精品解析：河南省南阳市镇平县第一高级中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

2025-2026学年高三上学期10月试题 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等比数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 直线上 B. 直线上 C. 直线上 D. 直线上 4. 在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知实数构成公差为的等差数列，若，，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 6. 已知，则数列的偶数项中最大项为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列的前4项. 记，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不能确定 8. 是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设等差数列的前n项和为，e是自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，，，是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等差数列 D. 当p，q均为正整数且时， 10. 记数列的前项和为为常数.下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 存在常数A、B，使数列是等比数列 D. 对任意常数A、B，数列都是等差数列 11. 设等比数列前项积为，公比为．若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 使成立的最大自然数是4046 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知在递增的等比数列中，，，则数列的通项公式为______． 13. 设数列的通项公式为，该数列中个位数字为0的项按从小到大的顺序排列构成数列，则被7除所得的余数是______. 14. 如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为__________.若在线段上有一个动点，则的最小值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足． （1）求B； （2）若，E为AC的中点，求； （3）若，D为△ABC外接圆上一点（D与B位于AC的异侧），当四边形ABCD的面积取得最大值时，求BD的长． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求在区间上的零点个数． 17. 已知正项数列的前项和为，且满足.试求: （1）数列的通项公式; （2）记，数列的前项和为，当时，求满足条件的最小整数. 18. 已知是等差数列，公差，，且是与的等比中项. （1）求的通项公式 （2）数列满足，且. （ⅰ）求的前n项和. （ⅱ）是否存在正整数m，n（），使得，，成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 19. 如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”. （1）设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项； （2）设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和. ①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值? ②若，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三上学期10月试题 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等比数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式特征求解即可. 【详解】若等比数列的公比为， 因为， 则，矛盾，故 设等比数列公比为，则， 即等比数列的前项和要满足， 又因为，所以. 故选：B 2. 已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的极大值点得，然后由等差数列性质结合诱导公式可得. 【详解】由正弦函数性质知，当，即时，函数取得极大值， 则，由等差数列性质，得， 所以. 故选：D 3. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 直线上 B. 直线上 C. 直线上 D. 直线上 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算以及除法法则可得，求得其对应点坐标可得结论. 【详解】易知， 所以， 可得复数在复平面内对应的点的坐标为，位于直线上. 故选：B 4. 在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列性质得到，进而得到. 【详解】由得，即， 因为等比数列各项均为正数，所以， 故选：D. 5. 已知实数构成公差为的等差数列，若，，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列性质可得，再构造函数并求出函数单调性求出函数最值，解不等式即可求得的取值范围. 【详解】根据题意可知， 由可得，因此， 设，则， 令，解得， 所以当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值，易知； 因此，即， 解得或. 因此的取值范围为. 故选：A 6. 已知，则数列的偶数项中最大项为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作商探讨数列的单调性，进而求出最大项即可. 【详解】数列中，，则， 令，解得，则当时，，即， 同理当时，，即，而当时，， 所以数列的偶数项中最大项为. 故选：D 7. 如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列的前4项. 记，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象的规律，归纳各项，通过放缩结合等比数列的求和公式即可求解. 【详解】由图分析可知，， ， ， 依次类推，， 所以 . 故选：. 8. 是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线定理的推论，投影向量的概念，数形结合，即可求解． 【详解】设，（且）， 则（且）， 则在线段上，如图所示， 当与重合时，在上的投影向量的长度取得最大值，最大值为； 当与重合时，在上的投影向量的长度取得最小值，最小值为； 则在上的投影向量的长度的取值范围是． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设等差数列的前n项和为，e是自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，，，是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等差数列 D. 当p，q均为正整数且时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等差数列和等比数列的定义可判定A,B,C选项，利用等差数列的求和可判定D选项. 【详解】对于A，令，则，， 当时，，即， 所以，，不是等差数列，故A错误； 对于B，设的公差为d，则（定值）， 所以是公比为的等比数列，故B正确； 对于C，，故是公差为的等差数列，故C正确； 对于D，， ， 所以，故D正确． 故选：BCD． 10. 记数列的前项和为为常数.下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 存在常数A、B，使数列是等比数列 D. 对任意常数A、B，数列都是等差数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据与的关系求得可判断A；由可判断B；取可得是公比为1的等比数列，可判断C；当时，根据等差数列定义验证，可判断D. 【详解】对于A，若，则，A正确； 对于B，若，则，B正确； 对于C，由得， 当时，， 所以，当时，数列是公比为1的等比数列，C正确； 对于D，由上知，当时，若，则， 此时，数列不是等差数列，D错误. 故选：ABC 11. 设等比数列前项积为，公比为．若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 使成立的最大自然数是4046 【答案】ACD 【解析】 【分析】AC选项，根据题目条件得到，AC正确；B选项，利用等比数列性质得到；D选项，根据等比数列的性质得到，，，从而D正确. 【详解】A选项，，，故或， 当时，由可知， 所以，但，互相矛盾，舍去， 当时，又，所以， 故满足要求，A正确； B选项，，B错误； C选项，因为，， 故当时，取最大值，C正确； D选项，由于，故当时， ， ， ， 使成立的最大自然数是4046，D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知在递增的等比数列中，，，则数列的通项公式为______． 【答案】 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的性质可得，即有，解出的值，即可求出公比，得出通项. 【详解】设等比数列的公比为q，因为，所以，解得， 又，所以有， 由是递增的等比数列，解得， 所以， 即有. 故答案为：. 13. 设数列的通项公式为，该数列中个位数字为0的项按从小到大的顺序排列构成数列，则被7除所得的余数是______. 【答案】 【解析】 【分析】由个位数字代入通项公式可知，连续10项中有6项的个位数字为0，从而把数列中的第2017项转化到数列中的第3361项，再通过除以7余数为1，就可以推出结果. 【详解】因为，所以当的个位数字为时， 的个位数为，则在数列中，每连续10项中就有6项的个位数字为0， 而，由此推断数列中的第2017项相当于数列中的第3361项， 即，而，所以除以7余数为1， 而，，所以除以7余数也为1， 而它们的差一定能被7整除，所以被7除所得余数为0. 故答案为：0. 14. 如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为__________.若在线段上有一个动点，则的最小值为_________. 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】易知正方形与正方形的中心为，然后将涉及到的向量用或来表示，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】由已知得正方形与正方形的中心重合，不妨设为， 所以，， 则； ， 显然，当为的中点时，， 所以 故答案为：6；． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足． （1）求B； （2）若，E为AC的中点，求； （3）若，D为△ABC外接圆上一点（D与B位于AC的异侧），当四边形ABCD的面积取得最大值时，求BD的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理边角互换，再应用余弦定理求角即可； （2）根据中点得出向量关系平方应用数量积公式计算求解； （3）先应用正弦定理求角，再结合四点共圆得出边长，最后正弦定理求边长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，得， 整理，得， 由余弦定理，得. 因为，所以. 【小问2详解】 因为， 所以. 【小问3详解】 由正弦定理，知， 因为，，，所以，所以， 因为，所以，所以，. 因为A，B，C，D四点共圆，所以，， 当四边形ABCD的面积取得最大值时，D为的中点， 即，， ， 在△BDC中，由正弦定理得，， 所以，所以. 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求在区间上的零点个数． 【答案】（1） （2）在区间上有且仅有两个零点 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解斜率，然后利用点斜式方程求解即可； （2）利用导数求出函数的单调区间，再结合极值点的取值情况即可判断零点个数. 【小问1详解】 当时，，， 所以，， 切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，，， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，故，又， 所以存在，使得， 当时，，单调递增，因为， 所以存在，使得， 当时，，无零点． 综上，在区间上有且仅有两个零点． 17. 已知正项数列的前项和为，且满足.试求: （1）数列的通项公式; （2）记，数列的前项和为，当时，求满足条件的最小整数. 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）由已知结合和与项的递推关系进行转化，结合等差数列的通项公式即可求解； （2）利用裂项求和求出，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解． 【小问1详解】 因为， 当时，， 当时，， 因为， 两式相减得，， 因为，所以， 所以，均为等差数列，，． 所以； 【小问2详解】 由题意得，， 所以， 因为， 所以， 解得．所以满足条件的最小整数为9． 18. 已知是等差数列，公差，，且是与的等比中项. （1）求的通项公式 （2）数列满足，且. （ⅰ）求的前n项和. （ⅱ）是否存在正整数m，n（），使得，，成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，，． 【解析】 【分析】（1）由等差中项得到，由等比中项得到，解出，求得的通项公式； （2）（ⅰ）根据，由累加法得到数列的通项公式进而得到数列的通项公式，裂项相消法求和； （ⅱ）假设存在，分别表示出，，，由等差中项得到，得到或，解得，符合题意. 【小问1详解】 因为为等差数列，且，所以． 又是与的等比中项，所以，即． 化简得，解得或（舍）， 所以． 【小问2详解】 （i）由，得，所以（），又， 当时， ， 又也适合上式，所以， 则， 所以． （ⅱ）假设存在正整数m，n，使得，，成等差数列， 则，即，整理得， 显然是25的正约数，又，则或， 当，即时，与矛盾； 当，即时，，符合题意， 所以存在正整数使得，，成等差数列，此时，． 【点睛】方法点睛：裂项相消法求和常见的裂项方法 （1），特别地当时，； （2），特别地当时，； （3） （4） （5） 19. 如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”. （1）设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项； （2）设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和. ①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值? ②若，且，求的最小值. 【答案】（1）1，3，5，7，5，3，1 （2）①1012；②2025 【解析】 【分析】（1）根据新定义“对称数列”的定义和已知条件可求得公比，进而求得结果； （2）①根据对称数列的定义可得数列为等差数列，然后根据二次函数的性质来求解；②由条件得到数列相邻两项间的大小关系，并结合定义求得的取值范围，然后结合已知条件确定出最后的结果 【小问1详解】 因为数列是项数为7的“对称数列”，所以， 又因为成等差数列，其公差，… 所以数列的7项依次为1，3，5，7，5，3，1； 【小问2详解】 ①由，，…，是单调递增数列，数列是项数为的“对称数列”且满足， 可知，，…，构成公差为2的等差数列，，，…，构成公差为的等差数列， 故 ， 所以当时，取得最大值； ②因为即， 所以即， 于是， 因为数列是“对称数列”， 所以 ， 因为，故， 解得或，所以， 当，，…，构成公差为的等差数列时，满足， 且，此时，所以的最小值为2025. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解对称数列的定义，第二问①关键是得到，，…，构成公差为的等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $