2026年上海市普通高校春季高考数学仿真模拟卷03

2026年上海市普通高校春季高考 数学仿真模拟卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知，复数的实部为，虚部为，则的值为 . 2．已知点，，，则在上的投影向量的坐标为 . 3．的二项展开式中，项的系数为 . 4．若函数是奇函数，则实数 . 5．不等式的解集为 . 6．在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为 ． 7．函数在处的切线方程为 ． 8．在中，若，则的取值范围为 . 9．如图，向一个高为4且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为2时停止注水（不考虑容器厚度）．将此四棱锥容器倒置时，水面高度为 ．    10．已知抛物线的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称.若平分，则点的横坐标为 . 11．为某商品设计一个“H”型商标，如图所示，“H”型商标由两竖一横三个等宽的矩形组成．设计要求“H”型商标关于点O中心对称，两个竖直矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的2倍，点O到点A的距离为4cm．若记“H”型商标的面积为S，则S的最大值为 ． 12．已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是 ． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．下列函数中，是偶函数，且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 14．空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 15．设且，“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B．且 C． D． 16．设无穷数列的前n项和为，定义，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，则 D．当时， 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．已知函数（）的最小正周期为. (1)求的解析式并求其单调递减区间； (2)若方程在上恰有3个不相等的实数根，求实数的取值范围. 18．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，N是的中点，M是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求点B到平面的距离． 19．如图，某地有一条宽为的公路,该公路在A处为直角弯道现有一辆“斯太尔”型大货车要通过该弯道,已知该货车的宽为，长为. （1）假设该货车刚好能通过该弯道，且，试求货车长l关于的函数关系式，并写出定义域； （2）若该货车的长为16 m，则它能否顺利通过该弯道？请说明理由. 20．已知椭圆的离心率为，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知B，A是椭圆的左、右顶点，不与轴平行或重合的直线交椭圆于M，N两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且，证明：直线过定点； (3)如图，点为椭圆上不同于A，B的任一点，在抛物线上存在两点R，Q，使得四边形为平行四边形，求的最小值. 21．设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． (1)判断是否为上的函数，说明理由； (2)若实数满足：为上的函数，求t的取值范围； (3)已知函数存在最大值．求证：对任意正整数都是上的函数的充要条件是对任意与恒成立 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市普通高校春季高考 数学仿真模拟卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知，复数的实部为，虚部为，则的值为 . 【答案】 【解析】， 所以，， 所以. 故答案为： 2．已知点，，，则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【解析】因为，，，所以，， 所以， ， 所以， 所以在上的投影向量为， 故答案为： 3．的二项展开式中，项的系数为 . 【答案】 【解析】设的展开式的第项为. 则 . 由 . 所以所在的项为： . 所以项的系数为. 故答案为： 4．若函数是奇函数，则实数 . 【答案】1 【解析】， 所以， 因为为奇函数， 所以， 所以， 即，所以， 所以， 所以，解得， 此时定义域为，关于原点对称，满足奇函数要求，符合题意. 故答案为：1. 5．不等式的解集为 . 【答案】 【解析】，即，则，解得， 则其解集为. 故答案为：. 6．在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 7．函数在处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】， ， 所以切线方程为：， 即， 故答案为： 8．在中，若，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由，得， 由正弦定理得，则，当且仅当时等号成立. 又，且余弦函数在上单调递减，则， 而正弦函数在上单调递增，因此， 所以的取值范围为. 故答案为： 9．如图，向一个高为4且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为2时停止注水（不考虑容器厚度）．将此四棱锥容器倒置时，水面高度为 ．    【答案】 【解析】当正面放时，设正四棱锥的体积为，高为4，水的体积为，高为2， 则水的上方形成一个小正四棱锥的体积为，根据正四棱锥的性质有，得. 当倒放时，由于水的体积不变而且形成一个小四棱锥，设其高为， 根据四棱锥的性质有，即，解得. 故答案为： 10．已知抛物线的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称.若平分，则点的横坐标为 . 【答案】2 【解析】 如图，因为， 所以，故 于是点在准线上， 由，关于轴对称，得. 故答案为：2. 11．为某商品设计一个“H”型商标，如图所示，“H”型商标由两竖一横三个等宽的矩形组成．设计要求“H”型商标关于点O中心对称，两个竖直矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的2倍，点O到点A的距离为4cm．若记“H”型商标的面积为S，则S的最大值为 ． 【答案】 【解析】记为右侧竖直矩形，过作，垂足为，交于， 设，， 所以，， 所以，， 所以，由已知， 所以“H”型商标的面积， 所以， 所以， 所以当时，取最大值，最大值为， 此时， 故答案为：. 12．已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为函数在上有两个极值点， 所以在上有两个变号零点， 因为，令，即，可得， 令，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，作出函数在上图象， 当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 设两个交点的横坐标分别为、，且，由图可知， 当或时，，此时， 当时，，此时， 所以函数在上递增，在上递减，在上递增， 此时，函数有两个极值点，合乎题意.因此，实数的取值范围为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．下列函数中，是偶函数，且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，令，可得定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数， 由二次函数的性质可知函数在上单调递减，故A正确； 对于B，令，可得定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数， 由幂函数的性质可知函数在上单调递增，故B错误； 对于C，令，可得定义域为，关于原点对称， 因为，所以函数不为偶函数，故C错误； 对于D，的定义域为不关于原点对称， 所以不为偶函数，故D错误. 故选：A. 14．空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 【答案】B 【解析】选项A，若，则与可以相交，也可以平行，不一定垂直，A错； 选项B，若，则直线的方向向量分别是平面的法向量两平面垂直， 即为它们的法向量垂直，则，B正确； 选项C，若，且，则或 ，C错； 选项D，若，则可能有，也可能相交，D错. 故选：B． 15．设且，“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B．且 C． D． 【答案】A 【解析】不等式，可整理得， 解得且. 故是的必要不充分条件； 而CD不满足必要性，B为充要条件. 故选：A. 16．设无穷数列的前n项和为，定义，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，则 D．当时， 【答案】D 【解析】对于A选项：当时，，不正确； 对于B选项：当时，在为奇数时为1，偶数时为0，故，不正确； 对于C选项：当时，， 又，所以 ，不正确； 对于D选项：当时，， ，正确， 故选：D. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．已知函数（）的最小正周期为. (1)求的解析式并求其单调递减区间； (2)若方程在上恰有3个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调减区间 (2) 【解析】（1）由， 则最小正周期，即. 令， 解得， 则单调减区间. （2）因为，则， 当时，， 若恰有3个不相等的实数根， 则，解得， 则实数的取值范围为. 18．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，N是的中点，M是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解析】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、，故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，. 由题意、、、、、， 则有，，. 设平面的法向量分别为， 则有，取，则、，即， 设平面的法向量分别为， 则有，取，则、，即， 设平面与平面所成角的大小为，则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 故点B到平面的距离为. 19．如图，某地有一条宽为的公路,该公路在A处为直角弯道现有一辆“斯太尔”型大货车要通过该弯道,已知该货车的宽为，长为. （1）假设该货车刚好能通过该弯道，且，试求货车长l关于的函数关系式，并写出定义域； （2）若该货车的长为16 m，则它能否顺利通过该弯道？请说明理由. 【答案】（1）．（2）该货车不能顺利通过该弯道．见解析 【解析】（1）如图，延长，交AC于点G，过点G作，H为垂足， 在中，，，所以， 在中，，，所以， 所以； 同理可得； 所以 ； （2）令， 则，所以， 令，问题即转化为关于t的方程在上是否有解， 方程整理得． 令，则其图象的对称轴方程为， 所以在上单调递增． 又因为，所以方程在上无解， 因此该货车不能顺利通过该弯道． 20．已知椭圆的离心率为，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知B，A是椭圆的左、右顶点，不与轴平行或重合的直线交椭圆于M，N两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且，证明：直线过定点； (3)如图，点为椭圆上不同于A，B的任一点，在抛物线上存在两点R，Q，使得四边形为平行四边形，求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，且， 所以，解得， 故椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，，， 由，得， ，即， 则，， 而，，直线斜率， ，，由在椭圆上， 得到，即， 因此， 由题意得，即 由，在直线l上，得，， 则 ， 而，解得，此时， 则直线的方程为，即直线过定点. （3）由（1）知，设，，， 连接，交于， 四边形为平行四边形，为的中点且与轴既不垂直也不平行， 法一：， ，，即记为①， 又，，， 直线的方程为， ∴由得， 由得记为②， 由①②得， 对任意的恒成立， ，即，的最小值为. 法二：设，将与联立消得. 由韦达定理可得，且， 即记为①， ，， ，， 得，， ， 点，， 即， 令，其中，， 我们把记为②式，把记为③式， 由②得，代入③得， 代入①得， 解得，，， ，，的最小值为. 21．设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． (1)判断是否为上的函数，说明理由； (2)若实数满足：为上的函数，求t的取值范围； (3)已知函数存在最大值．求证：对任意正整数都是上的函数的充要条件是对任意与恒成立 【答案】(1)是，理由见解析； (2)且； (3)证明见解析. 【解析】（1）函数，求导得， ，恒成立， 所以是上的函数. （2）由为上的函数，， 得， 取，得，反之当时，在恒成立， 令，求导得，且的为离散的点， 因此为严格减函数，又，则， 又， 所以t的取值范围是：且. （3）（充分性）对任意与恒成立，则对任意正整数，有：， 因此为上的函数，即充分条件成立； （必要性）即对任意正整数，有①， 记函数的最大值为， 先证明恒成立， 反证法，假设存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与①矛盾，因此假设错误，即； 再证明恒成立， 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知，但，则， 于是， 对任意，可取一个与有关的正整数，使得， 由②知：，因此必要性成立， 所以原命题正确． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市普通高校春季高考 数学仿真模拟卷03·参考答案 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2． 3． 4．1 5． 6． 7． 8． 9． 10．2 11． 12． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13 14 15 16 A B A D 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．【解析】（1）由，（2分） 则最小正周期，即.（4分） 令， 解得， 则单调减区间.（6分） （2）因为，则，（8分） 当时，，（10分） 若恰有3个不相等的实数根， 则，解得， 则实数的取值范围为.（14分） 18．【解析】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且，（2分） 由是的中点，故，且， 则有、，故四边形是平行四边形，故，（4分） 又平面，平面， 故平面；（5分） （2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，. 由题意、、、、、， 则有，，.（6分） 设平面的法向量分别为， 则有，取，则、，即， 设平面的法向量分别为， 则有，取，则、，即，（8分） 设平面与平面所成角的大小为，则， 故平面与平面的夹角余弦值为；（10分） （3）由，平面的法向量为，（12分） 故点B到平面的距离为.（14分） 19．【解析】（1）如图，延长，交AC于点G，过点G作，H为垂足， 在中，，，所以， 在中，，，所以，（2分） 所以； 同理可得；（4分） 所以；（6分） （2）令，（8分） 则，所以，（10分） 令，问题即转化为关于t的方程在上是否有解， 方程整理得．（10分） 令，则其图象的对称轴方程为， 所以在上单调递增．（12分） 又因为，所以方程在上无解， 因此该货车不能顺利通过该弯道．（14分） 20．【解析】（1）因为椭圆的离心率为，且，（2分） 所以，解得， 故椭圆的方程为.（4分） （2）设直线的方程为，，， 由，得， ，即， 则，，（6分） 而，，直线斜率， ，，由在椭圆上， 得到，即， 因此， 由题意得，即（8分） 由，在直线l上，得，， 则 ， 而，解得，此时， 则直线的方程为，即直线过定点.（10分） （3）由（1）知，设，，， 连接，交于， 四边形为平行四边形，为的中点且与轴既不垂直也不平行， 法一：，（12分） ，，即记为①， 又，，， 直线的方程为，（14分） ∴由得， 由得记为②， 由①②得，（16分） 对任意的恒成立， ，即，的最小值为.（18分） 法二：设，将与联立消得. 由韦达定理可得，且， 即记为①，（12分） ，， ，， 得，， ，（14分） 点，， 即， 令，其中，， 我们把记为②式，把记为③式， 由②得，代入③得， 代入①得，（16分） 解得，，， ，，的最小值为.（18分） 21．【解析】（1）函数，求导得，（2分） ，恒成立， 所以是上的函数.（4分） （2）由为上的函数，， 得，（6分） 取，得，反之当时，在恒成立， 令，求导得，且的为离散的点， 因此为严格减函数，又，则，（8分） 又， 所以t的取值范围是：且.（10分） （3）（充分性）对任意与恒成立，则对任意正整数，有：， 因此为上的函数，即充分条件成立；（12分） （必要性）即对任意正整数，有①， 记函数的最大值为， 先证明恒成立， 反证法，假设存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与①矛盾，因此假设错误，即；（14分） 再证明恒成立， 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知，但，则， 于是，（16分） 对任意，可取一个与有关的正整数，使得， 由②知：，因此必要性成立， 所以原命题正确．（18分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年上海市普通高校春季高考 数学仿真模拟卷03·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $