专题 4.2 代数式的值（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年浙教版七年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 4.2 代数式的值 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）代数式的值 1 【题型1】直接求代数式的值 1 【题型2】先求字母的值，再求代数式的值 1 【题型3】列代数式表示时差并求值 2 【题型4】利用面积、体积公式列代数式并求值 2 【题型5】整体思想求代数式的值 3 【题型6】利用量与量之间关系列代数式并求值 4 【题型7】利用体积或面积的变化列代数式并求值 5 二．同步练习​ 5 【基础巩固（16题）】 5 【能力提升（16题）】 8 一．知识梳理与题型分类精析 知识点：代数式的值 一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫作代数式的值。 【题型1】直接求代数式的值 【例题1】（根据教材106页例题1改编）（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）当a分别取下列值时，求代数式的值． （1）； （2）． 【变式1】（25-26七年级上·全国·单元测试）已知，求代数式的值． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）当时，求下列各代数式的值： （1）； （2）． 【题型2】先求字母的值，再求代数式的值 【例题2】（25-26八年级上·甘肃白银·期中）已知正数x的两个平方根分别是和，且 的立方根是． （1）求a，b，x的值； （2）求的平方根． 【变式1】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）若是数的立方根，是数的算术平方根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式2】（24-25七年级下·天津南开·阶段练习）如果与互为相反数，那么的算术平方根是 ． 【题型3】列代数式表示时差并求值 【例题3】（根据教材105页做一做改编）（24-25七年级上·浙江·期中）北京时间和巴黎时间的时差为小时，若用表示北京时间，那么同一时刻的巴黎时间是．当北京时间是时，巴黎时间为 ． 【变式1】（23-24七年级上·湖南长沙·期中）2023年杭州第十九届亚运会闭幕式于北京时间10月8日20点正式开始，在伦敦的小明同学准时观看了直播，已知北京与伦敦的时差为8个小时．比如北京时间中午12点是伦敦当日凌晨4点，请问杭州亚运会闭幕式直播开始时伦敦当地时间为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）下表列出了国外几个市与北京的时差带正号的数表示问一时刻比北京时间早的点时数 城市 纽约 伦敦 东京 巴黎 时差时 如果现在的东京时间是8月1日8：00，那么北京的时间是 ，伦敦的时间是 ，纽约的时间是 ． 【题型4】利用面积、体积公式列代数式并求值 【例题4】（根据教材106页例题2改编）（24-25七年级上·浙江杭州·期中）圆柱的体积等于底面积乘高．如图，用h表示圆柱的高，r表示底面半径，V表示圆柱的体积．（结果中均保留π） （1）用含字母h，r的代数式表示圆柱的体积V． （2）求底面半径为，高为的圆柱的体积． （3）若圆柱体积，高，求圆柱的底面半径r． 【变式1】（24-25七年级下·广东梅州·开学考试）如图，在一个底为，高为的三角形铁皮上剪去一个半径为的半圆．当，，时，剩余铁皮的面积的值为 ．（结果保留） 【变式2】（23-24七年级上·广东珠海·期中）一块三角板的形状和尺寸如图所示．如果圆孔的半径是r，三角尺的厚度是h，若，则这块三角板的体积V是 （结果保留）    【题型5】整体思想求代数式的值 【例题5】（25-26七年级上·江苏南通·期中）【问题呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在代数式的化简与求值中应用极为广泛若代数式的值为，则代数式的值为_________． 【阅读理解】小勤的方法：由题意得，，则，所以，所以代数式的值为． 【方法运用】 （1）已知，那么代数式的值是_________ 若，则代数式的值为_________ （2）当时，代数式的值为，当时，求代数式的值 【拓展延伸】 （3）若，．求的值． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期中）已知，则代数式的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】（25-26七年级上·新疆吐鲁番·期中）当时，代数式的值为，当时，代数式的值为 ． 【题型6】利用量与量之间关系列代数式并求值 【例题6】（教材107页作业B组5题）一种蓝喉蜂鸟飞行时心跳的频率非常快，每分钟心跳的次数大约是1260次。写出这种蜂鸟分钟心跳的次数。假设这种蜂鸟飞行了小时，求心跳的次数． 【变式1】（陕西省榆林市2025-2026学年上学期七年级数学期中调研试题）人在运动时的心跳速率通常与人的年龄有关，如果用表示一个人的年龄，那么在正常情况下，这个人运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数可以表示为． （1）正常情况下，一个20岁的人运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？ （2）正常情况下，一个20岁的人运动时10秒钟的心跳次数为27次，他有危险吗？请说明理由． 【变式2】（25-26七年级上·新疆吐鲁番·期中）阅读材料，解决下列问题： 背景 “生命在于运动”，随着生活水平的不断提高，人们越来越关注身体健康，积极参与各类健身运动．某校七（1）班数学兴趣小组对运动与心率的关系进行查找资料并研究． 材料1 研究表明，运动时的心率通常和人的年龄有关，最大心率（简称）是指 正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，使用方法发现最大心率（单位：次/分）等于220与年龄（单位：岁）的差． 材料2 靶心率是指通过有氧运动改善心血管循环系统机能时有效且安全的运动心率范围，在此范围内运动才有训练效果，一般而言，越接近靶心率的最大值，训练 效果越好．通常靶心率为最大心率的（包含两端点）． 材料3 运动时，心率超过最大心率，会有生命危险． （1）小华的年龄为a 岁，请用含a 的代数式表示他的 次/分． （2）王叔叔今年40岁，求王叔叔在有氧运动时的靶心率． （3）小智今年15岁，为了在体育中考中取得佳绩，需要加强训练，某次训练时测得他的心率 为208次/分，小智的运动有生命危险吗?请说明理由，并利用资料中运动与心率的关系为他找到训练效果最佳的心率． 【题型7】利用体积或面积的变化列代数式并求值 【例题7】（教材107页作业B组6题）（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少 （用含的代数式表示），若，则棱长应减少 ． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期中）如图，在长和宽分别为a，b的长方形纸片的四个角各剪去一个边长为x的小正方形，折叠后做成一个无盖的盒子（单位：）． （1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积S． （2）用含a，b，x的代数式表示盒子的体积V． （3）当，且剪去的每一个小正方形的面积都等于时，求x和V的值． 【变式2】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）科技实验馆开展火箭模型制作比赛，如图为小军同学制作的火箭模型的截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． （1）用、的代数式表示该截面的面积； （2）当，时，求这个截面的面积． （3）火箭实物模型的上面是圆锥，中间是圆柱，这两部分填充火箭的燃烧需要的燃料，当，时，求上面和中间这两部分的体积之和（圆锥的体积公式，计算结果保留） 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·北京·期中）若，则的值是（   ） A． B．2 C．1 D． 2．（25-26七年级上·甘肃定西·期中）当时，代数式的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 3．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）若，，且，则的值是（    ） A． B．或 C．或2 D． 4．（25-26七年级上·福建泉州·阶段练习）若．则的值可表示为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知，那么的值为（　　） A．10或4 B．10或 C．或4 D．或 6．（21-22七年级下·湖北荆州·期中）已知x是的整数部分，y是的小数部分，且，则的值为（　　） A．2 B． C．0或4 D．2或 二、填空题 7．（25-26八年级上·四川达州·期中）若，则的值为 ． 8．（23-24七年级下·云南普洱·期末）若，则的值为 ． 9．（25-26七年级上·全国·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿着数轴向右直爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为m，则式子的值为 ． 10．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知互为相反数，互为负倒数，m的绝对值等于2，p是数轴上原点表示的数，则 ． 11．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段练习）观察下列两个等式：；给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”；如果是“共生有理数对”，且，则的值为 ． 12．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图是某种杆秤．在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡．秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡．测得x与y的几组对应数据如下表： x/克 0 2 4 6 10 y/毫米 10 14 18 22 30 由表中数据的规律可知，当放入x克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为 毫米；当克时， 毫米． 三、解答题 13．（23-24七年级下·广东广州·期中）已知一个正数的两个不等的平方根分别为和． （1）求的值，并求这个正数； （2）求的立方根． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知甲、乙两种书的售价分别为12元/本、20元/本，现购买本甲书和本乙书，共付款元． （1）______（用含的式子表示）； （2）若，求的值． 15．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）印刷费用问题 甲厂：每份0.2元，另收500元制版费 乙厂：每份0.4元，无制版费 （1）两厂收费（用含的代数式）； （2）印2400份，选哪家合算？ 16．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）某玩具工厂出售一种玩具，其成本价每件28元，如果直接由厂家市场部销售，每件产品售价为35元，同时每月还要支出其他费用2100元；如果委托商场销售，那么出厂价为32元． （1）分别写出两种销售方式下，每个月销售a件时所得利润； （2）若每个月销售量达到1000件时，采用哪种销售方式获得的利润较多？ 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·期中）若 与 互为相反数，则的值为（   ） A．23 B．27 C．8 D．24 2．（24-25七年级下·云南丽江·期末）若a，b满足，则的值是（   ） A． B．1 C．3 D． 3．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）如图，小刚在下面的个格子里填数，他想让个格子的总和是．已知左边三个格子的和是，右边三个格子的和是．则与的和是（　　） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·全国·开学考试）若，，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·全国·期中）若，则的值是（    ） A．7 B．8 C．10 D．13 6．（24-25七年级下·山西朔州·期中）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 二、填空题 7．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）已知，则的值为 ． 8．（24-25七年级下·天津南开·阶段练习）如果与互为相反数，那么的算术平方根是 ． 9．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）若，则的值为 ． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 11．（24-25七年级上·福建泉州·开学考试）赵叔叔是⼀家快递公司的快递员，该公司每天的基本⼯资为80元，另外每送⼀件快递再加元．李叔叔某⼀天送m件快递，他这⼀天可以拿到⼯资( )元（⼀天⼯资基本⼯资送快递另加的费⽤）．当时，李叔叔这天可以拿到⼯资( )元． 12．（2025九年级下·江西·专题练习）【跨学科地理、物理】小华在甲、乙两个不同位置开展研学活动，如图为甲、乙两研学点附近的等高线图，质量为的小华从甲处走到乙处，重力做功为 J．（注：重力做功，） 三、解答题 13．（2025七年级上·全国·专题练习）已知正数m的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求a，m，b，c的值； (2)求的算术平方根． 14．（24-25七年级上·广东清远·期中）若、（）互为相反数，、互为倒数，， (1)_______，___________，__________，________． (2)求的值． 15．（25-26七年级上·全国·期中）某农户某年承包荒山若干亩，投资7800元共种果树2000棵，当年就收获水果总产量为18000千克．下面是该农户出售水果的两种方案： 方案1：该农户将水果拉到市场以每千克a元的价格全部出售，同时需要8人帮忙，每人付工资25元，还有农用车运费及其他各项税费共100元； 方案2：将水果在果园里全部出售，则每千克售价为b元（），没有其他费用． (1)用含a，b的式子分别表示方案1和方案2出售全部水果的利润．（利润＝销售额－各项成本） (2)若元，，请你通过计算说明选择哪种出售方案的利润较多． (3)若该农户争取第二年的水果总产量比上一年增长，且采用方案2进行出售（假设第二年水果每千克的售价仍是b元）．已知第二年的各项总成本为5000元，那么第二年的利润是多少？ 16．（25-26七年级上·全国·期中）如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，下面是由两个大小相等的长，宽的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃．（本题中取3，长度单位为米） (1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含，的式子表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含，的式子表示） (3)某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价： 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 甲厂商 180 不超过100平方米的部分，90元/平方米；超过100平方米的部分，70元/平方米 乙厂商 200 80元/平方米，每购一平方米玻璃送0.1米铝合金 当，时，该公司在哪家厂商购买窗户合算？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.2 代数式的值 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点：代数式的值 1 【题型1】直接求代数式的值 1 【题型2】先求字母的值，再求代数式的值 3 【题型3】列代数式表示时差并求值 4 【题型4】利用面积、体积公式列代数式并求值 5 【题型5】整体思想求代数式的值 7 【题型6】利用量与量之间关系列代数式并求值 9 【题型7】利用体积或面积的变化列代数式并求值 11 二．同步练习​ 14 【基础巩固（16题）】 14 【能力提升（16题）】 22 一．知识梳理与题型分类精析 知识点：代数式的值 一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫作代数式的值。 【题型1】直接求代数式的值 【例题1】（根据教材106页例题1改编）（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）当a分别取下列值时，求代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）9；（2） 【分析】（1）代入计算即可； （2）代入计算即可． 本题考查了求代数式的值，正确计算是解答的关键． 解：（1）解：时， ． （2）解：时， ． 【变式1】（25-26七年级上·全国·单元测试）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，正确计算是解题的关键； 把，的值代入代数式计算即可求解． 解：当时， ， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）当时，求下列各代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）41；（2）36 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）将代入，先计算乘方与乘法，再计算加法即可得； （2）将代入，先计算括号内的加减法，再计算乘方即可得． 解：（1）解：∵， ∴ ． （2）解：∵， ∴ ． 【题型2】先求字母的值，再求代数式的值 【例题2】（25-26八年级上·甘肃白银·期中）已知正数x的两个平方根分别是和，且 的立方根是． （1）求a，b，x的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），，；（2） 【分析】本题考查了平方根和立方根，掌握一个正数的平方根有2个，它们互为相反数是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义求出a，b，x的值即可得出答案； （2）求出代数式的值，再求它的平方根即可． 解：（1）解：依题意，得，解得：， 所以， 因为的立方根为， 所以， 解得：． （2）解：由（1）知：， 25的平方根为． 【变式1】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）若是数的立方根，是数的算术平方根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查实数的运算，先根据立方根和算术平方根的定义得出a、b的值，再代入计算即可． 解：∵是数a的立方根，是数b的算术平方根， ∴，， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·天津南开·阶段练习）如果与互为相反数，那么的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，求一个数的算术平方根等知识．