湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高三上学期10月月考数学试卷 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．E、F、G、H四点共面 C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为 D．、、三线共点 4．中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1，某公园的六角亭是中国常见的一种供休闲的古建筑，六角亭屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的六棱锥.该公园管理处准备用风铃装饰六角亭屋顶的六个顶点A，B，C，D，E，F，现有四种不同形状的风铃可供选用，则在相邻的两个顶点挂不同形状的风铃的条件下，顶点A与C处挂同一种形状的风铃的概率为（   ） A． B． C． D． 5．已知O是线段的中点，M，N分别是以，为直径的圆上的动点（异于点O），（    ） A．若，则存在实数，使得 B．若，则存在实数，使得 C．若存在实数，使得，则 D．若存在实数，使得，则 6．如图，､是椭圆与双曲线的公共焦点，､分别是､在第二､四象限的交点，若，且，则与离心率之积为（    ） A．2 B． C． D． 7．已知的面积为，，，则（    ）． A． B． C． D． 8．定义在上的函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．的展开式中含的系数是 B．已知随机变量服从正态分布，若，则 C．若实数，则的最大值为 D．若函数有个零点，则 10．已知，，， 的外接圆为，则（    ） A．点的坐标为 B．的面积是 C．点在外 D．直线与相切 11．已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，曲线为圆心为，半径为圆的一部分 C．曲线有4条对称轴，且围成的图形面积为 D．当点在第四象限，的最大值是1 三、填空题 12．曲线在处的切线与曲线相切于点，若且，则实数的值为 . 13．函数的值域是，则实数的取值范围是 . 14．已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为 . 四、解答题 15．已知数列的前项和为，满足，，. (1)记，求的通项公式； (2)记，求的前63项和. 16．近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，大力增加研发资金，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术，某市为了解本市高科技企业的科研投入和产出方面的情况，抽查了本市8家半导体企业2018年至2022年的研发投资额（单位：百亿元）和因此投入而产生的收入附加额（单位：百亿元），对研发投资额和收入附加额进行整理，得到相关数据，并发现投资额和收入附加额成线性相关． 投资额（百亿元） 2 3 4 5 6 8 9 11 收入附加额（百亿元） 3.6 4.1 4.8 5.4 6.2 7.5 7.9 9.1 (1)求收入的附加额与研发投资额的线性回归方程（保留三位小数）； (2)现从这8家企业中，任意抽取3家企业，用表示这3家企业中收入附加额大于投资额的企业个数，求的分布列及数学期望． 参考数据：，，． 附：在线性回归方程中，，． 17．如图，四面体中，．    (1)求证：平面平面； (2)若， ①若直线与平面所成角为30°，求的值； ②若平面为垂足，直线与平面的交点为．当三棱锥体积最大时，求的值． 18．已知椭圆的右顶点为，点在轴上，线段与椭圆的交点在第一象限，过点的直线与椭圆相切，且直线交轴于.设过点且平行于直线的直线交轴于点. （Ⅰ）当为线段的中点时，求直线的方程； （Ⅱ）记的面积为，的面积为，求的最小值. 19．定义：设和均为定义在上的函数，它们的导函数分别为和，若不等式对任意实数恒成立，则称和为“相伴函数”. (1)给出两组函数，①和②和，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”（只需直接给出结论，不需论证）； (2)若是定义在上的可导函数，是偶函数，是奇函数，，证明：和为“相伴函数”； (3)，写出“和为相伴函数”的充要条件，证明你的结论. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C D A D B AB BC 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】解不等式化简集合，根据并集的概念计算即可. 【详解】易知，， 即. 故选：D 2．B 【分析】由复数的四则运算计算即可得解. 【详解】由题意得，所以. 故选：B. 3．C 【分析】根据线线平行及菱形对角线垂直判断A，根据两直线平行确定平面判断B，作出截面四边形，根据截面边长的大小判断C，利用相交平面的公共点共线得三点共线可判断D. 【详解】如图， 连接，由分别为中点，可得， 由可知，侧面为菱形， 所以，所以，故A正确； 连接，因为E、F、G、H分别为、、、的中点， 所以，，所以，所以E、F、G、H四点共面，故B正确； 延长交的延长线于点，连接，交于点，连接，， 设确定平面为，则，所以，所以， 则易知三棱柱的截面四边形为， 在中，， 在中，，而中，， 而，所以截面的周长大于，故C错误； 由B知，且，所以梯形的两腰、所在直线必相交于一点， 因为平面，平面， 又平面平面，所以，所以与重合， 即、、三线共点于，故D正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用共面的判定，结合直线与平面的关系，作出平面与三棱柱截面的图形，是解决C选项的关键所在，需要有较强的推理能力. 4．C 【分析】记事件G：相邻的两个顶点挂不同形状的风铃，事件H：A与C处挂同一种形状的风铃.分三类讨论求出事件G的挂法总数，分两类讨论求出对于事件H的挂法总数，结合条件概率的计算公式计算即可求解. 【详解】记事件G：相邻的两个顶点挂不同形状的风铃，事件H：A与C处挂同一种形状的风铃. 对于事件G，包含的情况可分以下三类： （1）当A，C，E挂同一种形状的风铃时，有4种挂法， 此时B，D，F各有3种挂法，故不同的挂法共有4×3×3×3=108种； （2）当A，C，E挂两种不同形状的风铃时，有种挂法， 此时B，D，F有3×2×2种挂法，故不同的挂法共有种； （3）当A，C，E挂三种不同形状的风铃时，有种挂法， 此时B，D，F各有2种挂法，故不同的挂法共有种. 综上，总计有108+432+192=732种挂法，即. 当顶点A与C挂同一种形状的风铃，且相邻两顶点挂不同形状的风铃时，分以下两类： （1）A，C，E挂同一种形状的风铃，由前面解析可知，此时不同的挂法有108种； （2）当A，C挂同一种形状的风铃，E挂其他形状的风铃时，有种挂法， 此时B，D，F有3×2×2种挂法，故不同的挂法共有种. 综上，总计有108+144=252种挂法，即， 故. 故选：C. 5．D 【分析】建立坐标系，选项A，B中的条件均可转化为点关于轴对称或关于原点对称，分别就两种情况下命题是否成立讨论，通过举反例判断A，B选项错误；选项C的条件转化为，也是通过作图举反例，判断C选项错误；选项D的条件转化为关于原点对称，利用数量积的运算，则可判断D选项正确. 【详解】以为坐标原点，线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则两圆关于轴对称， A选项，， ， 则或， 若，设点为中点， 则，点在轴上， 此时点关于轴对称，， 则存在实数，使得， 但若，即关于原点对称， 此时，且， 则不存在实数，使得，A选项错误 B选项，由可得， 与A选项同理可知点关于轴对称或关于原点对称， 当其关于轴对称时，不存在实数，使得， 则B选项错误； C选项，若存在实数，使得，则， ， 当位于如图所示的位置时，上式不能成立， 则C选项错误； D选项，存在实数，使得， 则三点共线，且由题可知关于原点对称， 则，， 即成立，则D选项正确. 故选：D. 6．A 【分析】利用椭圆的对称性，求出椭圆的离心率，然后求解双曲线的离心率即可. 【详解】F1､F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A､B分别是C1､C2在第二､四象限的公共点，若AF1⊥BF1，且∠AF1O=，则为等边三角形且A，B关于原点对称， 可得A（-，c），B（，c）， 代入椭圆方程可得：，可得， 可得e4﹣8e2+4=0，解得e=. 代入双曲线方程可得，可得， 可得：e4﹣8e2+4=0，解得e=， 则C1与C2的离心率之积为：2. 故选A. 【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，注意椭圆以及双曲线的对称性的应用是解题的关键. 7．D 【详解】 因为∵，，的面积为， ∴解得：， ∴，故选． 8．B 【分析】由函数的奇偶性、单调性结合对数的运算和三角函数的单调性可得. 【详解】因为在上单调递减，在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 又， 所以是偶函数， 又函数在上单调递增，则， 而在上单调递增，则， ，则， . 故选：B. 9．AB 【分析】利用二项式定理可判断A选项；利用正态密度曲线的对称性可判断B选项；利用基本不等式可判断C选项；数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，的展开式通项为， 令，可得，所以，展开式中含的系数是，A对； 对于B选项，由已知可得， 由正态曲线的对称性可得，B对； 对于C选项，，当且仅当时，等号成立， 故，C错； 对于D选项，由，可得，作出直线与曲线的图象如下图所示： 由图象可知，当时，即当时，直线与曲线有个交点， 此时函数有个零点，D错. 故选：AB. 10．BC 【分析】根据垂直平分线计算交点得到圆心为，再计算半径为，得到圆方程，再依次判断每个选项得到答案. 【详解】，的垂直平分线的斜率满足：， ，的中点为，故垂直平分线方程为； 同理可得，的垂直平分线方程为：， ，两条垂直平分线的交点为：， 故圆心为，，圆方程为. 对选项A：点的坐标为，错误； 对选项B：的面积是，正确； 对选项C：，正确； 对选项D：到直线的距离，相交，错误. 故选：BC 11．BCD 【分析】对A：代入曲线方程后，令即可得解；对B：去掉绝对值后，结合圆的标准方程即可得；对C：易得其有对称轴轴，轴，再结合第一象限内图象即可得完整图象，即可得解；对D：结合的几何意义画图并结合点到直线的距离公式计算即可得解. 【详解】对于A，当时，可得，则或，故A错误； 对于B，当时，原方程化为，即， 所以曲线是以圆心为，半径为的圆在第一象限的部分，故B正确； 对于C，由图象关于轴，轴对称，所以曲线如上图所示， 由图象可得，该曲线关于轴，轴，和对称， 所以该曲线有4条对称轴， 曲线围成的图形由四个直径为的半圆和一个边长为的正方形组成， 所以面积为，故C正确； 对于D，设表示点与点确定的直线的斜率， 设该直线方程为，结合图象，当，即， 则圆心为，半径为的圆在第四象限的部分与直线相切时， 该切线的斜率是的最大值，由，可得， 解得或（舍），则的最大值为1，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助绝对值的性质，得到图象关于轴，轴对称，再结合当时，其在第一象限内的图象得到整个函数的图象. 12． 【分析】利用导数求出在处的切线方程为，函数在点处的切线方程为，根据两切线重合求解，求出，进而求出. 【详解】函数在处的切线斜率为则切线方程为， 函数在处的切线斜率为，则切线方程为，即， 由题意有①且②，故，， 从而，整理得， 所以，即. 代入式②，得，即. 故答案为： 13． 【分析】函数的值域为，即能取遍一切正实数，利用均值不等式求解即可. 【详解】设，由的值域为R， 知可以取所有的正值， 又，当且仅当时等号成立， 故的值域为， 所以只需满足即可， 即 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求出的值域，由题意知能取遍一切正实数，转化为的值域包含是解题的关键，属于中档题. 14．1 【分析】根据等差数列的性质可得，再利用基本不等式可求的最小值. 【详解】由题可知，，则，所以， 所 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为1, 故答案为：1. 15．(1)； (2). 【分析】(1)根据给定的递推公式变形可得是等差数列，利用等差数列定义求解作答. (2)由(1)的结论求出的通项，再借助裂项相消法计算作答. 【详解】（1）数列的前项和为，因时，，则， 于是得，而，则当时，，数列是等差数列， 首项，公差，则有， 所以的通项公式. （2）由(1)知，，， ， 所以的前63项和为. 16．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据所给数据，利用参考公式计算，即可得出线性回归方程； （2）根据超几何分布计算对应随机变量的概率，列出分布列、计算期望即可. 【详解】（1）由，， 得：， 由得， 所以年收入的附加额与投资额的线性回归方程为. （2）8个投资额中，收入附加额大于投资额的企业个数为5， 故的所有可能取值为0，1，2，3，     ，，，， 则的分布列为： 0 1 2 3 故. 17．(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可； （2）①因为两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角公式求解即可得出答案；②由题意可知，在上，由此可得所以，表示出三棱锥体积，由二次函数的性质求出三棱锥体积的最大值，即可知分别为，的中点，再由空间共面定理可得出的值. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，则， 所以，所以，所以， 又因为所以， 则，又因为， 所以，又因为， 平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）①因为两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 设，因为， 所以由可得：， 所以， ， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为直线与平面所成角为30°， 所以 则，化简可得：， 解得：或（舍去）. ②由（1）知，平面，又平面 所以，在上， 因为，所以， ，所以， 即，所以， 所以， 三棱锥体积为： ， 因为，当时，三棱锥体积最大为， 此时分别为，的中点，所以， 设，设， 因为， 所以，所以， 因为在平面上，所以设， 所以， 所以，解得：， 所以，所以. 【点睛】关键点睛：本题第二问②的关键点在于且在上，由此可得所以，表示出三棱锥体积，由二次函数的性质求出三棱锥体积的最大值，即可知分别为，的中点，再由空间共面定理可得出的值. 18．（Ⅰ）直线的方程为（Ⅱ） 【分析】（1）设点，利用中点坐标公式表示点B，并代入椭圆方程解得，从而求出直线的方程；（2）设直线的方程为：，表示点，然后联立方程，利用相切得出，然后求出切点，再设出设直线的方程，求出点，利用两点坐标，求出直线的方程，从而求出，最后利用以上已求点的坐标表示面积，根据基本不等式求最值即可. 【详解】解：（Ⅰ）由椭圆，可得： 由题意：设点，当为的中点时，可得： 代入椭圆方程，可得：所以： 所以.故直线的方程为. （Ⅱ）由题意，直线的斜率存在且不为0， 故设直线的方程为： 令，得：，所以：. 联立：，消，整理得：. 因为直线与椭圆相切，所以. 即. 设，则，， 所以. 又直线直线，所以设直线的方程为：. 令，得，所以：. 因为， 所以直线的方程为：. 令，得，所以：. 所以. 又因为. . 所以（当且仅当，即时等号成立） 所以. 【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程以及求椭圆中的最值问题，最值问题一般是把目标式求出，结合目标式特点选用合适的方法求解，侧重考查数学运算的核心素养，本题利用了基本不等式求最小值的方法，运算量较大，属于难题. 19．(1)第（1）组是，第（2）组不是 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据“相伴函数”的定义进行分析，从而作出判断. （2）根据“相伴函数”的定义进行分析，结合函数的奇偶性证得结论成立. （3）根据“相伴函数”的定义进行分析，结合充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】（1）第（1）组是，第（2）组不是. ①和，， ， 所以这两组函数是 “相伴函数”. ②和，， 不一定为非正数， 所以这两组函数不是 “相伴函数”. （2）， 所以 ，所以 因此成立， 即和为“相伴函数”. （3）“和为相伴函数”的充要条件是 充分性：已知 则， ， 此时，所以， 即成立，和为相伴函数 必要性：已知和为相伴函数 所以， ， ， ，即， 由于取遍内的所有实数，因此当且仅当时成立， 所以， 所以“和为相伴函数”的充要条件是. 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $