3.1 指数幂的拓展-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦指数幂的拓展，涵盖正、负分数指数幂的定义与性质，根式与分数指数幂的互化及指数幂的计算，通过情境问题导入，从整数指数幂自然过渡，搭建知识支架帮助学生衔接前后内容。 其亮点在于以情境导学激发兴趣，通过合作探究（如例1分奇偶讨论根式化简）培养逻辑推理，结合分层作业强化数学运算（如例3指数幂计算）。助力学生提升运算能力与推理意识，为教师提供系统教学资源及分层练习支持。

第三章　指数运算与指数函数 §1　指数幂的拓展 学习任务 核心素养 1．理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点) 2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近的思想方法．(易混点) 1．通过指数幂的拓展的学习，培养逻辑推理素养． 2．通过分数指数幂与根式的互化，培养数学运算素养． §1　指数幂的拓展 1．正分数指数幂的定义是什么？ 2．负分数指数幂的定义是什么？ 必备知识·情境导学探新知 §1　指数幂的拓展 1．正分数指数幂 (1)定义：给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝．这就是正分数指数幂． (2)性质：①当k是正整数时，分数指数幂满足：②＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 2．负分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义＝＝． 思考能否将＝－3写成＝－3? [提示]　不能．因为在指数幂的概念中，总有a>0．于是，尽管有＝－3，但不可以写成＝－3的形式． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 体验1．把下列各式中的b(b>0)写成分数指数幂的形式： (1)b4＝35； (2)b-3＝32． [解]　(1)∵b4＝35，∴b＝． (2)∵b-3＝32，∴b＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 体验2．计算： ＝________； ＝________． (1)2　(2)　[(1)设b＝，由定义，得b3＝8，b＝2，所以＝2． (2)由负分数指数幂的定义，得． 设b＝，由定义，得b3＝272＝93，b＝9，所以．] 2　 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 关键能力·合作探究释疑难 类型1　根式的化简与求值 【例1】　化简： (1)(x＜π，n∈N*)； (2)． §1　指数幂的拓展 [解]　(1)∵x＜π，∴x－π＜0． 当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时，＝x－π． 综上可知， (2) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 反思领悟　正确区分与 (1)表示a的n次方的n次方根，而表示a的n次方根的n次方，因此从运算角度看，运算顺序不同． (2)运算结果不同 ①＝a．② 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 [跟进训练] 1．若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是(　　) A．x＞0，y＞0 　 B．x＞0，y＜0 C．x≥0，y≥0 　 D．x＜0，y＜0 √ B　[∵＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0． 又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 2．若，则实数a的取值范围为_________． 　[＝＝1－2a．因为|2a－1| ＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 类型2　根式与分数指数幂的互化 【例2】　 (1)可化为(　　) A． 　 B． C． 　 D． (2)可化为(　　) √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 [思路点拨]　熟练应用是解决该类问题的关键． (1)D　(2)A　[． (2) ．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 反思领悟　根式与分数指数幂的互化规律 (1)关于式子的两点说明 ①根指数n即分数指数的分母； ②被开方数的指数m即分数指数的分子． (2)通常规定中的底数a>0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 [跟进训练] 3．将下列各根式化为分数指数幂的形式： (1)；(2)． [解]　(1)． (2)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 类型3　求指数幂的值 【例3】　【链接教材P77例2】 求下列各式的值： ；． [思路点拨]　结合分数指数幂的定义，即满足bn＝am时＝b(m，n∈N＋，a，b>0)求解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 [解]　(1)设＝x，则x3＝642＝4 096， 又∵163＝4 096，∴＝16． (2)设＝x，则x4＝81-1＝， 又∵，∴． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 【教材原题·P77例2】 例2　计算： ；　． [解]　(1)设b＝，由定义，得b2＝43＝64，b＝8(b＞0)，所以＝8． (2)由负分数指数幂的定义，得． 设b＝，由定义，得b3＝27，b＝3，所以． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 (3)由负分数指数幂的定义，得． 设b＝，由定义，得b2＝，即b＝(b＞0)，所以＝64． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 反思领悟　解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 [跟进训练] 4．求下列各式的值： ；． [解]　(1)设＝x，则x3＝125， 又∵53＝125，∴＝5． (2)设＝x，则x7＝128-1＝， 又∵，∴． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 学习效果·课堂评估夯基础 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) 表示个2相乘． (　　) (a>0，m，n∈N＋，且n>1)． (　　) (a>0，m，n∈N＋，且n>1)． (　　) ×　 ×　 √ §1　指数幂的拓展 2．可化为(　　) 3．计算等于(　　) A．9 　 B．3 C．±3 　 D．－3 √ B　[由35＝243，得＝3．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 4．若b-3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝________． 5．用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)． (1)＝________； (2)＝________． 　 　[(1)． (2)．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 课时分层作业(二十)　指数幂的拓展 一、选择题 1．下列各式正确的是(　　) A．＝－3　B．＝a　C．＝－2　D．＝2 C　[由于＝－2，故选项A，B，D错误，故选C．] 26 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ．＝(　　) A． 　B． C． 　D． √ D　[，设b＝，则b4＝，所以b＝(b>0)，所以． 故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 27 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3．下列各式中正确的是(　　) A． B． C． D． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 28 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．若有意义，则a的取值范围是(　　) A．a≥0 　 B．a＝2 C．a≠2 　 D．a≥0且a≠2 √ D　[由题知 得a≥0且a≠2，故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 29 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是(　　) A．－ B．(x≠0) C． D． √ C　[故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 30 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 ．中x的取值范围是_________． 　[要使该式有意义，需3－2x>0， 即x<．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 31 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．的值为________． －6　[＝＝4－－4， 所以原式＝－6＋4－－4＝－6．] －6　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 32 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．化简：＝________． 6　[原式＝＝6．] 6　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 33 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．化简下列各式： (1)；(2) ；(3) ． [解]　(1)＝－2． (2)＝10． (3) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 34 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．化简：． [解]　原式＝|x－2|＋|x＋2|． 当x≤－2时，原式＝(2－x)＋[－(x＋2)]＝－2x； 当－2<x<2时，原式＝(2－x)＋(x＋2)＝4； 当x≥2时，原式＝(x－2)＋(x＋2)＝2x． 综上， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 35 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．给出下列4个等式：①＝±2；②；③若a∈R，则＝1；④设，则＝a．其中正确的个数是(　　) A．0 　 B．1 C．2 　 D．3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 36 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[①中＝2，所以①错误； ②错误； ③因为a2－a＋1>0恒成立，所以有意义且恒等于1，所以③正确； ④若n为奇数，则＝a，若n为偶数，则，所以当n为偶数时，a<0时不成立，所以④错误．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 37 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．已知a＜，则化简的结果是(　　) A． 　 B．－ C． 　 D．－ √ C　[由a＜知，4a－1＜0，所以 ，故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 38 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．当a>0时，等于_________． －x　[因为a>0，所以x≤0，．] －x　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 39 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＝_________，a＋b＝________． ±9　－11或7　[因为81的平方根为±9， 所以a＝±9． 又因为－8的立方根为－2，所以b＝－2． 所以a＋b＝－11或a＋b＝7．] ±9　 －11或7 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 40 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值． [解]　∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根， ∴∵a＞b＞0， ∴>， ∴． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §1　指数幂的拓展 41 $