第03讲 多边形和圆的初步认识（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

第03讲 多边形和圆的初步认识 知识点1：多边形的概念 知识点2：圆的定义和性质 知识点3：圆心角 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 （3）多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： （4）截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n+1边形 【题型一 多边形的概念与分类】 【典例1】如图所示的图形中，多边形的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3】如图所示的图形中，属于多边形的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型二 正多边形概念辨析】 【典例2】下列说法正确的是（    ） A．正三角形不是正多边形 B．平行四边形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【变式1】一个正八边形的周长是16cm，则这个正八边形的边长是 cm． 【变式2】如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为 ． 【变式3】一个正八边形的边长为5．则它的周长为 ． 【题型三 多边形截角后的边数问题】 【典例3】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【变式1】若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【变式2】将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（    ） A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 【变式3】如图，将一个长方形剪去一个角，则剩下的多边形为（    ）    A．五边形B．四边形或五边形C．三角形或五边形D．三角形或四边形或五边形 【题型四 多边形的周长】 【典例4】已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【变式1】一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 【变式2】【图形的剪切】将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（    ） A．减少 B．不变 C．增加 D．无法确定 【题型五 网格中多边形面积比较】 【典例5】如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【变式1】如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 【变式2】如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为 【变式3】计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 【题型六 多边形对角线的条数问题】 【典例6】一个多边形从一个顶点处可以引出条对角线，这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】十边形的对角线的数量为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若边形的对角线共有条，则这个多边形是 边形． 【变式3】过多边形的一个顶点能引出条对角线，则这个多边形的边数是 ． 【题型七 对角线分成的三角形个数问题】 【典例7】从边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其他顶点，可以得到2023个三角形，则等于（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式1】从七边形纸片的一个顶点出发画对角线，沿着这些对角线一共把这个七边形剪成 个三角形． 【变式2】从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，分割得到2025个三角形，则这个多边形的边数为 ． 【变式3】如图所示的蜂巢由许多六边形构成，将六边形三角剖分，可以分割成三角形的个数为 ． 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个 备注：圆心确定圆的位置，半径长端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2） 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 【题型八 圆的基本概念辨析】 【典例8】已知的半径是，则中最长的弦长是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知的直径为，是中最长的弦，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列说法中，正确的是（   ） A．弦是直径 B．半圆是弧 C．长度相等的弧是等弧 D．过圆心的直线是直径 【变式3】如图，在中，弦有 ，直径有 ，劣弧有 ，优弧有 ． 【题型九 圆的周长和面积问题】 【典例9】把圆剪拼成长方形（如图），圆的周长比长方形少，长方形的面积是（　　）． A． B． C． D． 【变式1】如图所示，甲、乙两只蚂蚁同时从点A出发，甲沿着外侧的大圆爬行，乙在里面两个小圆沿“8”字形爬行．如果两只蚂蚁爬行的速度相同，那么先回到点A的是（    ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法确定 【变式2】【圆的周长】小圆的直径是，大圆的半径是，小圆周长是大圆周长的（     ） A． B． C． D． 【变式3】如图，周长为12.56厘米的圆的面积与长方形的面积相等，则阴影部分的面积与圆面积的比是 ． 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 【题型十 圆心角概念辨析及简单运算】 【典例10】下列图形中的角，是圆心角的为（    ） A． B． C． D． 【变式1】下面图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为，则丁扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．石矶娘娘问铜镜：“谁是方圆十里最美的女人？”这里的方圆十里中的十里是指圆的（   ） A．半径 B．直径 C．周长 D．面积 2．给出下列关于七边形的说法：①七边形有7条边；②七边形有7个内角；③七边形有7个顶点；④七边形有7条对角线．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．从五边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将五边形分成n个三角形，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．下列哪句话是错误的（    ） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．圆上各点到圆心的距离相等 D．长度相等的两段弧是等弧 5．从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 二、填空题 7．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 8．如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角 . 9．连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，若从多边形的一个顶点可以引出九条对角线，则这个多边形是 边形． 10．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成8个三角形，则n的值是 ． 11．如图所示，已知大圆半径为R，小圆半径为r，则请用含R、r的代数式表示出阴影部分的面积 （不取近似值） 12．如图，在中，是直径，是弦，延长相交于点，且，，则 ． 三、解答题 13．一个运动场如图，两端是半圆形，中间是长方形．这个运动场的周长是多少米？面积是多少平方米？ 14．探究与归纳： (1)如图①，经过点A可以作1条对角线；经过点B可以作 条对角线；经过点C可以作 条对角线；经过点D可以作 条对角线．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线． (2)运用（1）的分析方法，可得图②共有 条对角线，图③共有 条对角线． (3)对于n边形（），共有 （用含n的式子表示）条对角线． (4)对于n边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成 （用含n的式子表示）个三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 多边形和圆的初步认识 知识点1：多边形的概念 知识点2：圆的定义和性质 知识点3：圆心角 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 （3）多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： （4）截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n+1边形 【题型一 多边形的概念与分类】 【典例1】如图所示的图形中，多边形的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了多边形，关键是掌握多边形的定义． 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，由此即可判断． 【详解】解：题图中依次是扇形、八边形、半圆形、五边形和长方体，其中八边形和五边形是多边形， 所以多边形的个数为， 故选：A． 【变式1】下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了凸多边形的定义，正确理解凸多边形的定义是解决此类问题的关键． 根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形．否则即是凹多边形． 【详解】解：不是凸多边形的是选项C中的多边形． 故选：C． 【变式2】用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的概念，将正多边形补齐即可解答，熟知正多边形的概念是解题的关键． 【详解】解：根据正多边形的意义将图形补充完整如图． ， 由图形可得这个正多边形是八边形． 故选：D． 【变式3】如图所示的图形中，属于多边形的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查多边形，根据多边形定义，逐个验证即可得到答案． 【详解】解：所示的图形中，多边形共有2个， 故选：A． 【题型二 正多边形概念辨析】 【典例2】下列说法正确的是（    ） A．正三角形不是正多边形 B．平行四边形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的定义，牢记各边相等且各角相等是解题关键． 根据正多边形的定义逐一分析即可． 【详解】解：正多边形需同时满足各边相等和各角相等． ∵正三角形各边相等、各角相等， ∴是正多边形，故A错误； ∵平行四边形邻边不一定相等，邻角也不一定相等， ∴不一定是正多边形，故B错误； ∵正方形各边相等、各角相等， ∴是正多边形，故C正确； ∵各角相等的多边形边不一定相等（如矩形）， ∴不一定是正多边形，故D错误． 故选：C． 【变式1】一个正八边形的周长是16cm，则这个正八边形的边长是 cm． 【答案】 【分析】本题需要根据正多边形的周长公式来求解正八边形的边长． 【详解】正八边形有条边，且每条边长度相等． 设正八边形的边长为，根据正多边形周长公式，可得 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的周长，掌握正边形的周长等于边长乘以，利用这一公式建立方程求解正八边形的边长是解题的关键． 【变式2】如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为 ． 【答案】96 【分析】本题考查了求周长，需合理分析图形，利用的是矩形的周长公式．题目中是一个多边形，求周长应把图中的多边形分成各个矩形求解或把多边形变为整体一个矩形求解即可． 【详解】解：如图： 矩形的长为， ， ， ∴主板的周长为， 故答案为：96． 【变式3】一个正八边形的边长为5．则它的周长为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查正多边形的性质，根据正八边形边长相等，用边长乘以8即可得出答案． 【详解】解：由题意得周长为：． 故答案为：40． 【题型三 多边形截角后的边数问题】 【典例3】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 【变式1】若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：若一个四边形截去一个角后，可能为3或4或5边形． 故选：C． 【变式2】将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（    ） A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 【答案】D 【分析】分三种情况，画出图形，即可得出结果． 【详解】解：如图，减去一个角有三种情况，    ∴剩下纸片的角的个数为3或4或5； 故选D． 【点睛】本题主要考查了在不同情况下正方形的不同剪法，做此题考虑要全面不要遗漏，解答此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 【变式3】如图，将一个长方形剪去一个角，则剩下的多边形为（    ）    A．五边形B．四边形或五边形C．三角形或五边形D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】沿对角线剪，沿一个角剪，沿一个角下方一点剪，进而得出结论． 【详解】解：如图所示，    故选：D． 【点睛】此题主要考查了多边形的角，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 【题型四 多边形的周长】 【典例4】已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】C 【分析】此题主要考查正多边形的性质．根据正八边形的八条边长相等即可得出正八边形的周长． 【详解】解：正八边形八条边长相等，， 故选：． 【变式1】一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查正方形的周长的问题，在一个正方形上的4个角剪去边长1厘米的小正方形，我们可以在脑海里想象这个画面也可以用画图的方法，得出答案． 【详解】解：这个正方形原来的周长：；剪去小正方形后的周长：；那么它的周长不变． 故选D． 【变式2】【图形的剪切】将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（    ） A．减少 B．不变 C．增加 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了周长的求解，原正方形边长为30厘米，剪去四个角的小正方形后，虽然原边长被截短，但新增了与原截短部分等长的边，故周长不变． 【详解】解：如图：    因为剪去一个小正方形后，剪掉了与的长度，但又多出了与的长度，并且， 同样在其它的三个角剪正方形也是这样的，所以它的周长与原来相比不变， 故选：B． 【题型五 网格中多边形面积比较】 【典例5】如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 【变式1】如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 【变式2】如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为 【答案】9 【分析】本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解． 【详解】解：如下图，作， 六边形是正六边形， ，， 的面积为3， ， 四边形的面积为， 故答案为：9． 【变式3】计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了用“方格法”来计算四角形的面积，结合图形得出公式中的相关字母的值，则问题不难解答．根据图形分别得出和的值，代入公式计算即可． 【详解】解：由图形可知，， ． 【题型六 多边形对角线的条数问题】 【典例6】一个多边形从一个顶点处可以引出条对角线，这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握对角线条数的计算方法是解题的关键． 一个边形从一个顶点处可以引出条对角线，由此计算即可． 【详解】解：一个边形从一个顶点处可以引出条对角线， ， ， 故选：． 【变式1】十边形的对角线的数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据对于任意边形，其对角线总数为，据此求解即可． 【详解】解：十边形一共多少条对角线为， 故选：A． 【变式2】若边形的对角线共有条，则这个多边形是 边形． 【答案】八 【详解】本题考查了多边形对角线的条数问题，利用多边形对角线条数公式建立方程，即有，然后根据因数求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：根据题意得， 所以， 因为， 所以， 故答案为：八． 【变式3】过多边形的一个顶点能引出条对角线，则这个多边形的边数是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键． 根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数公式列方程求解即可． 【详解】解：∵从一个多边形的一个顶点出发可以引出5条对角线，设多边形边数为n, ∴，解得：． 故答案为：8． 【题型七 对角线分成的三角形个数问题】 【典例7】从边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其他顶点，可以得到2023个三角形，则等于（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查基本平面图形的认识．从n边形的一个顶点出发，连接所有其他顶点（实际画对角线），将多边形分割成三角形的数量为个，据此即可计算． 【详解】解：从n边形的一个顶点出发，连接所有其他顶点（画对角线），可得到个三角形， 由题意得， ∴． 故选：D． 【变式1】从七边形纸片的一个顶点出发画对角线，沿着这些对角线一共把这个七边形剪成 个三角形． 【答案】5 【分析】本题考查多边形的对角线，利用多边形的对角线性质列式计算即可． 【详解】解：从七边形纸片的一个顶点出发，沿对角线将其剪成三角形纸片，则可以剪成三角形的个数为（个）， 故答案为：5． 【变式2】从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，分割得到2025个三角形，则这个多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了从多边形的一顶点出发，连接其余各个顶点得到的“三角形个数多边形的边数”这一性质，熟练掌握本性质是解题的关键． 可根据多边形的一顶点，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系求解． 【详解】解：根据“多边形的边数=三角形个数”，题干得到2025个三角形，则这个多边形的边数为． 故答案为：． 【变式3】如图所示的蜂巢由许多六边形构成，将六边形三角剖分，可以分割成三角形的个数为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多边形对角线分三角形个数问题，根据n边形最少可以分个三角形即可得到答案， 【详解】解：如图所示，过点A的所有对角线，可分割六边形得到， ∴每个六边形至少可以分割成三角形的个数为4个， 故答案为：4． 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个 备注：圆心确定圆的位置，半径长端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2） 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 【题型八 圆的基本概念辨析】 【典例8】已知的半径是，则中最长的弦长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆的性质． 根据直径是圆中最长的弦解答即可． 【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，的半径为， ∴⊙O最长的弦为， 故选：B． 【变式1】已知的直径为，是中最长的弦，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，直径的定义，解题的关键是熟记圆的相关定义并灵活运用．根据直径的定义直接求解即可． 【详解】解： 是中最长的弦， 是中的直径， 的直径为， ． 故选：B ． 【变式2】下列说法中，正确的是（   ） A．弦是直径 B．半圆是弧 C．长度相等的弧是等弧 D．过圆心的直线是直径 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，理解弦、直径、弧、等弧的定义是解题的关键。 根据弦、弧、半圆、直径的定义逐一判断各选项的正确性即可。 【详解】解：A选项错误：弦是连接圆上两点的线段，而直径是过圆心的特殊弦，但并非所有弦都是直径。 B选项正确：半圆是圆上任意一条直径的两个端点分成的弧，属于弧的一种。 C选项错误：等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，仅长度相等不一定为等弧。 D选项错误：直径是过圆心的线段（两端点在圆上），而直线是无限延伸的，不能称为直径。 故选：B 【变式3】如图，在中，弦有 ，直径有 ，劣弧有 ，优弧有 ． 【答案】 AB，AC AC ， ， 【分析】本题考查了圆的弦、直径、劣弧、优弧，掌握这些定义是解题的关键． 本题根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段；直径的定义：经过圆心的弦；劣弧的定义：小于半圆的弧；优弧的定义：大于半圆的弧即可解决问题． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段， ∴图中的弦有：； ∵直径是经过圆心的弦， ∴图中的直径有：； ∵劣弧是小于半圆的弧， ∴图中的劣弧有：， ∵优弧是大于半圆的弧， ∴图中的优弧有：，． 故答案为：；；，；，． 【题型九 圆的周长和面积问题】 【典例9】把圆剪拼成长方形（如图），圆的周长比长方形少，长方形的面积是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆、长方形的周长、圆的面积，解决本题的关键是拼成的长方形的周长比圆的周长增加了 2 条半径长． 拼成的长方形的周长比圆的周长增加了2条半径长，从而求出半径长，代入计算即可． 【详解】解：∵圆的周长比长方形少， 半径是（厘米）， 长方形的长是（厘米）， 长方形的面积是（平方厘米）． 故选：C． 【变式1】如图所示，甲、乙两只蚂蚁同时从点A出发，甲沿着外侧的大圆爬行，乙在里面两个小圆沿“8”字形爬行．如果两只蚂蚁爬行的速度相同，那么先回到点A的是（    ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查圆的周长，明确两个小圆的周长等于大圆的周长是解题的关键． 由题意可知，甲蚂蚁走的路程是大圆的周长，乙蚂蚁走的路程是两个小圆周长的和，设大圆的直径是，左边的小圆的直径是，右边的小圆的直径是，观察图形可知，所以甲蚂蚁和乙蚂蚁走的路程相同，根据路程÷速度=时间，据此解答即可。 【详解】解：设大圆的直径是，左边的小圆的直径是，右边的小圆的直径是， 则甲、乙两只蚂蚁爬行的路程分别为：，， 观察图形可知， ∴， ∵两只蚂蚁爬行的速度相同， ∴同时到达． 故选：C． 【变式2】【圆的周长】小圆的直径是，大圆的半径是，小圆周长是大圆周长的（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的面积的计算，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键． 根据圆的面积公式计算即可． 【详解】解：∵小圆的直径是，大圆的半径是，， ∴小圆的周长是，大圆的周长是， ∴小圆周长是大圆周长的， 故选：A． 【变式3】如图，周长为12.56厘米的圆的面积与长方形的面积相等，则阴影部分的面积与圆面积的比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求圆的面积，根据：，可先求出圆的半径，进而求出圆的面积即是长方形的面积，圆的面积×就是阴影部分的面积，再分别算出圆面积和阴影部分的面积，再求出它们的比． 【详解】解：半径：（厘米) 圆面积为（平方厘米） 阴影部分的面积为 （平方厘米) 则． 故答案为： 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 【题型十 圆心角概念辨析及简单运算】 【典例10】下列图形中的角，是圆心角的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； B、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； C、是圆心角，故本选项符合题意； D、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆心上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键． 【变式1】下面图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； B．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．是圆心角，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆心角的定义，注意：顶点在圆心上，并且两边和圆相交的角，叫圆心角． 【变式2】如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 根据等腰三角形的性质求出，，再根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3】如图，已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为，则丁扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需要根据扇形面积与圆心角的关系来求解丁扇形的圆心角． 【详解】已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为，那么整个圆的面积可看作份 丁扇形的面积占6份，所以丁扇形面积占整个圆面积的比例为 ∵整个圆的圆心角是 ∴丁扇形的圆心角为． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积与圆心角的关系，掌握在同一个圆中，扇形的面积比等于圆心角的比，利用这一关系结合圆的圆心角为，计算扇形的圆心角是解题的关键． 一、单选题 1．石矶娘娘问铜镜：“谁是方圆十里最美的女人？”这里的方圆十里中的十里是指圆的（   ） A．半径 B．直径 C．周长 D．面积 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的相关概念，“方圆”通常指的是以某点为中心的圆形区域，“十里”描述的是这个圆形区域的某种域长度特征． 【详解】解：“方圆十里”意思是以某个中心为圆心，半径为十里的圆形范围， 所以这里的“十里’指的是圆的半径． 故选：A． 2．给出下列关于七边形的说法：①七边形有7条边；②七边形有7个内角；③七边形有7个顶点；④七边形有7条对角线．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题需要根据多边形的基本概念，对关于七边形的四个说法逐一进行判断，从而确定正确说法的个数． 【详解】说法①：根据多边形的定义，边形有条边，所以七边形有7条边，该说法正确； 说法②：边形有个内角，所以七边形有7个内角，该说法正确； 说法③：边形有个顶点，所以七边形有7个顶点，该说法正确； 说法④：边形对角线的条数公式为，对于七边形，，则对角线的条数为条，不是7条，该说法错误． 所以正确的说法有①②③，共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的基本概念，掌握边形有条边、个内角、个顶点，对角线的条数公式为，据此判断关于七边形说法的正误是解题的关键． 3．从五边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将五边形分成n个三角形，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查多边形的对角线，边形从一个顶点出发可引出条对角线，它们把边形分成个三角形，由此即可计算． 【详解】解：∵从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形， ， ∴的值为． 故选：A． 4．下列哪句话是错误的（    ） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．圆上各点到圆心的距离相等 D．长度相等的两段弧是等弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的相关概念，根据圆的定义、弦、弧及等弧定义判断即可． 【详解】解：A、直径是圆中最长的弦，正确，故本选项不符合题意； B、半圆是弧，正确，故本选项不符合题意； C、圆上各点到圆心的距离相等，正确，故本选项不符合题意； D、在同圆或等圆中，长度相等的两段弧是等弧，原说法错误，故本选项符合题意． 故选：D． 5．从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线，如果一个多边形有条边，那么从边形的一个顶点出发可以引条对角线，根据这个知识点作答即可得出答案，熟练掌握该知识点是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形有条边，那么从一个顶点出发可以引条对角线，依题意，可知， ， 故选：C． 6．过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查的是多边形的对角线，根据边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，即可求解． 【详解】解：， 解得：， 所以这个多边形的边数是 故选：C 二、填空题 7．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 8．如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角 . 【答案】 【分析】的度数即为所对圆心角的度数； 【详解】解：的度数即为所对圆心角的度数； ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系；正确理解圆心角的定义是解题的关键． 9．连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，若从多边形的一个顶点可以引出九条对角线，则这个多边形是 边形． 【答案】十二 【分析】本题考查了多边形对角线数量问题，掌握多边形从一个顶点可以引出条对角线是解题的关键． 根据n边形从一个顶点可以引出条对角线即可求解． 【详解】解：∵从多边形的一个顶点可以引出九条对角线， ∴，则这个多边形是十二边形， 故答案为：十二． 10．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成8个三角形，则n的值是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查的是多边形对角线的性质，根据从一个n边形的某个顶点出发，可分为的三角形作答． 【详解】解：根据题意可知：， 解得：， 故答案为：10 11．如图所示，已知大圆半径为R，小圆半径为r，则请用含R、r的代数式表示出阴影部分的面积 （不取近似值） 【答案】 【分析】本题主要考查了用代数式表示，求阴影部分的面积， 先求出圆环的面积，再根据阴影部分的面积等于圆环面积得出答案． 【详解】圆环的面积等于， 所以阴影部分的面积等于． 故答案为：． 12．如图，在中，是直径，是弦，延长相交于点，且，，则 ． 【答案】57 【分析】本题考查的是圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形，利用等腰三角形及三角形外角的性质求解是解答此题的关键．连接，由可得出，故可得出的度数，根据三角形外角的性质求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，根据补角的定义即可得出结论． 【详解】解：连接， ，， ， ． 是的外角， ． ， ， ， ． 故答案为：57． 三、解答题 13．一个运动场如图，两端是半圆形，中间是长方形．这个运动场的周长是多少米？面积是多少平方米？ 【答案】这个运动场的周长是米，面积是平方米． 【分析】本题考查了长方形，圆的周长和面积，运动场的周长是中间长方形的两条长加上圆的周长，运动场的面积是中间长方形的面积加上圆的面积，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：这个运动场的周长是：（米）， 这个运动场的面积是：（平方米）， 答：这个运动场的周长是米，面积是平方米． 14．探究与归纳： (1)如图①，经过点A可以作1条对角线；经过点B可以作 条对角线；经过点C可以作 条对角线；经过点D可以作 条对角线．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线． (2)运用（1）的分析方法，可得图②共有 条对角线，图③共有 条对角线． (3)对于n边形（），共有 （用含n的式子表示）条对角线． (4)对于n边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成 （用含n的式子表示）个三角形． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）（2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据探索，可发现规律从而得到答案． 【详解】（1）解：根据公式 当 时为 通过以上分析和总结，图①共有条对角线． （2）解：运用（1）的分析方法，通过画图，可得图②共有条对角线，图③共有条对角线． （3）解：对于n边形（），从边形的一个顶点出发，可以作条对角线，因为有个顶点，且每条对角线重复计算了一次，所以共有条对角线． （4）解：如图，四边形经过一个顶点可以作条对角线，它把四边形分为个三角形； 五边形过一个顶点作条对角线，把这个多边形分为个三角形； 六边形过一个顶点作条对角线，把这个多边形分为个三角形； 所以对于边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成个三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $