第3章 一次方程与方程组 章节（26知识点回顾+48题型巩固） 2025-2026学年七年级数学上册同步讲义与测试（沪科版2024）

第3章 一次方程与方程组 章节（26知识点回顾+48题型巩固） 目录 知识梳理 1.方程的定义 2.方程的解和解方程 3.等式的基本性质 4.一元一次方程的定义 5.解一元一次方程——移项 6.解一元一次方程——去括号 7.解一元一次方程——去分母 8.建立一元一次方程模型解决实际问题 9.几何问题 10.行程问题 11.储蓄问题 12.销售问题 13.比例问题 14.数字问题 15.配套问题 16.工程问题 17.二元一次方程 18.二元一次方程的解 19.二元一次方程组 20.二元一次方程组的解 21.代入消元法解二元一次方程组 22.加减消元法解二元一次方程组 23.列二元一次方程组解应用题的基本步骤 24.三元一次方程组 25.解三元一次方程组 26.列三元一次方程组解决实际问题 题型巩固 一、判断各式是否是方程 二、列方程 三、判断是否是方程的解 四、已知方程的解，求参数 五、等式的性质 六、判断是否是一元一次方程 七、判断是否是一元一次方程解 八、解一元一次方程（一）—合并同类项与移项 九、解一元一次方程（二）—去括号 十、解一元一次方程（三）—去分母 十一、绝对值方程 十二、已知一元一次方程的解，求参数 十三、一元一次方程解的关系 十四、配套问题(一元一次方程的应用) 十五、工程问题(一元一次方程的应用) 十六、销售盈亏(一元一次方程的应用) 十七、比赛积分(一元一次方程的应用) 十八、方案选择(一元一次方程的应用) 十九、数字问题(一元一次方程的应用) 二十、几何问题(一元一次方程的应用) 二十一、动点问题（一元一次方程的应用） 二十二、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 二十三、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 二十四、行程问题(一元一次方程的应用) 二十五、日历问题(一元一次方程的应用) 二十六、古代问题(一元一次方程的应用) 二十七、其他问题(一元一次方程的应用) 二十八、二元一次方程的定义 二十九、判断是否是二元一次方程组 三十、代入消元法、加减消元法 三十一、已知二元一次方程组的解求参数 三十二、二元一次方程组的特殊解法 三十三、二元一次方程组的错解复原问题 三十四、已知二元一次方程组的解的情况求参数 三十五、方案问题(二元一次方程组的应用) 三十六、行程问题(二元一次方程组的应用) 三十七、工程问题(二元一次方程组的应用) 三十八、数字问题(二元一次方程组的应用) 三十九、年龄问题(二元一次方程组的应用) 四十、分配问题(二元一次方程组的应用) 四十一、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 四十二、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 四十三、几何问题(二元一次方程组的应用) 四十四、图表信息题(二元一次方程组的应用) 四十五、古代问题(二元一次方程组的应用) 四十六、其他问题(二元一次方程组的应用) 四十七、三元一次方程组的定义及解 四十八、三元一次方程组的应用 知识梳理 知识点1.方程的定义 1. 方程的定义  含有未知数的等式叫作方程. 2. 方程必须具备的两个条件 (1)是等式，等式的标志是含有“ =”； (2)含有未知数，但未知数的个数不限 . 知识点2.方程的解和解方程 1. 方程的解  使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解 . 2. 解方程  求方程的解的过程叫作解方程 . 3. 方程的解与解方程的关系 (1) 方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个结果，是一个具体的数值，而解方程是变形的过程； (2) 方程的解是通过解方程求得的 . 知识点3.等式的基本性质 1. 等式的基本性质     性质 1 等式的两边都加上(或减去) 同一个整式，所得结果仍是等式，即如果 ，那么 .a－c=b－c     性质 2 等式的两边都乘以(或除以) 同一个数(除数不能为 0)，所得结果仍是等式，即如果 ，那么 (c ≠ 0) .     性质 3(对称性) 如果 ，那么 .     性质 4(传递性) 如果 ， ，那么 . 2. 等量代换的定义 将一个量用与它相等的量代替，称为等量代换 . 3. 利用等式的基本性质解简单方程的一般步骤 第一步：利用等式的基本性质 1，将方程左右两边同时加(或减)同一个数(或式子)，使方程逐步转化为一边只有含未知数的项、另一边只有常数项的形式； 第二步：利用等式的基本性质 2，将方程左右两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，即将未知数的系数化为 1，从而求出方程的解 . 知识点4.一元一次方程的定义 1. 整式方程的定义    方程的两边都是整式，这样的方程称为整式方程 . 2. 一元一次方程的定义 只含有一个未知数(元)，未知数的次数是 1，且等式两边都是整式的方程叫作一元一次方程 . 一元一次方程具有如下特点： (1)只含有一个未知数； (2) 所含未知数的项的最高次数为 1； (3) 是由整式组成的，即方程中分母不含未知数 . 知识点5.解一元一次方程——移项移项要变号. 1. 移项  把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项 . 2. 移项的依据  移项的依据是等式的基本性质 1，在方程的两边都加上(或减去) 同一个适当的整式，使含未知数的项集中在方程的一边，常数项集中在另一边 . 3. 移项解一元一次方程的步骤 (1) 移项： 把含有未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边； (2) 合并同类项： 把方程变形为 ax=b(a， b 为常数，且a ≠ 0)的形式； (3)系数化为 1： 得到方程的解 x= (a ≠ 0). 知识点6.解一元一次方程——去括号 1. 解含有括号的一元一次方程时，先利用去括号法则去括号，然后通过移项、合并同类项解方程 . 2. 去括号解一元一次方程的步骤   (1) 去括号(按照去括号法则去括号)； (2) 移项； (3) 合并同类项； (4) 将未知数的系数化为 1. 3. 解方程中去括号的顺序 先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号，也可以由外向内去括号. 知识点7.解一元一次方程——去分母 1. 解含有分母的一元一次方程时，方程两边同乘各分母的最小公倍数，从而约去分母 . 2. 去分母的依据  等式的基本性质 2. 3. 解一元一次方程的一般步骤 变形名称 依据 具体做法 注意事项 去分母 等式的基本性质 2 方程两边同乘各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项； (2)当分子是多项式时，去分母后应将分子作为一个整体加上括号 去括号 分配律，去括号法则 先去小括号，再去中括号，最后去大括号(也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号) (1)不要漏乘括号里面的项； (2)不要弄错符号 移项 等式的基本性质 1 一般把含未知数的项移 到方程的左边，把常数 项移到方程的右边 (1)移项时，移动的项要变号； (2)不要漏项 合并 同类项 合并同类项法则 系数相加，字母及字母的指数不变，把方程化为 ax=b(a ≠ 0)的形式 (1)未知数及其指数不变； (2) 不要漏项 系数化为 1 等式的基本性质 2 在方程 ax=b( a ≠ 0) 的两边同除以 a (或乘以) 得到方程的解为 x= 不要将分子、分母的位置颠倒 知识点8.建立一元一次方程模型解决实际问题 1. 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤 (1) 弄清题意和题中的数量关系，用字母(如 x， y) 表示问题涉及的未知数； (2) 分析题意，找出等量关系(可借助示意图、表格等)； (3) 根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程； (4) 解这个方程，求出未知数的值； (5) 检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案(包括单位) . 2. 分析题意常用的两种方法 (1) 读题分析法： 多用于“和、差、倍、分”问题 . 仔细读题，根据题意设出未知数，找出表示相等关系的关键字，例如：“大、小、多、少、是、共、合、完 成、增 加、减 少、配套……”，将题目中量与量的关系转为代数式，进而列出方程 . (2) 画图分析法： 多用于“行程问题”，利用图形分析问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出示意图，弄清图形各部分的含义，借助图形找等量关系，从而建立方程 . 3. 设未知数的常见方法 (1) 设直接未知数： 一般情况下，题中问什么就设什么 . (2)设间接未知数： 特殊情况下，若设直接未知数难以列出方程，则可设另一个相关的量为未知数，通过这个未知数求出题中要求的量 . 知识点9.几何问题 1. 常见平面图形的基本等量关系 =2×(长 + 宽)， = 长 × 宽， =4× 边长， = 边长 × 边长 . 2. 常见立体图形的体积公式 (1) (为棱长) . (2) (， b 分别为底面的长、宽， h为高) . (3) (R 为底面圆的半径， h为高) . (4) (R 为底面圆的半径， h为高) . 知识点10.行程问题 1. 行程问题中的基本关系式 路程 = 速度 × 时间，时间 = 路程 ÷ 速度，速度 = 路程 ÷ 时间 . 2. 行程问题中的相等关系 (1) 相遇问题中的相等关系： ① 若甲、乙 相向而行，相遇时，甲走的路程 + 乙走的路程 = 甲、乙出发点之间的路程； ②若甲、乙同时出发，相遇时，甲用的时间 = 乙用的时间 . (2) 追及问题中的相等关系： ①快者追上慢者时，快者走的路程 - 慢者走的路程 = 追及路程；②若同时出发，快者追上慢者时，快者用的时间 =慢者用的时间 . (3) 航行问题中的相等关系： 顺水(顺风) 速度 = 静水(无风) 速度 + 水(风) 速度； 逆水(逆风） 速度 = 静水(无风) 速度 - 水(风) 速度 . 知识点11.储蓄问题 1. 概念 顾客存入银行的钱叫作本金，银行付给顾客的酬金叫作利息，本金和利息的和叫作本息和，一定时期内利息与本金的比叫作利率 . 2. 等量关系 本金 × 利率 × 期数 = 利息；本金 + 利息 = 本息和 . 知识点12.销售问题 1. 在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常遇到的几个量：进价、标价、售价、折扣、利润、利润率 . 2. 相关的相等关系 (1) 售价 = 标价 × 折扣；(2) 利润 = 售价－进价； (3) 利润 = 进价 × 利润率；(4) 利润率 = × 100%. 知识点13.比例问题 1. 应用题的数量关系如果是以量与量之间的比例关系以及这些量的总和给出的，那么这类问题就叫作比例问题 . 2. 基本等量关系  各分量之和等于总量 . 知识点14.数字问题 用代数式表示多位数的方法 用式子 表 示 多 位 数 时，这 个 多 位 数 = 个 位 数 字 × 1+ 十位数字 × 10+ 百 位 数 字 × 100+ 千 位 数 字 × 1 000+ 万 位数字 × 10 000+…，如 一 个 五 位 数，个 位、十 位、百 位、千位、万位上的数字分别为 a， b， c， d， e，则这个数可表示为10 000e+1 000d+100c+10b+a 或 。 知识点15.配套问题 1. 在配套问题中，配套的物品之间都具有一定的数量关系，这个数量关系可以作为列方程的依据 . 2. 生产配套问题中的基本相等关系 加工(或生产) 的各种零件、配件的总数量比等于一套组合件中各种零件、配件的数量比. 3. 调配问题中的基本相等关系 指从甲处调一些人(或物) 到乙处，使之符合一定的数量关系，或从第三方调入一些人(或物)到甲、乙两处，使之符合一定的数量关系，其基本相等关系为：甲处人(或物) 数+乙处人(或物) 数=总人(或物) 数. 知识点16.工程问题 1. 基本关系式 工作量 = 工作效率 × 工作时间， 工作时间 =，工作效率 = . 2. 找相等关系的方法与行程问题相类似，一般有如下规律：在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，如果一个量已知，另一个量设元，那么就从第三个量找相等关系列方程 . 知识点17.二元一次方程 1. 定义 含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程 . 2. 二元一次方程的必备条件 原方程：(1) 整式方程； (2) 只含有两个未知数 . 化简后的方程：(1) 两个未知数的系数都不为 0； (2) 含有未知数的项的次数都是 1. 知识点18.二元一次方程的解 1. 二元一次方程的解 适合二元一次方程的一组未知数的值叫作二元一次方程的一个解 . 2. 判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法 判断一对数值是不是二元一次方程的解，只需将这对数值分别代入方程的左、右两边： 若左边 = 右边，则这对数值是这个方程的解； 若左边≠ 右边，则这对数值不是这个方程的解 . 知识点19.二元一次方程组 1. 定义：由两个一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组 . 2. 二元一次方程组应满足的条件 (1) 两个方程都是整式方程； (2) 共含有两个未知数； (3)一共有两个方程，每个方程都是一次方程 . 特别解读： (1)二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，其中有的方程可以是一元一次方程； (2) 二元一次方程组必须一共含有两个未知数 . 知识点20.二元一次方程组的解 1.二元一次方程组的解： 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解 . 2.判断一对数值是不是二元一次方程组的解的方法： 判断一对数值是否为一个二元一次方程组的解，必须将这对数值分别代入方程组中的每一个方程进行检验，若满足每一个方程，则这对数值就是这个方程组的解；只要不满足其中任何一个方程，则这对数值就不是这个方程组的解 . 知识点21.代入消元法解二元一次方程组 1.代入消元法的定义： 从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫作代入消元法，简称代入法 . 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 选取一个未知数系数比较简单的二元一 次方程 变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数 变形为(或)(， 是常数， ≠ 0) 的形式 一 般选未知 数系数比较 简单的方程变形 ②代入 把(或)代入另一个没有变形的方程 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 变形后的方 程只能代入 另一个方程( 或另一个方程变形后的方程) ③求解 解 消 元 后 的 一 元一次方程 求出一个未知数的值 去 括号 时不 能漏乘，移 项 时 所 移的项要变号 ④回代 把 求 得 的 未 知 数的 值 代 入 步 骤 ①中变形后的方程 求 出 另 一 个 未 知数的值 一 般代 入变 形后的方程 ⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 用“｛”将 未 知 数的值联立起来 知识点22.加减消元法解二元一次方程组 1.加减消元法的定义：  把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法，叫作加减消元法，简称加减法 . 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 找两个方程中系数较简单的同一个未知数，根据其系数绝对值的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数 使 某 一 个 未 知 数在 两 个 方 程 中 的系 数 相 等 或 互 为相反数 (1) 选择消元对象：两个方程中，当某个未知数的系数相等或互为相反数或成倍数关系时，选择消去该未知数较简单； (2) 把 某 个 方 程 乘 一 个数 时，方 程 两 边 的 每 一项都要和这个数相乘 ②加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减 消 去 一 个 未 知数，将 二 元 一 次方程组转化为一元一次方程 (1) 把两个方程相加(减)时，一 定 要 把 两 个 方 程两边分别相加(减)； (2) 应用减法消元时，注意符号的 变化 ③求解 解 消 元 后 的 一 元一次方程 求出一个未知数的值 ④回代 把 求 得 的 未 知 数的 值 代 入 方 程 组中 某 个 系 数 较 简单的方程 求 出 另 一 个 未 知数的值 回代时选择系数较简单的方程 ⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 用“｛”将未知数的值联立起来 知识点23.列二元一次方程组解应用题的基本步骤 1. 列方程组解应用题的基本思路 2. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 (1) 审： 通过审题，把实际问题抽象成数学问题； (2) 设： 分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知量(设元)； (3) 找： 找出题中的两个等量关系； (4) 列： 根据等量关系列出方程组； (5) 解： 解这个方程组，求出未知数的值； (6) 答： 检验所求解是否符合实际意义，写出答案 . 3. 列二元一次方程组解决实际问题常见的类型 和差倍分问题、古代算术问题、积分问题、行程问题、百分比问题、分配问题、销售问题、数字问题、工程问题、图形面积问题等 . 知识点24.三元一次方程组 1. 三元一次方程 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作三元一次方程 . 必备条件：(1)是整式方程；(2) 含三个未知数； (3) 是一次方程 . 2. 三元一次方程组 由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组 . 必备条件：(1)都是整式方程；(2) 含三个未知数；(3) 有三个方程；(4)都是一次方程 . 知识点25.解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减” 进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，再转化为解一元一次方程 . 2.求解方法 加减消元法和代入消元法 . 3. 解三元一次方程组的一般步骤 (1)消元： 利用代入法或加减法消去三元一次方程组中的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2) 求解： 解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3) 回代： 将求得的两个未知数的值代入原方程组中一个系数比较简单的且含最后一个未知数的方程，得到一个一元一次方程； (4) 求解： 解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5) 写解： 将求得的三个未知数的值用符号“ {”合写在一起 . 知识点26.列三元一次方程组解决实际问题 列三元一次方程组解决实际问题的步骤 (1) 弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表示题目中的未知量； (2) 找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系； (3) 根据等量关系列出方程，联立方程组； (4) 解方程组求出未知数的值； (5)写出答案，包括单位名称 . 题型巩固 题型一、判断各式是否是方程 1．（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）下列是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 题型二、列方程 2．一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 题型三、判断是否是方程的解 3．判断是否是下列一元一次方程的解： ①；②；③；④． 题型四、已知方程的解，求参数 4．若是方程的解，则a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五、等式的性质 5．（24-25七年级上·安徽六安·期末）若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型六、判断是否是一元一次方程 6．下列等式中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 题型七、判断是否是一元一次方程解 7．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 题型八、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 8．（24-25七年级上·安徽六安·期中）下列解方程，结果正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 题型九、解一元一次方程（二）——去括号 9．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如果的值与互为相反数，那么等于（） A．6 B．4 C． D． 题型十、解一元一次方程（三）——去分母 10．（23-24七年级上·安徽宣城·期末）解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十一、绝对值方程 11．若，且，则的值为（    ） A．5或1 B．或 C．5或 D．或1 题型十二、已知一元一次方程的解，求参数 12．若关于的方程的解是整数，则整数的取值有（   ） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 题型十三、一元一次方程解的关系 13．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A．2023 B．-2013 C．2013 D．-2023 题型十四、配套问题(一元一次方程的应用) 14．（22-23七年级·安徽淮南）某车间有24名工人，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，两个螺栓配三个螺母．为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？ 题型十五、工程问题(一元一次方程的应用) 15．柳孜隋唐大运河遗址是我市的一张文化名片，为打造古运河风光带，现有一段长为280米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治10米，两个工程队共用时25天．求A工程队整治河道多少米？ 题型十六、销售盈亏(一元一次方程的应用) 16．（24-25七年级上·安徽六安·期末）某商店将一种书包按进价提高作为标价，然后再按标价9折出售，这样卖出一个书包可盈利8.5元．这种书包每个进价为（   ）元． A．50 B．58.5 C．42.5 D．60 题型十七、比赛积分(一元一次方程的应用) 17．小彬是学校的篮球队长，在一场篮球比赛中，他一人得了25分，其中罚球得了5分，他投进的2分球比3分球多5个，则他本场比赛3分球进了 个． 题型十八、方案选择(一元一次方程的应用) 18．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）为丰富学生课外活动，学校计划购买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价200元，乒乓球每盒定价50元．经洽谈后，甲商店全部按定价的9折优惠；乙商店每买一副球拍赠一盒乒乓球．该校需球拍10副，乒乓球x盒（不少于10盒）．问： (1)若在甲商店购买，一共需付款________元；若在乙商店购买，一共需付款________元；（用含x的式子表示） (2)当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样多？ 题型十九、数字问题(一元一次方程的应用) 19．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）定义一种新的运算：，例如：，如果，求的值． 题型二十、几何问题(一元一次方程的应用) 20．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）定义：数轴上点A，B表示的数叫做点A和点B的坐标，如图，数轴上点A和点B的坐标分别为和2，求线段的长度可以利用数轴上右边点的坐标减去左边点的坐标，如得到． (1)如果设数轴上两点M，N表示的数分别为x，， ①当点M，N重合，则______；当时，则线段的长度为________； ②若，求x的值； (2)如果设数轴上两点M，N表示的数分别为，，点N在点M的右边，点P表示的数为，若，则x的值为_______． 题型二十一、动点问题（一元一次方程的应用） 21．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为 (1)若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． 题型二十二、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 22．（25-26七年级上·安徽六安）果园里有梨树和桃树共2800棵，其中桃树的棵数是梨树的，果园里有桃树和梨树各多少棵？（列方程求解） 题型二十三、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 23．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）某市一学校“社会实践兴趣小组”做了一下调查：下表是该市居民每月用水收费标准（单位：元/立方米），设用户用水量为x立方米， 用水量/立方米 单价/（元/立方米） a 超出40的部分 (1)某用户用水10立方米，共交水费28.8元，求a的值． (2)在（1）的前提下，该用户10月份交水费155.2元，请问该用户用水多少立方米？ 题型二十四、行程问题(一元一次方程的应用) 24．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）某游客乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上回到甲地，顺流行驶了2小时50分，逆流行驶了3小时，水流速度为2千米/小时，求甲乙两地间的距离． 题型二十五、日历问题(一元一次方程的应用) 25．（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）如图，在11月的日历表中用框数器“”框出，，，，五个数，它们的和为55，若将“”在图中换个位置框出五个数，若它们的和可能是110，则中间的数为（    ） A．15 B．16 C．21 D．22 题型二十六、古代问题(一元一次方程的应用) 26．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）《九章算术》是中国古代《算经十书》最重要的一部，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，其中有一道阐述“盈不足数”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是说：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设有人，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 题型二十七、其他问题(一元一次方程的应用) 27．（2022七年级上·安徽阜阳·专题练习）某家电商场原有营业员32人，送货人员3人，由于进入了销售旺季，经理决定从营业员中抽调人员补充送货人员，使送货人员为营业员人数的四分之一，请问经理从营业员中抽调多少人补充到送货人员中？ 题型二十八、二元一次方程的定义 28．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）若是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型二十九、判断是否是二元一次方程组 29．（24-25七年级·安徽阜阳·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 题型三十、代入消元法、加减消元法 30．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）解方程组． 题型三十一、已知二元一次方程组的解求参数 31．解关于x，y的方程组时，甲正确地解出，乙因为把c抄错了，误解为，求a，b，c的值． 题型三十二、二元一次方程组的特殊解法 32．（24-25七年级·安徽黄山·期末）两位同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说∶“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说∶ “它们的系数有一定的规律，可以试试把第二个方程组的两个方程的两边都除以，然后通过整体换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 题型三十三、二元一次方程组的错解复原问题 33．（23-24七年级·安徽合肥·阶段练习）在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解． 题型三十四、已知二元一次方程组的解的情况求参数 34．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的方程组的解满足，则 ． 题型三十五、方案问题(二元一次方程组的应用) 35．（23-24七年级·安徽合肥·期末）某公司需要将120吨物资从A市运往B市，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如下表： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨／辆） 5 8 10 运费（元／辆） 450 600 700 (1)若选用甲、丙两种车型一次性运完，如果甲车有11辆，则丙车至少需要多少辆？ (2)若选用甲、乙两种车型一次性运完，且每辆车均满载，需运费9600元，则甲、乙两种车型各需多少辆？ (3)若选用甲车辆、乙车辆、丙车若干辆一次性运完，且每辆车均满载，已知三种车辆共14辆，直接写出a、b的值和总运费． 题型三十六、行程问题(二元一次方程组的应用) 36．甲、乙两城相距1120千米，一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程是动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米，则动车平均每小时比快车平均每小时多行驶的路程为（    ） A．330千米 B．170千米 C．160千米 D．150千米 题型三十七、工程问题(二元一次方程组的应用) 37．（22-23七年级上·安徽阜阳·阶段练习）阅读理解： 为打造陶子河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天. (1)根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲：            乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数，表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：表示___________________，表示_______________； 乙：表示___________________，表示_______________； (2)求出其中一个方程组的解，并回答A、B两工程队分别整治河道多少米？ 题型三十八、数字问题(二元一次方程组的应用) 38．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ． 题型三十九、年龄问题(二元一次方程组的应用) 39．今年小明的年龄是小华的，前年小华的年龄是小明的2倍，他俩今年年龄各是多少？ 题型四十、分配问题(二元一次方程组的应用) 40．（22-23七年级上·安徽·期末）某蔬菜基地第一次向甲地运输124吨蔬菜，恰好装满5辆大货车和2辆小货车；第二次向甲地运输180吨蔬菜，恰好装满6辆大货车和5辆小货车． (1)装满2辆大货车和3辆小货车能运输多少吨蔬菜？ (2)第三次安排大、小货车共12辆向甲地运输208吨蔬菜，若要使得每辆车都装满，则大货车和小货车分别需要多少辆？ 题型四十一、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 41．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）某公司准备去超市采购牛奶和面包若干箱，采购员设计了两种不同的购买方案，如表所示． 牛奶/箱 面包/箱 金额/元 方案一 方案二 (1)采购员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，请你计算被污渍盖住的地方对应的金额是多少元； (2)若公司购买牛奶箱，面包箱，需支付费用元． ①求牛奶和面包每箱分别为多少元； ②若超市中该款面包和牛奶有部分因包装破损进行打六折的促销活动，采购员根据需要选择原价或打折的面包和牛奶，此次采购共花费了元，其中购买打折的牛奶箱数是购买的牛奶与面包总箱数的，则此次按原价购买的面包有多少箱？ 题型四十二、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 42．（2025·安徽·模拟预测）“霜降”是收获、播种的最后时节．某农科所利用试验田共种植5亩谷子进行新技术与传统技术的对比试验，共收获谷子3300斤，经过对比发现，采用新技术种植的谷子，平均每亩产量是采用传统技术种植的谷子的1.25倍．已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为600斤，请问该试验田采用传统技术和新技术各种植谷子多少亩？ 题型四十三、几何问题(二元一次方程组的应用) 43．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在周长为的长方形中放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 题型四十四、图表信息题(二元一次方程组的应用) 44．如图，在的方格内，填写了一些代数式和数．在图中各行、各列及斜对角上的三个数之和都相等，请你求出x，y的值及左下角的方格内应填的数． 题型四十五、古代问题(二元一次方程组的应用) 45．（24-25七年级·安徽阜阳·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设杆子的长度为x尺，则下列说法错误的是（   ） A．列方程： B．设绳索长为y尺，列方程为 C．设绳索长为y尺，列方程组为 D．竿子的长度为10尺 题型四十六、其他问题(二元一次方程组的应用) 46．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）南方某市出租车计费标准如下框，赵亮上周坐了两次出租车，一次里程千米 ，车费元，另一次里程千米，车费87.5元． (1)画示意图可以帮助我们理清数量间的关系，请把下面的示意图补充完整； (2)列方程组求解，． 题型四十七、三元一次方程组的定义及解 47．已知实数x，y，z满足，则代数式3(x﹣z)+1的值是(  ) A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6 题型四十八、三元一次方程组的应用 48．（24-25七年级·安徽黄山·期中）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按如图1所示的方式放置，再交换两木块的位置，按如图2所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A． B． C． D． 49．某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个，或者丙种零件200个．甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个才能配成一套，车间计划30天内生产的零件正好成套．请问甲、乙、丙三种零件各应生产几天才能完成计划？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一次方程与方程组 章节（26知识点回顾+48题型巩固） 目录 知识梳理 1.方程的定义 2.方程的解和解方程 3.等式的基本性质 4.一元一次方程的定义 5.解一元一次方程——移项 6.解一元一次方程——去括号 7.解一元一次方程——去分母 8.建立一元一次方程模型解决实际问题 9.几何问题 10.行程问题 11.储蓄问题 12.销售问题 13.比例问题 14.数字问题 15.配套问题 16.工程问题 17.二元一次方程 18.二元一次方程的解 19.二元一次方程组 20.二元一次方程组的解 21.代入消元法解二元一次方程组 22.加减消元法解二元一次方程组 23.列二元一次方程组解应用题的基本步骤 24.三元一次方程组 25.解三元一次方程组 26.列三元一次方程组解决实际问题 题型巩固 一、判断各式是否是方程 二、列方程 三、判断是否是方程的解 四、已知方程的解，求参数 五、等式的性质 六、判断是否是一元一次方程 七、判断是否是一元一次方程解 八、解一元一次方程（一）—合并同类项与移项 九、解一元一次方程（二）—去括号 十、解一元一次方程（三）—去分母 十一、绝对值方程 十二、已知一元一次方程的解，求参数 十三、一元一次方程解的关系 十四、配套问题(一元一次方程的应用) 十五、工程问题(一元一次方程的应用) 十六、销售盈亏(一元一次方程的应用) 十七、比赛积分(一元一次方程的应用) 十八、方案选择(一元一次方程的应用) 十九、数字问题(一元一次方程的应用) 二十、几何问题(一元一次方程的应用) 二十一、动点问题（一元一次方程的应用） 二十二、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 二十三、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 二十四、行程问题(一元一次方程的应用) 二十五、日历问题(一元一次方程的应用) 二十六、古代问题(一元一次方程的应用) 二十七、其他问题(一元一次方程的应用) 二十八、二元一次方程的定义 二十九、判断是否是二元一次方程组 三十、代入消元法、加减消元法 三十一、已知二元一次方程组的解求参数 三十二、二元一次方程组的特殊解法 三十三、二元一次方程组的错解复原问题 三十四、已知二元一次方程组的解的情况求参数 三十五、方案问题(二元一次方程组的应用) 三十六、行程问题(二元一次方程组的应用) 三十七、工程问题(二元一次方程组的应用) 三十八、数字问题(二元一次方程组的应用) 三十九、年龄问题(二元一次方程组的应用) 四十、分配问题(二元一次方程组的应用) 四十一、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 四十二、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 四十三、几何问题(二元一次方程组的应用) 四十四、图表信息题(二元一次方程组的应用) 四十五、古代问题(二元一次方程组的应用) 四十六、其他问题(二元一次方程组的应用) 四十七、三元一次方程组的定义及解 四十八、三元一次方程组的应用 知识梳理 知识点1.方程的定义 1. 方程的定义  含有未知数的等式叫作方程. 2. 方程必须具备的两个条件 (1)是等式，等式的标志是含有“ =”； (2)含有未知数，但未知数的个数不限 . 知识点2.方程的解和解方程 1. 方程的解  使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解 . 2. 解方程  求方程的解的过程叫作解方程 . 3. 方程的解与解方程的关系 (1) 方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个结果，是一个具体的数值，而解方程是变形的过程； (2) 方程的解是通过解方程求得的 . 知识点3.等式的基本性质 1. 等式的基本性质     性质 1 等式的两边都加上(或减去) 同一个整式，所得结果仍是等式，即如果 ，那么 .a－c=b－c     性质 2 等式的两边都乘以(或除以) 同一个数(除数不能为 0)，所得结果仍是等式，即如果 ，那么 (c ≠ 0) .     性质 3(对称性) 如果 ，那么 .     性质 4(传递性) 如果 ， ，那么 . 2. 等量代换的定义 将一个量用与它相等的量代替，称为等量代换 . 3. 利用等式的基本性质解简单方程的一般步骤 第一步：利用等式的基本性质 1，将方程左右两边同时加(或减)同一个数(或式子)，使方程逐步转化为一边只有含未知数的项、另一边只有常数项的形式； 第二步：利用等式的基本性质 2，将方程左右两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，即将未知数的系数化为 1，从而求出方程的解 . 知识点4.一元一次方程的定义 1. 整式方程的定义    方程的两边都是整式，这样的方程称为整式方程 . 2. 一元一次方程的定义 只含有一个未知数(元)，未知数的次数是 1，且等式两边都是整式的方程叫作一元一次方程 . 一元一次方程具有如下特点： (1)只含有一个未知数； (2) 所含未知数的项的最高次数为 1； (3) 是由整式组成的，即方程中分母不含未知数 . 知识点5.解一元一次方程——移项移项要变号. 1. 移项  把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项 . 2. 移项的依据  移项的依据是等式的基本性质 1，在方程的两边都加上(或减去) 同一个适当的整式，使含未知数的项集中在方程的一边，常数项集中在另一边 . 3. 移项解一元一次方程的步骤 (1) 移项： 把含有未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边； (2) 合并同类项： 把方程变形为 ax=b(a， b 为常数，且a ≠ 0)的形式； (3)系数化为 1： 得到方程的解 x= (a ≠ 0). 知识点6.解一元一次方程——去括号 1. 解含有括号的一元一次方程时，先利用去括号法则去括号，然后通过移项、合并同类项解方程 . 2. 去括号解一元一次方程的步骤   (1) 去括号(按照去括号法则去括号)； (2) 移项； (3) 合并同类项； (4) 将未知数的系数化为 1. 3. 解方程中去括号的顺序 先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号，也可以由外向内去括号. 知识点7.解一元一次方程——去分母 1. 解含有分母的一元一次方程时，方程两边同乘各分母的最小公倍数，从而约去分母 . 2. 去分母的依据  等式的基本性质 2. 3. 解一元一次方程的一般步骤 变形名称 依据 具体做法 注意事项 去分母 等式的基本性质 2 方程两边同乘各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项； (2)当分子是多项式时，去分母后应将分子作为一个整体加上括号 去括号 分配律，去括号法则 先去小括号，再去中括号，最后去大括号(也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号) (1)不要漏乘括号里面的项； (2)不要弄错符号 移项 等式的基本性质 1 一般把含未知数的项移 到方程的左边，把常数 项移到方程的右边 (1)移项时，移动的项要变号； (2)不要漏项 合并 同类项 合并同类项法则 系数相加，字母及字母的指数不变，把方程化为 ax=b(a ≠ 0)的形式 (1)未知数及其指数不变； (2) 不要漏项 系数化为 1 等式的基本性质 2 在方程 ax=b( a ≠ 0) 的两边同除以 a (或乘以) 得到方程的解为 x= 不要将分子、分母的位置颠倒 知识点8.建立一元一次方程模型解决实际问题 1. 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤 (1) 弄清题意和题中的数量关系，用字母(如 x， y) 表示问题涉及的未知数； (2) 分析题意，找出等量关系(可借助示意图、表格等)； (3) 根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程； (4) 解这个方程，求出未知数的值； (5) 检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案(包括单位) . 2. 分析题意常用的两种方法 (1) 读题分析法： 多用于“和、差、倍、分”问题 . 仔细读题，根据题意设出未知数，找出表示相等关系的关键字，例如：“大、小、多、少、是、共、合、完 成、增 加、减 少、配套……”，将题目中量与量的关系转为代数式，进而列出方程 . (2) 画图分析法： 多用于“行程问题”，利用图形分析问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出示意图，弄清图形各部分的含义，借助图形找等量关系，从而建立方程 . 3. 设未知数的常见方法 (1) 设直接未知数： 一般情况下，题中问什么就设什么 . (2)设间接未知数： 特殊情况下，若设直接未知数难以列出方程，则可设另一个相关的量为未知数，通过这个未知数求出题中要求的量 . 知识点9.几何问题 1. 常见平面图形的基本等量关系 =2×(长 + 宽)， = 长 × 宽， =4× 边长， = 边长 × 边长 . 2. 常见立体图形的体积公式 (1) (为棱长) . (2) (， b 分别为底面的长、宽， h为高) . (3) (R 为底面圆的半径， h为高) . (4) (R 为底面圆的半径， h为高) . 知识点10.行程问题 1. 行程问题中的基本关系式 路程 = 速度 × 时间，时间 = 路程 ÷ 速度，速度 = 路程 ÷ 时间 . 2. 行程问题中的相等关系 (1) 相遇问题中的相等关系： ① 若甲、乙 相向而行，相遇时，甲走的路程 + 乙走的路程 = 甲、乙出发点之间的路程； ②若甲、乙同时出发，相遇时，甲用的时间 = 乙用的时间 . (2) 追及问题中的相等关系： ①快者追上慢者时，快者走的路程 - 慢者走的路程 = 追及路程；②若同时出发，快者追上慢者时，快者用的时间 =慢者用的时间 . (3) 航行问题中的相等关系： 顺水(顺风) 速度 = 静水(无风) 速度 + 水(风) 速度； 逆水(逆风） 速度 = 静水(无风) 速度 - 水(风) 速度 . 知识点11.储蓄问题 1. 概念 顾客存入银行的钱叫作本金，银行付给顾客的酬金叫作利息，本金和利息的和叫作本息和，一定时期内利息与本金的比叫作利率 . 2. 等量关系 本金 × 利率 × 期数 = 利息；本金 + 利息 = 本息和 . 知识点12.销售问题 1. 在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常遇到的几个量：进价、标价、售价、折扣、利润、利润率 . 2. 相关的相等关系 (1) 售价 = 标价 × 折扣；(2) 利润 = 售价－进价； (3) 利润 = 进价 × 利润率；(4) 利润率 = × 100%. 知识点13.比例问题 1. 应用题的数量关系如果是以量与量之间的比例关系以及这些量的总和给出的，那么这类问题就叫作比例问题 . 2. 基本等量关系  各分量之和等于总量 . 知识点14.数字问题 用代数式表示多位数的方法 用式子 表 示 多 位 数 时，这 个 多 位 数 = 个 位 数 字 × 1+ 十位数字 × 10+ 百 位 数 字 × 100+ 千 位 数 字 × 1 000+ 万 位数字 × 10 000+…，如 一 个 五 位 数，个 位、十 位、百 位、千位、万位上的数字分别为 a， b， c， d， e，则这个数可表示为10 000e+1 000d+100c+10b+a 或 。 知识点15.配套问题 1. 在配套问题中，配套的物品之间都具有一定的数量关系，这个数量关系可以作为列方程的依据 . 2. 生产配套问题中的基本相等关系 加工(或生产) 的各种零件、配件的总数量比等于一套组合件中各种零件、配件的数量比. 3. 调配问题中的基本相等关系 指从甲处调一些人(或物) 到乙处，使之符合一定的数量关系，或从第三方调入一些人(或物)到甲、乙两处，使之符合一定的数量关系，其基本相等关系为：甲处人(或物) 数+乙处人(或物) 数=总人(或物) 数. 知识点16.工程问题 1. 基本关系式 工作量 = 工作效率 × 工作时间， 工作时间 =，工作效率 = . 2. 找相等关系的方法与行程问题相类似，一般有如下规律：在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，如果一个量已知，另一个量设元，那么就从第三个量找相等关系列方程 . 知识点17.二元一次方程 1. 定义 含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程 . 2. 二元一次方程的必备条件 原方程：(1) 整式方程； (2) 只含有两个未知数 . 化简后的方程：(1) 两个未知数的系数都不为 0； (2) 含有未知数的项的次数都是 1. 知识点18.二元一次方程的解 1. 二元一次方程的解 适合二元一次方程的一组未知数的值叫作二元一次方程的一个解 . 2. 判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法 判断一对数值是不是二元一次方程的解，只需将这对数值分别代入方程的左、右两边： 若左边 = 右边，则这对数值是这个方程的解； 若左边≠ 右边，则这对数值不是这个方程的解 . 知识点19.二元一次方程组 1. 定义：由两个一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组 . 2. 二元一次方程组应满足的条件 (1) 两个方程都是整式方程； (2) 共含有两个未知数； (3)一共有两个方程，每个方程都是一次方程 . 特别解读： (1)二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，其中有的方程可以是一元一次方程； (2) 二元一次方程组必须一共含有两个未知数 . 知识点20.二元一次方程组的解 1.二元一次方程组的解： 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解 . 2.判断一对数值是不是二元一次方程组的解的方法： 判断一对数值是否为一个二元一次方程组的解，必须将这对数值分别代入方程组中的每一个方程进行检验，若满足每一个方程，则这对数值就是这个方程组的解；只要不满足其中任何一个方程，则这对数值就不是这个方程组的解 . 知识点21.代入消元法解二元一次方程组 1.代入消元法的定义： 从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫作代入消元法，简称代入法 . 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 选取一个未知数系数比较简单的二元一 次方程 变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数 变形为(或)(， 是常数， ≠ 0) 的形式 一 般选未知 数系数比较 简单的方程变形 ②代入 把(或)代入另一个没有变形的方程 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 变形后的方 程只能代入 另一个方程( 或另一个方程变形后的方程) ③求解 解 消 元 后 的 一 元一次方程 求出一个未知数的值 去 括号 时不 能漏乘，移 项 时 所 移的项要变号 ④回代 把 求 得 的 未 知 数的 值 代 入 步 骤 ①中变形后的方程 求 出 另 一 个 未 知数的值 一 般代 入变 形后的方程 ⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 用“｛”将 未 知 数的值联立起来 知识点22.加减消元法解二元一次方程组 1.加减消元法的定义：  把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法，叫作加减消元法，简称加减法 . 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 找两个方程中系数较简单的同一个未知数，根据其系数绝对值的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数 使 某 一 个 未 知 数在 两 个 方 程 中 的系 数 相 等 或 互 为相反数 (1) 选择消元对象：两个方程中，当某个未知数的系数相等或互为相反数或成倍数关系时，选择消去该未知数较简单； (2) 把 某 个 方 程 乘 一 个数 时，方 程 两 边 的 每 一项都要和这个数相乘 ②加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减 消 去 一 个 未 知数，将 二 元 一 次方程组转化为一元一次方程 (1) 把两个方程相加(减)时，一 定 要 把 两 个 方 程两边分别相加(减)； (2) 应用减法消元时，注意符号的 变化 ③求解 解 消 元 后 的 一 元一次方程 求出一个未知数的值 ④回代 把 求 得 的 未 知 数的 值 代 入 方 程 组中 某 个 系 数 较 简单的方程 求 出 另 一 个 未 知数的值 回代时选择系数较简单的方程 ⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 用“｛”将未知数的值联立起来 知识点23.列二元一次方程组解应用题的基本步骤 1. 列方程组解应用题的基本思路 2. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 (1) 审： 通过审题，把实际问题抽象成数学问题； (2) 设： 分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知量(设元)； (3) 找： 找出题中的两个等量关系； (4) 列： 根据等量关系列出方程组； (5) 解： 解这个方程组，求出未知数的值； (6) 答： 检验所求解是否符合实际意义，写出答案 . 3. 列二元一次方程组解决实际问题常见的类型 和差倍分问题、古代算术问题、积分问题、行程问题、百分比问题、分配问题、销售问题、数字问题、工程问题、图形面积问题等 . 知识点24.三元一次方程组 1. 三元一次方程 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作三元一次方程 . 必备条件：(1)是整式方程；(2) 含三个未知数； (3) 是一次方程 . 2. 三元一次方程组 由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组 . 必备条件：(1)都是整式方程；(2) 含三个未知数；(3) 有三个方程；(4)都是一次方程 . 知识点25.解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减” 进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，再转化为解一元一次方程 . 2.求解方法 加减消元法和代入消元法 . 3. 解三元一次方程组的一般步骤 (1)消元： 利用代入法或加减法消去三元一次方程组中的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2) 求解： 解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3) 回代： 将求得的两个未知数的值代入原方程组中一个系数比较简单的且含最后一个未知数的方程，得到一个一元一次方程； (4) 求解： 解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5) 写解： 将求得的三个未知数的值用符号“ {”合写在一起 . 知识点26.列三元一次方程组解决实际问题 列三元一次方程组解决实际问题的步骤 (1) 弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表示题目中的未知量； (2) 找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系； (3) 根据等量关系列出方程，联立方程组； (4) 解方程组求出未知数的值； (5)写出答案，包括单位名称 . 题型巩固 题型一、判断各式是否是方程 1．（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）下列是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查了一元一次方程的识别，判断一个方程是否是一元一次方程，看它是否具备以下三个条件：①只含有一个未知数，②含未知数项的最高次数是1，③未知数不能在分母里，这三个条件缺一不可． 【详解】解：A．是一元一次方程；     B．含2个未知数，不是一元一次方程；     C．不是等式，不是一元一次方程；     D．含2个未知数，不是一元一次方程； 故选A． 题型二、列方程 2．一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列方程 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，成本价x元，提高后标价为，再打8折即乘以，售价为224元，因此方程为，即可求解． 【详解】解：设成本价为x元， ∵ 标价， ∴ 售价， 又∵ 售价， ∴，即选项B正确． 故选：B． 题型三、判断是否是方程的解 3．判断是否是下列一元一次方程的解： ①；②；③；④． 【答案】②④ 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解．将分别代入各方程，判断方程左边是否等于方程右边，进而得解． 【详解】解：①将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴不是方程的解； ②将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴是方程的解； ③将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴不是方程的解； ④将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴是方程的解； 综上，符合题意的是②④． 题型四、已知方程的解，求参数 4．若是方程的解，则a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：是方程的解， 把代入得：， 解得：， 故选：B． 题型五、等式的性质 5．（24-25七年级上·安徽六安·期末）若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，则与的大小无法确定，故本选项符合题意； 故选：D 题型六、判断是否是一元一次方程 6．下列等式中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查一元一次方程的定义，需满足：①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为1，据此解答即可． 【详解】A、中，是分式，不是整式方程，不符合要求； B、是等式，仅含未知数，且的次数为1，属于整式方程，符合一元一次方程的定义； C、含有两个未知数和，属于二元一次方程，不符合要求； D、不是等式，仅是代数式，无法构成方程； 故选：B． 题型七、判断是否是一元一次方程解 7．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查了方程的解，掌握方程的解是方程左右两边相等的未知数的值成为解题的关键．将代入各项逐项判断即可． 【详解】解：当时， A．，符合题意；     B．，不符合题意； C．，不符合题意；     D．，不符合题意． 故选：A． 题型八、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 8．（24-25七年级上·安徽六安·期中）下列解方程，结果正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查解一元一次方程，根据解一元一次方程的一般步骤逐个求解即可． 【详解】解：A、由，得，故不符合题意； B、由，得，故符合题意； C、由，得，故不符合题意； D、由，得，故不符合题意； 故选：B． 题型九、解一元一次方程（二）——去括号 9．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如果的值与互为相反数，那么等于（） A．6 B．4 C． D． 【答案】A 【知识点】相反数的定义、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及相反数，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：． 故选：A． 题型十、解一元一次方程（三）——去分母 10．（23-24七年级上·安徽宣城·期末）解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查去分母解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘各分母的最小公倍数6，注意不要漏乘常数项，并正确应用乘法分配律即可． 【详解】解：， 去分母得，， 故选：C． 题型十一、绝对值方程 11．若，且，则的值为（    ） A．5或1 B．或 C．5或 D．或1 【答案】A 【知识点】绝对值方程 【分析】根据，求出x、y的值，代入即可求得答案． 【详解】解：∵ ∴， 又∵， ∴，或， ∴或1， 故选：A． 题型十二、已知一元一次方程的解，求参数 12．若关于的方程的解是整数，则整数的取值有（   ） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 【答案】A 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了解含参一元一次方程的整数解问题，把字母当成已知数解方程，再根据为整数确定的值，最后统计的个数即可． 【详解】解：可化为： ， 即：. . 又为整数， 或或. 故选：． 题型十三、一元一次方程解的关系 13．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A．2023 B．-2013 C．2013 D．-2023 【答案】B 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题主要考查了换元法解一元一次方程，熟练掌握换元法的思想是解题的关键．通过观察两个方程的结构特征，利用换元法将关于的方程转化为已知解的关于的方程形式，进而求解的值． 【详解】解：对于方程， ∵令， ∴原方程可化为． ∵已知关于的方程的解为， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 题型十四、配套问题(一元一次方程的应用) 14．（22-23七年级·安徽淮南）某车间有24名工人，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，两个螺栓配三个螺母．为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？ 【答案】应该分配12名工人生产螺栓，12名工人生产螺母 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程．设分配名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母，根据题目中的等量关系式列方程解答． 【详解】解：设分配名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母， 由题意，得：， 解得：． ∴． 答：应该分配12名工人生产螺栓，12名工人生产螺母． 题型十五、工程问题(一元一次方程的应用) 15．柳孜隋唐大运河遗址是我市的一张文化名片，为打造古运河风光带，现有一段长为280米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治10米，两个工程队共用时25天．求A工程队整治河道多少米？ 【答案】设A工程队整治河道180米 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】设A工程队整治河道x米，根据两个工程队共用时25天即可建立一元一次方程求解． 【详解】解：设A工程队整治河道x米， 根据题意得：， ． 答：设A工程队整治河道180米． 【点睛】本题考查一元一次方程与工程问题．正确理解题意是关键． 题型十六、销售盈亏(一元一次方程的应用) 16．（24-25七年级上·安徽六安·期末）某商店将一种书包按进价提高作为标价，然后再按标价9折出售，这样卖出一个书包可盈利8.5元．这种书包每个进价为（   ）元． A．50 B．58.5 C．42.5 D．60 【答案】A 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．设这种书包每个进价为x元，根据书包按进价提高作为标价，然后再按标价9折出售，这样卖出一个书包可盈利8.5元列出方程求解即可． 【详解】解：设这种书包每个进价为x元，根据题意， 得， 解得， 所以这种书包每个进价为50元． 故选：A． 题型十七、比赛积分(一元一次方程的应用) 17．小彬是学校的篮球队长，在一场篮球比赛中，他一人得了25分，其中罚球得了5分，他投进的2分球比3分球多5个，则他本场比赛3分球进了 个． 【答案】2 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用：利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为，然后用含的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．设他本场比赛3分球进了个，则2分球进了个，利用得分的和为25列方程，得到，然后解方程即可． 【详解】解：设他本场比赛3分球进了个， 根据题意得， 解得． 故他本场比赛3分球进了2个． 故答案为：2． 题型十八、方案选择(一元一次方程的应用) 18．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）为丰富学生课外活动，学校计划购买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价200元，乒乓球每盒定价50元．经洽谈后，甲商店全部按定价的9折优惠；乙商店每买一副球拍赠一盒乒乓球．该校需球拍10副，乒乓球x盒（不少于10盒）．问： (1)若在甲商店购买，一共需付款________元；若在乙商店购买，一共需付款________元；（用含x的式子表示） (2)当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样多？ 【答案】(1)， (2)当购买乒乓球60盒时，两种优惠办法付款一样多 【知识点】列代数式、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，列代数式， （1）根据甲乙两个上的的优惠方案分别列式即可； （2）根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）（元） ∴若在甲商店购买，一共需付款元； （元） ∴若在乙商店购买，一共需付款元； （2）根据题意得， 解得 ∴当购买乒乓球60盒时，两种优惠办法付款一样多． 题型十九、数字问题(一元一次方程的应用) 19．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）定义一种新的运算：，例如：，如果，求的值． 【答案】 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查新定义运算，一元一次方程的应用，根据新定义列出关于x的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意知， ， ， ， 解得， 即的值为． 题型二十、几何问题(一元一次方程的应用) 20．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）定义：数轴上点A，B表示的数叫做点A和点B的坐标，如图，数轴上点A和点B的坐标分别为和2，求线段的长度可以利用数轴上右边点的坐标减去左边点的坐标，如得到． (1)如果设数轴上两点M，N表示的数分别为x，， ①当点M，N重合，则______；当时，则线段的长度为________； ②若，求x的值； (2)如果设数轴上两点M，N表示的数分别为，，点N在点M的右边，点P表示的数为，若，则x的值为_______． 【答案】(1)①1；12；②或； (2)或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查数轴和一元一次方程的应用，利用数形结合是解决问题的关键． （1）①由点，重合，得出，解方程即可；求出，所表示的数，由数轴上两点间的距离即可求出的长度； ②由数轴上两点间的距离公式列出方程，解方程即可； （2）根据已知条件得出点、、在数轴上的位置，然后由列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①点，重合， ， 解得； 当时，， ， 故答案为：1；12； ②， ， ， 解得或； （2）解：①点在点的右边，， 点、、在数轴上的位置如图所示： ， 解得； ②当点在之间时， ， 解得 的值为或． 故答案为：或． 题型二十一、动点问题（一元一次方程的应用） 21．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为 (1)若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)点P对应的数是1 (2)存在；点P对应的数为或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用， 对于（1），根据点P的位置，结合两点之间的距离相等可得方程，求出解； 对于（2），先确定点P不在点A，B之间，再分两种情况列出方程，求出解. 【详解】（1）解：∵点P到点A，B之间的距离相等， ∴点P在点A，B之间， ∴， 解得； 所以点P对应的数是1； （2）解：存在， ∵点A到点B的距离是， ∴点P不在点A，B之间， ∴或， 解得或. 题型二十二、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 22．（25-26七年级上·安徽六安）果园里有梨树和桃树共2800棵，其中桃树的棵数是梨树的，果园里有桃树和梨树各多少棵？（列方程求解） 【答案】梨树 1680 棵，桃树 1120 棵 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查方程的应用，根据题意，可得到等量关系式：桃树的棵数+梨树的棵数=2800，可设梨树有x棵，那么桃树有棵，把未知数代入等量关系式进行解答即可． 【详解】解：设梨树有棵，则桃树有棵，根据题意得： 解得， 所以， 答：梨树 1680 棵，桃树 1120 棵 题型二十三、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 23．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）某市一学校“社会实践兴趣小组”做了一下调查：下表是该市居民每月用水收费标准（单位：元/立方米），设用户用水量为x立方米， 用水量/立方米 单价/（元/立方米） a 超出40的部分 (1)某用户用水10立方米，共交水费28.8元，求a的值． (2)在（1）的前提下，该用户10月份交水费155.2元，请问该用户用水多少立方米？ 【答案】(1)a的值为2.88 (2)该商家用水50立方米 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． （1）根据题意列出关于a的方程，解方程即可； （2）先判断用水量超过立方米，然后列出关于x方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． 答：a的值为； （2）解：∵用水40立方米时，水费为， ∴， ∴， 解得． 答：该商家用水50立方米． 题型二十四、行程问题(一元一次方程的应用) 24．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）某游客乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上回到甲地，顺流行驶了2小时50分，逆流行驶了3小时，水流速度为2千米/小时，求甲乙两地间的距离． 【答案】甲乙两地间的距离为204千米． 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用．设船在静水中的速度为千米小时，先根据路程相等，列方程，得到船的静水速度，继而求出甲、乙两地的距离． 【详解】解：设船在静水中的速度为千米小时， 依题意，得：， 解得：， 故甲、乙两地的距离为：（千米）． 答：甲乙两地间的距离为204千米． 题型二十五、日历问题(一元一次方程的应用) 25．（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）如图，在11月的日历表中用框数器“”框出，，，，五个数，它们的和为55，若将“”在图中换个位置框出五个数，若它们的和可能是110，则中间的数为（    ） A．15 B．16 C．21 D．22 【答案】D 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】设正中间的数为x，且x为整数，则这5个数为x， ，，，，根据题意，列方程为，求解即可． 【详解】解：设正中间的数为x，且x为整数，则这5个数为x， ，，，，根据题意，得 ， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，设正中间的数为，用x表示出这5个数是解题的关键． 题型二十六、古代问题(一元一次方程的应用) 26．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）《九章算术》是中国古代《算经十书》最重要的一部，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，其中有一道阐述“盈不足数”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是说：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设有人，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．每人出8元，还盈余3元，则物品价格为；每人出7元，则还差4元，则物品价格为，据此列出方程即可． 【详解】解：设有人，则根据题意可列方程为． 故选：A． 题型二十七、其他问题(一元一次方程的应用) 27．（2022七年级上·安徽阜阳·专题练习）某家电商场原有营业员32人，送货人员3人，由于进入了销售旺季，经理决定从营业员中抽调人员补充送货人员，使送货人员为营业员人数的四分之一，请问经理从营业员中抽调多少人补充到送货人员中？ 【答案】经理从营业员中抽调人补充到送货人员中 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用． 设经理从营业员中抽调人补充到送货人员中，可得抽调后的营业员人数和送货员人数，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设经理从营业员中抽调人补充到送货人员中， 根据题意可得， 解得 答：经理从营业员中抽调人补充到送货人员中． 题型二十八、二元一次方程的定义 28．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）若是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】二元一次方程的定义、加减消元法 【分析】根据二元一次方程的定义，可得到关于m，n的方程组，即可求解． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴， 解得：， 故选：B 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，熟练掌握含有2个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键． 题型二十九、判断是否是二元一次方程组 29．（24-25七年级·安徽阜阳·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二元一次方程组的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A、是二元一次方程组，符合题意； B、不是整式方程，所以不是二元一次方程组，不符合题意； C、是二次方程，所以不是二元一次方程组，不符合题意； D、是二次方程，所以不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 题型三十、代入消元法、加减消元法 30．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）解方程组． 【答案】 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，关键是掌握 “加减消元” 的方法，对等式两端同乘以，然后，加上即可把变量消去． 【详解】解：根据题意可知， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故方程组的解为． 题型三十一、已知二元一次方程组的解求参数 31．解关于x，y的方程组时，甲正确地解出，乙因为把c抄错了，误解为，求a，b，c的值． 【答案】． 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入求出，再将将代入，得，联立得，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， 将代入，得：， 联立得：， 解得：， ∴． 题型三十二、二元一次方程组的特殊解法 32．（24-25七年级·安徽黄山·期末）两位同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说∶“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说∶ “它们的系数有一定的规律，可以试试把第二个方程组的两个方程的两边都除以，然后通过整体换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查特殊法解二元一次方程组，理解题中乙的想法是解题的关键．根据题中乙的想法将方程组化为：，结合已知条件得到，进行求解即可． 【详解】解：方程组可化为：， ∵方程组的解是， ∴， 解得：； ∴方程组的解为． 故答案为：． 题型三十三、二元一次方程组的错解复原问题 33．（23-24七年级·安徽合肥·阶段练习）在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组， （1）把代入方程组可求出、的值，再根据乙看错了方程组中的，得解为，可知是方程的解，继而求出的值； （2）将，，的值代入原方程组后，再解这个二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：由题意知，是方程组的解， ∴， 解得， ∵乙看错了方程组中的，求得的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴正确的，，的值为：，，； （2）解：当，，时，原方程组变为： ， ①＋②，得：， 解得：， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 题型三十四、已知二元一次方程组的解的情况求参数 34．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的方程组的解满足，则 ． 【答案】 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】此题考查了解二元一次方程组的应用能力，关键是能用合适的方法准确求解．先求得此方程组的解为，再代入求解的值． 【详解】解：解方程组得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 题型三十五、方案问题(二元一次方程组的应用) 35．（23-24七年级·安徽合肥·期末）某公司需要将120吨物资从A市运往B市，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如下表： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨／辆） 5 8 10 运费（元／辆） 450 600 700 (1)若选用甲、丙两种车型一次性运完，如果甲车有11辆，则丙车至少需要多少辆？ (2)若选用甲、乙两种车型一次性运完，且每辆车均满载，需运费9600元，则甲、乙两种车型各需多少辆？ (3)若选用甲车辆、乙车辆、丙车若干辆一次性运完，且每辆车均满载，已知三种车辆共14辆，直接写出a、b的值和总运费． 【答案】(1)丙车至少需要7辆 (2)甲型车有8辆，乙型车有10辆 (3)、，8800元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解． （1）根据甲型车运载量是5吨/辆，丙型车运载量是10吨/辆，再根据总吨数，即可求出丙型车的车辆数； （2）设甲种车型需辆，乙种车型需辆，根据运费9600元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （3）设甲车有辆，乙车有辆，则丙车有辆，列出等式，再根据、、均为正整数，求出，的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：， 答：丙型车至少需要辆． （2）解：设甲种车型需辆，乙种车型需辆， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种车型需8辆，乙种车型需10辆． （3）解：设甲车有辆，乙车有辆，则丙车有辆， 由题意得， 即， ∵、、均为正整数， ∴只能等于5， ∴， ， ∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆， 则需运费（元）， 答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，此时的总运费为8800元． 题型三十六、行程问题(二元一次方程组的应用) 36．甲、乙两城相距1120千米，一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程是动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米，则动车平均每小时比快车平均每小时多行驶的路程为（    ） A．330千米 B．170千米 C．160千米 D．150千米 【答案】C 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设动车平均每小时行驶x千米，快车平均每小时行驶y千米，根据“一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇，且快车平均每小时行驶的路程比动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，求出动车与快车平均每小时行驶的路程即可解答． 【详解】解：设动车平均每小时行驶x千米，快车平均每小时行驶y千米， 依题意得： ， 解得： ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 题型三十七、工程问题(二元一次方程组的应用) 37．（22-23七年级上·安徽阜阳·阶段练习）阅读理解： 为打造陶子河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天. (1)根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲：            乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数，表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：表示___________________，表示_______________； 乙：表示___________________，表示_______________； (2)求出其中一个方程组的解，并回答A、B两工程队分别整治河道多少米？ 【答案】(1)A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作量，B队的工作量；补全所列方程组见解析 (2)A队整治河道120米，B队整治河道240米 【知识点】加减消元法、工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据甲、乙两名同学所列的方程组可得，甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量，补全方程组即可； （2）根据二元一次方程组的解法求解方程组甲． 【详解】（1）解：甲：， 乙：； 甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量； 故答案为：A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作量，B队的工作量． （2）解： 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 则，， 答：A队整治河道120米，B队整治河道240米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，正确找出题目中的相等关系，列方程组求解． 题型三十八、数字问题(二元一次方程组的应用) 38．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ． 【答案】0 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，列出二元一次方程组，解方程组，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ， 故答案为：0． 题型三十九、年龄问题(二元一次方程组的应用) 39．今年小明的年龄是小华的，前年小华的年龄是小明的2倍，他俩今年年龄各是多少？ 【答案】小华今年是10岁，小明今年是6岁 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 设小华今年的年龄是，则小明今年的年龄为，根据“前年小华的年龄是小明的倍”列出方程并解答． 【详解】解：设小华今年的年龄是，则小明今年的年龄为， 由题意得：， 解得：，则， 答：小华今年是岁，小明今年是岁． 题型四十、分配问题(二元一次方程组的应用) 40．（22-23七年级上·安徽·期末）某蔬菜基地第一次向甲地运输124吨蔬菜，恰好装满5辆大货车和2辆小货车；第二次向甲地运输180吨蔬菜，恰好装满6辆大货车和5辆小货车． (1)装满2辆大货车和3辆小货车能运输多少吨蔬菜？ (2)第三次安排大、小货车共12辆向甲地运输208吨蔬菜，若要使得每辆车都装满，则大货车和小货车分别需要多少辆？ 【答案】(1)76吨 (2)大货车8辆和小货车4辆 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨，根据“5辆大货车与2辆小货车一次可以运货124吨，6辆大货车与5辆小货车一次可以运货180吨”列方程组求解可得； （2）设安排m辆大货车，则小货车需要（12﹣m）辆，根据两种货车运送的蔬菜总质量208吨列方程求解可得． 【详解】（1）解：设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨， 根据题意，得：， 解得：， ∴ 答：装满2辆大货车和3辆小货车能运输76吨蔬菜． （2）设安排m辆大货车，则小货车需要辆， 根据题意，得：， 解得：， 所以则大货车8辆和小货车4辆． 答：需要大货车8辆和小货车4辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和一元一次方程求解． 题型四十一、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 41．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）某公司准备去超市采购牛奶和面包若干箱，采购员设计了两种不同的购买方案，如表所示． 牛奶/箱 面包/箱 金额/元 方案一 方案二 (1)采购员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，请你计算被污渍盖住的地方对应的金额是多少元； (2)若公司购买牛奶箱，面包箱，需支付费用元． ①求牛奶和面包每箱分别为多少元； ②若超市中该款面包和牛奶有部分因包装破损进行打六折的促销活动，采购员根据需要选择原价或打折的面包和牛奶，此次采购共花费了元，其中购买打折的牛奶箱数是购买的牛奶与面包总箱数的，则此次按原价购买的面包有多少箱？ 【答案】(1) (2)①牛奶与面包每箱分别为30元、50元；②6 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设牛奶一箱元，面包一箱元，由题意得：，再由，即可求解； （2）①设牛奶一箱元，面包一箱元，由题意列出方程组，求解即可；②设牛奶与面包总箱数为箱，则打折的牛奶箱数为箱，设原价面包为箱，则打折面包与原价牛奶共有箱，由题意列出方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设牛奶一箱元，面包一箱元， 由题意得：， （元）， （2）解：①设牛奶一箱元，面包一箱元， 由题意得：， 解得：， 答：牛奶与面包每箱分别为30、元； ②设牛奶与面包总箱数为，则打折的牛奶箱数为箱， 打折牛奶价格为：（元），打折面包价格为：（元）， 即打折面包价格与牛奶原价相同， 设原价面包为箱，则打折面包与原价牛奶共有箱， 由题意得：， 整理得：， ∴ 、均为正整数， ∴是正整数， ∴a必须是20的倍数， ，或， ， ，， 答：此次按原价采购的面包有6箱， 题型四十二、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 42．（2025·安徽·模拟预测）“霜降”是收获、播种的最后时节．某农科所利用试验田共种植5亩谷子进行新技术与传统技术的对比试验，共收获谷子3300斤，经过对比发现，采用新技术种植的谷子，平均每亩产量是采用传统技术种植的谷子的1.25倍．已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为600斤，请问该试验田采用传统技术和新技术各种植谷子多少亩？ 【答案】该试验田采用传统技术种植谷子3亩，采用新技术种植谷子2亩 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该试验田采用传统技术种植谷子x亩，采用新技术种植谷子y亩，根据题中关系列出二元一次方程组即可解答，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设该试验田采用传统技术种植谷子x亩，采用新技术种植谷子y亩， 根据题意，得， 解得． 答：该试验田采用传统技术种植谷子3亩，采用新技术种植谷子2亩． 题型四十三、几何问题(二元一次方程组的应用) 43．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在周长为的长方形中放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用。设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据图中各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用图中阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， ，依题意得： ， 解得：， ∴， ∴图中阴影部分面积． 故选：A． 题型四十四、图表信息题(二元一次方程组的应用) 44．如图，在的方格内，填写了一些代数式和数．在图中各行、各列及斜对角上的三个数之和都相等，请你求出x，y的值及左下角的方格内应填的数． 【答案】，，左下角的方格内应填的数为0 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据图中各行、各列及斜对角上的三个数之和都相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用左下角的方格内应填的数=第一行三个数之和-2-y，即可求出结论． 【详解】解：依题意得：， 解得：， ∴左下角的方格内应填的数为2x+3+2-2-y=2×（-1）+3+2-2-1=0． 答：x的值为-1，y的值为1，左下角的方格内应填的数为0． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 题型四十五、古代问题(二元一次方程组的应用) 45．（24-25七年级·安徽阜阳·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设杆子的长度为x尺，则下列说法错误的是（   ） A．列方程： B．设绳索长为y尺，列方程为 C．设绳索长为y尺，列方程组为 D．竿子的长度为10尺 【答案】D 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)、古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用． 根据题意建立方程组并求解，验证各选项的正确性即可 【详解】解：A：由题意可知绳索长，对折后长度为， ∵对折后比竿短5尺， ∴，正确； B：设绳索长为y尺， 则，即， 代入A得， 可得，正确； C：设绳索长为y尺， ∵绳索比竿长5尺， ∴， ∵将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺， ∴， ∴，正确； D：解方程得，故竿长应为15尺，错误； 故选：D． 题型四十六、其他问题(二元一次方程组的应用) 46．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）南方某市出租车计费标准如下框，赵亮上周坐了两次出租车，一次里程千米 ，车费元，另一次里程千米，车费87.5元． (1)画示意图可以帮助我们理清数量间的关系，请把下面的示意图补充完整； (2)列方程组求解，． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据题意即可得到答案； （2）根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：根据题意列方程组得，， 解得：． 题型四十七、三元一次方程组的定义及解 47．已知实数x，y，z满足，则代数式3(x﹣z)+1的值是(  ) A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6 【答案】B 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】将方程组 ②-①得：3x-3z=-5，整理得：3（x-z）=-5，把3（x-z）=-5代入代数式3（x-z）+1，即可得到答案． 【详解】方程组， ②﹣①得：3x﹣3z＝﹣5， 整理得：3(x﹣z)＝﹣5， 把3(x﹣z)＝﹣5代入代数式3(x﹣z)+1得： ﹣5+1＝﹣4， 即代数式3(x﹣z)+1的值是﹣4， 故选B． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，正确掌握加减消元法消去未知数是解决本题的关键． 题型四十八、三元一次方程组的应用 48．（24-25七年级·安徽黄山·期中）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按如图1所示的方式放置，再交换两木块的位置，按如图2所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查了运用列三元一次方程组解决实际问题的运用及方程组的解法的运用，设长方体长，宽，桌子的高为，由图象建立方程组求出其解就可以得出结论． 【详解】解：设长方体长，宽，桌子的高为，由题意得 ， 两式相加得：， 解得， 即桌子的高为． 故选：C． 49．某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个，或者丙种零件200个．甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个才能配成一套，车间计划30天内生产的零件正好成套．请问甲、乙、丙三种零件各应生产几天才能完成计划？ 【答案】甲、乙、丙三种零件各应生产15天、12天、3天才能完成计划 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题的等量关系为：甲生产零件的天数+乙生产零件的天数+丙生产零件的天数=30，甲、乙、丙所生产零件个数比为3:2:1，由此可得出方程组求解． 【详解】解：设甲、乙、丙三种零件各应生产天、天、天才能完成计划． 由题意，得整理，得 代入第一个方程，得，解得， 所以，即 答：甲、乙、丙三种零件各应生产15天、12天、3天才能完成计划． 【点睛】本题主要考查三元一次方程的应用，用各个生产零件的个数和相对应的比例得出等量关系，根据时间列方程，从而求出解． 学科网（北京）股份有限公司 $