线的方程为． 【小问2详解】 设， 则，两式相减，得， 整理得． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即． 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为. 19. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【小问1详解】 由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市海沧实验学校2024-2025学年高二（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量为，且直线经过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆，，P是圆C上的动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 4. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（ ） A. 5 B. 1 C. D. 6. 如图，在正方体中，､分别为，的中点，则下列说法错误的是（ ） A. 平面 B. C. 直线与平面所成角为45° D. 异面直线与所成角为60° 7. 若方程表示曲线C，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线C为椭圆 B. 若曲线C为双曲线，则 C. 曲线C不可能是圆 D. 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 8. 椭圆的左、右焦点分别为、，上存在两点 、满足，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列命题，其中正确的是（　　） A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是 C. 已知直线与直线垂直，则实数的值是 D. 已知三点不共线，对于空间任意一点O，若，则四点共面 10. 已知圆，圆，直线，过点作圆的两条切线，切点分别为．下列说法中，正确的是（ ） A. 圆与圆相交 B. 直线过定点 C. 圆被直线截得的弦长的最小值为 D. 直线的方程为 11. 已知双曲线C：的左右焦点分别为，且，A、P、B为双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则下列正确的是（ ） A. 双曲线C的实轴长为 B. 双曲线C的离心率为 C. 若，则三角形的周长为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是_______． 13. 点关于直线对称的点在圆：上，则 等于_____． 14. 已知曲线，直线，曲线上恰有3个点到直线的距离为1，则的取值范围是_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l和圆 （1）若直线l过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程； （2）过点引直线与圆C相切，切点为N，求线段MN的长． 16. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段的中点，且直线l过定点. （1）求点M的轨迹方程； （2）记（1）中求得的图形为曲线E，若直线l与曲线E只有一个公共点，求直线l的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线相交于 ，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 19. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $