湖南省湘潭县第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025下学期高二年级期中考试试卷 数学试卷 时量：120分钟分值：150分 一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知集合A={x-3≤x<2},B={xx2-2x-3≤0}，则AnB=() A.{x|-1≤x<2}B.{xl-3≤x≤-1C.{x-1≤x≤3}D.{x|-3≤x≤3} 2.已知复数z满足zi=1+i(其中i为虚数单位)，则z=() A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i 3.给定一组数据12,15,18,22,26,31,35,40,42,53，则该组数据的30%分位数为（) A.18 B.20 C.22 D.24 4.已知直线l1:ax+2y-1=0与直线L2:x+(a+1)y+2=0平行，则实数a的值为() A.-2 B.1 C.-2或1 D.0 5.在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,点M在0A上，且OM=2MA,N为BC的中 点，则MN=() A.ja-ib+ic B.-号a+b+c.a+b-c D.-a+ib-ic 6.已知圆C:x2+y2-4x-4y+4=0,P为直线：x+y-8=0上一动点，则点P到圆 C上的点的最短距离为() A.V2 B.V2-1 C.2v2 D.2V2-2 7.己知椭圆苦+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,动点P在椭圆上，点Q(2,1),则PF+ |PQ的最大值为() A. B.V10 C.3v2 D.3v10 8.已知点0(0,0)，A(0,1),B(1,1),C(1,0),平面上仅在线段0A,AB,BC所在位置分别放置一 个双面镜.现有一道光束沿向量=(1，m)m>0)的方向从线段0C上某点（不含端点）射入，若 光束恰好依次在BC,AB,OA各反射一次后从线段OC上某点射出，则m的取值范围是() A.(62 c.(62 D. 2025年下学期高二年级期中考试试卷◆数学试卷 第1页共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 g卫为图数fu20f=2,则k=（） A.0 B.2 C.4 D.6 10.已知直线：x-y+1=0,则下列说法正确的是() A直线的倾斜角为牙 B.过点(1,0)且与直线平行的直线方程为x-y-1=0 C.过点(1,0)且与直线垂直的直线方程为x+y-1=0 D.点(1,0)到直线l的距离为1 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱BC的中点，N是棱DD1上的动点 (含端点)，则下列说法中正确的是() A.三棱锥A1-AMN的体积为定值 B B.若N是棱DD1的中点，则过A,M,N三点的平面截正方体ABCD一 C A1B1C1D,所得的截面图形是三角形 C.若CN与平面AB,c所成的角为9，则sim9∈[停，哥 D.若N是棱DD的中点，则四面体D1一AMN的外接球的表面积为14r M 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知tana=V3,a∈(0，)，则V3sina+cosa=一 13.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-4x-4y+4=0相交于A,B两点，则直线 AB的方程为 14己知在平面直角坐标系中，圆0：x2+y2=1,点A(2,0)和点B(0,),M为圆0上的动点，则 2MA-|MB|的最大值为 2025年下学期高二年级期中考试试卷◆数学试卷 第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解窖应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 求满足下列条件的椭圆的标准方程。 (1)b=1,c=V15,焦点在y轴上： (2)椭圆上一点P到其两焦点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和为10 16.(15分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且V3 a cosB=b sinA (1)求角B的大小； (2)若b=23,且△ABC的面积为vV3,求△ABC的周长。 17.(15分) 某班级有5名学生，其中男生3人，女生2人。现随机抽取2人参加活动。 (1)求抽到的2人中恰有1名男生的概率： (2)求抽到的2人中至少有1名女生的概率； (3)求抽到的2人中男生人数不少于女生的概率。 2025年下学期高二年级期中考试试卷◆数学试卷第3页共4页 18.(17分) 已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=5,直线l:x-ay+2a-2=0,直线l与圆C交于点M,N. (1)求证：直线过定点； (2)若直线所过定点为P,满足MP=2PN,求此时直线的方程； 19.(17分) 如图，在平面四边形ABCD中，△ABC为等腰直角三角形，△ACD为正三角形，∠ABC=90°， AB=2,现将△DAC沿AC翻折至△SAC,形成三棱锥S-ABC,其中S为动点. A B (1)证明：AC⊥SB; (②)若平面SAC1平面ABC,求三棱锥S一ABC的体积： (3)求平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值. 2025年下学期高二年级期中考试试卷◆数学试卷第4页共4页湘潭县一中2025下学期高二数学期中考试答案 1 A 2.D 3. B 4.C 6 B D 6. 解析：圆心0(2,2)到直线x+y-8=0的距离：d=2+2-!=2√2 则点P到圆上点的最短距离为：d-r=2√2-2 7.C 解析：IPFl+|PQl=2a-|PF2l+|PQl≤2√2+IQF2l=3V2,当P,F2,Q共线时等号成立 8.C 解析：设线段OC上的入射点为卫，依次在BC,AB,OA上的反射点为B,,2,最后射出 的点为P P2 设P关于BC对称的点为P,P关于OA对称的点为P, 设(n,0),且n∈(0,1)，则P(2-n,0) 由R职/店可得--m,所以直线PRy-mx-列 由对称性可得kg3=-m,所以直线：y=-m(x-2+m) 则2-n品1所以直线B男y=mx-2+n+1+1 故P,(0,2-2+wm,所以PP:y=-x+2-2m+n 1 1 0<2--1<1 << 2-n 1-2 则由题可得0<2-2m+m<1三 1 2 << 2-n (*) 2-n 2-2+n<1 0< 2<l< 2 3-n 2-n 122-n-2(1-n ）n 又1-n2n1-m2-四0-m2- >0,所以，1>2 1-n2-n 123-n-2(2-n）_n-1 2-n3-n2-)(3-m1-m(2-n00,所以2-n3-n 2 所以不等式组四)解得32nm<2- ,因为ne(0,1) 2 函数y= ,y= ,2在n(0,1)上均为增函数所以2<m<2 3-n 2-n 3 故m的取值范围是 9.AC 10.ABD 11.ACD 【分析】根据三棱锥的体积公式计算的结果；作图得到截面；空间向量法计算线面所成角 的正弦值；先求得三棱锥的外接球的半径，再计算球的表面积： 【详解】对于A连接4M,因为DDIA4,A4C平面AM,DDg平面AAM 所以DDII平面AAM 又点N是棱DD上的动点（含端点），所以点N到平面44M的距离为定值，设为d =4w=xS.=×2x5xd-5。 d 则 3 32 3”,为定值，故A正确 A B C A B M 对于B,如图.延长AM交DC延长线于点P,连接P交CC于点H,连接M 四边形AMN为过AM,N的平面截正方体ABCD-4B,CD,所得的截面图形，故B错误； A D 1 C D M 对于C,以A为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系 ZA A D B A B M 则1(0.0,0).B(2,02）,C(22,0).w0,2)∈[0,21 则4B=(20,2)AC=(2,2,0)CW=(-2,0,) iAB=0,「2x+2z=0 设平面48C的法向量i=(c,y）,则nAC=0 2x+2y=0 令x=1.则y=z=-1,故i=4,-1-.则 sin6=cos(元，cW= ii.CN 1+2 84京= 2+4元+4_5 4元 CN 3V+4=31+ 22+4 sin= 当元=0时， 3 4 sin= 3 4 1+一 22+4 h+4s 3 1x4 3 4 3 当九≠0时， 2x】 当且仅当2=2时等号成立，又 in=3 41√5 22+43, 故C正确· 对于D,如图所示，连接AD, 取AD的中点为M',连接MM 设△AD,N外接圆圆心为O.四面体D-N的外接球球心为O,连接OM 在△ADN中，设其外接圆半径为r,由正弦定理知 AN 6 =10=2r sin∠AD,N√2 =V10 N=V10 2 ,所以 2,即 依题易得△MND三DMA,故∠AMD,=∠AND 且∠AMD和AD同对弦AD,故AM,N,D四点共圆 M'-ON= 则 2,设外接球半径为R,过O作OE⊥MM,交MM于E 由正方体性质知MML平面ADDA,而OMC平面ADDA,则MM⊥OM 又O0⊥平面ADDA,则O0∥MM,所以OOME是矩形.则OE=OM V10 3 R2 +(2-00)2 则在Rt△OEM中，OM=OE2+ME2,即 2 ①， R2=002 W10 在RtaO0N中，OW=00'2+O'N2,即 7 R2= 联立①2， 解得O0'=1 2， 故外接球的表面积为4R=14r,故D正确： D C B 02 A D E M 故选：ACD. 12.2 13.4x+4y-5=0 4四 【详解】设Mx,).令2MA=Mc1.则= 由题知圆x2+y2=1是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且2 +)+ 设点cm0,==号 整理得：x2+y2+2m#x+2y=m+2- 3 3 比较两个方程可得=0，智-0.m二-1.即m=-2.n=0点C(-20 3 BCE 当点M位于图中M1的位置时，2IMA-MB|=IMC|-IMB|的值最大，最大为 2 故答案为：罗 B 0 返后+x2=1 +号-1 9 16(1)B=月 (2)2V3+2W6 17.(1) 2)6 3)品 18.(12,2) 2x-y=0或x+y-4=0 【详解】(1)1：x-w+2a-2=0,即x-2-a(y-2)=0 当y-2=0时，式子为x-2=0与4无关 故直线'过定点(2,2)， (2)由(1)知P(2,2) 圆C(-1+(-2=5,则圆心C2).半径r=5 下克，D-2PNm=2P网设lPW-2m,则@=4n 过C'作CH⊥N交MN于H, N-AV-3m.LHPI-m ICN]=IcHI+NI 5=CH+9m2 cPr=lcH+HPf.即1=c+m ia4号 解得 1-2 即圆心CL2)到直线的距 d-lcm- 九-2a+2a-25 V1+a2 2、 解得a=l 此时直线方程为xy=0或x+y-4=0: 19.(1)证明见解析 229 3 【详解】(1)取AC的中点E,连接SB,BE 因为AB=BC,SA=SC,且AC的中点为E,所以SE⊥AC,BE⊥AC 又SE∩BE=E,SE,BEC平面SBE,故AC⊥平面SBE, 由于SBc平面SBE,故AC⊥SB. (2②)平面SAC1平面ABC时.SE1平面ABC,V=××2×2×6-2 3 (3)以B为原点，BC,BA,B=分别为x,y,二轴建立空间直角坐标系B-xz, 过点S作平面ABC的垂线，垂足为Q,连接QA,OC, 设∠SEQ=日为翻折过程中所旋转的角度，则， OB=V6cos日，h=S0=√6sim6,QB=√2+√6cos8 故B(0,0,0).C(20,0).A(0,2,0),Q1+V3cos6,1+V3cos6,0) S(1+cos0,1+cos0,6sin0).BC=(2.0.0),B5=(1+cos0.1+3cos0.6sin0) 设平面SBC的法向量为m=(:,,二)，则， i-BC=2x1=0 m.BS=(1+3cose)+(1+3cose)y+(6sino)=0 取y=V6sin0,则z=-(1+V3cos6).所以m=(0,V6sim8,-1-V3cos0) 设平面4c的法向量=(x2,2,22),CS=（-1+V5cos6,1+√3cos8,V6sin0) AC=(2,-2,0),则. n.AC=2x2-2y2=0 n.CS=(-1+5cos0)x,+(5co0+1)+(6sim0)2=0 取x2=sim0,则y2=sin6,i=(sin0,sin6,-√2cos8) 设平面SBC与平面4C的夹角为u, 故cosa=cosm,= m .3+cosol cos20+2W3c0s6+3 m同V7-3cos20+2W3cos8×V2 V7-3cos20+2v3cose 1,8 v3cos0+2 cosa 13 3 7-3cos0+23cose 1， 8 令V3cos0+2=t,2-V5<t<2+5,放os0= 18 由于t+之2，故osa 13 3 1 3 =3,当且仅当t=1,即cos0=- 时 6 t+ 取等号，故平面4c与平面5BC夹角余弦值的最小值为3 方法二：以E点为原点建立如图所示的空间坐标系， S B 设∠SEB=0,SV6cos6,0,6sin6),B(V2,0,0),C(0,V2,0),A(0,-V2,0),则 Ac=(0,22,0.cS=(W6cos6,-V2,V6simo),Bc=(-V2,V2,0) 设面BCS法向量h=(x,y,z),则， [-x+y=0 √6cosx-√2y+V6sin6z=0 令x=√3sin0.h=(N3sin6,V3sima,1-V3coso) 同理可得面S4c法向量n,(sin6,0,-cos8), 3sin20+3cos0-cos0 cosn,n= 6sim0+(1-V3cos0j】 3-coso 3cos20-6v3cos0+9 √-3cos20-2W3c0s6+7 3c0s20+2√3c0s6-7 18 3cos0-2 V333cos20+2√3cos0-7 令t=V3cos0-2∈(-V3-2,V3-2). 1+8 t h0-3+3F+61+1 1.81 1 133t+6 t 因为++6≤-2+6=4，其中1=-1取=即此时cos0=5 所以 1,81V3 ()≥3+343