先根据与互为相反数，求出，进而得到，即可求出的算术平方根是． 解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 【题型3】列代数式表示时差并求值 【例题3】（根据教材105页做一做改编）（24-25七年级上·浙江·期中）北京时间和巴黎时间的时差为小时，若用表示北京时间，那么同一时刻的巴黎时间是．当北京时间是时，巴黎时间为 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的减法，根据题意即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 解：由北京时间和巴黎时间的时差为小时， 当北京时间是时，则， ∴巴黎时间为， 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级上·湖南长沙·期中）2023年杭州第十九届亚运会闭幕式于北京时间10月8日20点正式开始，在伦敦的小明同学准时观看了直播，已知北京与伦敦的时差为8个小时．比如北京时间中午12点是伦敦当日凌晨4点，请问杭州亚运会闭幕式直播开始时伦敦当地时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的减法，根据北京与伦敦的时差为8个小时，列式计算即可． 解：由题意，得：（时）； ∴杭州亚运会闭幕式直播开始时伦敦当地时间为； 故选A． 【变式2】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）下表列出了国外几个市与北京的时差带正号的数表示问一时刻比北京时间早的点时数 城市 纽约 伦敦 东京 巴黎 时差时 如果现在的东京时间是8月1日8：00，那么北京的时间是 ，伦敦的时间是 ，纽约的时间是 ． 【答案】 8月1日7：00； 7月31日23：00； 7月31日18：00. 【分析】根据时差，在相应时间上加减时差即可. 解：由题意可得，北京时间为8-1=7， 伦敦时间为：7-8+24=23， 纽约时间为7-13+24=18 ， 故答案为8月1日7：00，7月31日23：00，7月31日18：00 【点拨】本题是有理数运算问题，考查了有理数的加减法，解答时注意时差运算规则即可． 【题型4】利用面积、体积公式列代数式并求值 【例题4】（根据教材106页例题2改编）（24-25七年级上·浙江杭州·期中）圆柱的体积等于底面积乘高．如图，用h表示圆柱的高，r表示底面半径，V表示圆柱的体积．（结果中均保留π） （1）用含字母h，r的代数式表示圆柱的体积V． （2）求底面半径为，高为的圆柱的体积． （3）若圆柱体积，高，求圆柱的底面半径r． 【答案】（1）；（2）；（3）圆柱的底面半径为厘米． 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是运用圆柱的体积公式． （1）根据圆柱体的体积公式即可解答； （2）把数值代入圆柱的体积公式中即可求出结果； （3）把数值代入圆柱的体积公式中即可求出结果． 解：（1）解：圆柱的体积； （2）解：底面半径为，高为时， 圆柱的体积：； （3）解：∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴圆柱的底面半径为厘米． 【变式1】（24-25七年级下·广东梅州·开学考试）如图，在一个底为，高为的三角形铁皮上剪去一个半径为的半圆．当，，时，剩余铁皮的面积的值为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，求不规则阴影图形的面积和三角形与圆的面积公式的知识，掌握以上知识是解题的关键． 本题需要先分别求得三角形与半圆的面积，然后三角形面积减去半圆的面积，即可求解； 解：剩余铁皮的面积， 当，，时， 即． 【变式2】（23-24七年级上·广东珠海·期中）一块三角板的形状和尺寸如图所示．如果圆孔的半径是r，三角尺的厚度是h，若，则这块三角板的体积V是 （结果保留）    【答案】/ 【分析】用这三角板的面积乘以厚度再减去圆孔的面积与厚度的积，即可求解． 解：根据题意得：这块三角板的体积， 当时， ． 故答案为： ． 【点拨】此题考查了列代数式和求代数式的值，解答此题的关键是通过已知和图形确定各数量之间的关系． 【题型5】整体思想求代数式的值 【例题5】（25-26七年级上·江苏南通·期中）【问题呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在代数式的化简与求值中应用极为广泛若代数式的值为，则代数式的值为_________． 【阅读理解】小勤的方法：由题意得，，则，所以，所以代数式的值为． 【方法运用】 （1）已知，那么代数式的值是_________ 若，则代数式的值为_________ （2）当时，代数式的值为，当时，求代数式的值 【拓展延伸】 （3）若，．求的值． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查整式的化简求值，涉及整式运算、整体代入求值等知识，熟练掌握整式运算及整体代入思想是解决问题的关键． 问题呈现：利用整体代入思想，化简求值即可得到答案； （1）利用整体代入思想，化简求值即可得到答案； （2）将代入，得到；再将代入化简求值，整体代入即可得到答案； （3）分析所求代数式与条件之间的关系，化简，代值求解即可得到答案． 解：（1）∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：，； （2）当时，， ∴， ∴当时：； （3）∵，， ∴ ． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期中）已知，则代数式的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法进行计算求值即可． 解：∵， ∴， ∴； 故选A． 【变式2】（25-26七年级上·新疆吐鲁番·期中）当时，代数式的值为，当时，代数式的值为 ． 【答案】2015 【分析】本题考查了代数式的求值，解题的关键是整体代入．将代入，得出；将代入，再整体代入即可． 解：将，代入代数式得， ， ∴ 即， 当时， ． 故答案为：2015． 【题型6】利用量与量之间关系列代数式并求值 【例题6】（教材107页作业B组5题）一种蓝喉蜂鸟飞行时心跳的频率非常快，每分钟心跳的次数大约是1260次。写出这种蜂鸟分钟心跳的次数。假设这种蜂鸟飞行了小时，求心跳的次数． 【答案】75600 【分析】等量关系：心跳总次数=每分钟心跳次数总时间，利用等量关系列出n分钟心跳次数即可；再把小时转化为分钟，代入求值即可。 解：种蜂鸟分钟心跳的次数为：次， 飞行小时心跳次数为：次 答：这种蜂鸟分钟心跳的次数为次，假设这种蜂鸟飞行了小时，心跳的次数3780次． 【变式1】（陕西省榆林市2025-2026学年上学期七年级数学期中调研试题）人在运动时的心跳速率通常与人的年龄有关，如果用表示一个人的年龄，那么在正常情况下，这个人运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数可以表示为． （1）正常情况下，一个20岁的人运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？ （2）正常情况下，一个20岁的人运动时10秒钟的心跳次数为27次，他有危险吗？请说明理由． 【答案】（1）160；（2）有危险，理由见分析 【分析】本题主要考查了代数求值，有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则． （1）代数求值即可； （2）求出每分钟的心跳次数，然后比较大小即可． 解：（1）解：根据题意得，当时，（次）， ∴一个20岁的人运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是160； （2）解：有危险。理由如下： 10秒钟心跳次数为27次，则每分钟心跳次数为（次）， ∵最高承受次数为160次，且， ∴此人每分钟心跳次数超过最高承受次数，因此有危险． 【变式2】（25-26七年级上·新疆吐鲁番·期中）阅读材料，解决下列问题： 背景 “生命在于运动”，随着生活水平的不断提高，人们越来越关注身体健康，积极参与各类健身运动．某校七（1）班数学兴趣小组对运动与心率的关系进行查找资料并研究． 材料1 研究表明，运动时的心率通常和人的年龄有关，最大心率（简称）是指 正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，使用方法发现最大心率（单位：次/分）等于220与年龄（单位：岁）的差． 材料2 靶心率是指通过有氧运动改善心血管循环系统机能时有效且安全的运动心率范围，在此范围内运动才有训练效果，一般而言，越接近靶心率的最大值，训练 效果越好．通常靶心率为最大心率的（包含两端点）． 材料3 运动时，心率超过最大心率，会有生命危险． （1）小华的年龄为a 岁，请用含a 的代数式表示他的 次/分． （2）王叔叔今年40岁，求王叔叔在有氧运动时的靶心率． （3）小智今年15岁，为了在体育中考中取得佳绩，需要加强训练，某次训练时测得他的心率 为208次/分，小智的运动有生命危险吗?请说明理由，并利用资料中运动与心率的关系为他找到训练效果最佳的心率． 【答案】（1）；（2）108次/分至144次/分；（3）小智的运动有生命危险，理由见分析；当小智训练时的心率为164次/分时，训练效果最佳 【分析】本题考查了根据实际问题列代数式及有理数的运算，解题的关键是根据资料准确提取信息并进行计算． （1）依据资料1中最大心率与年龄的关系，直接列出代数式； （2）先代入年龄求出最大心率，再分别计算最大心率的和，得到靶心率即可； （3）先求出小智的最大心率，对比训练心率判断是否有危险；再计算最大心率的，得出训练效果最佳的心率建议． 解：（1）解：根据材料，最大心率等于220与年龄（）的差， 所以． 故答案为：； （2）解：当时，（次/分）， 靶心率最小值：（次/分）， 靶心率最大值：（次/分）， 所以王叔叔在有氧运动时的靶心率是108次/分至144次/分． （3）解：小智的运动有生命危险，理由如下： 小智今年15岁，根据，可得： 最大心率：（次/分）， 小智训练时心率为208次/分， 因为， 根据资料3运动时，心跳速率超过最大心率，会有生命危险”， 所以小智的运动有生命危险， 次/分，靶心率为最大心率的（包含两端点），且越接近靶心率的最大值，训练效果越好， 所以，靶心率最大值为（次/分）， 所以当小智运动时心率保持在164次/分左右，这样训练效果最佳． 【题型7】利用体积或面积的变化列代数式并求值 【例题7】（教材107页作业B组6题）（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少 （用含的代数式表示），若，则棱长应减少 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，代数式求值，根据题意求出立方体体积减少的体积，进而得到减少后立方体的棱长，可得棱长减少的数量，再把代入计算即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 解：∵立方体的棱长为， ∴立方体的体积为， ∴立方体体积减少后剩余的体积为， ∴此时的棱长为， ∴棱长应减少， 当时，， ∴若，则棱长应减少， 故答案为：；． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期中）如图，在长和宽分别为a，b的长方形纸片的四个角各剪去一个边长为x的小正方形，折叠后做成一个无盖的盒子（单位：）． （1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积S． （2）用含a，b，x的代数式表示盒子的体积V． （3）当，且剪去的每一个小正方形的面积都等于时，求x和V的值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】（1）利用分割法计算面积解答即可． （2）根据体积公式解答即可． （3）根据求代数式的值基本思路解答即可． 本题考查了列代数式，求代数式的值，长方体的体积，熟练掌握定义和公式是解题的关键． 解：（1）解：根据题意，得 （2）解：根据题意，得 （3）解：由，得 当，，时， 【变式2】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）科技实验馆开展火箭模型制作比赛，如图为小军同学制作的火箭模型的截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． （1）用、的代数式表示该截面的面积； （2）当，时，求这个截面的面积． （3）火箭实物模型的上面是圆锥，中间是圆柱，这两部分填充火箭的燃烧需要的燃料，当，时，求上面和中间这两部分的体积之和（圆锥的体积公式，计算结果保留） 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了代数式求值、列代数式． （1）由三角形面积+长方形面积+梯形面积，表示出S即可； （2）把a与b的值代入（1）所得代数式计算即可求出值． （3）根据体积公式进行计算，然后将a与b的值代入即可求解． 解：（1）解：原式； （2）将， ，代入得： 这个截面的面积 （3） 将，，代入得： 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·北京·期中）若，则的值是（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值、绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握绝对值和偶次方的非负性是解题关键．先根据绝对值和偶次方的非负性可得，则，再代入计算即可得． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（25-26七年级上·甘肃定西·期中）当时，代数式的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了求代数式的值，将直接代入代数式计算即可． 解：∵， ∴ ． 故选C． 3．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）若，，且，则的值是（    ） A． B．或 C．或2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，化简绝对值，代数式求值． 由可得，由可得，再根据筛选出满足条件的和组合，最后计算的值即可． 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 或， ． ∴或． 故选：B． 4．（25-26七年级上·福建泉州·阶段练习）若．则的值可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查有理数的乘法，利用乘法分配律计算是解题关键． 将原式变形为，再利用乘法分配律计算即可． 解：∵， ， 故选：C． 5．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知，那么的值为（　　） A．10或4 B．10或 C．或4 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，乘方，有理数的大小比较，求代数式的值，解题的关键是掌握以上知识点；根据绝对值，乘方的定义，有理数的大小比较求出x，y，再代入求值即可． 解：， ， ， 当时，的值为， 当时，的值为， 的值为或． 故选：． 6．（21-22七年级下·湖北荆州·期中）已知x是的整数部分，y是的小数部分，且，则的值为（　　） A．2 B． C．0或4 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了确定无理数的整数部分和小数部分，再根据非负数的和为零，求出a、b，然后把确定的值代入计算即可解决问题. 解：∵x是的整数部分，y是的小数部分，且 ∴ ， ∵ ∴， 解得：， ∴原式 ∴是0或4. 故选：C. 二、填空题 7．（25-26八年级上·四川达州·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据非负数的性质求出m和n的值，再代入计算即可得到答案． 解：∵ ，，且， ∴ ，且， ∴ ，， 解得，， ∴， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·云南普洱·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式的求值，利用整体代入法求解。由已知条件可得 ，再将所求代数式变形后代入求值． 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·全国·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿着数轴向右直爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为m，则式子的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，数轴等知识点，准确计算是解题的关键． 先根据有理数的加法运算求出，再代入，根据有理数的混合运算法则计算即可． 解：由题意得， ∴ ， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知互为相反数，互为负倒数，m的绝对值等于2，p是数轴上原点表示的数，则 ． 【答案】或7． 【分析】此题考查的是有理数的运算，相反数的性质、负倒数的定义、绝对值的意义和数轴的定义。掌握相反数的性质、倒数的定义、绝对值的意义和数轴的定义是解决此题的关键． 先根据相反数、负倒数、绝对值、数轴的定义，求出相关字母或式子的值，再代入原式计算． 解：由题意得：， 当时，原式； 当时，原式； 综上，的值为或7． 故答案为：或7． 11．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段练习）观察下列两个等式：；给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”；如果是“共生有理数对”，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，求代数式的值，由题意得，推出；即可求解； 解：由题意得， ∵， ∴ ，即； ∴； 故答案为： 12．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图是某种杆秤．在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡．秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡．测得x与y的几组对应数据如下表： x/克 0 2 4 6 10 y/毫米 10 14 18 22 30 由表中数据的规律可知，当放入x克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为 毫米；当克时， 毫米． 【答案】 / 50 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，由表格数据即可得到y与x的关系式，再将代入求解即可． 解：由表格可得，物品每增加2克，秤砣所挂位置与提纽的距离增加4毫米，则物品每增加1克，秤砣所挂位置与提纽的距离增加2毫米， 当不挂重物时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10毫米， ∴y与x的关系式为， ∴当放入x克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为毫米； 当时，． 故答案为：，50． 三、解答题 13．（23-24七年级下·广东广州·期中）已知一个正数的两个不等的平方根分别为和． （1）求的值，并求这个正数； （2）求的立方根． 【答案】（1），这个正数为；（2） 【分析】（）根据正数的两个平方根互为相反数列出方程，解方程求出的值，进而可求出这个正数； （）把（）所得的值代入求出，再根据立方根的定义解答即可求解； 本题考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 解：（1）解：由题意得，， 解得， ∴这个正数为； （2）解：∵， ∴， ∴的立方根为． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知甲、乙两种书的售价分别为12元/本、20元/本，现购买本甲书和本乙书，共付款元． （1）______（用含的式子表示）； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）44 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，非负数的性质，解题的关键是： （1）用甲书的总价加上乙书的总价即可； （2）根据绝对值和偶次方的非负性求出a，b的值，代入计算即可． 解：（1）解：由题意可得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 15．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）印刷费用问题 甲厂：每份0.2元，另收500元制版费 乙厂：每份0.4元，无制版费 （1）两厂收费（用含的代数式）； （2）印2400份，选哪家合算？ 【答案】（1）甲：元；乙：元；（2）选乙 【分析】本题主要考查列代数式和求代数式的值，熟练掌握数量关系是解答本题的关键． （1）甲印刷厂收费表示为：甲厂每份材料印刷费×材料份数制版费，乙印刷厂收费表示为：乙厂每份材料印刷费×材料份数x； （2）先把代入（1）中所求的代数式，分别计算出此时甲、乙两印刷厂的收费，然后比较即可． 解：（1）解：甲印刷厂收费表示为：元， 乙印刷厂收费表示为：元． （2）解：甲： 元 乙： 元 ，选乙厂 16．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）某玩具工厂出售一种玩具，其成本价每件28元，如果直接由厂家市场部销售，每件产品售价为35元，同时每月还要支出其他费用2100元；如果委托商场销售，那么出厂价为32元． （1）分别写出两种销售方式下，每个月销售a件时所得利润； （2）若每个月销售量达到1000件时，采用哪种销售方式获得的利润较多？ 【答案】（1）直接销售利润为 元，委托销售利润为 元；（2）采用直接由厂家市场部销售获得的利润较多 【分析】（1）根据题意，用a表示出两种销售方式分别得出获利情况； （2）分别将销售量代入表达式计算并比较利润，即可求解． 解：（1）解：直接销售每件利润为 元，每月支出其他费用元，销售件时利润为 元． 委托销售每件利润为 元，无其他费用，销售件时利润为 元． （2）解：当销售量件时， 直接销售利润为 元， 委托销售利润为 元． ∵ ， ∴ 采用直接由厂家市场部销售获得的利润较多． 答：采用直接由厂家市场部销售获得的利润较多． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·期中）若 与 互为相反数，则的值为（   ） A．23 B．27 C．8 D．24 【答案】B 【分析】由互为相反数的定义，得绝对值与平方和为零，根据非负性，两者均需为零，从而解出a和c的值，再代入所求表达式计算． 本题考查了相反数的性质，绝对值的非负性，平方的非负性，求代数式的值，熟练掌握相反数，非负性是解题的关键． 【详解】解：∵ 与 互为相反数， ∴， ∵且， ∴ 且 解得 ，， 故， 故选：B． 2．（24-25七年级下·云南丽江·期末）若a，b满足，则的值是（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的应用，算术平方根，根据偶次幂，算术平方根均为非负数，它们的和为0时，由此解出a和b的值，再代入计算，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 3．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）如图，小刚在下面的个格子里填数，他想让个格子的总和是．已知左边三个格子的和是，右边三个格子的和是．则与的和是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式，根据已知条件求出中间数，再根据个格子的总和是，即可求解． 【详解】解：设中间数为， 根据题意可得，，， ，， ， 故选：D． 4．（22-23七年级下·全国·开学考试）若，，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，有理数的运算，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．根据绝对值性质和，的条件求出x，y值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ，异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值， ，， ， ， ， ． 故选：D． 5．（25-26七年级上·全国·期中）若，则的值是（    ） A．7 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了求代数式的值，将代数式进行适当的变形是正确求值的关键，整体代入是常用的方法．将变形为后，再整体代入计算即可． 【详解】解：， ． 故选：B． 6．（24-25七年级下·山西朔州·期中）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． 先估算的大小后即可求得，的值，然后代入中计算即可． 【详解】解：， ， ， 则，， 那么， 故选：D． 二、填空题 7．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，由得到，，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·天津南开·阶段练习）如果与互为相反数，那么的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，求一个数的算术平方根等知识．先根据与互为相反数，求出，进而得到，即可求出的算术平方根是． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 9．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查代数式求值，根据已知条件将所求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：当时，原式． 故答案为：25． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意 0 是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、 0 和负整数，有理数是正有理数、 0 和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中， 正数有（每两个 1 之间的0的个数逐次增加1 ），有6个，则； 非负整数有 0，21 ，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则， 故答案为：1． 11．（24-25七年级上·福建泉州·开学考试）赵叔叔是⼀家快递公司的快递员，该公司每天的基本⼯资为80元，另外每送⼀件快递再加元．李叔叔某⼀天送m件快递，他这⼀天可以拿到⼯资( )元（⼀天⼯资基本⼯资送快递另加的费⽤）．当时，李叔叔这天可以拿到⼯资( )元． 【答案】 305 【分析】本题考查了用字母表示数及含字母式子的求值，解题的关键是根据“一天工资基本工资送快递另加的费用”这一数量关系，先列出含字母的表达式，再代入具体数值计算． 先根据数量关系“送快递另加的费用每件快递费用送件数量”求出另加费用，再与基本工资相加，得到含m的工资表达式；然后将代入表达式，计算出具体工资数额． 【详解】解：第一步，求含m的工资表达式． 已知基本工资元，每送一件加元，送m件时，另加费用为元； 根据“一天工资基本工资送快递另加的费用”，可得工资为元． 第二步，求时的工资． 将代入，得（元）． 故答案为：． 12．（2025九年级下·江西·专题练习）【跨学科地理、物理】小华在甲、乙两个不同位置开展研学活动，如图为甲、乙两研学点附近的等高线图，质量为的小华从甲处走到乙处，重力做功为 J．（注：重力做功，） 【答案】150000 【分析】本题主要考查了求代数式的值，理解题意是解题关键．根据题意与等高线图得出对应取值，将值代入计算即可． 【详解】解：质量为的小华从甲处走到乙处，， 则重力做功 ． 故答案为：． 三、解答题 13．（2025七年级上·全国·专题练习）已知正数m的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求a，m，b，c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，，， (2)4 【分析】本题考查平方根，立方根的性质，无理数的估算，算术平方根的计算． （1）根据正数的平方根互为相反数求出和的值，根据立方根的计算求的值，估算，找出其整数部分，得到的值； （2）将（1）中求得的值代入代数式中求值，再求算术平方根即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ∵的立方根为， ， ， ∵是的整数部分，且， ； （2）解：由（1）可知，，， ， 算术平方根为． 14．（24-25七年级上·广东清远·期中）若、（）互为相反数，、互为倒数，， (1)_______，___________，__________，________． (2)求的值． 【答案】(1)0，1，， (2)1或 【分析】本题考查了相反数，倒数的定义，绝对值的意义，代数式求值，根据相反数，倒数的定义，绝对值的意义求出各式子的值为解题关键 （1）根据相反数，倒数的定义，绝对值的意义求解各式子的值； （2）分情况分别代入求值即可 【详解】（1）解：、互为相反数，、互为倒数，， ，，，， 故答案为：0，1，， （2）当时， ； 当时， 15．（25-26七年级上·全国·期中）某农户某年承包荒山若干亩，投资7800元共种果树2000棵，当年就收获水果总产量为18000千克．下面是该农户出售水果的两种方案： 方案1：该农户将水果拉到市场以每千克a元的价格全部出售，同时需要8人帮忙，每人付工资25元，还有农用车运费及其他各项税费共100元； 方案2：将水果在果园里全部出售，则每千克售价为b元（），没有其他费用． (1)用含a，b的式子分别表示方案1和方案2出售全部水果的利润．（利润＝销售额－各项成本） (2)若元，，请你通过计算说明选择哪种出售方案的利润较多． (3)若该农户争取第二年的水果总产量比上一年增长，且采用方案2进行出售（假设第二年水果每千克的售价仍是b元）．已知第二年的各项总成本为5000元，那么第二年的利润是多少？ 【答案】(1)方案1：元；方案2：元 (2)选择方案1的利润较多 (3)第二年的利润是元 【分析】本题考查列代数式以及求代数式的值．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． （1）方案1：根据利润＝售价－投资－人工工资列代数式即可；方案2：根据利润＝售价－投资列代数式即可； （2）当元，元时，求出两种方式出售水果的利润并比较即可； （3）根据利润＝售价－总成本列代数式即可． 【详解】（1）方案1：元； 方案2：元． （2）方案1：当时，（元）； 方案2：当时，（元）． 因为，所以选择方案1的利润较多． （3）元． 答：第二年的利润是元． 16．（25-26七年级上·全国·期中）如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，下面是由两个大小相等的长，宽的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃．（本题中取3，长度单位为米） (1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含，的式子表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含，的式子表示） (3)某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价： 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 甲厂商 180 不超过100平方米的部分，90元/平方米；超过100平方米的部分，70元/平方米 乙厂商 200 80元/平方米，每购一平方米玻璃送0.1米铝合金 当，时，该公司在哪家厂商购买窗户合算？ 【答案】(1)一扇这样窗户一共需要铝合金米； (2)一扇这样窗户一共需要玻璃平方米； (3)该公司在甲厂商购买窗户合算． 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，有理数混合运算的实际应用． （1）求出制作窗框的铝合金材料的总长度即可； （2）用长方形面积加半圆形的面积，求出窗户的面积即可； （3）分别求出甲、乙的费用，比较大小即可判断． 【详解】（1）解：根据题意得， ∵取3， ∴ ， 答：一扇这样窗户一共需要铝合金米． （2）解：根据题意得 ∵取3， ∴ ， 答：一扇这样窗户一共需要玻璃平方米． （3）解：当，时， 铝合金长：（米）， 玻璃面积：（平方米）， 甲：（元）， 乙：（元）， ∵， ∴在甲厂商购买窗户合算． 答：该公司在甲厂商购买窗户合算． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $