专题03 圆锥曲线 压轴题（压轴题专项训练）数学高二沪教版2020选择性必修第一册

专题03 圆锥曲线 压轴题 目录 典例详解 类型一、定点问题 类型二、定值问题 类型三、定直线问题 类型四、最值、取值范围问题 类型五、向量问题 类型六、焦点弦、中点弦问题 类型七、新定义题 类型八、数列在圆锥曲线的应用 类型九、轨迹问题 类型十、三角形的“心”在圆锥曲线的应用 类型十一、证明恒（不）等式 压轴专练 压轴技巧 1、求解直线或曲线过定点问题的基本思路 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)． 2、圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值． (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 3、圆锥曲线中最值的求法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决． (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等. 4、圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 5、存在性问题的解题策略 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论． (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意． 类型一、定点问题 例1．已知椭圆，点P为C的上顶点． (1)求椭圆C的离心率； (2)求椭圆上动点T到点P的距离的最大值； (3)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 变式1-1．如图已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，内切圆的圆心为.已知点Q为双曲线右支上的一点，，且. (1)求：双曲线的离心率e； (2)若，，的面积满足，求：的值； (3)斜率为的直线过点，且与双曲线相交于两点，则在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，恒成立；如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由. 类型二、定值问题 例2．已知椭圆的离心率为是椭圆上两点，直线与椭圆交于、两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，是否存在使得？说明理由； (3)记直线的斜率依次为，当且线段的中点在直线上时，试问是否为定值？说明理由． 变式2-1．过抛物线上的点的直线，分别交抛物线T于点B，C．设直线，的斜率分别为，，，当且点B，C关于x轴对称时，△ABC的面积为2． (1)求抛物线T的方程； (2)当时，证明：直线BC过定点． (3)设△ABC的外心E的坐标为，BC的中点M的坐标为，证明：为定值． 类型三、定直线问题 例3．已知双曲线：，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； (3)设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程. 变式3-1．已知且，曲线. (1)若曲线是焦点在轴上的等轴双曲线，求曲线的离心率； (2)设，点，曲线上有A、B两点（其中在第一象限）.若且，求点的坐标； (3)设为给定常数，且，过点的直线与曲线交于D、E两点，为坐标平面上的动点.若直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上？若存在，求该定直线的方程；若不存在，请说明理由. 类型四、最值、取值范围问题 例4．已知椭圆的离心率为，且过点．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线交点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)求的面积的最大值； (3)若点在第一象限，求直线斜率的取值范围． 变式4-1．如图，双曲线的实轴长为4，离心率为，斜率为k的直线l过x轴上一点，双曲线E上存在关于直线l对称的不同两点B、C，直线BC与直线l及y轴的交点分别为P、Q. (1)求双曲线E的标准方程； (2)当时，求t的取值范围； (3)当时，求的最小值. 类型五、向量问题 例5．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，是第一象限上一点，直线与轴交于点，设点的坐标为． (1)求椭圆的离心率； (2)设.若点在直线上，且与的面积相等，求到直线的距离； (3)设直线与的另一个交点为．若使得的直线恰有2条，求的取值范围． 类型六、焦点弦、中点弦问题 例6．已知双曲线：的左、右焦点分别为、． (1)若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程： (2)若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值； (3)若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围． 变式6-1．如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点、，满足、的中点均在抛物线上. （1）求抛物线的焦点到准线的距离； （2）设中点为，且，，证明：； （3）若是曲线（）上的动点，求面积的最小值. 类型七、新定义题 例7．新定义：在直角三角形中，直角边与斜边之差的绝对值中较小的一个称为该直角三角形的“正减值”；直角三角形两直角边之差的绝对值称为该直角三角形的“余减值”. (1)求证：当直角三角形“正减值”最大时“余减值”最小； (2)设某直角三角形正减值的大小为，余减值的大小为，试判断“”是“该直角三角形三边长度可构成等差数列”的什么条件并说明理由； (3)如图所示，从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，，请选择图中任意几点连接（不添加点），构造出两个直角三角形，满足其中一个直角三角形的正减值与另一个直角三角形的余减值相同并说明理由. 变式7-1．将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为． (1)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值； (2)设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值； (3)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，椭圆上的任意一点记为，试判断的垂心是否都在椭圆上，并说明理由． 类型八、数列在圆锥曲线的应用 例8．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． (1)若，求线段中点的轨迹方程； (2)若直线的方向向量，当焦点为时，求的面积； (3)若是抛物线准线上的点，直线，，的斜率分别为，，，求证：为的等差中项． 变式8-1．设椭圆：的一个顶点为，离心率为，为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)设过且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若满足，求的值； (3)过点的直线与椭圆交于，两点，过点，分别作直线：的垂线（点，在直线的两侧）．垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 类型九、轨迹问题 例9．已知点、，椭圆：与双曲线：有相同的焦点． (1)求双曲线的方程与离心率． (2)点为双曲线的一部分（且）上的动点，证明：存在过点P的双曲线的切线等分的面积（O为原点）． (3)设双曲线的切线l与椭圆交于C、D两点，求动弦中点M的轨迹方程． 类型十、三角形的“心”在圆锥曲线的应用 例10．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； (3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 变式10-1．若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系中，已知椭圆：，，分别为椭圆的左、右顶点．椭圆以线段为短轴且与椭圆为“相似椭圆”． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的两个焦点，，椭圆的焦点为、，求四边形的面积； (3)设为椭圆上异于，的任意一点，过作轴，垂足为，线段PQ交椭圆于点．求证：为的垂心． 类型十一、证明恒（不）等式 例11．已知为坐标原点，曲线和曲线有公共点，直线与曲线的左支相交于A，B两点，线段AB的中点为． (1)若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率； (2)若是曲线上的点，且在第一象限，，是其左右焦点，当为直角三角形时，求点的横坐标； (3)若直线与曲线相交于C、D两点，且直线OM经过线CD中点，求证：． 变式11-1．贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图所示，抛物线，其中为一给定的实数.    (1)写出抛物线的焦点坐标及准线方程； (2)若直线与抛物线只有一个公共点，求实数k的值； (3)如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：． 一、解答题 1．设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线（，），与轴交于点、与交于点，、分别是曲线与线段上的动点. (1)用表示点到点的距离； (2)设，，线段的中点在直线上，求的面积； (3)设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 2．已知椭圆，左右焦点分别为，上下顶点分别为，左右顶点分别为，是上异于椭圆顶点的两点. (1)求的周长； (2)若点在第一象限且满足的面积比的面积大，求点的横坐标的取值范围； (3)记点在直线上的投影为，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点为坐标原点三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 3．已知曲线C：. (1)若曲线C为双曲线，且渐近线方程为，求曲线C的离心率； (2)若，过点的直线与直线交于点M，与椭圆交于B，点B关于原点的对称点为C，直线AC交直线于点N，求线段MN的长的最小值； (3)若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，且在曲线C上．点A、B在曲线C上（P、A、B互不重合），若直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，求线段AB的长的最大值． 4．已知椭圆，短轴长为2，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，其中分别在轴上方和下方，，直线与直线交于点，直线与直线交于点. (1)若的周长是，求椭圆的方程. (2)在（1）的条件下，定点在轴的负半轴，过的动直线交椭圆的于点，以为直径的圆恒过轴上方的定点，求点的坐标. (3)若，求实数的取值范围. 5．在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点． (1)若的离心率为，且，求的方程； (2)若过原点的直线，与相交于两点，是上异于的任意一点，求证：直线的斜率之积是定值； (3)设直线的一个法向量为是上任意一点，对于平面内的一定点，定义．证明：若，则直线与椭圆相切． 6．在平面直角坐标系中，双曲线． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值； (3)对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线 压轴题 目录 典例详解 类型一、定点问题 类型二、定值问题 类型三、定直线问题 类型四、最值、取值范围问题 类型五、向量问题 类型六、焦点弦、中点弦问题 类型七、新定义题 类型八、数列在圆锥曲线的应用 类型九、轨迹问题 类型十、三角形的“心”在圆锥曲线的应用 类型十一、证明恒（不）等式 压轴专练 压轴技巧 1、求解直线或曲线过定点问题的基本思路 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)． 2、圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值． (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 3、圆锥曲线中最值的求法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决． (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等. 4、圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 5、存在性问题的解题策略 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论． (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意． 类型一、定点问题 例1．已知椭圆，点P为C的上顶点． (1)求椭圆C的离心率； (2)求椭圆上动点T到点P的距离的最大值； (3)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)过定点， 【分析】（1）根据方程确定的值，再求离心率的值. （2）利用两点间的距离公式，结合椭圆的范围和二次函数在给定区间上值域的求法求最大值. （3）设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出，，根据列式，化简可得的关系，再确定直线是否过定点. 【详解】（1）由题，，． 所以离心率． （2）由题可知，设， 则，． 由于， 所以当时，PT取到最大值为． （3）如图：    设，，． 因为直线l与椭圆C交于异于P的两点和，所以. 所以，故，则， ， 即． 故，所以或（因为，故舍去）． 当，，过定点. 因此直线过定点． 变式1-1．如图已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，内切圆的圆心为.已知点Q为双曲线右支上的一点，，且. (1)求：双曲线的离心率e； (2)若，，的面积满足，求：的值； (3)斜率为的直线过点，且与双曲线相交于两点，则在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，恒成立；如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见详解 【分析】（1）由双曲线的定义建立方程组，解得，由余弦定理求得，从而知道双曲线的离心率； （2）由三角形的面积公式建立等式，然后借助（1）中结论即可求得的值； （3）设点和直线方程，将直线方程代入双曲线方程得到一元二次方程，由韦达定理得到交点横坐标与参数的关系.然后由垂直得到向量数量积为0，建立等式，并整理化简，由等式恒成立，然后得到的方程组，由方程组的解即可得到结论. 【详解】（1）∵，∴ 即，∴， 即， ∴离心率. （2）设圆的半径为，由，得， 所以，即，解得. （3）假设存在，设点，使， 由（1）可知双曲线方程为：， 斜率为的直线过点，直线方程为， 联立方程组， ， 即有两个不相等根， ∴，且,即且， 故，且， 因为，所以，故， 所以， 整理得， 即， 即， 故，对任意的恒成立， 所以，方程组无解， 故在轴上不存在这样的定点. 类型二、定值问题 例2．已知椭圆的离心率为是椭圆上两点，直线与椭圆交于、两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，是否存在使得？说明理由； (3)记直线的斜率依次为，当且线段的中点在直线上时，试问是否为定值？说明理由． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)，理由见解析 【分析】（1）由椭圆C：的离心率为，且过点，列方程求出，，由此能求出椭圆的标准方程； （2）当时，联立方程再应用弦长公式计算求解即可说明； （3）联立方程组由此利用韦达定理，结合已知条件能求出，使得直线的斜率的积为定值． 【详解】（1）椭圆的离心率为，且过点． ，解得，， 椭圆的标准方程为． （2）不存在直线与椭圆交于、两点，满足． 当时，设， 由，消去得， ，因此， 则，， 所以， ， 因为，所以，所以，无解， 所以不存在直线与椭圆交于、两点，满足． （3）为定值． 设， 由消去得， ，因此， 则， 所以线段的中点为，线段的中点在直线上时， 所以，所以； 所以 .    变式2-1．过抛物线上的点的直线，分别交抛物线T于点B，C．设直线，的斜率分别为，，，当且点B，C关于x轴对称时，△ABC的面积为2． (1)求抛物线T的方程； (2)当时，证明：直线BC过定点． (3)设△ABC的外心E的坐标为，BC的中点M的坐标为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)BC过定点，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）先根据已知条件设出点坐标，由、对称及斜率关系，用斜率公式求出、坐标，再根据三角形面积公式求出，进而得到抛物线方程. （2）设出、、坐标，求出、，根据的值得到与的关系，再求，最后得出直线经过的定点 （3）与垂直得到斜率，利用、中点在上得出方程，设直线方程, 与之联立，通过变形相减求出，结合的值及已知条件得出的值. 【详解】（1）已知当时，，、关于轴对称且， 设（），因为，不妨设. 由斜率公式，即，解得，所以，. 面积，解得，抛物线方程为. （2）设，，， 则，. 因为，则，所以,则. ，所以直线BC方程，整理得. 把代入直线BC方程,得，所以直线过定点. （3）设，中点坐标是, 因为与垂直，则, 已知斜率是，所以斜率为. 根据直线点斜式，得出方程，展开整理成. 同理可得直线方程，与方程联立. 变形两式为和， 相减得，化简得. 已知，则. 又，代入得. 类型三、定直线问题 例3．已知双曲线：，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； (3)设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1)焦距4，离心率2 (2) (3)证明见解析，在定直线上 【分析】（1）根据双曲线方程求出，即可得解； （2）先设出直线方程，联立双曲线方程，利用中点坐标公式和三角形面积公式求解直线斜率； （3）通过设点坐标，利用直线方程求出与轴交点坐标，再根据中点关系证明点在定直线上. 【详解】（1）由双曲线方程得，，， 所以焦距，离心率； （2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意， 故直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立得. 设，， 由题意，得， 解得， 因为为中点，所以， 由，得， 又，解得， 所以直线的斜率为； （3）直线的方程为，令，得， 同理可得，，， 由为中点，可得， 即， 所以， 即， 所以在定直线上. 变式3-1．已知且，曲线. (1)若曲线是焦点在轴上的等轴双曲线，求曲线的离心率； (2)设，点，曲线上有A、B两点（其中在第一象限）.若且，求点的坐标； (3)设为给定常数，且，过点的直线与曲线交于D、E两点，为坐标平面上的动点.若直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上？若存在，求该定直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)点N在直线时，不存在定直线，使点在定直线上； 当点不在直线上时，点在定直线上. 【分析】（1）根据等轴双曲线的性质求其离心率. （2）先根据平面向量数量积的几何意义确定点在圆上，再与椭圆方程联立，根据点所在位置，可求点坐标. （3）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，，再根据直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列列式，化简即可. 【详解】（1）若曲线是等轴双曲线，则， 所以，，其离心率为：. （2）当时，曲线：表示焦点在轴上的椭圆. 因为，且，根据平面向量数量积的几何意义可得：. 所以点在圆：上. 由，且点在第一象限，得点坐标为. （3）如图： 由得：， 整理得：. 因为，所以上述方程必定有两个不同的实根. 设，，则，. 设，因为直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列， 所以. 又，，所以， 所以， ， 所以或. 由 所以点N在直线或上. 即点N在直线时，不存在定直线，使点在定直线上； 当点不在直线上时，点在定直线上. 类型四、最值、取值范围问题 例4．已知椭圆的离心率为，且过点．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线交点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)求的面积的最大值； (3)若点在第一象限，求直线斜率的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据离心率，以及点在椭圆上，即可代入椭圆方程中，联立求解； （2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，根据面积公式，结合基本不等式即可求解； （3）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理可得两个点的坐标，根据斜率公式，代入韦达定理化简可得，即可根据直线的斜率范围求解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故椭圆的方程为 （2）, 设直线, 联立可得， 故， 当且仅当，即时取到等号， 故的面积的最大值为. （3）设直线 联立可得， 则，又， 所以，， 同理可得， 故 , 由于位于第一象限，故， 因此 变式4-1．如图，双曲线的实轴长为4，离心率为，斜率为k的直线l过x轴上一点，双曲线E上存在关于直线l对称的不同两点B、C，直线BC与直线l及y轴的交点分别为P、Q. (1)求双曲线E的标准方程； (2)当时，求t的取值范围； (3)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据实轴长，求出a值，根据离心率，求出c值，根据a，b，c的关系，求出，即可得答案. （2）设出P、A、B点坐标及直线BC的方程，与双曲线联立，根据韦达定理，可得、表达式，当时，，进而可得t的表达式，根据判别式，可得m的范围，即可得答案. （3）根据条件及（2）结果，分别求出的表达式，代入面积公式，化简整理，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）因为实轴长为4，则，所以， 因为离心率为，所以， 所以， 所以双曲线E的标准方程为 （2）设，由题意可知，故可设直线BC方程为， 联立，得， ， 解得， 由韦达定理得， 所以， 当时， 因为，所以， 因为，即或， 所以或，即t的取值范围为. （3）当时，由（2）得，，， 因为， 所以， 所以，整理的， 又， 所以， ， 因为，所以，， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以，满足题意， 综上，的最小值为. 类型五、向量问题 例5．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，是第一象限上一点，直线与轴交于点，设点的坐标为． (1)求椭圆的离心率； (2)设.若点在直线上，且与的面积相等，求到直线的距离； (3)设直线与的另一个交点为．若使得的直线恰有2条，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆方程直接求离心率； （2）根据面积关系确定点是的中点，确定点的坐标，即可求的方程，即可求点到的距离； （3）直线与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，再利用向量的线性运算表示和，再利用韦达定理表示向量的垂直关系，转化为一元二次方程在区间有2个不等的实数根，即可求解. 【详解】（1）根据题意：，，故. 离心率. （2）由与面积相等，可知与面积相等， 即，根据比例可知是的中点. 而，故在椭圆上，代入解得. 故直线的方程为， 因此到直线的距离为. （3）设直线的表达式为，、 由于在第一象限，故. 联立，得. 故，. 取的中点，即，， 故只需. 同时， 代入化简得 即在上有两个不相等的零点 有，代入解得 类型六、焦点弦、中点弦问题 例6．已知双曲线：的左、右焦点分别为、． (1)若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程： (2)若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值； (3)若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，由求出渐近线方程. （2）设出点的坐标，利用两点间距离公式求出有最小值，再结合已知求解即得. （3）设，结合已知可得，再按和分类建立不等式求出的范围. 【详解】（1）令双曲线的半焦距为，依题意，，由，得，则， 所以双曲线的渐近线方程为. （2）设点的坐标为，，则， 于是， 当时，，因此，即，则，又，解得， 因此的最大值为. （3）设点，， 由，得，整理得：， 由，得，因此， 当时，由，得，    整理得:，解得或(舍)， 由，解得； 当时，由，得，    整理得：，在有解， 故，即，解得:或（舍）， 综上，曲线的离心率的取值范围是. 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 变式6-1．如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点、，满足、的中点均在抛物线上. （1）求抛物线的焦点到准线的距离； （2）设中点为，且，，证明：； （3）若是曲线（）上的动点，求面积的最小值. 【答案】（1）2；（2）证明见解析；（3）. 【分析】（1）直接利用抛物线定义得到答案. （2）设，，，根据中点在抛物线上得到 ，同理得到是二次方程的两不等实根，计算得到答案. （3）设，代换得到计算得到答案. 【详解】（1）焦点坐标为（1,0），准线方程为x＝－1，所以，焦点到准线的距离为2. （2）设，，， 则中点为， 由中点在抛物线上可得， 化简得，显然， 且对也有， 所以是二次方程的两不等实根， 所以，. （3）， 由（1）可得，， ， 此时在半椭圆上， ∴， ∵，∴， ∴， ， 所以， ，所以， 即的面积的最小值是. 【点睛】本题考查了面积的最值问题，证明坐标关系，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力. 类型七、新定义题 例7．新定义：在直角三角形中，直角边与斜边之差的绝对值中较小的一个称为该直角三角形的“正减值”；直角三角形两直角边之差的绝对值称为该直角三角形的“余减值”. (1)求证：当直角三角形“正减值”最大时“余减值”最小； (2)设某直角三角形正减值的大小为，余减值的大小为，试判断“”是“该直角三角形三边长度可构成等差数列”的什么条件并说明理由； (3)如图所示，从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，，请选择图中任意几点连接（不添加点），构造出两个直角三角形，满足其中一个直角三角形的正减值与另一个直角三角形的余减值相同并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)既不充分也非必要条件，理由见解析 (3)连接OT，理由见解析 【分析】（1）设三边，则正减值，解得出的最大值，进而计算此时三边长度即可判断； （2）当三边成等差数列时，当时，由和的关系可判断； （3）连接OT，根据三角形的中位线和双曲线的定义得出，再计算△OFT的“余减值”和△OTM的“正减值”即可. 【详解】（1）由定义设三边，则正减值， 则， 因，则，得，得， 即，则正减值的最大值为， 此时， 则该三角形为等腰直角三角形，余减值为0最小. 故当直角三角形“正减值”最大时“余减值”最小； （2）既不充分也非必要条件，证明如下： 设，则“正减值”，“余减值”， 则三边成等差数列的充要条件为，即； 的充要条件为， 即; 显然是的既不充分也非必要条件， 综上，“”是“该直角三角形三边长度可构成等差数列”的既不充分也非必要条件； （3）连接OT，则两三角形为△OFT和△OTM， 因为点分别是和的中点， 所以， ， 综上：△OFT的余减值和△OTM正减值大小相同. 变式7-1．将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为． (1)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值； (2)设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值； (3)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，椭圆上的任意一点记为，试判断的垂心是否都在椭圆上，并说明理由． 【答案】(1)或； (2)， (3)垂心在椭圆上，理由见解析 【分析】（1）求得椭圆的离心率，分类讨论可求得； （2）可得直线的方程分别为，，分别与椭圆联立方程，利用判别式为0,可得，，进而可求取得最小值； （3）不妨设为椭圆上的任意一点，此时，的垂心的坐标为，连接，可求得，可得，利用可得结论. 【详解】（1）因为椭圆的离心率，当时，，解得； 当时，，解得．则或； （2）易得，所以直线的方程分别为，， 联立，消去并整理得， 因为直线与椭圆相切，所以，因为，即， 联立， 消去并整理得， 因为直线与椭圆相切，所以， 因为，即，则， 所以，当且仅当时，等号成立，此时． 故当时，取得最小值， 最小值为． （3）易知椭圆 不妨设为椭圆上的任意一点，此时，（1） 不妨设的垂心的坐标为，连接， 因为，又，所以， 因为，所以， 因为，所以，（2）， 联立（1）（2），解得， 因为点在椭圆上，所以．故的垂心在椭圆上． 【点睛】知识点点睛：垂心是三角形三条高线的交点，通常有两种方法进行求解，其一是向量法，即两个互相垂直的向量的数量积为零；其二是利用直线的斜率公式，即两条互相垂直的直线的斜率之积为． 类型八、数列在圆锥曲线的应用 例8．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． (1)若，求线段中点的轨迹方程； (2)若直线的方向向量，当焦点为时，求的面积； (3)若是抛物线准线上的点，直线，，的斜率分别为，，，求证：为的等差中项． 【答案】(1) (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）根据中点坐标公式可得，将其代入抛物线方程中即可求解. （2）根据直线的方向向量得直线方程，联立方程，根据弦长公式以及点到直线的距离公式即可由面积公式求解, （3）联立直线与抛物线方程得韦达定理，利用两点斜率公式，代入化简即可求证. 【详解】（1）设，焦点， 则由题意，即， 故，将其代入抛物线中得： ，即， 所求的轨迹方程， （2）设， ， 由于直线的方向向量，所以直线的斜率为2，故直线，即， 由得，，， 到直线的距离为， （3）点的坐标为、 设直线，代入抛物线得， 所以， 因而，， 因而， 而，故， 当直线轴时，， ，， 故 综上可知：命题得证．    【点睛】方法点睛；解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 变式8-1．设椭圆：的一个顶点为，离心率为，为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)设过且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若满足，求的值； (3)过点的直线与椭圆交于，两点，过点，分别作直线：的垂线（点，在直线的两侧）．垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用离心率，根据，，的关系即可求出方程. （2）根据条件，向量化，垂直的两个向量数量积为，即可解出值. （3）因为过点，分别作直线：的垂线（点，在直线的两侧），表示出面积，根据，，总成等比数列列出方程，即可求出. 【详解】（1）因为椭圆：的一个顶点为，离心率为， 所以有，，则，所以， 所以椭圆的方程为. （2）因为为椭圆的右焦点，所以， 过且斜率为的直线与椭圆交于，两点， 所以设直线方程为，，， 则，则， ，，， ，， 因为满足，所以， 即， 即， 则有， 整理得， 解得（舍），. （3）   由已知得，BC的斜率存在，且B，C在x轴的同侧， 设直线BC的方程为，，，不妨设， 则，， 由得， 所以，，， 因为，，， 所以 ， ， 要使，，总成等比数列，则应有解得， 所以存在，使得，，总成等比数列. 【点睛】第三问关键是，，要结合题和图的特点恰当选择三角形的底和高，计算繁琐一些，注意准确性. 类型九、轨迹问题 例9．已知点、，椭圆：与双曲线：有相同的焦点． (1)求双曲线的方程与离心率． (2)点为双曲线的一部分（且）上的动点，证明：存在过点P的双曲线的切线等分的面积（O为原点）． (3)设双曲线的切线l与椭圆交于C、D两点，求动弦中点M的轨迹方程． 【答案】(1)， (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）由题意得焦点坐标，由此列方程可得参数的值，进一步即可得解； （2）只需要证明过点P的双曲线的切线过的重心即可，通过导数表示出切线方程代入的重心坐标，可得关于的方程，由此即可得证； （3）首先讨论时的情形，联立切线方程（由（2）可得）与椭圆方程，结合韦达定理、中点坐标公式可得，进一步消去参数即可得解；同理可得时的情形，由此即可得解. 【详解】（1）椭圆：与双曲线：有相同的焦点． 椭圆的焦点为：，所以，即， 所以双曲线的方程为：，离心率为：. （2）   只需证明过点P的双曲线的切线过的重心即可， 而的重心坐标为即， 由题意点在上， 又， 所以过点的的切线方程为， 所以，即，解得， 所以存在满足题意； （3）     首先讨论点在上， 由（2）可知过点的的切线方程为，即， 设，联立椭圆方程得 化简并整理得， 显然，且， 所以， 所以， 注意到，且， 解得， 又，不妨设（点在椭圆内）， 所以， 即此时的轨迹方程为； 而在以替换中的，有， 此时结合，依然有， 综上所述，动弦中点M的轨迹方程为. 【点睛】关键点点睛：关键是得出，并发现以及，由此即可顺利得解. 类型十、三角形的“心”在圆锥曲线的应用 例10．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； (3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)的最小值为 【分析】（1）根据双曲线方程即可得其渐近线方程； （2）由点可得，从而可利用三角形外角关系从而可得直线的斜率，将直线方程代入双曲线方程求解即可得点的坐标； （3）设直线，代入双曲线方程得交点坐标关系，由重心可得，根据点线关系即可得的范围，再结合三角形面积关系得与的关系，由基本不等式可得最值. 【详解】（1）已知双曲线，则，所以双曲线方程为； （2）双曲线的右焦点， 又，所以，则， 因为，所以， 则直线，即， 所以，解得，即， 则，所以点的坐标为； （3）设直线， ， 则， 因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以， 又因为的重心在轴上，所以， 由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以， 而，代入可得， 所以， 代入化简可得：， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 变式10-1．若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系中，已知椭圆：，，分别为椭圆的左、右顶点．椭圆以线段为短轴且与椭圆为“相似椭圆”． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的两个焦点，，椭圆的焦点为、，求四边形的面积； (3)设为椭圆上异于，的任意一点，过作轴，垂足为，线段PQ交椭圆于点．求证：为的垂心． 【答案】(1) (2)； (3)证明见解析 【分析】(1)设出椭圆方程为，根据椭圆的离心率公式，以及可求，所以即可求得椭圆方程； (2)根据方程求出，的焦点，可知四边形为正方形，故可求得； (3) 不妨设，代入，把代入椭圆，求得坐标，结合，即可求解. 【详解】（1）椭圆：中，，离心率， 设椭圆：，，则，，， 则，，椭圆：； （2），，， ∴； （3）设，，则， 设则，， 由点P，H在x轴同一侧可得即， ∵， ∴，又∵，∴H为的垂心． 类型十一、证明恒（不）等式 例11．已知为坐标原点，曲线和曲线有公共点，直线与曲线的左支相交于A，B两点，线段AB的中点为． (1)若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率； (2)若是曲线上的点，且在第一象限，，是其左右焦点，当为直角三角形时，求点的横坐标； (3)若直线与曲线相交于C、D两点，且直线OM经过线CD中点，求证：． 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，得到曲线的顶点与椭圆的左右顶点重合，求得，结合离心率的定义，即可求解； （2）根据题意，分和，两种情况，结合题意和椭圆的定义，即可求解. （3）联立方程组，根据韦达定理和中点公式，求得，再联立方程组，根据韦达定理和中点公式，求得，结合，得到，再利用基本不等式，即可得证. 【详解】（1）解：由曲线和曲线仅有两个公共点， 所以曲线的顶点与椭圆的左右顶点重合，可得，所以， 则曲线的半焦距，可得曲线离心率为. （2）解：设曲线的长半轴为，短半轴为，半焦距为 由曲线，可得，则， 因为点是曲线上的点，且在第一象限，且为直角三角形， 当时，此时轴，此时； 当时，可得， 由椭圆的定义，可得， 联立可得，则，即， 将代入椭圆的方程，可得， 所以点点的横坐标或. （3）证明：联立方程组，整理得， 此时且，可得， 解得，所以，此时， 则， 联立方程组，整理得， 此时，所以，所以 同理可得， 因为，可得， 又因为，所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以.    变式11-1．贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图所示，抛物线，其中为一给定的实数.    (1)写出抛物线的焦点坐标及准线方程； (2)若直线与抛物线只有一个公共点，求实数k的值； (3)如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）直接根据抛物线方程写出焦点及准线方程即可； （2）联立方程，由即可得解； （3）设，设抛物线在点处的切线方程为，联立方程，根据求得斜率，进而可求得三条切线方程，从而可求得点、、的横坐标，再根据结论中线段长度的比例可以转化为点的横坐标的比例，即可得证. 【详解】（1）焦点为，准线为； （2）将代入， 化简得（*）， 方程（*）的判别式， 化简得，解得； （3）设， 设抛物线在点处的切线方程为， 由，消去并化简得， ， ，， 解得，故切线方程为， ， ，即， 同理可求得抛物线上过点B，C的切线方程分别为： ，， 联立，解得，即， 同理可得，， 因为， ， ， 所以． 【点睛】关键点点睛：第三问结论中线段长度的比例可以转化为点的横坐标的比例，是解决本题的关键. 一、解答题 1．设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线（，），与轴交于点、与交于点，、分别是曲线与线段上的动点. (1)用表示点到点的距离； (2)设，，线段的中点在直线上，求的面积； (3)设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据抛物线性质，即可求出点到点的距离； （2）根据题意得到点的坐标，即可得到线段的中点的坐标，从而得到直线方程，再联立抛物线和直线方程即可得到点的坐标，进而即可求出的面积； （3）设，分和两种情况讨论，通过在矩形中，，，当，求出点的坐标，并判断是否在上；当时，要使得点在上，设，并代入以上条件计算，看是否能求出的值，进而即可得出结论. 【详解】（1）由曲线的焦点线，准线为， 所以根据抛物线性质，点到点的距离. （2）当时，得，， 由，则，即， 所以线段的中点为， 又，所以直线方程为， 联立，整理得，解得，或（舍去）， 所以的面积. . （3）存在，已知，设，， ①若，则， 因为在矩形中，，， 所以，， 又不在曲线上，则此情况不成立； ②若，则PF的斜率， 因为在矩形中，，则，得， 所以直线QF为， 当时，Q点纵坐标，得， 所以，， 因为在矩形中，， 设，则， 所以，得到， 要使得点在上，则将代入， 得到，解得， 又，得，即. . 2．已知椭圆，左右焦点分别为，上下顶点分别为，左右顶点分别为，是上异于椭圆顶点的两点. (1)求的周长； (2)若点在第一象限且满足的面积比的面积大，求点的横坐标的取值范围； (3)记点在直线上的投影为，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点为坐标原点三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是定圆 【分析】（1）求出，结合椭圆的定义即可得解； （2）设，由，可得，再根据点在椭圆上即可得解； （3）设直线的方程为，直线的方程为，分布于椭圆方程联立，利用韦达定理求出两点的坐标，进而可求出的方程，进而可得出答案. 【详解】（1）由椭圆， 得，所以， 所以的周长为； （2）设， 由，得， 所以，即， 又因为，所以， 解得， 即点的横坐标的取值范围为； （3）， 设直线的方程为，直线的方程为， 联立，消得， 则，所以，所以， 故， 联立，消得， 则，所以，所以， 故， 当，即时， ， 则直线的方程为， 即，过定点， 当，即时， 此时，直线过定点， 设，因为， 所以过点为坐标原点三点的圆即为过点为坐标原点三点的圆， 因为过原点，点，点， 所以过点为坐标原点三点的圆是定圆. 3．已知曲线C：. (1)若曲线C为双曲线，且渐近线方程为，求曲线C的离心率； (2)若，过点的直线与直线交于点M，与椭圆交于B，点B关于原点的对称点为C，直线AC交直线于点N，求线段MN的长的最小值； (3)若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，且在曲线C上．点A、B在曲线C上（P、A、B互不重合），若直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，求线段AB的长的最大值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）分焦点在轴、轴两种情况讨论，分别求出离心率； （2）依题求出椭圆方程，设直线的方程，联立方程求得点，，由对称性得到点，即得直线的方程，令，求出点的坐标，得到的表达式，再根据基本不等式进行求解即可； （3）依题求出椭圆方程，设直线的方程，联立方程求得点，同理求得点，利用两点间的距离公式表示出线段AB的长，结合基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为曲线：为双曲线， 若焦点在轴上，则，且，解得， 又渐近线方程为，则，即，解得或（舍去）， 此时曲线的离心率； 若焦点在轴上，则，且，解得， 又渐近线方程为， 则，即，解得（舍去）或， 此时曲线的离心率， 综上可得曲线的离心率为或. （2）当时曲线：， 依题意，直线的斜率必存在（否则点重合，不合题意），可设其方程为， 联立，消去并整理得， 解得，则，即， 因为点关于原点的对称点为，所以， 此时，故直线的方程为， 当时，解得，即，又易得，则 ， 则，因为，，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值为，故的最小值为． （3）依题意，解得或， 当时曲线：，为焦点在x轴上的椭圆，符合题意； 当时曲线：，为焦点在y轴上的椭圆，不符合题意； 依题意，可设直线的方程为， 联立得， 可得， ，则，解得， 因直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，故直线的斜率为，同理可得， 则，， 则， 当且仅当，即时等号成立，经检验符合， 所以线段AB的长的最大值为. 4．已知椭圆，短轴长为2，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，其中分别在轴上方和下方，，直线与直线交于点，直线与直线交于点. (1)若的周长是，求椭圆的方程. (2)在（1）的条件下，定点在轴的负半轴，过的动直线交椭圆的于点，以为直径的圆恒过轴上方的定点，求点的坐标. (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由焦点三角形的周长及椭圆的定义求得，结合短轴长得，即可得椭圆方程； （2）设，，，过点的直线，联立椭圆方程并应用韦达定理，结合的坐标表示求参数值，注意验证直线斜率不存在的情况即可； （3）由题设点、分别为、的重心，设，点 , ，根据已知得到，设直线，联立椭圆方程并应用韦达定理及对勾函数性质求的范围，进而得到对任意恒成立，即可得. 【详解】（1）由题设，可得， 又，可得，故； （2）设，，，过点的直线， 联立，可得， 所以，， 由题意得，即， 所以， 整理得， 由为任意实数得，可得，，即， 当直线的斜率不存在时，为椭圆的短轴，满足条件， 综上，； （3）由题设，易知点、分别为、的重心， 设，设点 , ， 根据重心性质及面积公式得， ， 而，则， ，故. 设直线，联立椭圆方程得， 消元得，则， 所以，，令， 由在上单调递增，在上单调递减，则， 所以， 所以，得对任意恒成立， 所以，，故. 5．在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点． (1)若的离心率为，且，求的方程； (2)若过原点的直线，与相交于两点，是上异于的任意一点，求证：直线的斜率之积是定值； (3)设直线的一个法向量为是上任意一点，对于平面内的一定点，定义．证明：若，则直线与椭圆相切． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题可得，据此可得椭圆方程； （2）由题意得关于原点对称，设，，根据在椭圆上化简可证明结论； （3）当直线的斜率不存在时，设其方程为，由可得，据此可完成证明；当直线的斜率存在，设其方程为，由，可得与椭圆联立方程判别式为0，据此可证明结论. 【详解】（1）由题意得，所以的方程为. （2） 由题意得关于原点对称，设，， 因为在椭圆上，所以， 所以，即， 所以，即直线的斜率之积是定值. （3）①当直线的斜率不存在时， 设其方程为，则它的一个法向量为． 设的坐标分别为， 所以， 所以 所以. 因为，所以，故直线与椭圆相切． ②若直线的斜率存在，设其方程为，则它的一个法向量为． 设，则， 所以， 所以. 由得， ， 因为， 所以， 所以直线与椭圆只有一个交点，故直线与椭圆相切． 综上，当时，直线与椭圆相切. 6．在平面直角坐标系中，双曲线． (1)求的两条渐近线的夹角； (2)给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值； (3)对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积． 【答案】(1)． (2)答案见解析 (3)4 【分析】（1）写出渐近线方程即可判断夹角； （2）设，再根据两点间距离公式化简，求解一元二次函数的最值即可； （3）设为好点，则根据好点定义求出，再根据好点定义求出直线与双曲线交于同一支时得出，即时，即可求出，求出四边形面积即可. 【详解】（1）渐近线，夹角为． （2）设，或， 则 ， 当即时，令，最小值为； 当即时，令，最小值为． （3）设为好点，考虑、需满足的充要条件． 若直线的斜率存在，设直线，， 将与联立，得．（*） 则，，， 而 ， ①当直线与的左右两支都有公共点，即时， ，当时有最小值． 这说明，； ②当直线与的左支有两个公共点或与右支有两个公共点时， 需满足的条件为：且（*）式的判别式． 此时可得：． 这说明时，判别式条件不能成立． 即时，． 当时，，解得． 另一方面，当时，． 两边平方后即得． 若直线斜率不存在，假设直线与双曲线存在交点， 则，则，， 则，显然与好点矛盾； 因此，为好点当且仅当， 于是所有好点对应的区域为， 即由构成的正方形，故所求面积为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $