第27章 圆与正多边形（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级下册

第27章 圆与正多边形 教学目标 1. 圆的有关概念，点与圆的位置关系；三角形的外接圆，外心； 2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系； 3. 垂径定理； 4. 直线与圆的位置；圆与圆的位置关系； 5. 正多边形的有关概念，正多边形与圆。 教学重难点 1.重点 （1）圆的确定； （2）圆中的几组量的等量关系；垂径定理及其推论； （3）圆的位置的判断及其几何应用。 2.难点 （1）正多边形与圆；新定义题；分类讨论思想； （2）圆的位置关系的综合应用。 知识点1 圆的确定 一、圆的定义 1. 圆的描述概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　　 2.圆的集合概念 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合. 二、点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r. “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 三、与圆有关的概念 1. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 　　直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 2. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 3.等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 4.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆. 5.圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 考点四、确定圆的条件 （1）经过一个已知点能作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； (3）不在同一直线上的三个点确定一个圆. (4)(后面还会学习到)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心. 外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 【即学即练】 1．下列命题中正确的是（   ） ①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧． A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥ 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理，运用直径的定义与性质即可判断①③⑤是否正确；运用“比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧” 即可判断②④是否正确；运用“在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧”即可判断⑥⑧是否正确；运用“圆上两点间的部分叫做圆弧”即可判断⑦是否正确．解题的关键是理解命题有题设和结论两部分组成． 【详解】解：直径是圆中最长的弦，故①正确； 弧不一定是半圆，故②错误； 直径是线段不是直线，故③错误； 半圆是弧，故④错误； 直径是弦，故⑤错误； 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故⑥错误； 圆上两点间的部分叫做圆弧，故⑦错误； ⑧∵在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧， ∴大小不等的圆中不存在等弧，该命题正确． ∴正确的命题是①⑧． 故选：A． 2．已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键． 将点到圆心的距离（即的长度）与的半径进行比较即可得． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴点在内， 故选：A． 3．如图，图中的弦共有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】根据弦的定义解答即可． 【详解】解：图形中有弦AB和弦CD，共2条， 故选B． 【点睛】本题考查弦的定义，熟记弦的定义是解题的关键． 知识点2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 一、圆心角与弧的定义 1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2．1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. (2)在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 二、弦心距 圆心到弦的距离叫做弦心距.在图27-9中，过圆心O作弦AB的垂线，垂足为C,则垂线段OC的长是弦AB的弦心距. 三、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理： ①定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. ②推论 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理有以下推论： 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧(或优弧)、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等. 【即学即练】 1．下列命题中，正确的是（   ） A．相等的弧所对的圆心角相等 B．圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．同圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的弧相等 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理知识，圆心角，弦，弧的关系．根据题意及圆周角定理，弧，弦，圆心角的关系定理对选项逐个进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵相等的弧所对的圆心角相等，故A选项正确； ∵在同圆或等圆中，圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等，故B选项不正确； ∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故C选项不正确； ∵同圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的优弧或劣弧相等，故D选项不正确． 故选：A． 2．在半径为的圆中，的圆心角所对的弦长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形性质、解直角三角形，解题的关键是掌握垂径定理．设圆心为，的圆心角的两边与圆的交点分别为A，B，如图，过O作于C，则由垂径定理得到，再利用等腰三角形的三线合一得到 ，在中，利用锐角三角函数求得即可求解． 【详解】解：设圆心为，的圆心角的两边与圆的交点分别为A，B，如图，过O作于C，则， 由题意，，， ∴， ∴中，， ∴， 故答案为：． 3．如图，，，，是上的点，，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系，根据圆心角，弦，弧之间的关系逐项排除即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 、不能保证，符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 故选：． 知识点3 垂径定理 一、垂径定理 垂径定理 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。 要点：垂径定理指出了圆的直径与弦及弦所对的弧之间的关联，即由直径“垂直”于弦得到“平分”弦(弧). 二、垂径定理的推论1 如果圆的直径平分弦(这条弦不是直径),那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧， 如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦。 在圆中，圆心到弦的两个端点的距离都等于圆的半径，由线段垂直平分线定理的逆定理，可知圆心一定在弦的垂直平分线上.于是得到： 如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧. 三、垂径定理的推论2 如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦。 如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。 总结上面的讨论，可以概括为： 在圆中，对于某 条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立， 【即学即练】 1．如图，⊙的半径为5，，垂足为，，则弦的长度是（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键；由及勾股定理得，，从而求得结果． 【详解】解：∵，，， ∴由勾股定理得，， ∴； 故选：C． 2．如图，在中，点是弧的中点，，则弧的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质的应用，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据弧中点得出，代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：A． 3．如图，是的直径，点B是弧的中点．下列结论错误的是（　　） A．点A是弧的中点 B． C．平分 D．平分 【答案】D 【分析】本题主要查了垂径定理．利用垂径定理一一判断即可． 【详解】解：∵B是弧的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∴平分，点A是弧的中点， 故A，B，C正确，D错误， 故选：D． 知识点4 直线与圆的位置 一、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的三种位置关系： 　　(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． 　　(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． 　　(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 　　直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 　　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 　　　　　　　　 　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 　　 要点： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 二、切线的判定定理 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点： 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 【即学即练】 1．已知的半径为3，圆心到直线的距离为2，则与直线的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相离 【答案】B 【分析】此题考查的是圆与直线的位置关系．判断直线和圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为．①直线和相交，②直线和相切，③直线和相离．圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，直线与圆相切． 【详解】解：圆心到直线的距离圆的半径3， 直线与圆的位置关系为相交． 故选：B 2． 的半径为 ，点 到直线 的距离为 ，当 时， 与 相切． 【答案】/5厘米 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，当时，直线与圆相切，即可得出结果． 【详解】解：当时， 与相切； 故答案为：． 3．已知的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（　　） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交②直线l和相切，③直线l和相离． 【详解】解：∵直线m与公共点的个数为2个， ∴直线与圆相交， ∴半径3， 故选：A． 知识点5 圆与圆的位置关系 1、 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的五种位置关系的定义 　　两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 　　两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 　　两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 　　两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 　　两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含. 　　　　　　　 2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 　　设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2， 两圆心O1O2的距离为d，则： 　　两圆外离 d＞r1+r2 　　两圆外切 d=r1+r2 　　两圆相交 r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2) 　　两圆内切 d=r1-r2 (r1＞r2) 　　两圆内含 d＜r1-r2 (r1＞r2) 3. 两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距.经过两个圆的圆心的直线叫做连心线。 要点： 　　(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； 　　(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； 　　(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合. 二、两圆连心线的性质 1. 定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 2. 定理：相切两圆的连心线经过切点。 【即学即练】 1．下列命题中，真命题是（） A．内含两圆的圆心距大于零 B．没有公共点的两圆叫两圆外离 C．联结相切两圆圆心的线段必经过切点 D．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称 【答案】D 【分析】本题考查了真假命题，圆的有关知识，根据圆与圆的位置关系逐一判断即可． 【详解】解：A．内含两圆的圆心距大于或等于零，故原命题是假命题； B．没有公共点的两圆叫两圆外离或内含，故原命题是假命题； C．连接相切两圆圆心的线段可能不经过切点，原命题是假命题； D．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称，原命题是真命题； 故选：D． 2．已知半径分别是和的两个圆相交，公共弦长是，那么这两个圆的圆心距是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查相交两圆的性质，分类讨论是解题的关键． 结合已知，分两圆的圆心在弦的同侧和弦的异侧两种情况画出图形，根据勾股定理可得到圆心距的两部分分别是， ，然后根据两圆的位置关系确定圆心距，从而完成解答． 【详解】如图，，，， ∵公共弦长为， ， ， ， ∴①当公共弦在两个圆心之间时，圆心距， ②当公共弦在圆心的同侧时，圆心距， 故这两个圆的圆心距是或． 故答案为：或． 3．如果与内含，圆心距，的半径长是，那么的半径长的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，两个圆的半径差的绝对值小于圆心距离，那么这两个圆内含，据此分内含于和内含于两种情况，讨论求解即可． 【详解】解：当内含于时，则， ∴， ∴； 当内含于时，则， ∴， ∴； 综上所述，或， 故选：C． 知识点6 正多边形与圆 一、正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点： 　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 三、正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 四、正多边形的画法 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 　　②正六、三、十二边形的作法。 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 【即学即练】 1．正二十边形中心角的正弦值为 【答案】/0.5 【分析】本题考查正十二边形性质，特殊角的三角函数值等知识，先由正十二边形的性质得到正二十边形中心角，再由特殊角的三角函数值求解即可得到答案，熟记正多边形的性质及特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 【详解】解：正二十边形中心角为， 正二十边形中心角的正弦值为， 故答案为：． 2．六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 ． 【答案】． 【分析】由六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，可以得到中间正六边形的边长为1，做辅助线以后，得到△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可． 【详解】解：如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE， 在正六边形ABCDEF中， ∵直角三角板的最短边为1， ∴正六边形ABCDEF为1， ∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形， ∵∠ABC=∠CDE =∠EFA =120︒，AB=BC= CD=DE= EF=FA=1， ∴∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30︒， ∴BG=DI= FH=， ∴由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH =， ∴AC =AE = CE =， ∴由勾股定理得：AI=， ∴S=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了含30 度角的直角三角形的性质、正多边形形与圆以及等边三角形的性质，关键在于知识点：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半的应用． 3．已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是 ． 