第13讲 几何图形（7个知识点+3种题型+过关检测）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（沪科版2024）

第13讲 几何图形（7个知识点+3种题型+过关检测） 知识点1．认识立体图形 （1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形． （2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． （3）重点和难点突破： 结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内． 知识点2．点、线、面、体 （1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． （2）从运动的观点来看 点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． （3）从几何的观点来看 点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合． （4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体． （5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成． 知识点3．几何体的表面积 （1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和） （2）常见的几种几何体的表面积的计算公式 ①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高） ②圆锥体表面积：πr2+（r为圆锥体底面圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角） ③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高） ④正方体表面积：6a2（a为正方体棱长） 知识点4．认识平面图形 （1）平面图形： 一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等． （2）重点难点突破： 通过以前学过的平面图形：三角形、长方形、正方形、梯形、圆，了解它们的共性是在同一平面内． 知识点5．几何体的展开图 （1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形． （2）常见几何体的侧面展开图： ①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形． （3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决． 从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 知识点6．展开图折叠成几何体 通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 知识点7．截一个几何体 （1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面． （2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形． 题型一、常见的几何体 1．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）下列选项中的几何体，没有曲面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查了认识立体图形，熟记立体图形的特征，根据立体图形的特征． 【详解】解：A、球的表面是曲面，故本选项不符合题意； B、圆锥的侧面是曲面，故本选项不符合题意； C、圆柱的侧面是曲面，故本选项不符合题意； D、棱柱的底面是平面，侧面是平面，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）图中的棱锥由 个三角形和 个四边形围成． 【答案】 4 1 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查了棱锥的定义．熟练掌握棱锥的定义是解题的关键． 根据棱锥的定义作答即可． 【详解】解：由题意知，图中的棱锥是由4个三角形，1个四边形围成， 故答案为：4，1． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的六棱柱的底面边长都是，侧棱长．它有多少个面？它的所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】8个； 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查了认识立体图形，根据六棱柱的特征计算即可得解，熟练掌握六棱柱的特征是解此题的关键． 【详解】解：六棱柱有8个面，所有侧面的面积之和是． 题型二、几何体中的点、棱、面 4．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）构成下列立体图形的各个面中，不包括曲面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】根据几何体的特点即可判断． 【详解】解：A、球面是曲面，故本选项不符合题意； B、侧面是曲面，故本选项不符合题意； C、三棱柱没有曲面，故本选项符合题意； D、侧面是曲面，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查立体图形的特点，解题的关键是熟知简单几何体的特点． 5．（20-21七年级上·安徽合肥·期中）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为n，则正方体上小球总数用n表示为 ． 【答案】 【知识点】用代数式表示式、几何体中的点、棱、面 【分析】先确定每条棱上的小球总数，再减去多计算的小球数，即可得出答案． 【详解】因为正方体有12条棱，则12条棱上小球的总数为12n，每个顶点处小球多计算了2次，即2×8=16，所以正方体上小球的总数为12n-16． 故答案为：12n-16． 【点睛】本题主要考查了正方体的特征，列代数式的知识，掌握正方体的棱数和顶点数是解题的关键． 6．（22-23七年级上·安徽宿州·期中）如图所示是一个六棱柱，它的底面边长是4cm，高是6cm． (1)这个棱柱共有多少条棱？所有的棱长的和是多少? (2)这个棱柱共有多少个顶点？ 【答案】(1)这个棱柱共有18条棱，所有的棱长的和是84cm (2)这个棱柱共有12个顶点 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】（1）根据六棱柱的特点，可得棱的条数，然后根据题意可得棱长的和； （2）根据三条棱交于一点，可得棱柱的顶点． 【详解】（1）解：这个棱柱共有条棱； 所有的棱长的和是； 答：这个棱柱共有18条棱，所有的棱长的和是84cm； （2）解：由题意得这个棱柱共有12个顶点； 答：这个棱柱共有12个顶点． 【点睛】本题考查了认识立体图形，棱柱的面是个，棱是条，顶点是个． 题型三、平面图形旋转后所得的立体图形 7．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，由所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题主要考查点、线、面、体．根据立体图形的形状，平面图形旋转的性质即可求解． 【详解】解：所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是D； 故选：D． 8．（24-25七年级上·期中）如图，正方形的边长为，以所在的直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的体积是 ．（用含的式子表示） 【答案】 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了平面图形旋转后的立体图形，求体积；正方形绕所在的直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体是圆柱，底面半径与高均为，根据圆柱的体积公式计算即可． 【详解】解：由题意知，旋转后的几何体是圆柱，底面半径与高均为， 则圆柱的体积为：； 故答案为：． 9．（22-23七年级上·安徽宿州·阶段练习）如图①，把一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸板分成甲、乙两个相同的直角三角形．    (1)将甲三角形绕轴（如图②）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方厘米？ (2)将乙三角形绕轴（如图③）旋转一周形成一个几何体，求该几何体的体积． 【答案】(1)圆锥，立方厘米 (2)立方厘米 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】（1）根据题意可得，分成的直角三角形的两条直角边分别是10厘米、6厘米，以较长边10厘米为轴旋转一周得到的是一个圆锥，底面半径是6厘米，高是10厘米，据此利用圆锥的体积公式计算即可解答． （2）根据题意可得，所形成的几何体的体积底面半径是6厘米高是10厘米的圆柱体积底面半径是6厘米，高是10厘米的圆锥体积，据此利用圆柱和圆锥的体积公式计算即可解答． 【详解】（1）解：根据题干分析可得：以其中一个直角三角形较长的直角边所在直线为轴，将纸板快速转动，可以形成一个圆锥， 它的体积是， ， （立方厘米）； （2）根据题干分析可得：乙三角形（如图③）旋转一周，可以形成一个空心的圆柱． 体积为： （立方厘米）． 【点睛】此题主要考查了圆柱和圆锥的体积公式的计算应用，解题的关键是明确旋转后的圆柱和圆锥体的底面半径和高． 一、单选题 1．下列几何体中：棱柱有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】常见的几何体 【分析】棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形． 【详解】解：由棱柱的特征可知第3个和第5个几何体是棱柱． 故选B． 【点睛】本题考查的是棱柱的概念与识图，掌握棱柱的概念是解题的关键． 2．如图所示几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，从左边看，看到的图形分为上下两层，共2列，从左边起，第一列上下两层各有一个小正方形，第二列下面一层有一个小正方形，据此可得答案． 【详解】解：从左边看，看到的图形分为上下两层，共2列，从左边起，第一列上下两层各有一个小正方形，第二列下面一层有一个小正方形，即看到的图形如下： ， 故选：D． 3．“力旺杯”足球赛在我校顺利进行，九年1班的足球队争得了冠军，如图所示为其获得的冠军奖杯，用数学的眼光观察这个奖杯，其中不包含的立体图形是（    ）    A．球体 B．圆柱体 C．长方体 D．四棱锥 【答案】B 【知识点】常见的几何体 【分析】本题主要考查的是认识立体图形，找出各立体图形的表面包含的平面图形是解题的关键，根据常见几何体解答即可． 【详解】解：如图所示为其获得的冠军奖杯，用数学的眼光观察这个奖杯，其中不包含的立体图形是圆柱体． 故选：B． 4．如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点，观察图形，下列说法正确的有（  ） ①n棱柱有n个面；   ②n棱柱有3n条棱；    ③n棱柱有2n个顶点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】结合已知三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱的特点，可知n棱柱一定有（n+2）个面，3n条棱和2n个顶点． 【详解】解：∵三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点， 观察图形，得：四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点， 五棱柱有7个面，15条棱，10个顶点， 六棱柱有8个面，18条棱，12个顶点， ， ∴n棱柱一定有（n+2）个面，3n条棱和2n个顶点， 故①错误，②③正确， 故选：C． 【点睛】此题考查了认识立体图形，熟记常见棱柱的特征，总结一般规律是解决此题关键． 5．下列四个几何体中，是圆柱的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】常见的几何体 【分析】根据每一个几何体的特征判断即可． 【详解】解：A．长方体，故A不符合题意； B．球体，故B不符合题意； C．圆柱，故C符合题意； D．圆锥，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每一个几何体的特征是解题的关键． 6．下面几何体中，不是棱柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查了棱柱的定义，有两个面互相平行且相等，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，根据棱柱的概念进行判断即可． 【详解】解：A，是棱柱，不合题意； B，是棱柱，不合题意； C，是圆锥，不是棱柱，符合题意； D，是棱柱，不合题意； 故选C． 7．用一个平面截下面的几何体，截面总是能获得圆的是（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台 【答案】C 【知识点】截一个几何体 【分析】本题主要考查几何体的截面，解题的关键要理解面与面相交得到线．根据圆柱、圆锥、球、圆台的形状特点判断即可． 【详解】解：A、对于圆柱，如果截面与上、下底面平行，那么截面就是圆，否则是椭圆或长方形等，故不符合题意； B、对于圆锥，如果截面与底面平行，那么截面就是圆，否则截面可以是三角形、椭圆或其它平面图形，故不符合题意； C、对于球，用平面任意截，截面一定是圆，故符合题意； D、对于圆台，如果截面与底面平行，那么截面就是圆，否则截面可能是梯形、椭圆或其它平面图形，故不符合题意； 故选：C． 8．如图所示的两个长方体容器中液体体积相同，根据图中信息，以下结论正确的是（    ） A． B． C．甲容器中液体的体积为405 D．乙容器中液面的高度为10 【答案】A 【知识点】立体图形的分类 【分析】根据长方体体积计算公式分别计算出甲、乙两个容器中的液体体积，再由两个长方体容器中液体体积相同列出方程即可得到答案． 【详解】解：由图可知，，， 两个长方体容器中液体体积相同， ，解得， ；乙容器中液面的高度为； 综上所述，B、C、D均错误， 故选：A． 【点睛】本题考查长方体体积问题，涉及等体积、列方程、解方程及长方体相关计算，熟练掌握长方体相关知识是解决问题的关键． 9．下列几何体中，是圆锥的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查认识立体图形，掌握几种常见几何体的形体特征是正确判断的前提．根据圆锥的特征进行判断即可． 【详解】解：圆锥是锥体，底面是圆形的，因此选项C中的几何体符合题意， 故选：C． 10．某款台灯灯罩如图所示，该款灯罩可以看成由如下图形（   ）沿虚线旋转一周得到的． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握每一个几何体的特征是解题的关键．根据面动成体，即可解答． 【详解】解：A、将图形绕虚线旋转一周后得到圆台，故A符合题意； B、将图形绕虚线旋转一周后得到圆锥和圆柱的组合体，故B不符合题意； C、将图形绕虚线旋转一周后得到两个圆锥的组合体，故C不符合题意； D、将图形绕虚线旋转一周后得到圆锥和圆柱的组合体，故D不符合题意； 故选：A． 二、填空题 11．如果一个棱柱有7个面，那么这个棱柱是 棱柱． 【答案】五 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】此题考查了几何体中点，棱，面的关系，棱柱有上下两个底面，底面加侧面等于面的总数7，由此求出侧面个数，即可得到几何体的名称，据此解答． 【详解】一个棱柱有7个面，那么这个棱柱的侧面有个， ∴这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五． 12．数学老师可以用粉笔在黑板上画出图形，这个现象说明 ． 【答案】点动成线 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】根据点动成线即可求解． 【详解】数学老师可以用粉笔在黑板上画出图形，这个现象说明点动成线， 故答案为：点动成线． 【点睛】本题考查了点与线之间的关系，理解题意是解题的关键． 13．天空划过一道流星说明 ．（用点、线、面、体关系说明） 【答案】点动成线 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】此题主要考查了点、线、面、体，根据点动成线进行回答即可，解题的关键是掌握点动成线，线动成面，面动成体． 【详解】解：天空划过一道流星说明点动成线， 故答案为：点动成线． 14．（1）三棱柱的顶点数是 ，棱数是 ，面数是 . （2）三棱锥的顶点数是 ，棱数是 ，面数是 . 【答案】 6 9 5 4 6 4 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】（1）根据三棱柱的特征，即可解答， （2）根据三棱锥的特征，即可解答．． 【详解】（1）三棱柱的顶点数是6，棱数是9，面数5； （2）三棱锥的顶点数是4，棱数是6，面数是4. 故答案为：（1）6，9，5；（2）4，6，4 【点睛】本题考查了认识立体图形，熟练掌握三棱柱及三棱锥的特征是解题的关键． 三、解答题 15．现有一个长方形，长为，宽为，绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积是多少？（结果保留π） 【答案】或 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形、常见的几何体 【分析】根据题意，得到的几何体为一个圆柱体，分两种情况进行解答，绕这个长方形的长旋转一周或绕这个长方形的宽旋转一周． 【详解】解：①绕这个长方形的长旋转一周时： ； ②绕这个长方形的宽旋转一周时： ． 综上：得到的几何体的体积是或． 【点睛】本题主要考查了圆柱的形成，圆柱的体积的计算，掌握圆柱体的体积计算公式解题的关键． 16．某铁器制品厂利用边角余料加工出同样大小的正方形铁片张，长方形铁片张，长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等（如图）．如果将这些铁片全部用于制作甲、乙两种无盖的长方体铁盒子，（每一种长方体盒子都要同时用到正方形铁片和长方形铁片）． (1)画出甲、乙两种铁盒子的直观图． (2)问：可以做成甲、乙两种铁盒子各多少个？ 【答案】(1)见解析 (2)可以做成甲种盒子个，乙种盒子个 【知识点】常见的几何体、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意即可作图； （2）设可以做成甲种铁盒子个，乙种铁盒子个，根据题意得，即可求解； 【详解】（1）解如图： （2）解：设可以做成甲种铁盒子个，乙种铁盒子个，根据题意，得 解这个方程组，得 答：可以做成甲种盒子个，乙种盒子个． 17．一个直角三角尺的两条直角边长是6和8，它的斜边长是10，将这个三角尺绕着它的一边所在的直线旋转一周、（温馨提示你可能用到其中的一个公式，，，） (1)如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？ (2)如果绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体，理由见解析 【知识点】乘方的应用、平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题主要考查将一个简单图形绕一轴旋转所组成的图形和圆锥体积计算方法，弄清旋转后形成的圆锥的底面的半径和高成为解题的关键． （1）先根据题意确定圆锥的高与半径，然后求出体积即可； （3）先分别求出两种图形的体积，然后再比较即可． 【详解】（1）解：绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体是底面半径为8，高为6的圆锥，则其体积为：． （2）解：绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体，理由如下： 如图：∵， ∴， 所以绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为； 所以绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为， ∵， ∴绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积大． 18．如图所示，长方形的长为，宽为．把长方形绕一边所在的直线旋转一周得到几何体，求该几何体的体积．（结果保留） 【答案】或 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题主要考查的是点、线、面、体，旋转后的几何体是圆柱体，先确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的体积公式计算即可求解，根据图形确定出圆柱的底面半径和高的长是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，当长方形绕或边所在的直线旋转一周得到一个圆柱体，则底面半径为，高为， ∴圆柱体的体积为： ， 当长方形绕或边所在的直线旋转一周得到一个圆柱体，则底面半径为，高为， ∴圆柱体的体积为： ， 答：该几何体的体积是或． 19．个棱长为的正方体组成如图的几何体． (1)该几何体的体积是________，表面积是________． (2)在下面网格中，画出该几何体从正面看和从左面看所看到的几何体的形状图． 【答案】(1)； (2)作图见解析 【知识点】从不同方向看几何体、几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查从不同方向观察几何体并画图，计算几何体的体积及表面积 （1）根据几何体的特征解决问题即可； （2）根据从不同方向看到的图形画图即可； 解题的关键是能正确辨认从不同方向观察到的图形． 【详解】（1）解：∵如图是由个棱长为的正方体组成几何体， ∴该几何体的体积是：， 表面积是：， ∴该几何体的体积是，表面积是， 故答案为：；； （2）从正面看有列，从左往右分别有、、个正方形， 从左面看有列，有个正方形， 图形如图所示： 20．探究：有一长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．    (1)请通过计算说明哪种方案构造的圆柱体积大； (2)若将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为多少？ 【答案】(1)方案一构造的圆柱的体积大，见解析 (2)324π（cm3） 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】（1）分别按方案一，方案二转法，根据体积公式找出半径与高，代入计算即可； （2）分两种情况，按长方形长边所在的直线为轴旋转360°，绕长方形的短边所在的直线为轴旋转360°，确定半径与高代入体积公式计算即可． 【详解】（1）方案一：（cm3）， 方案二：（cm3）， ∵， ∴方案一构造的圆柱的体积大； （2）以较短一条边所在的直线为轴旋转，其体积为：（cm3）， 以较长一条边所在的直线为轴旋转，其体积为：（cm3）． 【点睛】本题考查基本图形旋转得到的体积问题，掌握解决旋转半径与圆柱体的高是解题关键． 21．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 棱数（E） 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是　　． (2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是　　． (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 【答案】(1)表格见解析； (2)12 (3)14 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】（1）观察可得顶点数+面数-棱数=2； （2）代入（1）中的式子即可得到面数； （3）根据题意得到多面体的棱数，可求得面数即为x+y的值 【详解】（1）解：完成表格，如下： 多面体 顶点数 面数 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 根据表格得：顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是； 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得； 故答案为：12； （3）解：有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； 共有条棱， 那么，解得， ． 【点睛】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用． 22．“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家订制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为5厘米，宽为3厘米，高为4厘米，那么制作一个该长方体纸箱需要______平方厘米纸板； (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在同一个更大的长方体的外包装盒内（如图1），已知单个玩具的长方体盒子长为5分米，宽为3分米，高为4分米．如图所示，现有三种摆放方式（图，，所示），请分别计算这三种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图3-1，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图是该长方体的一种表面展开图，请计算出这种表面展开图的外围周长是多少？你能设计一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出示意图（请使用直尺规范画图），此时的外围周长是______．（直接写出答案） 【答案】(1)109 (2)按图2-4所示的方式摆放所需的纸板面积更少； (3)50厘米，示意图见解析，62厘米． 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了长方体的展开图，解题的关键是要发挥空间想象能力，计算出每个面的面积． （1）计算长方体的表面积再加底面面积，即可求出制作长方体纸箱的面积； （2）根据图示计算即可； （3）根据图示即可算出图的外围周长，要使展开图的外围周长最长，则需要使沿长为5的边剪开，使长为5的边尽可能多的作外围即可． 【详解】（1）解：， 故制作长方体纸箱需要109平方厘米纸板， 故答案为：109； （2）解：按图所示的方式摆放，需要（平方厘米）， 按图所示的方式摆放，需要（平方厘米）， 按图所示的方式摆放，需要（平方厘米）， ∵， ∴按图所示的方式摆放所需的纸板面积更少； （3）解：表面展开图的外围周长：（厘米）， 如图所示，此时外围周长最大， 最大周长为：（厘米）， 故答案为：62厘米． 23．问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）如图，下列四幅图中不是长方体的表面展开图的是______． 【制作纸盒】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为______； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒，方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为______； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍． （3）若有盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______，外围周长最大时的表面展开图共有______种不同的形状，请任选一种画出该长方体的展开图（要求：借助直尺或三角板作图，图中标明长、宽、高的数据）． 【答案】（1）③；（2）①400；②1000；③2；（3）70；3；见解析 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成进行判断即可； （2）①根据长方形面积公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； ③分别求出无盖盒子的体积和有盖盒子体积，即可求解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，可得答案． 【详解】解：（1）根据长方体的结构，③不能折成一个长方体，因此③不是长方体的表面展开图． （2）①长方体纸盒的底面面积为， ∴长方体纸盒的底面积为， ②长方体纸盒的底面积为， ∴该长方体纸盒的体积为， ③无盖盒子的体积：， 有盖盒子的体积：， ∵， ∴制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的倍； （3）如图所示，    ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为； 外围周长最大时的表面展开图共有3种不同的形状；长方体的展开图，如图所示： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 几何图形（7个知识点+3种题型+过关检测） 知识点1．认识立体图形 （1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形． （2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． （3）重点和难点突破： 结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内． 知识点2．点、线、面、体 （1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． （2）从运动的观点来看 点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． （3）从几何的观点来看 点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合． （4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体． （5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成． 知识点3．几何体的表面积 （1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和） （2）常见的几种几何体的表面积的计算公式 ①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高） ②圆锥体表面积：πr2+（r为圆锥体底面圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角） ③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高） ④正方体表面积：6a2（a为正方体棱长） 知识点4．认识平面图形 （1）平面图形： 一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等． （2）重点难点突破： 通过以前学过的平面图形：三角形、长方形、正方形、梯形、圆，了解它们的共性是在同一平面内． 知识点5．几何体的展开图 （1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形． （2）常见几何体的侧面展开图： ①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形． （3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决． 从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 知识点6．展开图折叠成几何体 通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 知识点7．截一个几何体 （1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面． （2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形． 题型一、常见的几何体 1．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）下列选项中的几何体，没有曲面的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）图中的棱锥由 个三角形和 个四边形围成． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的六棱柱的底面边长都是，侧棱长．它有多少个面？它的所有侧面的面积之和是多少？ 题型二、几何体中的点、棱、面 4．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）构成下列立体图形的各个面中，不包括曲面的是（    ） A． B． C． D． 5．（20-21七年级上·安徽合肥·期中）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为n，则正方体上小球总数用n表示为 ． 6．（22-23七年级上·安徽宿州·期中）如图所示是一个六棱柱，它的底面边长是4cm，高是6cm． (1)这个棱柱共有多少条棱？所有的棱长的和是多少? (2)这个棱柱共有多少个顶点？ 题型三、平面图形旋转后所得的立体图形 7．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，由所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（    ） A．B． C． D． 8．（24-25七年级上·期中）如图，正方形的边长为，以所在的直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的体积是 ．（用含的式子表示） 9．（22-23七年级上·安徽宿州·阶段练习）如图①，把一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸板分成甲、乙两个相同的直角三角形．    (1)将甲三角形绕轴（如图②）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方厘米？ (2)将乙三角形绕轴（如图③）旋转一周形成一个几何体，求该几何体的体积． 一、单选题 1．下列几何体中：棱柱有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图所示几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 3．“力旺杯”足球赛在我校顺利进行，九年1班的足球队争得了冠军，如图所示为其获得的冠军奖杯，用数学的眼光观察这个奖杯，其中不包含的立体图形是（    ）    A．球体 B．圆柱体 C．长方体 D．四棱锥 4．如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点，观察图形，下列说法正确的有（  ） ①n棱柱有n个面；   ②n棱柱有3n条棱；    ③n棱柱有2n个顶点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．下列四个几何体中，是圆柱的为（　　） A． B． C． D． 6．下面几何体中，不是棱柱的是（    ） A． B． C． D． 7．用一个平面截下面的几何体，截面总是能获得圆的是（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台 8．如图所示的两个长方体容器中液体体积相同，根据图中信息，以下结论正确的是（    ） A． B． C．甲容器中液体的体积为405 D．乙容器中液面的高度为10 9．下列几何体中，是圆锥的为（　　） A． B． C． D． 10．某款台灯灯罩如图所示，该款灯罩可以看成由如下图形（   ）沿虚线旋转一周得到的． A． B． C． D． 二、填空题 11．如果一个棱柱有7个面，那么这个棱柱是 棱柱． 12．数学老师可以用粉笔在黑板上画出图形，这个现象说明 ． 13．天空划过一道流星说明 ．（用点、线、面、体关系说明） 14．（1）三棱柱的顶点数是 ，棱数是 ，面数是 . （2）三棱锥的顶点数是 ，棱数是 ，面数是 . 三、解答题 15．现有一个长方形，长为，宽为，绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积是多少？（结果保留π） 16．某铁器制品厂利用边角余料加工出同样大小的正方形铁片张，长方形铁片张，长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等（如图）．如果将这些铁片全部用于制作甲、乙两种无盖的长方体铁盒子，（每一种长方体盒子都要同时用到正方形铁片和长方形铁片）． (1)画出甲、乙两种铁盒子的直观图． (2)问：可以做成甲、乙两种铁盒子各多少个？ 17．一个直角三角尺的两条直角边长是6和8，它的斜边长是10，将这个三角尺绕着它的一边所在的直线旋转一周、（温馨提示你可能用到其中的一个公式，，，） (1)如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？ (2)如果绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？通过计算说明理由． 18．如图所示，长方形的长为，宽为．把长方形绕一边所在的直线旋转一周得到几何体，求该几何体的体积．（结果保留） 19．个棱长为的正方体组成如图的几何体． (1)该几何体的体积是________，表面积是________． (2)在下面网格中，画出该几何体从正面看和从左面看所看到的几何体的形状图． 20．探究：有一长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．    (1)请通过计算说明哪种方案构造的圆柱体积大； (2)若将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为多少？ 21．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 棱数（E） 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是　　． (2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是　　． (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 22．“双十一”大促销临近，淘宝上某玩具商家根据所售玩具规格的不同，向厂家订制了不同型号的包装盒，所有包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图1所示）． (1)已知某种规格的长方体包装盒的长为5厘米，宽为3厘米，高为4厘米，那么制作一个该长方体纸箱需要______平方厘米纸板； (2)该玩具商家在今年“双十一”期间推出“买一送一”的活动，现要将两个同一型号的玩具重新包装在同一个更大的长方体的外包装盒内（如图1），已知单个玩具的长方体盒子长为5分米，宽为3分米，高为4分米．如图所示，现有三种摆放方式（图，，所示），请分别计算这三种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并比较哪一种方式所需纸板面积更少； (3)如图3-1，已知某长方体的长为5，宽为3，高为4，图是该长方体的一种表面展开图，请计算出这种表面展开图的外围周长是多少？你能设计一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出示意图（请使用直尺规范画图），此时的外围周长是______．（直接写出答案） 23．问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）如图，下列四幅图中不是长方体的表面展开图的是______． 【制作纸盒】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为______； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒，方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为______； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍． （3）若有盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______，外围周长最大时的表面展开图共有______种不同的形状，请任选一种画出该长方体的展开图（要求：借助直尺或三角板作图，图中标明长、宽、高的数据）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$