3.3 第2课时 指数函数及其性质的应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦指数函数及其性质的应用，涵盖指数式大小比较、指数型不等式求解、指数型函数单调性与奇偶性分析等核心内容。通过链接教材原题构建学习支架，先复习指数函数概念与性质，再以“比较大小—解不等式—函数性质应用”为脉络，逐步深化知识应用。 其亮点在于以分类例题驱动数学思维发展，如通过三种大小比较类型（同底、同指、不同底指）培养推理能力，结合复合函数单调性“同增异减”原则提升抽象能力。反思领悟环节提炼方法规律，帮助学生用数学语言表达解题逻辑，既助力学生构建知识体系，也为教师提供分层教学资源，提升课堂效率。

第三章　指数运算与指数函数 §3　指数函数 3.1　指数函数的概念 3.2　指数函数的图象和性质 第2课时　指数函数及其性质的应用 关键能力·合作探究释疑难 √ 类型1　指数式的大小比较 【例1】　【链接教材P85例1，P88例3】 (1)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝，则(　　) A．y3＞y1＞y2 　 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 　 D．y1＞y3＞y2 第2课时　指数函数及其性质的应用 (2)已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c 　 B．b＞a＞c C．c＞b＞a 　 D．c＞a＞b (3)已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则(　　) A．a＞b＞c 　 B．a＞c＞b C．b＞c＞a 　 D．c＞b＞a √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 (1)D　(2)D　(3)D　[(1)y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，根据函数y＝2x是R上的增函数知，21.8＞21.5＞21.44，即y1＞y3＞y2，故选D． (2)0.80.9＜0.80.7＜1，1.20.8＞1，因此c＞a＞b，故选D． (3)0.30.6＜0.30.5，函数y＝在(0，＋∞)上单调递增， 所以0.30.5＜0.40.5，因此0.30.6＜0.30.5＜0.40.5，即c＞b＞a，故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 【教材原题·P85例1】 例1　比例下列各题中两个数的大小： (1)50.8，50.7；(2)7-0.15，7-0.1． [解]　(1)因为函数y＝5x在R上是增函数，且0.8>0.7，所以50.8>50.7； (2)因为函数y＝7x在R上是增函数，且－0.15<－0.1，所以7-0.15<7-0.1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 【教材原题·P88例3】 例3　比较下列各题中两个数的大小： (1)；(2)． 解　(1)因为函数y＝在R上是减函数，－1.8>－2.8，所以<； (2)因为函数y＝在R上是减函数，－0.3<1.3，所以>． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 反思领悟　比较指数式大小的3种类型及处理方法 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 [跟进训练] 1．比较下列各题中两个值的大小： (1)0.8-0.1，1.250.2； (2)1.70.3，0.93.1； (3)a0.5与a0.6(a>0，且a≠1)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 [解]　(1)∵0<0.8<1， ∴y＝0.8x在R上是减函数． ∵－0.2<－0.1，∴0.8-0.2>0.8-0.1， 而0.8-0.2＝＝1.250.2， 即0.8-0.1<1.250.2． (2)∵1.70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1， ∴1.70.3>0.93.1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 (3)a0.5与a0.6可看做指数函数y＝ax的两个函数值． 当0<a<1时，函数y＝ax在R上是减函数． ∵0.5<0.6，∴a0.5>a0.6． 当a>1时，函数y＝ax在R上是增函数． ∵0.5<0.6，∴a0.5<a0.6． 综上所述，当0<a<1时，a0.5>a0.6；当a>1时，a0.5<a0.6． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 类型2　解含指数型不等式 【例2】　【链接教材P85例2】 求解下列不等式： (1)已知3x≥，求实数x的取值范围； (2)若a-5x>ax+7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 [解]　(1)因为＝30.5，所以由3x≥可得3x≥30.5，因为y＝3x在R上为增函数，故x≥0.5． (2)①当0<a<1时，函数y＝ax在R上是减函数，则由a-5x>ax+7可得 －5x<x＋7，解得x>－． ②当a>1时，函数y＝ax在R上是增函数，则由a-5x>ax+7可得－5x>x＋7，解得x<－． 综上，当0<a<1时，x>－；当a>1时，x<－． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 【教材原题·P85例2】 例2　(1)求使不等式4x>32成立的实数x的集合； (2)已知方程9x-1＝243，求实数x的值． [解]　(1)因为4x＝22x，32＝25，所以原不等式可化为22x>25． 因为函数y＝2x在R上是增函数，所以2x>5，即x>． 因此，使不等式4x>32成立的实数x的集合是． (2)因为9x-1＝(32)x-1＝32x-2，243＝35，所以原方程可化为32x-2＝35． 因为函数y＝3x在R上是增函数，所以2x－2＝5，即x＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 反思领悟　指数型不等式的解法 (1)指数型不等式a f (x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的解法： 当a>1时，f (x)>g(x)； 当0<a<1时，f (x)<g(x)． (2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a>0，且a≠1)，a-x＝(a>0，且a≠1)等． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 [跟进训练] 2．不等式≤2x的解集为__________________． {x|x≥1，或x≤－2}　[∵＝， ∴原不等式等价于≤2x． ∵y＝2x是R上的增函数， ∴2－x2≤x， ∴x2＋x－2≥0，即x≤－2或x≥1， ∴原不等式的解集是{x|x≥1，或x≤－2}．] {x|x≥1，或x≤－2}　 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 类型3　指数型函数性质的应用 角度1　指数型函数的单调性问题 【例3】　求函数y＝的单调区间． [解]　令t＝x2－2x＋3，则由二次函数的性质可知该函数在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且y＝为减函数，故函数y＝的单调递增区间为(－∞，1]，单调递减区间为[1，＋∞)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 角度2　指数型函数的奇偶性问题 【例4】　若函数y＝a－为奇函数． (1)确定a的值； (2)求函数的定义域． [解]　(1)由奇函数的定义，可得f (－x)＋f (x)＝0， 即a－＝0， ∴2a＋＝0． ∴a＝－． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 (2)∵y＝－， ∴2x－1≠0， 即x≠0， ∴函数y＝－x≠0}． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 角度3　指数型函数性质的综合问题 【例5】　已知 f (x)是定义在(－1，1)上的奇函数，当x∈(0，1)时， f (x)＝． (1)求 f (x)在(－1，1)上的解析式； (2)求 f (x)的值域． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 [解]　(1)当x∈(－1，0)时，－x∈(0，1)． ∵函数 f (x)为奇函数，∴f (x)＝－f (－x)＝． 又f (0)＝0，故当x∈(－1，1)时，f (x)的解析式为f (x)＝ 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 (2) f (x)＝在(0，1)上单调递减，证明如下： 任取x1，x2∈(0，1)，且x1<x2， 则 f (x1)－f (x2)＝ ＝． ∵0<x1<x2<1， ∴－1>0． ∴f (x1)－f (x2)>0， 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 即 f (x1)>f (x2)， ∴f (x)在(0，1)上单调递减． 由奇函数的对称性知f (x)在(－1，0)上也单调递减． ∴当0<x<1时，f (x)∈， 即 f (x)∈； 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 当－1<x<0时， f (x)∈， 即f (x)∈． 而 f (0)＝0，故函数 f (x)在(－1，1)上的值域为∪{0}． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 反思领悟　1．对于形如 f (x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)的函数，可以利用复合函数的单调性，转化为指数函数y＝ax及函数g(x)的单调性来处理． 2．指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 [跟进训练] 3．已知函数 f (x)＝，求 f (x)的值域与单调区间． [解]　令u＝2x－x2，则u＝－(x－1)2＋1≤1，定义域为R，故u＝2x－x2在 (－∞，1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，又y＝为减函数，所以根据复合函数的“同增异减”得y＝f (x)＝在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以，故函数f (x)＝的值域为，单调递增区间为[1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 4．求函数y＝4x－2×2x＋5的单调区间． [解]　函数的定义域为R，令t＝2x，x∈R时，t∈(0，＋∞)． y＝(2x)2－2×2x＋5＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4，t∈(0，＋∞)． 当t≥1时，2x≥1，x≥0； 当0<t<1时，0<2x<1，x<0． ∵y＝(t－1)2＋4在[1，＋∞)上单调递增，t＝2x在[0，＋∞)上单调递增， ∴函数y＝4x－2×2x＋5的单调递增区间为[0，＋∞)． 同理可得单调递减区间为(－∞，0]． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 学习效果·课堂评估夯基础 √ 1．若函数 f (x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A． 　B．C． 　D． B　[由已知，得0<1－2a<1，解得0<a<，即实数a的取值范围是．] 第2课时　指数函数及其性质的应用 2．(教材P89练习T1改编) 下列判断正确的是(　　) A．2.52.5>2.53 　 B．0.82<0.83 C． 　 D．0.90.3>0.90.5 √ D　[根据指数函数的单调性逐一排除，可知选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 3．若f (x)＝3x＋1，则(　　) A．f (x)在[－1，1]上单调递减 B．y＝3x＋1与y＝＋1的图象关于y轴对称 C．f (x)的图象过点(0，1) D．f (x)的值域为[1，＋∞) √ B　[ f (x)＝3x＋1在R上为增函数，则A错误；y＝3x＋1与y＝3-x＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由 f (0)＝2，得 f (x)的图象过点(0，2)，则C错误；由3x>0，可得f (x)>1，则D错误．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 4．函数y＝的单调递增区间为______________． (－∞，＋∞)　[由已知得，f (x)的定义域为R． 设u＝1－x，则y＝． 因为u＝1－x在R上为减函数， 又因为y＝在R上为减函数， 所以y＝在R上为增函数，所以函数y＝的单调递增区间为(－∞，＋∞)．] (－∞，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 5．不等式>5x+1的解集是______________________． 　[由>5x+1，得2x2>x＋1，解得x<－或x>1．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 课时分层作业(二十三)　指数函数及其性质的应用 一、选择题 1．函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0，1]上的最大值是(　　) A．6 　B．1 　C．3 　D． C　[函数y＝ax在[0，1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0，1]上单调递增，当x＝1时，ymax＝3．] 32 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．设a，b满足0<a<b<1，下列不等式中正确的是(　　) A．aa<ab 　 B．ba<bb C．aa<ba 　 D．bb<ab √ C　[由于y＝ax与y＝bx为减函数，故A、B错误；因为>1，a>0，所以>1，所以aa<ba，故C正确；因为>1，b>0，所以>1，所以ab<bb，故D错误．故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 33 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3．函数y＝|2x－1|的大致图象是(　　) √ A　　　　　　 　　B C　　　　 　　　　D 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 34 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[如图先作y＝2x的图象，再向下平移1个单位得y＝2x－1的图象，再把y＝2x－1的图象在x轴下方的图象翻折上去得y＝|2x－1|的图象，如图实线部分．故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 35 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．函数y＝的单调递增区间为(　　) A．(1，＋∞) 　B．C． 　D． √ D　[设U(x)＝2x2－3x＋1，则U(x)＝2， U(x)在上单调递减，在上单调递增． 又y＝5U是增函数，则y＝上单调递增．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 36 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述： ①这个指数函数的底数是2； ②第5个月时，浮萍的面积就会超过30 m2； ③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月； ④浮萍每个月增加的面积都相等． 其中正确的是(　　) A．①②③ 　B．①②③④ C．②③④ 　D．①② √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 37 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[由a1＝2，得a＝2，所以y＝2t，故①正确； 当t＝5时，y＝25＝32>30，故②正确； 当y＝4时，t＝2，经过1.5个月后面积为23.5＜12，故③错误； ＝2，故④错误．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 38 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．解方程：52x－6×5x＋5＝0的解集为________． {0，1}　[令t＝5x，则原方程可化为t2－6t＋5＝0，所以t＝5或t＝1， 即5x＝5或5x＝1， 所以x＝1或x＝0．] {0，1}　 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 39 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．函数 f 在(－∞，1)上单调递增，则a的取值范围是__________． [1，＋∞)　[设u＝－x2＋2ax，则y＝3u是R上的增函数，而原函数在(－∞，1)上单调递增，所以u＝－x2＋2ax在(－∞，1)上单调递增，而u＝－x2＋2ax的单调递增区间为(－∞，a)，所以a≥1．] [1，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 40 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．若关于x的方程＋m＝0有实数解，则实数m的取值范围是_________． [－1，0)　[∵0<≤1， ∴m<＋m≤m＋1． 要使方程＋m＝0有解，只要m<0≤m＋1， 解得－1≤m<0，故实数m的取值范围是[－1，0)．] [－1，0)　 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 41 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．已知指数函数 f 的图象过点． (1)求函数 f 的解析式； (2)已知 f >f ，求x的取值范围． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)设 f ＝ax(a>0，且a≠1)． 将点代入得＝a2． 解得a＝． 故 f ． (2)由(1)知f ，显然 f 在R上是减函数， 又 f >f ，所以|x|<1，解得－1<x<1． 即x的取值范围为(－1，1)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．已知 f (x)＝． (1)讨论 f (x)的奇偶性； (2)讨论 f (x)的单调性． [解]　(1) f (x)的定义域为R， 又f (－x)＝＝－， 所以f (x)是奇函数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 44 (2) f (x)＝， 又y＝x是减函数，且y>0， 所以y＝是增函数， 所以f (x)是减函数． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．设函数 f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是 (　　) A．(－∞，－2] 　 B．[－2，0) C．(0，2] 　 D．[2，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2．故选D． 法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝在(0，1)单调递减，所以f (x)＝2x(x-3)在(0，1)单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C，故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．已知实数a，b满足等式，给出下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b．其中，不可能成立的有(　　) A．1个 　 B．2个 C．3个 　 D．4个 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 48 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[画出函数y＝与y＝的图象，如图所示． 当x<0时，，则有a<b<0； 当x>0时，，则有a>b>0； 当x＝0时，，则有a＝b＝0． 所以题中的五个关系式中不可能成立的有两个．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 49 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．设函数y＝，若函数在(－∞，1]上有意义，则实数a的取值范围是_____________． 　[由题意可知1＋2x＋a·4x≥0在(－∞，1]上恒成立， 即a≥－在(－∞，1]上恒成立． 又y＝－在(－∞，1]上的最大值为－， ∴a≥－．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．已知函数 f ，则函数 f (x)的单调递增区间是__________． (－∞，1]　[令u＝在R上单调递减，故要求 f (x)的单调递增区间，只需求u＝|x－1|的单调递减区间，为 (－∞，1]，所以f (x)的单调递增区间为(－∞，1]．] (－∞，1]　 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．定义：对于函数 f (x)，若在定义域内存在实数x满足f (－x)＝－f (x)，则称f (x)为“局部奇函数”．若f (x)＝2x＋m是定义在区间[－1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围． [解]　f (x)＝2x＋m，f (－x)＝－f (x)可化为2x＋2-x＋2m＝0， 因为f (x)的定义域为[－1，1]， 所以方程2x＋2-x＋2m＝0在[－1，1]内有解， 令t＝2x，则t∈，故－2m＝t＋， 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 52 设g(t)＝t＋，则在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t∈时，g(t)∈， 即－2m∈， 所以m∈． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 第2课时　指数函数及其性质的应用 $