3.1 指数幂的拓展教学设计-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第三章 指数运算与指数函数 3.1 指数幂的拓展 教学目标 1.理解分数指数幂、实数指数幂的概念. 2.经历从整数指数幂拓展到实数指数幂的过程,体会数学的发展过程. 教学重难点 重点:理解分数指数幂的概念. 难点:用有理数指数幂逼近无理数指数幂. 教学过程 1、 新课导入 同学们你们还记得初中我们学习过的整数指数幂的运算性质吗? 整数指数幂及其运算性质: 无意义;n个 ,,,, 其中,,是正数,m、n是正整数. 二、新知探究 问题1:薇甘菊的侵害面积(单位:)与年数t满足关系式,其中为侵害面积的初始值.根据这个关系式,我们可以计算经出10年后,薇甘菊的侵害面积是,其中是我们学过的整数指数幂的形式,那么经过15.5年,薇甘菊的侵害面积是多少呢?我们怎样表示? 答案:经过15.5年后,根据关系式得到侵害面积. 设计意图:引导学生从实际背景中体会分数指数幂产生的必要性. 追问:由刚才的,我们发现指数不是整数而是小数,即也可以把指数看作分数,那么我们该如何定义分数指数幂呢? 答案:给定正数和正整数m、n,(n>1,且m、n互素),若存在唯一的正数,使得=,则称为的次幂,记作=,这就是正分数指数幂. 例如:若=,则=;若=,则=. 设计意图:帮助学生理解抽象的概念. 问题2:类比负整数指数幂和正分数指数幂的定义,我们可以给出负分数指数幂的定义吗? 答案:类似负整数指数幂的定义,可以定义负分数指数幂.给定正数和正整数m、n(n>1,且m、n互素)定义 . 至此,指数幂已经从整数指数幂拓展到有理数指数幂了. 问题3:指数幂的范围还可以拓展到无理数指数幂吗? 解:下面以为例来认识无理数指数幂 因为无理数,所以. 上述不等式中,左边的数称为的不足近似值,右边的数称为的过剩近似值.把以10为底数、的不足近似值为指数的各个幂,由小到大排成一列数 ,,,,, 同样,把以10为底数、的过剩近似值为指数的各个幂,由大到小排成一列数 ,,,,, 借助计算器,可得下表 从表可以看出,的不足近似值和过剩近似值相同的位数越多,即的近似值精确度越高,以其不足近似值和过剩近似值为指数的幂会越来越趋近于同一个数,我们把这个数记为,即=25.954. 一般地,给定正数,对于任意的正无理数,可以用类似的方法定义一个实数.自然地,规定:.例如,.这样,指数幂中指数的范围就拓展到了全体实数. 3. 应用举例 例1:把下列各式中的正数写成正分数指数幂的形式: (1)=20;(2)=;(3)=(m、n).(4)=(m、n). 解:(1) ;(2) ;(3) ;(4). 注意:①被开方式中字母取值为正数; ②不是所有的根式形式都能改写成正分数指数幂的形式,例如,尽管有,但不可以写成的形式; ③有时我们把正分数指数幂写成根式,即 . 例2 计算:(1) ;(2) ;(3) . 解:(1)设,由定义,得=,8. (2)由负分数指数幂的定义,得,设,由定义,得=27,3,所以. (3)由负分数指数幂的定义,得,设,由定义,得==,即,所以. 四、课堂练习 1.把下列各式中的写成负分数指数幂的形式: (1)32 ; ;(3)(m、n). 2.计算:(1) ;(2). 参考答案: 1.(1) ;(2) , (3) . 2.(1) (2) 五、课堂小结 1.正分数指数幂:给定正数和正整数m、n,(n>1,且m、n互素),若存在唯一的正数,使得=,则称为的次幂,记作=,这就是正分数指数幂. 2.负分数指数幂:给定正数和正整数m、n,(n>1,且m、n互素),定义,这就是负分数指数幂. 2.指数幂中指数的范围可以拓展到全体实数. 六、布置作业 教材第77页练习题3-1A组第1~3题. 学科网(北京)股份有限公司 $$