【答案】或 【分析】本题考查正多边形与圆，如图，分两种情况，当角的顶点在圆上时，如，弦为时，此时恰好是正五边形的一个内角，进行求解即可，当角的顶点在圆外部时，即交的两边，截取的两条弦为时，进行求解即可． 【详解】解：如图，当角的顶点在圆上时，如交的两边，截取的两条弦为，此时恰好是正五边形的一个内角， ∴； 当角的顶点在圆外部，即交的两边，截取的两条弦为时， 则：， ∴， ∴； 综上：这个角的大小是或； 故答案为：或． 题型01 概念综合辨析 【典例1】．下列说法正确的是（    ） A．两圆外切时，连心线等于这两圆的半径长的和 B．平分弦的直径垂直于弦 C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等 D．经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】D 【分析】本题主要考查圆和圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理、切线的定义等知识点，掌握圆的相关性质及定理是解题的关键． 根据圆和圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理、切线的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．两圆外切时，连心线的长度等于两圆半径之和．但选项表述中“连心线等于”不严谨，连心线是线段，而半径和是数值，应强调“长度相等”．故A错误； B．根据垂径定理，平分非直径弦的直径才垂直于弦．若弦为直径，平分它的另一条直径未必垂直．选项未排除直径情况，故B错误； C．同圆中相等的弦所对的圆心角相等，但所对的弧有优弧和劣弧之分，需指明“同类型弧”才成立．选项未限定弧的类型，故C错误； D．根据切线判定定理，经过半径外端点（在圆上）且垂直于该半径的直线是圆的切线．选项描述完全符合定理，故D正确． 故选D． 【变式1】．下列命题一定正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．各角相等的圆内接多边形是正多边形 C．相等的圆周角所对的弧也相等 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题与圆的有关性质，熟练掌握垂径定理，正多边形的判定，圆周角定理，外心的性质是解答本题的关键．根据以上基础概念与性质逐一分析判断即可. 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原命题是假命题； B．各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，原命题是假命题； C．同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等，原命题是假命题； D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，原命题是真命题； 故选：D． 【变式2】．下列命题中正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分这条弦 B．平分弦的直径垂直于这条弦 C．平分弧的直线垂直于弧所对的弦 D．平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦 【答案】D 【分析】本题考查了命题的真假，垂径定理的运用，理解垂径定理及其推论是解题关键．根据垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧，逐项分析即可． 【详解】解：A、垂直于弦的直线不一定平分这条弦，原命题是假命题，不符合题意； B、平分弦的直径不一定垂直于这条弦，原命题是假命题，不符合题意； C、平分弧的直线不一定垂直于弧所对的弦，原命题是假命题，不符合题意； D、平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦，原命题是真命题，符合题意； 故选：D． 【变式3】．下列命题中真命题的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．三角形的外心到三角形各边的距离相等 C．平分弧的直径垂直于弧所对的弦 D．在同圆中相等两条弦所对的弧相等 【答案】C 【分析】本题综合考查了垂径定理推论、三角形的外心和内心的性质等．根据相关性质或定理即可判断． 【详解】解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误，本选项不符合题意； B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，原说法错误，本选项不符合题意； C、平分弧的直径垂直于弧所对的弦，原说法正确，本选项符合题意； D、同圆或等圆中相等的圆周角所对的优弧相等，所对的劣弧也相等，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式4】．有下列五个命题：①等弧所对的圆心角相等；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；⑤直径平分弦，则垂直于弦．其中正确的有（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查了命题，垂径定理，三角形内心的性质，圆心角、弧、弦的关系等知识．熟练掌握了命题，垂径定理，三角形内心的性质，圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 根据命题，垂径定理，三角形内心的性质，圆心角、弧、弦的关系进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，等弧所对的圆心角相等；①正确，故符合要求； 经过不在一条直线上三个点一定可以作圆；②错误，故不符合要求； 三角形的内心到三角形各边的距离都相等；③错误，故不符合要求； 同圆或等圆中，等弦所对的弧可能不唯一，故所对的弧不一定对应相等；④错误，故不符合要求； 直径平分不是直径的弦，则直径垂直于弦，⑤错误，故不符合要求； 故选：D． 【变式5】．如图，下列说法正确的是（　　） A．线段，，都是的弦 B．线段经过圆心O，线段是直径 C． D．弦把圆分成两条弧，其中是劣弧 【答案】B 【分析】本题考查圆的相关定义，根据弦的定义对A进行判断；根据直径的定义对B进行判断；不能确定，则可对C进行判断；根据劣弧和优弧的定义对D进行判断． 【详解】解：A．线段，都是的弦，不是，所以A选项不符合题意； B．线段经过圆心O，线段是直径，所以B选项符合题意； C．当点D为的中点时，，所以C选项不符合题意； D． 为优弧，所以D选项不符合题意． 故选：B． 题型02 垂径定理 【典例1】．如图，是的直径，于点．若，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．由垂径定理得到，设，则，由勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】．如图，线段是的直径，于点E，若，，则的长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据垂径定理求出的长是解此题的关键．连接，根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出，最后根据线段的和差求解即可． 【详解】解：如图，连接， 线段是的直径，于点E， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【变式2】．已知⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于点M，若OM：OA=3：5，则弦AC的长度（      ）． A． B． C．3 D．或 【答案】D 【分析】分两种情形：当点M在线段OA上或点M在线段AO的延长线上时，分别求解即可． 【详解】解：如图1，∵AB=10，弦CD⊥AB于点M．若OM：OA=3：5， ∴OA=OC=5，OM=3，AM=8， ∴CM==4， ∴AC==4； 如图2，∵AB=10cm，弦CD⊥AB于点M．若OM：OA=3：5， ∴OA=OC=5，OM=3，AM=2， ∴CM==4， ∴AC==2， 综上所述：弦AC的长为4或2． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算． 题型03 圆心角 【典例1】．如图，在中，请添上一个条件： ，使得． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解． 【详解】解：添加， 则． 故答案为：． 【变式1】．如图，是的直径，，，则的大小为 ． 【答案】/76度 【分析】根据同弧（或等弧）所对的圆心角相等，得。即可求出的度数． 【详解】解：在中， ∵，， ∴； ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查圆心角的计算，属于基础题，理解同弧（或等弧）所对的圆心角相等是解题的关键． 【变式2】．如图,D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD= CE, 则弧AC与弧CB弧长的大小关系是 . 【答案】相等 【分析】根据直角三角形的判定定理HL，可得出△COD≌△COE，则∠COD=∠COE，再根据在同圆中，相等的圆心角所对的弧也相等得出结论． 【详解】∵CD⊥OA、CE⊥OB， ∴∠CDO=∠CEO=90∘， ∵CD=CE，CO=CO， ∴△COD≌△C0E， ∴∠COD=∠COE， ∴=. 故答案为相等. 【点睛】考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键. 题型04 判断圆的位置关系 【典例1】．在直角坐标平面内，，圆M的半径为4，那么点与圆M的位置关系是（   ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．求得线段的长后与圆的半径比较即可确定正确的选项． 【详解】解：∵，， ∴， ∵圆M的半径为4， ∴点在圆外， 故选：C． 【变式1】．若的圆心到直线的距离小于半径，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键． 根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案． 【详解】解：的圆心O到直线l的距离d小于半径r， ∴直线l与的位置关系是相交． 故答案为：相交． 【变式2】．已知、的半径不相等，的半径长为，若上的点满足，则与的位置关系是（   ） A．相交或相切 B．相切或相离 C．相交或内含 D．相切或内含 【答案】A 【分析】本题考查了圆与圆之间的位置关系，解决本题的关键是根据上的点满足，判断两圆之间的位置关系，需要分三种情况讨论． 【详解】解：如图所示，此时与外切， 如图所示，此时与内切， 如图所示，此时与相交， 与的关系是相切或相交． 故选：A ． 【变式3】．已知的半径为2，直线上有一点．若，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解题的关键． 直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于2． 此时和半径2的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能． 故选：D． 【变式4】．在中，，如果分别以为直径画圆，那么这两个圆的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题考查了圆和圆的位置关系：两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、r，当两圆外离⇔；两圆外切⇔；两圆相交⇔；两圆内切⇔；两圆内含⇔． 设以为直径的圆的圆心为D，以为直径的圆的圆心为E，根据三角形中位线性质得，而的半径为3，的半径为4，所以，然后根据圆与圆的位置关系的判定方法可确定与相交． 【详解】设以为直径的圆的圆心为D，以为直径的圆的圆心为E，则为的中位线， ∴6， ∵的半径为3，的半径为4， ∴， ∴与相交． 故答案为：相交． 题型05 根据圆的位置关系求半径、圆心距等 【典例1】．已知和内切，，的半径是7，则的半径是 ． 【答案】4或10/10或4 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分内切于于C和内切于于P两种情况求解即可． 【详解】解：①如图∶ 内切于于C， ∵，的半径是7， ∴， ∴的半径是10； ②如图，内切于于P， ∵，的半径是7， ∴， ∴的半径是4， 综上，的半径是4或10． 故答案为：4或10． 【变式1】．半径分别为2和3的两圆相切，它们的圆心距为 ． 【答案】5或1 【分析】由两圆相切，可从内切与外切去分析，又由两圆的半径分别为2和3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系之间的联系即可求得两圆的圆心距． 此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系之间的联系． 【详解】解：∵两圆的半径分别为2和3， 若两圆内切，则两圆的圆心距为：； 若两圆外切，则两圆的圆心距为：； ∴两圆的圆心距为5或1． 故答案为：5或1． 【变式2】．已知和直线相交，圆心到直线的距离为，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心到直线的距离为d，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：设圆心到直线的距离为d， 和直线相交， ， ， 只有选项D符合条件， 故选：D． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是熟悉直线和圆的位置关系与数量之间的联系：，直线和圆相交；，直线和圆相切；，直线和圆相离． 【变式3】．如果半径分别为r和2的两个圆内含，圆心距，那么r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据圆心距与两圆内含的性质得出的取值范围即可．本题考查了圆与圆的位置关系，当时，两圆外离；当时，两圆外切；当时，两圆相交；当时，两圆内切；当时，两圆内含； 【详解】解：半径分别为和2的两个圆内含，圆心距， ， ， ， ∴ 的取值范围是， 故答案为：． 【变式4】．中, ，，与相切，若与相交，则半径的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相交圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，若两圆半径为，圆心距为，两圆相交，则．过点作于点，利用勾股定理计算出的长度，再利用等面积法计算出的长度，再根据切线的性质得到为圆的半径，然后利用两圆相交的性质得到，最后解不等式即可． 【详解】解：过点作于点，如图， ，， ， ， ， 与相切， 为的半径，即的半径为， 与相交， ， 解得：， 故答案为：． 题型06 圆的位置关系的综合应用Ⅰ 【典例1】．在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【分析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，熟记圆的位置关系是解决问题的关键． 【详解】解：圆半径为1，圆半径为3，圆与圆内切， 圆含在圆内，即， 在以为圆心、为半径的圆与边相交形成的弧上运动，如图所示： 当到位置时，圆与圆圆心距离最大，为， ， 圆与圆相交， 故选：B． 【变式1】．如图，已知，点A、B在射线上（点A在点O、B之间），半径长为2的与直线相切，半径长为5的与内含，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系、切线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆与圆内含和相切的关系是解题关键． 先根据圆的切线性质得到，则，根据圆与圆内含得到，结合点A在点O、B之间即可求解． 【详解】解：设切点为点， 则由题意得，， ∵， ∴， ∵半径长为5的与内含， ∴， ∴， ∴， ∵点A在点O、B之间， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】．如图，已知矩形中，，以点为圆心，为半径作，交的延长线于点，连结．再以点为圆心，为半径作．若与相交且至少有一个交点在内部或在边上，设，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆与圆的位置关系以及矩形的性质，要确定两圆相交且至少有一个交点在指定三角形内或边上时 AD 的取值范围，需要考虑两圆的圆心距、半径之间的关系，通过分析不同位置情况来求解，进而确定(即) 的取值范围． 【详解】解：当交点在点时，此时与相切，， ∵与相切，，， ∴， 又∵以为半径， ∴． 此时取得了大值为2， 即的最大值为2； 如图，当交点在边上时，， 此时取得了小值为， 即的最小值为； 综上所述：，即 故答案为：． 题型07 圆的位置关系的综合应用Ⅱ 【典例1】．已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、圆的基本性质．首先根据勾股定理可求，利用三角形的面积公式可求，当圆的半径为时，开始与边有交点，当时，圆与边有交点，当时，圆与边没有交点，从而确定的取值范围． 【详解】解：如下图所示，过点作， 中，，，， ， ， ， 解得：， 当以点为圆心的圆的半径时，圆经过点， 当时，圆与边没有交点， ．      故选：D ． 【变式1】．我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本主要考查三角形重心以及点与圆的位置关系，根据重心的性质得由勾股定理求出，运用面积法求出，从而得出结论 【详解】解：设点O为的重心， ∵为中线， ∴ 连接则 ∴, 过点作于点E，F， ∴ ∵, ∴ ∴ ∴的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是或 故答案为：或 【变式2】．如图，在中，，，分别以点B、C为圆心，1为半径长作、，D为边上一点，将和沿着翻折得到和，点B的对应点为点，与边相交，如果与外切，那么 ． 【答案】 【分析】作，，根据余弦的定义，勾股定理，等腰三角形三线合一的性质，在中，得到，的长，，由折叠的性质得到，，由与外切，得到，在中得到， 当在内部时， ，，由此即可求解 【详解】解：过点作交于点，连接，过点作，交于点， ∵，， 在中，，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∵，， ∴， ∵与外切， ∴，， 在中，，， 如图所示，与边相交， 与外切， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形，等腰三角形三线合一，勾股定理，折叠的性质，圆与圆的位置关系，理解题意作图分析，掌握三角函数的计算方法是解题的关键． 题型08 正多边形与圆 【典例1】．圆半径长为，对于圆的内接正六边形，下列说法错误的是（   ） A．中心角是 B．内角是 C．边心距为 D．边长为 【答案】D 【分析】根据正六边形的性质，计算它的中心角、内角、边心距以及边长即可． 【详解】解：如图，正六边形内接于，连接，，过点作于点， ∴，， 即中心角是，故选项A不符合题意； ∵正六边形内接于， ∴， 即正六边形的内角为，故选项B不符合题意； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 即正六边形的边长为，故选项D符合题意； ∵， ∴， ∴， 即正六边形的边心距为，故选项C不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形和圆，考查了正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一性质，勾股定理等知识点．掌握正六边形的性质是解题的关键． 【变式1】．边长为2的等边三角形的边心距是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设是边长为2的等边三角形，作的外接圆，圆心为点O，连接，作于点D，由，得，而，则，由，求得即可． 【详解】解：如图，是边长为2的等边三角形，作的外接圆，圆心为点O，连接，作于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴边长为2的等边三角形的边心距是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查正多边形和圆、等边三角形的性质、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识点，正确地添加辅助线是解题的关键． 【变式2】．若一个正多边形无对角线，则这个正多边形外接圆直径与自身边长之比为 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形，正多边形的性质，画出图形，设，利用三角函数即可求解． 【详解】∵正多边形无对角线， ∴该正多边形是等边三角形，如图所示 ∴ 设，则 ∴， ∴正多边形外接圆直径与自身边长之比为 故答案为：． 题型09 解答题 【典例1】．已知，如图，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，熟知圆心角、弧、弦之间的的关系是解题的关键．依据弦与相等，则这两条弦所对的劣弧和优弧分别相等，即可解． 【详解】证明：， ， ， 即， ． 【变式1】．如图，四边形内接于，为的直径，． 求证：． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题主要考查圆心角，弦，弧的关系，等边对等角，平行性质的性质，掌握圆心角相等，则对应弧也相等是解题的关键．根据题意，运用平行线的性质，等边对等角的性质可得，结合圆心角相等，则对应弧也相等的关系即可求证． 【详解】证明：如图所示，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】．如图，和⊙相交于点、，连接、、，已知，，．   (1)求的半径长； (2)试判断以为直径的是否经过点，并说明理由． 【答案】(1) (2)以为直径的经过点，见解析 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）连接，设与的交点为，根据题意可得，，在中，根据勾股定理求出，进而求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解； （2）根据题意并结合（1）可得，可证明，得到，取的中点，连接、，推出，结合垂直平分，即可求解． 【详解】（1）解：连接，设与的交点为． 和⊙相交于点、，， ，， 在中，， ； ， 在中，， ； 即的半径长为； （2）以为直径的经过点． ，， ，又， ， ， 取的中点，连接、， ， 又垂直平分，， 以为直径的经过点． 【变式3】．定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题： 已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆． (1)如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）． (2)如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是． ①求y关于x的函数解析式； ②点B是①中所求函数图象上的一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了二次函数与相似三角形的综合题，以新定义的形式出现，理解题意是解决本题的关键． （1）过点M作，设圆M的半径为R，根据点切圆的定义，先通过勾股定理求，再利用同角三角函数值相等得：，求解即可； （2）①过点M作,，则，，则，对运用勾股定理即可建立y关于x的函数关系式； ②设点，过点C、B作的垂线交于点D、E，构造相似三角形，用x，y的代数式表示出B点坐标，再代入抛物线解析式，联立即可求解． 【详解】（1）解：过点M作，设圆M的半径为R， ∵，， ∴， ∵圆M是点P与直线的点切圆， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． （2）解：①过点M作,， 由（1）得，则，，则， 在中，得：，化简得：． ②设点，过点C、B作的垂线交于点D、E， ∵， ∴， ∴，则， ∴点代入得： 解得：或， ∴点或． 【变式4】．如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE=8，点G、H分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH=60°，设CG=x，EH=y． （1）如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数； （2）如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）联结AH、EG，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长． 【答案】（1）∠CBG=15°；（2）（）；（3）CG的长为12 【分析】（1）联结OQ，根据正六边形的特点和内角和求出∠EBC =60°，然后通过弧之间的关系得出∠BOQ=∠EOQ=90°，又因为BO=OQ，得出∠OBQ=∠BQO=45°，最后利用∠CBG=∠EBC-∠OBQ即可求出答案； （2）在BE上截取EM=HE，联结HM，首先根据正六边形的性质得出是等边三角形，则有EM=HE=HM=y，∠HME=60°，从而有∠C=∠HMB=120°，然后通过等量代换得出∠GBC=∠HBE，由此可证明△BCG∽△BMH，则有，即，则y关于x的函数关系式可求，因为点Q在边CD上，则x的取值范围可求； （3）分两种情况：①当点G在边CD上时：又分当时和当时两种情况；②当点G在CD的延长线上时，同样分当时和当时两种情况，分别建立方程求解并检验即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，联结OQ． ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴BC=DE，∠ABC=120°． ∴，∠EBC=∠ABC=60°． ∵点Q是的中点， ∴． ∴， 即． ∴∠BOQ=∠EOQ， 又∵∠BOQ+∠EOQ=180°， ∴∠BOQ=∠EOQ=90°． 又∵BO=OQ， ∴∠OBQ=∠BQO=45°， ∴∠CBG=60°45°=15°． （2）如图，在BE上截取EM=HE，联结HM． ∵六边形ABCDEF是正六边形，直径BE=8， ∴BO=OE=BC=4，∠C=∠FED=120°， ∴∠FEB=∠FED=60°． ∵EM=HE， ∴是等边三角形， ∴EM=HE=HM=y，∠HME=60°， ∴∠C=∠HMB=120°． ∵∠EBC=∠GBH=60°， ∴∠EBC∠GBE=∠GBH∠GBE， 即∠GBC=∠HBE． ∴△BCG∽△BMH， ∴． 又∵CG= x，BE=8，BC=4， ∴， ∴y与x的函数关系式为（）． （3）如图，当点G在边CD上时． 由于△AFH∽△EDG，且∠CDE=∠AFE=120°， ① 当时， ∵AF=ED， ∴FH=DG， ∴， 即：，解分式方程得． 经检验是原方程的解，但不符合题意舍去． ② 当时， 即：，解分式方程得． 经检验是原方程的解，但不符合题意舍去． 如图，当点G在CD的延长线上时． 由于△AFH∽△EDG，且∠EDG=∠AFH=60°， ① 当时， ∵AF=ED， ∴FH=DG， ∴， 即：，解分式方程得． 经检验是原方程的解，但不符合题意舍去． ② 当时， 即：，解分式方程得． 经检验是原方程的解，且符合题意． ∴综上所述，如果△AFH与△DEG相似，那么CG的长为12． 【点睛】本题主要考查正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解分式方程，做出辅助线并分情况讨论是解题的关键． 一、单选题 1．下面四个命题中正确的是（    ） A．平面上不同的三点可以确定一个圆 B．平分一条弦的直径必垂直于这条弦 C．圆中相等的两条弦所对的弦心距相等 D．任何一个三角形都有唯一一个外接圆 【答案】D 【分析】本题主要考查判断命题的真假．根据圆的确定条件，垂径定理，弦的性质一一解题即可． 【详解】解：．不在同一条直线上的三点确定一个圆，原说法错误．故本选项不符合题意； ．如果平分的弦是直径，那么平分弦的直径不垂直于弦，原说法错误，故本选项不符合题意； ．同圆或等圆中相等的两条弦所对的弦心距相等，原说法错误，故本选项不符合题意； ．任何一个三角形都有唯一一个外接圆，原说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 2．已知的半径为3，点在外，则的长可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径即可解答． 【详解】解：∵的半径为3，点P在外， ∴， ∴的长可能是4． 故选：D． 3．如图，的弦，M是B的中点，且，则的半径等于（   ） A．4 B．1 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，连接，，根据三线合一的性质得出，根据垂径定理求出，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，， ∵M是B的中点， ∴， ∴， 又， ∴， 即的半径等于5， 故选：C． 4．如图，的半径为2，直径、互相垂直，则弧的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．先利用直径、互相垂直，得出，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵直径、互相垂直， ∴， ∴的长是， 故选：C． 5．若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正多边形的内切圆和外接圆，解答本题的关键在于熟练掌握内切圆与外接圆的性质以及正多边形的中心角，求出正六边形的中心角的度数，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接、，过作， ， 又∵正六边形中心角， ∴为正三角形， ， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：A． 6．如图，中，，，，如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆的位置关系得出相切时只有一交点，经过点时有两个交点，再结合图形即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，， 过点作于点， ∴， ∴， ∴如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是， 故选：A． 二、填空题 7．正十边形的中心角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，根据正多边形的中心角的定义解决问题即可． 【详解】解：正十边形中心角的度数， 故答案为：． 8．已知⊙的直径为6，点在直线上，且，那么直线与⊙的位置关系是 ． 【答案】相交或相切 【分析】根据圆的半径和点到圆心的距离之间的大小关系判断直线与圆的位置关系． 【详解】解：∵⊙的直径为6， ∴⊙的半径为3， ∵， ∴直线与⊙相切或相交． 故答案是：相交或相切． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆位置关系的判断． 9．已知中， ，则弦和的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了三角形三边的关系． 如图，取弧的中点，利用得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用三角形三边的关系得，于是有． 【详解】解：如图，取弧的中点，则， ， ， ， ， ． 故答案为：． 10．两个圆的半径分别是8和，圆心距为5，如果两圆内切，则的值是 ． 【答案】13或3 【分析】结合题意，根据两圆内切的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵两个圆的半径分别是8和，圆心距为5，且两圆内切 ∴或 ∴或 故答案为：13或3． 【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握圆心距、两圆内切的性质，从而完成求解． 11．某居民区一处地下圆形管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度为，污水水面至管道顶部的距离为，则圆形管道的直径为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，勾股定理.过作于，连接，在运用勾股定理建立方程求解. 【详解】解：如图，过作于，连接， ∴，， 在中，， 解得 ∴直径为 故答案为：． 12．如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个． 【答案】3 【分析】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”确定圆的个数即可． 【详解】过A、B、M；A、C、M；B、C、M共能确定3个圆， 故答案为3． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，注：过三点作圆，分两种情况：①三点共线；②三点不共线． 13．如图，圆和圆B相交于点、，连结、、，．若、，则圆的劣弧的长为 ．（取、取、取，保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆的基本性质，三角函数的应用，弧长公式． 本题先通过作辅助线结合三角函数求出的度数，再求出的度数，再求出圆的半径，最后根据弧长公式求出劣弧的长． 【详解】解：连接，，，且与交于点， ，， 垂直平分， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在圆中劣弧的长为：． 14．如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，点O是线段上一点，的半径为1，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，需要分分别与边相切两种情况下，计算出长度即可解答． 【详解】解：设与相切于点F，连接，， ∵，， ∴， 中， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴若与相切时，和一定相交； 若与相切时，和一定相离． 同理当与相切于点M时，连接，，计算得， ∴此时， ∴当时，与矩形的各边都没有公共点， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是分两种情况计算． 三、解答题 15．如图，⊙和⊙相交于、两点，与交于点，的延长线交⊙于点，点为的中点，，连接．求证：； 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据，，可判断垂直平分，根据垂径定理的推论可得，然后根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：连接，，， ∵，， ∴，在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 16．已知：在平面直角坐标系中（如图），反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为，且直线与直线平行． (1)求直线的表达式； (2)若以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切，求r的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式和两圆相切的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式和两圆相切的性质是解题的关键． （1）根据交点求出m的值，再根据两直线平行求出k的值，再代入点A坐标即可求出b的值； （2）根据相切的性质，分两圆内切和外切两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为， ∴， ∵直线与直线平行， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切， 当两圆外切时，， ∴； 当两圆内切时，， ∴； ∴r的值为或． 17．如图，在中，直径长为，弦的长为8，点是上一点，过点作的垂线交直线于点． (1)求的正切值． (2)当与相似时，求的长． (3)以点为圆心，长为半径画，试根据线段的长度情况探究和的位置关系． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，内含于；当时，圆与圆内切；当或时，与相交． 【分析】（1）连接，由直径所对的圆周角是直角得到，利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义可得答案； （2）分在的左侧和在的右侧两种情况，讨论求解即可； （3）如解析图示中，求出圆与圆内切时，，再求出时，，据此分，，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解；如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：如图：当在的左侧时；过作， ∴， ∴， 设，则 与相似， ， ， ∵，即， ∴，即， ∴， ∵， ， ，即 解得（已检验，符合题意） ； 如图：当在的右侧时； 过作于，过过于，过作于， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与相似， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ， ， 综上：； （3）解：如图，当圆与圆内切时，则， 过作于，过过于， 同（2）可证明， ∵， ∴， ∴， ∴ 如图，当时，在内切的基础上，点D会更靠近点B，即此时一定有， ∴， ∴内含于； 如图，过点O作交于T，则， ∴； 如图，当时，，则一定有， ∴与相交； 当时，如图， ∵， ∴， ∴与相交； 综上所述，当时，内含于；当时，圆与圆内切；当或时，与相交． 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章 圆与正多边形 教学目标 1. 圆的有关概念，点与圆的位置关系；三角形的外接圆，外心； 2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系； 3. 垂径定理； 4. 直线与圆的位置；圆与圆的位置关系； 5. 正多边形的有关概念，正多边形与圆。 教学重难点 1.重点 （1）圆的确定； （2）圆中的几组量的等量关系；垂径定理及其推论； （3）圆的位置的判断及其几何应用。 2.难点 （1）正多边形与圆；新定义题；分类讨论思想； （2）圆的位置关系的综合应用。 知识点1 圆的确定 一、圆的定义 1. 圆的描述概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　　 2.圆的集合概念 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合. 二、点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r. “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 三、与圆有关的概念 1. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 　　直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 2. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 3.等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 4.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆. 5.圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 考点四、确定圆的条件 （1）经过一个已知点能作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； (3）不在同一直线上的三个点确定一个圆. (4)(后面还会学习到)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心. 外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 【即学即练】 1．下列命题中正确的是（   ） ①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧． A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥ 2．已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 3．如图，图中的弦共有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 知识点2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 一、圆心角与弧的定义 1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2．1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. (2)在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 二、弦心距 圆心到弦的距离叫做弦心距.在图27-9中，过圆心O作弦AB的垂线，垂足为C,则垂线段OC的长是弦AB的弦心距. 三、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理： ①定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. ②推论 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理有以下推论： 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧(或优弧)、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等. 【即学即练】 1．下列命题中，正确的是（   ） A．相等的弧所对的圆心角相等 B．圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．同圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的弧相等 2．在半径为的圆中，的圆心角所对的弦长为 ． 3．如图，，，，是上的点，，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 知识点3 垂径定理 一、垂径定理 垂径定理 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。 要点：垂径定理指出了圆的直径与弦及弦所对的弧之间的关联，即由直径“垂直”于弦得到“平分”弦(弧). 二、垂径定理的推论1 如果圆的直径平分弦(这条弦不是直径),那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧， 如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦。 在圆中，圆心到弦的两个端点的距离都等于圆的半径，由线段垂直平分线定理的逆定理，可知圆心一定在弦的垂直平分线上.于是得到： 如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧. 三、垂径定理的推论2 如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦。 如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。 总结上面的讨论，可以概括为： 在圆中，对于某 条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立， 【即学即练】 1．如图，⊙的半径为5，，垂足为，，则弦的长度是（    ） A．4 B． C．8 D． 2．如图，在中，点是弧的中点，，则弧的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，点B是弧的中点．下列结论错误的是（　　） A．点A是弧的中点 B． C．平分 D．平分 知识点3 直线与圆的位置 一、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的三种位置关系： 　　(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． 　　(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． 　　(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 　　直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 　　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 　　　　　　　　 　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 　　 要点： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 二、切线的判定定理 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点： 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 【即学即练】 1．已知的半径为3，圆心到直线的距离为2，则与直线的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相离 2． 的半径为 ，点 到直线 的距离为 ，当 时， 与 相切． 3．已知的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（　　） A．2 B．3 C． D．4 知识点5 圆与圆的位置关系 1、 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的五种位置关系的定义 　　两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 　　两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 　　两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 　　两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 　　两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含. 　　　　　　　 2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 　　设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2， 两圆心O1O2的距离为d，则： 　　两圆外离 d＞r1+r2 　　两圆外切 d=r1+r2 　　两圆相交 r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2) 　　两圆内切 d=r1-r2 (r1＞r2) 　　两圆内含 d＜r1-r2 (r1＞r2) 3. 两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距.经过两个圆的圆心的直线叫做连心线。 要点： 　　(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； 　　(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； 　　(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合. 二、两圆连心线的性质 1. 定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 2. 定理：相切两圆的连心线经过切点。 【即学即练】 1．下列命题中，真命题是（） A．内含两圆的圆心距大于零 B．没有公共点的两圆叫两圆外离 C．联结相切两圆圆心的线段必经过切点 D．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称 2．已知半径分别是和的两个圆相交，公共弦长是，那么这两个圆的圆心距是 ． 3．如果与内含，圆心距，的半径长是，那么的半径长的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 知识点6 正多边形与圆 一、正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点： 　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 三、正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 四、正多边形的画法 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 　　②正六、三、十二边形的作法。 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 【即学即练】 1．正二十边形中心角的正弦值为 2．六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 ． 3．已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是 ． 题型01 概念综合辨析 【典例1】．下列说法正确的是（    ） A．两圆外切时，连心线等于这两圆的半径长的和 B．平分弦的直径垂直于弦 C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等 D．经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线 【变式1】．下列命题一定正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．各角相等的圆内接多边形是正多边形 C．相等的圆周角所对的弧也相等 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等 【变式2】．下列命题中正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分这条弦 B．平分弦的直径垂直于这条弦 C．平分弧的直线垂直于弧所对的弦 D．平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦 【变式3】．下列命题中真命题的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．三角形的外心到三角形各边的距离相等 C．平分弧的直径垂直于弧所对的弦 D．在同圆中相等两条弦所对的弧相等 【变式4】．有下列五个命题：①等弧所对的圆心角相等；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；⑤直径平分弦，则垂直于弦．其中正确的有（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式5】．如图，下列说法正确的是（　　） A．线段，，都是的弦 B．线段经过圆心O，线段是直径 C． D．弦把圆分成两条弧，其中是劣弧 题型02 垂径定理 【典例1】．如图，是的直径，于点．若，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1】．如图，线段是的直径，于点E，若，，则的长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式2】．已知⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于点M，若OM：OA=3：5，则弦AC的长度（      ）． A． B． C．3 D．或 题型03 圆心角 【典例1】．如图，在中，请添上一个条件： ，使得． 【变式1】．如图，是的直径，，，则的大小为 ． 【变式2】．如图,D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD= CE, 则弧AC与弧CB弧长的大小关系是 . 题型04 判断圆的位置关系 【典例1】．在直角坐标平面内，，圆M的半径为4，那么点与圆M的位置关系是（   ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 【变式1】．若的圆心到直线的距离小于半径，则直线与的位置关系是 ． 【变式2】．已知、的半径不相等，的半径长为，若上的点满足，则与的位置关系是（   ） A．相交或相切 B．相切或相离 C．相交或内含 D．相切或内含 【变式3】．已知的半径为2，直线上有一点．若，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【变式4】．在中，，如果分别以为直径画圆，那么这两个圆的位置关系是 ． 题型05 根据圆的位置关系求半径、圆心距等 【典例1】．已知和内切，，的半径是7，则的半径是 ． 【变式1】．半径分别为2和3的两圆相切，它们的圆心距为 ． 【变式2】．已知和直线相交，圆心到直线的距离为，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．如果半径分别为r和2的两个圆内含，圆心距，那么r的取值范围是 ． 【变式4】．中, ，，与相切，若与相交，则半径的取值范围是 ． 题型06 圆的位置关系的综合应用Ⅰ 【典例1】．在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 【变式1】．如图，已知，点A、B在射线上（点A在点O、B之间），半径长为2的与直线相切，半径长为5的与内含，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，已知矩形中，，以点为圆心，为半径作，交的延长线于点，连结．再以点为圆心，为半径作．若与相交且至少有一个交点在内部或在边上，设，那么k的取值范围是 ． 题型07 圆的位置关系的综合应用Ⅱ 【典例1】．已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【变式1】．我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是 ． 【变式2】．如图，在中，，，分别以点B、C为圆心，1为半径长作、，D为边上一点，将和沿着翻折得到和，点B的对应点为点，与边相交，如果与外切，那么 ． 题型08 正多边形与圆 【典例1】．圆半径长为，对于圆的内接正六边形，下列说法错误的是（   ） A．中心角是 B．内角是 C．边心距为 D．边长为 【变式1】0．边长为2的等边三角形的边心距是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．若一个正多边形无对角线，则这个正多边形外接圆直径与自身边长之比为 题型09 解答题 【典例1】．已知，如图，．求证：． 【变式1】．如图，四边形内接于，为的直径，． 求证：． 【变式2】．如图，和⊙相交于点、，连接、、，已知，，．   (1)求的半径长； (2)试判断以为直径的是否经过点，并说明理由． 【变式3】．定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题： 已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆． (1)如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）． (2)如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是． ①求y关于x的函数解析式； ②点B是①中所求函数图象上的一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标． 【变式4】．如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE=8，点G、H分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH=60°，设CG=x，EH=y． （1）如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数； （2）如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）联结AH、EG，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长． 一、单选题 1．下面四个命题中正确的是（    ） A．平面上不同的三点可以确定一个圆 B．平分一条弦的直径必垂直于这条弦 C．圆中相等的两条弦所对的弦心距相等 D．任何一个三角形都有唯一一个外接圆 2．已知的半径为3，点在外，则的长可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，的弦，M是B的中点，且，则的半径等于（   ） A．4 B．1 C．5 D．10 4．如图，的半径为2，直径、互相垂直，则弧的长是（   ） A． B． C． D． 5．若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 6．如图，中，，，，如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．正十边形的中心角的度数为 ． 8．已知⊙的直径为6，点在直线上，且，那么直线与⊙的位置关系是 ． 9．已知中， ，则弦和的大小关系是 ． 10．两个圆的半径分别是8和，圆心距为5，如果两圆内切，则的值是 ． 11．某居民区一处地下圆形管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度为，污水水面至管道顶部的距离为，则圆形管道的直径为 ． 12．如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个． 13．如图，圆和圆B相交于点、，连结、、，．若、，则圆的劣弧的长为 ．（取、取、取，保留） 14．如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，点O是线段上一点，的半径为1，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 ． 三、解答题 15．如图，⊙和⊙相交于、两点，与交于点，的延长线交⊙于点，点为的中点，，连接．求证：； 16．已知：在平面直角坐标系中（如图），反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为，且直线与直线平行． (1)求直线的表达式； (2)若以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切，求r的值． 17．如图，在中，直径长为，弦的长为8，点是上一点，过点作的垂线交直线于点． (1)求的正切值． (2)当与相似时，求的长． (3)以点为圆心，长为半径画，试根据线段的长度情况探究和的位置关系． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $