第27章 圆与正多边形（高效培优单元测试·提升卷）数学沪教版五四制九年级下册

第27章 圆与正多边形 单元测试卷·强化卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．下列说法正确的是（    ） A．两圆外切时，连心线等于这两圆的半径长的和 B．平分弦的直径垂直于弦 C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等 D．经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】D 【分析】本题主要考查圆和圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理、切线的定义等知识点，掌握圆的相关性质及定理是解题的关键． 根据圆和圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理、切线的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．两圆外切时，连心线的长度等于两圆半径之和．但选项表述中“连心线等于”不严谨，连心线是线段，而半径和是数值，应强调“长度相等”．故A错误； B．根据垂径定理，平分非直径弦的直径才垂直于弦．若弦为直径，平分它的另一条直径未必垂直．选项未排除直径情况，故B错误； C．同圆中相等的弦所对的圆心角相等，但所对的弧有优弧和劣弧之分，需指明“同类型弧”才成立．选项未限定弧的类型，故C错误； D．根据切线判定定理，经过半径外端点（在圆上）且垂直于该半径的直线是圆的切线．选项描述完全符合定理，故D正确． 故选D． 2．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵半径OC垂直于弦AB， ∴AD=DB= AB= 在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+( )2， 解得，OA=4 ∴OD=OC-CD=3， ∵AO=OE,AD=DB, ∴BE=2OD=6 故选B 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键 3．如图，在中，，以为直径的圆O分别与相交于点E、F，若，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点E作，根据等腰三角形的性质得出，确定，求出，根据相似三角形的判定和性质证明，设，结合图形得出，再由平行线间距离相等及三角形面积求解即可． 【详解】解：过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（    ）    A．点，均在圆外 B．点在圆外，点在圆内 C．点在圆内，点在圆外 D．点，均在圆内 【答案】C 【分析】由，得到，，再根据勾股定理，在中计算出，在中计算出，则，然后根据点与圆的位置关系进行判断． 【详解】解：如图，     四边形为矩形， ， ，， ，， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 点在圆内，点在圆外． 故选：． 【点睛】本题考查了点与圆的位置：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内． 5．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，勾股定理求得，进而根据平行线分线段成比例得出，根据题意，画出相应的图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，当圆O与相切时，过点作， ∵矩形中，对角线与相交于点，，． ∴，，，， ∴ ∴， 则；    当圆O与相切时，过点作于点，如图所示，    则 则 ∴与直线相交、与直线相离，且与内切时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键． 6．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=4，AD=，，圆O是以AB为直径的圆．如果以点C为圆心作圆C与直线AD相交，与圆O没有公共点，那么圆C的半径长可以是（  ） A．9 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的边角关系求出FC，进而求出BC，再根据勾股定理求出两个圆心之间的距离OC，由⊙C与直线AD相交，⊙C与⊙O没有公共点，确定⊙C半径的取值范围，进而得出答案． 【详解】如图，连接OC交⊙O于点E，过点D作DF⊥BC于点F， 则DF＝AB＝4，BF＝AD＝2， 在Rt△DCF中，DF＝4，cotC＝， ∴FC＝cotC•DF＝， ∴BC＝BF＋FC＝3， 在Rt△BOC中，， 由于⊙C与直线AD相交， 因此⊙C的半径要大于4， 又⊙C与⊙O没有公共点， 因此⊙C与⊙O外离或内含， 当⊙C与⊙O外离时，⊙C的半径要小于CE＝7−2＝5， 此时⊙C的半径4＜r＜5； 当⊙C与⊙O内含时，⊙C的半径要大于7＋2＝9， 此时⊙C的半径r＞9； 所以⊙C的半径为4＜r＜5或r＞9， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系，掌握勾股定理，圆与圆的位置关系的判定方法是正确解答的前提． 二、填空题（本题共12小题，每小题4分，共48分．） 7．已知正多边形的边长为a，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正多边形的边心距是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，掌握相关知识是解题的关键． 根据题意可得这个正多边形的一个外角为，求得它的中心角为，于是得到正六边形的边长与正六边形的半径组成等边三角形，进而可得边心距． 【详解】解：正多边形的一个外角是其内角的一半， 设外角为，则内角为， ， ， 这个正多边形的边数是， 它的中心角为， 正六边形的边长与正六边形的半径组成等边三角形， 它的边长为， 作， 则， ∴ 此正多边形的边心距是， 故答案为：． 8．在同一平面内，点P到上的最大距离是11，最小距离是3，那么的半径 ． 【答案】4或7 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据题意，分①点P在内；②点P在外两种情况分别求解即可． 【详解】解：①当点P在内，如图1： ，， ， 的半径； ②当点P在外，如图2： ，， ， 的半径； 综上所述，的半径或7． 故答案为：4或7． 9．如图，AB是圆O的直径，＝＝，AC与OD交于点E．如果AC＝3，那么DE的长为 ． 【答案】 【分析】根据，可得∠AOD＝60°，OD⊥AC，AE＝CE＝AC＝，再根据含30度角的直角三角形即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴∠AOD＝60°，OD⊥AC，AE＝CE＝AC＝， ∴∠A＝30°， ∴OE＝AE•tan30°＝， ∴OA＝OD＝2OE＝， ∴DE＝OD﹣OE＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是掌握圆的相关性质． 10．如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作，垂足为点，根据正六边形的性质得，再结合，证明出是正三角形，又，所以，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点作，垂足为点， 六边形是正六边形，点是它的中心， ， ， 是正三角形， ， ， 在中，，， ，即内切圆半径为， 故答案为：． 11．如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，圆心O1、O2在公共弦AB的两侧，AB＝O1O2＝4，sin∠AO1B＝，那么O2A的长是 ． 【答案】 【分析】过点A作AE⊥O1B于E，由锐角三角函数和勾股定理可求AO1=13x=，可求O2H=1，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥O1B于E， ∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点， ∴O1O2垂直平分AB， ∴AH＝BH＝2， ∵sin∠AO1B＝， ∴设AE＝12x，AO1＝13x， ∴O1E＝＝5x， ∴BE＝8x， ∵AE2+BE2＝AB2， ∴144x2+64x2＝16， ∴x＝， ∴AO1＝13x＝， ∴O1H＝＝， ∴O2H＝1， ∴O2A＝＝， 故答案为． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，相交两圆的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 12．如图，的外接的半径为5，，点P为BC的中点，以点P为圆心作，若与相切，则的半径为 ． 【答案】或/2或8 【分析】本题考查了相切两圆的性质，勾股定理，分两种情况，由相切两圆的性质，如果两圆相切，那么连心线必经过切点，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，，， ∵，， ∴， ∵，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 当在内部时，两圆相切于，如图， ∴， ∴此时的半径为2； 当在外部时，两圆相切于，如图， ∴， ∴此时的半径为， ∴的半径为或， 故答案为：或． 13．如图，在中，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题是圆与三角形的综合题，主要考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是结合垂径定理延长，得到以及，进而得到． 【详解】 如图，延长交于点，连结． ． ，， ， ， ， ． 14．新定义：在中，点D、E分别是边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，那么称为的中内弧．已知在中，，，点D、E分别是边的中点，如果是的中内弧，那么长度的最大值等于 ． 【答案】 【分析】首先根据题意可知：当DE为直径时，长度取最大值，再根据圆的周长公式，即可求得 【详解】解：由题知，在△ABC内部以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长中内弧， ∵点D、E分别是边的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∵∠A=90°，， ∴， ∴长度， 故答案为：π． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，弧长的计算，理解题意，得到当DE为直径时，长度取最大值是解题的关键． 15．如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据题意可得的最小值为圆P与相切，切点为M；最大值为圆与圆E内切，切点为Q，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题． 【详解】解：根据题意可知：的最小值为圆P与相切，切点为M，如图所示： ∴， 在直角梯形中， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 最大值为圆与圆E内切，切点为Q， ∴， 当时，此时圆P与线段开始有2个交点，不符合题意， 设，则， ∴， ∴， 则长度的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系． 16．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，分别以点O、D为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切（圆心距=半径之差），那么的半径长r的取值范围是 ．    【答案】 【分析】设的半径是，的半径是r，由与直线相交、与直线相离，得到；两圆的圆心距是、半径是r和，两圆内切，由此即可求出的半径长的取值范围． 【详解】解：作于，于，   四边形是矩形， ， ， 是的中位线， 同理：， 设的半径是，的半径是r， 与直线相交、与直线相离， ， 由题意知，不然和不能内切， ， ， 两圆的圆心距， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，矩形的性质，关键是掌握圆与圆的位置关系的判定方法． 17．如图，在直角坐标系中，已知点、点，的半径为5，点C是上的动点，点P是线段的中点，那么长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】如图，在y轴上取一点，连接，，由勾股定理求出，由三角形中位线定理求，当C在线段上时，的长度最小值，当C在线段延长线上时，的长度最大值，即可求解． 【详解】解：如图，在y轴上取一点，连接，， ∵，， ∴，， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， 当C在线段上时，的长度最小值为：， 当C在线段延长线上时，的长度最大值为：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆外一点到圆上点距离的最值，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线是解答本题的关键． 18．如图，已知在中，，，动点N从点C出发，沿着方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点M从点A出发，沿着方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（），以M为圆心，长为半径的与的另一个交点为点D，连接，当与线段只有一个公共点时，t的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】先由勾股定理求出，分两种情况：①当与相切时，证明，得出，求出，得出即可；②恰好过点时，证明，再证明，得出，求出，再由，得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当与线段只有一个公共点时，分两种情况： ①点从运动开始一直到与相切时： 当与相切时，则， 由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ∴当时，与只有一个交点； ②当恰好过点时，如图，连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴当时，满足题意； 综上所述，t的取值范围为或； 故答案为或． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的性质，证明三角形相似是解题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．如图，和⊙相交于点、，连接、、，已知，，．   (1)求的半径长； (2)试判断以为直径的是否经过点，并说明理由． 【答案】(1) (2)以为直径的经过点，见解析 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）连接，设与的交点为，根据题意可得，，在中，根据勾股定理求出，进而求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解； （2）根据题意并结合（1）可得，可证明，得到，取的中点，连接、，推出，结合垂直平分，即可求解． 【详解】（1）解：连接，设与的交点为． 和⊙相交于点、，， ，， 在中，， ； ， 在中，， ； 即的半径长为； （2）以为直径的经过点． ，， ，又， ， ， 取的中点，连接、， ， 又垂直平分，， 以为直径的经过点． 20．如图，已知经过顶点A、B，交边于点D，交边于点E． (1)如果，求证：． (2)如果点A是弧的中点，，，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）由，可得，则，，进而可证； （2）如图，连接，连接并延长交于，连接，由点A是弧的中点，可得，，则，由，可求，设的半径为，则，，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，连接并延长交于，连接， ∵点A是弧的中点， ∴，， ∴， ∴， 解得，， 设的半径为，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了弧、圆周角、弦的关系，等角对等边，垂径定理，正弦，勾股定理等知识．熟练掌握弧、圆周角、弦的关系，等角对等边，垂径定理，正弦，勾股定理是解题的关键． 21．如图，在中，，，．的平分线交于，经过、两点的交于，且点在上． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图所示，连接，根据等边对等角得到，由角平分线的性质得到，进而证明推出，则，由此即可证明结论； （2）如图所示，过点O作于M，连接，先解得到，，则，设，则，则解，得到，再由平行线的性质得到，再解得到，解得，则，利用勾股定理得到，则由垂径定理可得． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵的平分线交于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，过点O作于M，连接， 在中，，，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理，垂径定理，平行线的性质与判定，等边对等角，角平分线的定义等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 22．在平面直角坐标系中、的半径为1，为上一点，点．对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”． (1)如图，已知点，点，点为点的“对应点”． ①在图中画出点； ②求证：． (2)点在轴正半轴上，且，点为点的“对应点”，连接，当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积（用含的式子表示） 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据题意作图即可； ②如图所示，过点作轴于T，证明，得到，进而求出，进一步求出，利用勾股定理求出的长即可得到结论； （2）如图1所示，取，连接， 证明，推出，得到在以为圆心，半径为的圆上运动，进一步证明点Q在以为圆心，半径为的圆上运动；如图2所示，连接交于，延长交于，利用勾股定理得到，则，，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图所示，点Q即为所求； ②如图所示，过点作轴于T， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于点的对称点为Q， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图1所示，取，连接， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在以为圆心，半径为的圆上运动， ∵点与点Q关于点对称，点关于点的对称点为， ∴点Q在以为圆心，半径为的圆上运动， 如图2所示，连接交于，延长交于， ∵，， ∴， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最值问题，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定等等，确定点的轨迹进而确定点Q的轨迹是解题的关键． 23．已知：⊙O的半径为3，弦，垂足为，点E在⊙O上，，射线与射线相交于点．设，， (1)求与之间的函数解析式，并写出函数定义域； (2)当为直角三角形时，求的长； (3)如果，求的长． 【答案】(1)，函数定义域为（0＜＜6） (2)或3 (3) 或 【分析】(1) 过点O作OH⊥CE，垂足为H，先利用垂径定理得到，，然后利用勾股定理求得OD=，最后通过证△ODB≌△EHO即可得到EH=OD ，求得结论； (2) 当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况：①若∠OFE＝90º；②若∠EOF＝90º 分别求解即可； (3)分两种情况 ①当CF＝OF＝OB–BF＝2时，可得：△CFO∽△COE； ②当CF＝OF＝OB+BF＝4时，可得：△CFO∽△COE，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）过点O作OH⊥CE，垂足为H， ∵在圆O中，OC⊥弦AB，OH⊥弦CE，AB=，CE=， ∴，， ∵在Rt△ODB中，，OB=3 ， ∴OD=， ∵OC=OE， ∴∠ECO=∠CEO， ∵∠ECO＝∠BOC， ∴∠CEO=∠BOC， 又∵∠ODB=∠OHE=90°，OE=OB ∴△ODB≌△EHO ∴EH=OD ， ∴， ∴ 函数定义域为（0＜＜6） （2）当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况： ①若∠OFE＝90º，则∠COF＝∠OCF＝45º    ∵∠ODB=90°，     ∴∠ABO=45° 又∵OA=OB         ∴∠OAB= ∠ABO=45°， ∴∠AOB=90° ∴△OAB是等腰直角三角形 ∴ ②若∠EOF＝90º ， 则∠OEF＝∠COF＝∠OCF＝30º ∵∠ODB=90°，    ∴∠ABO=60° 又∵OA=OB ∴△OAB是等边三角形 ∴AB=OB=3 （3）①当CF＝OF＝OB–BF＝2时，      可得：△CFO∽△COE，CE＝， ∴EF＝CE–CF＝． ②当CF＝OF＝OB+BF＝4时，   可得：△CFO∽△COE，CE＝， ∴EF＝CF–CE＝． 【点睛】本题考查了有关圆的知识的综合题，分类讨论是解决问题的关键． 24．如图，已知扇形的半径，，点、分别在半径、上（点不与点重合），联结．点是弧上一点，． （1）当，以为半径的圆与圆相切时，求的长； （2）当点与点重合，点为弧的中点时，求的度数； （3）如果，且四边形是梯形，求的值． 【答案】（1）；（2）67.5°；（3）或 【分析】（1）由题意∠COD＝90°，cot∠ODC＝，可以假设OD＝3k，OC＝4k，则CD＝5k，证明AC＝OC＝4k＝2，推出k＝，继而可得结论． （2）如图2中，联结OP，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．利用全等三角形的性质证明△PCB是等腰直角三角形，可得结论． （3）分两种情形：如图3−1中，当OC∥PD时，如图3−2中，当PC∥OD时，分别求解即可． 【详解】解：（1）如图1中， ∵∠COD＝90°，cot∠ODC＝， ∴设OD＝3k，OC＝4k，则CD＝5k， ∵以CD为半径的圆D与圆O相切， ∴CD＝DB＝5k， ∴OB＝OD＋DB＝3k＋5k＝4， ∴k＝， ∴CD＝； （2）如图2中，联结OP，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F． ∵， ∴∠AOP＝∠POB， ∵PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE＝PF， ∵∠PEC＝∠PFB＝90°，PD＝PC， ∴Rt△PEC≌Rt△PFB（HL）， ∴∠EPC＝∠FPB， ∵∠PEO＝∠EOF＝∠OFP＝90°， ∴∠EPF＝90°， ∴∠EPF＝∠CPB＝90°， ∴∠PCB＝∠PBC＝45°， ∵OP＝OB，∠POB＝45°， ∴∠OBP＝∠OPB＝67.5°， ∴∠CBO＝67.5°−45°＝22.5°， ∴∠OCD＝90°−22.5°＝67.5°； （3）如图3−1中，当OC∥PD时，过点C作CE⊥PD，联结OP， ∵OC∥PD， ∴∠PDO＝∠AOD＝90°， ∵CE⊥PD， ∴∠CED＝90°， ∴四边形OCED是矩形， ∴OC＝DE＝2，CE＝OD， 设PC＝PD＝x，EC＝OD＝y， 则有x2＋y2＝16，x2＝y2＋(x−2)2，可得x＝2−2，（不合题意的已经舍弃）， ∴PD＝2−2， ∴， 如图3−2中，当PC∥OD时，过点D作DE⊥CP，联结OP， ∵PC∥OD， ∴∠COD＝∠OCE＝∠CED＝90°， ∴四边形OCED是矩形， ∴OC＝DE＝2，CE＝OD， ∵OP＝4，OC＝2， ∴PC＝=， ∴PD＝PC＝， ∴PE＝=， ∴EC＝OD＝-， ∴， 综上所述，的值为：或． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了两圆的位置关系，解直角三角形，等腰三角形的性质，梯形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题． 25．如图1，在菱形中，，点在对角线上，，是的外接圆，点与点之间的距离记为． (1)如图2，当时，联结，求证：； (2)延长交射线于点，如果是直角三角形，求的长； (3)当圆心在菱形外部时，用含的代数式表示的半径，并直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或； (3)⊙O的半径为，m的取值范围为或． 【分析】（1）连接、，交于，由，得出，根据垂径定理得出，，则．由，得出．根据菱形的性质得出，则， （2）分当时，当时，如图所示，设交于点，分别画出图形，解直角三角形，即可求解； （3）连接，过点O作于点E，延长交于点F，过点O作于点G，利用垂径定理得到，，在和中，求得，，在中，利用勾股定理即可得出⊙O的半径；再根据点在对角线上，点与点之间的距离记为，减去圆心在菱形及内部时的情况即可求出m的取值范围． 【详解】（1）解：连接、，交于，如图， ， ， ，， ． ， ， ． 四边形为菱形， ， ， ； （2）解：当时，如图所示， ∵ ∴是的直径， ∵菱形中，， ∴，， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，如图所示，设交于点 ∵，， ∴， 又∵，则 ∴ 综上所述，或； （3）解：连接，过点O作于点E，延长交于点F，过点O作于点G，如图， ∵， ∴， 同理，， ∵，， ∵， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴． 在中，， 在中， ∵， ∴， ∴⊙O的半径为， 设菱形对角线交点为K， ∵，， ∴，， ∴， ∵点在对角线上，点与点之间的距离记为， ∴； ∵圆心在菱形外部， ①当圆心到达边时， 此时为直径，即， 即点P与点K重合， 此时； ②当圆心到达边时， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵ 设 则 ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 此时， 综上所述，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握解直角三角形，与圆的相关性质是解题的关键． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章 圆与正多边形 单元测试卷·强化卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．下列说法正确的是（    ） A．两圆外切时，连心线等于这两圆的半径长的和 B．平分弦的直径垂直于弦 C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等 D．经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线 2．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，在中，，以为直径的圆O分别与相交于点E、F，若，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 4．矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（    ）    A．点，均在圆外 B．点在圆外，点在圆内 C．点在圆内，点在圆外 D．点，均在圆内 5．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=4，AD=，，圆O是以AB为直径的圆．如果以点C为圆心作圆C与直线AD相交，与圆O没有公共点，那么圆C的半径长可以是（  ） A．9 B． C．5 D． 二、填空题（本题共12小题，每小题4分，共48分．） 7．已知正多边形的边长为a，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正多边形的边心距是 ． 8．在同一平面内，点P到上的最大距离是11，最小距离是3，那么的半径 ． 9．如图，AB是圆O的直径，＝＝，AC与OD交于点E．如果AC＝3，那么DE的长为 ． 10．如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为 ． 11．如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，圆心O1、O2在公共弦AB的两侧，AB＝O1O2＝4，sin∠AO1B＝，那么O2A的长是 ． 12．如图，的外接的半径为5，，点P为BC的中点，以点P为圆心作，若与相切，则的半径为 ． 13．如图，在中，，且，则 ． 14．新定义：在中，点D、E分别是边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，那么称为的中内弧．已知在中，，，点D、E分别是边的中点，如果是的中内弧，那么长度的最大值等于 ． 15．如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ． 16．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，分别以点O、D为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切（圆心距=半径之差），那么的半径长r的取值范围是 ．    17．如图，在直角坐标系中，已知点、点，的半径为5，点C是上的动点，点P是线段的中点，那么长的取值范围是 ． 18．如图，已知在中，，，动点N从点C出发，沿着方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点M从点A出发，沿着方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（），以M为圆心，长为半径的与的另一个交点为点D，连接，当与线段只有一个公共点时，t的取值范围是 ．    三、解答题：（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．如图，和⊙相交于点、，连接、、，已知，，．   (1)求的半径长； (2)试判断以为直径的是否经过点，并说明理由． 20．如图，已知经过顶点A、B，交边于点D，交边于点E． (1)如果，求证：． (2)如果点A是弧的中点，，，，求的半径． 21．如图，在中，，，．的平分线交于，经过、两点的交于，且点在上． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 22．在平面直角坐标系中、的半径为1，为上一点，点．对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”． (1)如图，已知点，点，点为点的“对应点”． ①在图中画出点； ②求证：． (2)点在轴正半轴上，且，点为点的“对应点”，连接，当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积（用含的式子表示） 23．已知：⊙O的半径为3，弦，垂足为，点E在⊙O上，，射线与射线相交于点．设，， (1)求与之间的函数解析式，并写出函数定义域； (2)当为直角三角形时，求的长； (3)如果，求的长． 24．如图，已知扇形的半径，，点、分别在半径、上（点不与点重合），联结．点是弧上一点，． （1）当，以为半径的圆与圆相切时，求的长； （2）当点与点重合，点为弧的中点时，求的度数； （3）如果，且四边形是梯形，求的值． 25．如图1，在菱形中，，点在对角线上，，是的外接圆，点与点之间的距离记为． (1)如图2，当时，联结，求证：； (2)延长交射线于点，如果是直角三角形，求的长； (3)当圆心在菱形外部时，用含的代数式表示的半径，并直接写出的取值范围． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $