2026年上海市普通高校春季高考数学仿真模拟卷04

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年上海市普通高校春季高考 数学仿真模拟卷04·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市普通高校春季高考 数学仿真模拟卷04 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．的共轭复数是 . 2．已知集合，若，则 ． 3．已知，则的最大值为 ． 4．不等式的解集是 . 5．在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则 . 6．已知，则 ． 7．设为数列的前项和，若，则 8．已知直线与直线平行，则平行线间的距离为 . 9．在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为 . 10．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，若双曲线渐近线的斜率均小于，则的取值范围是 . 11．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部封闭），已知两侧走廊的高度都是6米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为1米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊．设可通过的最大极限长度为米（不计硬管粗细）．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米，则的值是 ． 12．已知数列的首项为1，是的前n项和，且，（），若存在，使成立，则实数m的取值范围为 ． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．取正方体六个表面的中心，构成正八面体，如图所示，正八面体的12条棱中异面直线的对数为（   ）      A．16 B．24 C．32 D．48 14．若，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 15．某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票，六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以表示“在甲抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“在乙抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“两次抽奖均未中奖的事件”，下列结论中不正确的是（      ） A． B．与相互独立 C． D．与互斥 16．已知曲线，为曲线上任一点，命题：曲线与直线恰有四个公共点；命题：曲线与直线相切；下列说法正确的是（   ） A．命题和命题都为真 B．命题为真，命题为假 C．命题为假，命题为真 D．命题和命题都为假 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 18．记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 19．近期，某中学全体学生参加了“垃圾分类大赛”活动：现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女各20名学生，将他们的成绩(单位：分)记录如表： 成绩 [50，60) [60，70) [70，80)     [80，90) [90，100] 男生(人数) 3 4 8 4 1 女生 (人数) a b 8 4 3 (1)在抽取的40名学生中，从大赛成绩在80分及以上的人中随机取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分数段不同的概率： (2)从该校参加活动的男女学生中各随机抽取2人，求这4人中恰各有一名男女学生大赛成绩在80分及以上的概率； (3)试确定a、b为何值时，使得抽取的女生大赛成绩方差最小，只写出结论 20．已知双曲线Γ：，左、右顶点分别为，，过点的直线l交双曲线Γ于P，Q两点． (1)若离心率时，求b的值； (2)若，为等腰三角形，且点P在第一象限，求点P的坐标； (3)连接OQ（O为坐标原点）并延长交Γ于点R，若，求b的取值范围． 21．已知定义在上的函数和，和分别为其导函数．若对任意，恒成立，则称为的“倍导函数”． (1)判断函数是否是的“2倍导函数”； (2)若函数是的“倍导函数”，求的取值范围； (3)已知函数，是偶函数，．若是的“1倍导函数”，证明：“”的充要条件是“是上的常值函数”． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市普通高校春季高考 数学仿真模拟卷04·参考答案 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．/ 2．3 3．2 4． 5． 6． 7．513 8．/ 9．/ 10． 11．8 12． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13 14 15 16 B D D C 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．【解析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，..（2分） E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形，（4分） ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB；（6分） （2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，（8分） ，（10分） 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，.（12分） 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为.（14分） 18．【解析】（1）由正弦定理，得， ， ，（2分） ， ，即，（4分） ，即；（6分） （2）由（1）及题设有，又， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得，（8分） 显然有，则，（10分） 整理得，即，又，（12分） 所以，从而， 的周长为.（14分） 19．【解析】（1）由题设，成绩在80分以上的人有5名男生，7名女生，共12人， 其中在区间[80,90)中男、女各4名，在区间[90,100]中男生1名、女生3名， 所以随机取2人，恰好男、女生各1名，且所在分数段不同有种，（2分） 而在12人中任选2人有种，故所求概率为；（4分） （2）由表格数据知，抽取一名男生，成绩在80分及以上的概率为，成绩在80分以下的概率为， 抽取一名女生，成绩在80分及以上的概率为，成绩在80分以下的概率为，（7分） 所以从活动男女学生中各抽取2人，恰各有一名男女学生大赛成绩在80分及以上的概率为；（9分） （3）由题设，，女生平均成绩为，（11分） 所以方差 ，而，（12分） 所以时，抽取的女生大赛成绩方差最小.（14分） 20．【解析】（1）由题意得，则，．（4分） （2）当时，双曲线，其中，， 因为为等腰三角形，则： ①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；（6分） ②当以为底时，， 设，则，联立解得或， 因为点P在第一象限，显然以上均不合题意，舍去， （或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；（8分） ③当以为底时，，设，其中，， 则有解得，所以． 综上所述，点的坐标为．（10分） （3）由题知，， 当直线的斜率为时，此时，不合题意，所以， 则设直线 ， 设点，，根据延长线交双曲线于点， 根据双曲线对称性知， 联立有，消得（12分） 显然二次项系数，其中， ①，②， 又，，（14分） 则，因为，在直线l上， 则，， 即，即， 将①②代入有， 即，化简得，（16分） 所以，代入到，得，且， 解得，又因为，则． 所以，则．（18分） 21．【解析】（1）是的“2倍导函数”，理由如下： ，，（2分） 因为对,都有，所以， 故，是的“2倍导函数”；（4分） （2），， 因为函数是的“倍导函数”， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，（6分） 令，故只需， 其中 ，（8分） 因为，， 所以令，解得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以，的取值范围是；（10分） （3）证明充分性： 若为R上的常值函数，则存在常数，，， 由，故为偶函数，（12分） 由，得， 又为偶函数，故， 即，所以在R上恒成立， 故；（14分） 再证明必要性： 若，则，所以， 即为偶函数， 因为是的“1倍导函数”，所以，（16分） 因为，所以， 所以，即，， 所以， 综上，，故，恒成立， 所以为常值函数； 综上，“”的充要条件是“是上的常值函数.（18分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市普通高校春季高考 数学仿真模拟卷04 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．的共轭复数是 . 【答案】/ 【解析】因为， 所以的共轭复数是. 故答案为： 2．已知集合，若，则 ． 【答案】3 【解析】由可得或，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，满足，符合题意. 故答案为：3. 3．已知，则的最大值为 ． 【答案】2 【解析】，即， 当时等号成立， 所以的最大值是2. 故答案为：2 4．不等式的解集是 . 【答案】 【解析】由可得，所以， 故不等式的解为， 故答案为： 5．在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则 . 【答案】 【解析】因为，所以根据正弦定理得， 代入，可得，解得，. 所以由余弦定理可得，即. 故答案为：. 6．已知，则 ． 【答案】 【解析】因为的展开式通项为， 可得， 所以. 故答案为：. 7．设为数列的前项和，若，则 【答案】513 【解析】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 而，解得，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列， 则，即，所以. 故答案为：513 8．已知直线与直线平行，则平行线间的距离为 . 【答案】/ 【解析】因为直线与直线平行， 所以，解得，所以直线可化为， 所以两平行直线间的距离是. 故答案为： 9．在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】在中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示：    又，则， 故，； 则，设，， 故，当且仅当时取得等号； 也即的最小值为. 故答案为：. 10．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，若双曲线渐近线的斜率均小于，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可得双曲线的渐近线的斜率的绝对值为，则， 所以，， 所以，且， 则． 故答案为：. 11．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部封闭），已知两侧走廊的高度都是6米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为1米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊．设可通过的最大极限长度为米（不计硬管粗细）．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米，则的值是 ． 【答案】8 【解析】如图，铁管不倾斜时，令， ，，，， . 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 此时通过最大长度，所以，所以倾斜后能通过的最大长度， 所以. 故答案为：8. 12．已知数列的首项为1，是的前n项和，且，（），若存在，使得成立，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由，（）可得， 即，因 ，当时符合题意， 故. 若存在，使得成立. 当为奇数时，，， 由，可得， 此时，存在使得， 故，即， 也即； 当为偶数时，，， 由可得， 此时，存在使得， 故，即， 也即. 综上，可得实数m的取值范围为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．取正方体六个表面的中心，构成正八面体，如图所示，正八面体的12条棱中异面直线的对数为（   ）      A．16 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【解析】先任选一条棱，余下的11条棱中与它异面的有4条， 故共有对异面直线． 故选：B． 14．若，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】AB.若，此时，且，故A、B错误； C.若，此时，故C错误； D.根据指数函数的单调性可知，当，得，故D正确. 故选：D 15．某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票，六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以表示“在甲抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“在乙抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“两次抽奖均未中奖的事件”，下列结论中不正确的是（      ） A． B．与相互独立 C． D．与互斥 【答案】D 【解析】由题意可知：，，，， 因为在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，可知事件A和事件B相互独立，故B正确，D错误； 可得，故A正确； 又因为， 所以 ，故C正确； 故选：D. 16．已知曲线，为曲线上任一点，命题：曲线与直线恰有四个公共点；命题：曲线与直线相切；下列说法正确的是（   ） A．命题和命题都为真 B．命题为真，命题为假 C．命题为假，命题为真 D．命题和命题都为假 【答案】C 【解析】命题：由消元法可得，所以， 当或时，或，故此时无解， 下面考虑上方程的解的个数， 设，所以， 设且，则，则， 所以， 又因为 ， 所以的解为，， 而， 故当或时，，当时，， 故在，上为减函数，在上为增函数， 而，且， ，而，故， 故，，故在有3个不同的实数根，故命题错误； 命题：由，可得，故， 对两边求关于的导数，又随的变化而变化， 则， 故当时，有， 当，，而直线的斜率为2， 故曲线与直线相切，命题正确. 故选：C. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； （2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 18．记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)16. 【解析】（1）由正弦定理，得， ， ， ， ，即， ，即； （2）由（1）及题设有，又， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 显然有，则， 整理得，即，又， 所以，从而， 的周长为. 19．近期，某中学全体学生参加了“垃圾分类大赛”活动：现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女各20名学生，将他们的成绩(单位：分)记录如表： 成绩 [50，60) [60，70) [70，80)     [80，90) [90，100] 男生(人数) 3 4 8 4 1 女生 (人数) a b 8 4 3 (1)在抽取的40名学生中，从大赛成绩在80分及以上的人中随机取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分数段不同的概率： (2)从该校参加活动的男女学生中各随机抽取2人，求这4人中恰各有一名男女学生大赛成绩在80分及以上的概率； (3)试确定a、b为何值时，使得抽取的女生大赛成绩方差最小，只写出结论 【答案】(1)； (2)； (3). 【解析】（1）由题设，成绩在80分以上的人有5名男生，7名女生，共12人， 其中在区间[80,90)中男、女各4名，在区间[90,100]中男生1名、女生3名， 所以随机取2人，恰好男、女生各1名，且所在分数段不同有种， 而在12人中任选2人有种，故所求概率为； （2）由表格数据知，抽取一名男生，成绩在80分及以上的概率为，成绩在80分以下的概率为， 抽取一名女生，成绩在80分及以上的概率为，成绩在80分以下的概率为， 所以从活动男女学生中各抽取2人，恰各有一名男女学生大赛成绩在80分及以上的概率为； （3）由题设，，女生平均成绩为， 所以方差 ，而， 所以时，抽取的女生大赛成绩方差最小. 20．已知双曲线Γ：，左、右顶点分别为，，过点的直线l交双曲线Γ于P，Q两点． (1)若离心率时，求b的值； (2)若，为等腰三角形，且点P在第一象限，求点P的坐标； (3)连接OQ（O为坐标原点）并延长交Γ于点R，若，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【解析】（1）由题意得，则，． （2）当时，双曲线，其中，， 因为为等腰三角形，则： ①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去； ②当以为底时，， 设，则，联立解得或， 因为点P在第一象限，显然以上均不合题意，舍去， （或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）； ③当以为底时，，设，其中，， 则有解得，所以． 综上所述，点的坐标为． （3）由题知，， 当直线的斜率为时，此时，不合题意，所以， 则设直线 ， 设点，，根据延长线交双曲线于点， 根据双曲线对称性知， 联立有，消得 显然二次项系数，其中， ①，②， 又，， 则，因为，在直线l上， 则，， 即，即， 将①②代入有， 即，化简得， 所以，代入到，得，且， 解得，又因为，则． 所以，则． 21．已知定义在上的函数和，和分别为其导函数．若对任意，恒成立，则称为的“倍导函数”． (1)判断函数是否是的“2倍导函数”； (2)若函数是的“倍导函数”，求的取值范围； (3)已知函数，是偶函数，．若是的“1倍导函数”，证明：“”的充要条件是“是上的常值函数”． 【答案】(1)是的“2倍导函数”，理由见解析； (2)； (3)证明过程见解析. 【解析】（1）是的“2倍导函数”，理由如下： ，， 因为对,都有，所以， 故，是的“2倍导函数”； （2），， 因为函数是的“倍导函数”， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，故只需， 其中 ， 因为，， 所以令，解得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以，的取值范围是； （3）证明充分性： 若为R上的常值函数，则存在常数，，， 由，故为偶函数， 由，得， 又为偶函数，故， 即，所以在R上恒成立， 故； 再证明必要性： 若，则，所以， 即为偶函数， 因为是的“1倍导函数”，所以， 因为，所以， 所以，即，， 所以， 综上，，故，恒成立， 所以为常值函数； 综上，“”的充要条件是“是上的常值函数. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $