精品解析：广东省深圳市红山中学等2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

2025~2026学年度高三第一学期期中考试 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合是不大于10的整数，则为（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且在上有且只有一个零点，则（ ） A. 0 B. C. D. 7. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则（ ） A. B. C. D. 1 8. 如图，正四面体容器的容积为，里面装了体积为的水，固定容器底面一边将容器倾斜，当水面所在平面恰好过点且与棱分别交于点，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某人收集了某城市居民年收入（即所有居民在一年内收入的总和）与商品销售额的10年数据，如表所示.下列结论中说法正确的是（ ） 第年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 居民年收入/亿元 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0 商品销售额/万元 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0 A. 居民年收入的第75百分位数是43.0亿元 B. 商品销售额的平均数是40.1万元 C. 居民年收入介于35到40亿元占比 D. A商品销售额与居民年收入成正线性相关 10. 如图，直二面角中，，动平面分别交平面和平面于直线､直线，则下列命题正确的是（ ） A. 平面内不存在与平面平行的直线 B. 平面内存在无数条直线与平面垂直 C. 当平面，平面，平面两两垂直时，它们的交线也两两垂直 D. 直线，直线中至少有一条与直线垂直 11. 已知函数有大于0的极值，为自然对数的底，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 有两个零点且其乘积大于 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正项等比数列中，，则__________. 13. 计算的值为__________. 14. 一个箱子中有大小质地完全相同的小球共5个，其中红球2个，蓝球3个.现依次不放回地从箱子中取球，直到取完所有红球为止.设取球次数为，则的数学期望__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角满足. （1）求； （2）若的角平分线交线段于点，求的面积. 16. 已知等差数列的公差，前项和为，若. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，，. （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 18. 已知抛物线上一点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. （1）求的方程； （2）点为的准线上一动点，直线（为坐标原点）与交于另一点，过点作轴的垂线与交于点. ①求证：直线过定点； ②若，求的面积. 19. 已知函数. （1）是否可以为的极值点？请说明理由； （2）证明：若在上单调，则在上单调； （3）若有三个零点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度高三第一学期期中考试 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合是不大于10的整数，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先化简集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，解得或， 所以， 又是不大于10的整数，所以. 故选：C 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算及共轭复数的定义求解. 【详解】复数， 所以所求共轭复数为. 故选：A 3. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解. 【详解】向量，则， 所以在上的投影向量为. 故选：B 4. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆离心率的定义直接求解. 【详解】设椭圆的长短半轴长分别为，半焦距为，则点为一等边三角形三个顶点， 因此，所以该椭圆的离心率. 故选：B 5. 已知函数，满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数， 当时，因为，均在上单调递增， 所以在上单调递增，又为连续函数， 所以在上单调递增， 不等式，即，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 6. 已知函数，且在上有且只有一个零点，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，结合余弦函数的图象性质求出，进而求出目标值. 【详解】函数，由，得，而，解得， 则，由，得， 由在上有且只有一个零点，得，解得， 而，因此，，所以. 故选：A 7. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出曲线在点处的切线方程，依题意可得有且仅有一个解，令，即可得到有且仅有一个零点，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得到方程，即可得. 【详解】由，则，所以， 所以曲线在点处的切线为，即， 因为与曲线只有一个公共点， 即有且仅有一个解，又， 所以有且仅有一个解， 令，即有且仅有一个零点， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又当时，当时， 所以，即，解得。 故选：B 8. 如图，正四面体容器的容积为，里面装了体积为的水，固定容器底面一边将容器倾斜，当水面所在平面恰好过点且与棱分别交于点，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，再结合锥体体积求得，然后作出二面角的平面角，利用余弦定理求出夹角的余弦. 【详解】依题意，平面，而平面平面，平面， 则，由，得，因此， 则，取中点，连接，连接，则为中点， 令正四面体的棱长为，则，， 而平面，则平面， 过点作直线，则，即平面平面，平面， 又平面，于是，是平面与平面的夹角， 在等腰中，，由， 得， 在中，， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某人收集了某城市居民年收入（即所有居民在一年内收入的总和）与商品销售额的10年数据，如表所示.下列结论中说法正确的是（ ） 第年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 居民年收入/亿元 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0 商品销售额/万元 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0 A. 居民年收入的第75百分位数是43.0亿元 B. 商品销售额的平均数是40.1万元 C. 居民年收入介于35到40亿元占比 D. A商品销售额与居民年收入成正线性相关 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据百分位数计算规则判断A，求出平均数判断B，根据古典概型的概率公式判断C，画出散点图，求出相关系数即可判断D. 【详解】对于A：居民年收入从小到大排列为31.1，32.2，32.9，35.8，37.1，38，39，43，44.6，46， 又，所以居民年收入的第75百分位数是43.0亿元，故A正确； 对于B：商品销售额的平均数是（万元），故B错误； 对于C：居民年收入介于35到40亿元共有4年，所以居民年收入介于35到40亿元占比，故C正确； 对于D：画出成对样本数据的散点图，从散点图看，商品销售额与居民年收入的样本数据呈现出线性相关关系． 设第年居民的年收入为亿元，商品销售额为万元， 则，，，，, 所以，样本相关系数 ． 由此可以推断，商品销售额与居民年收入正线性相关，即商品销售额与居民年收入有相同的变化趋势，且相关程度很强，故D正确． 故选：ACD 10. 如图，直二面角中，，动平面分别交平面和平面于直线､直线，则下列命题正确的是（ ） A. 平面内不存在与平面平行的直线 B. 平面内存在无数条直线与平面垂直 C. 当平面，平面，平面两两垂直时，它们的交线也两两垂直 D. 直线，直线中至少有一条与直线垂直 【答案】CD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定判断A；利用面面垂直的性质、线面垂直的性质，结合反证法推理判断D；利用线面垂直的判定推理判断B；利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理判断C. 【详解】对于A，在上取不与点重合的点，过点在平面内作直线， 则平面，而平面，因此平面，A错误； 对于D，假设直线，直线都不垂直于直线， 则在平面内过点作于，在平面内过作， 由，得， 由直二面角，得平面平面， 而平面平面，则平面，， 而平面， 于是平面，而平面， ，因此与假设矛盾，假设错误， 则直线，直线中至少有一条与直线垂直，D正确； 对于B，若，不垂直， 则平面内不存在直线与平面垂直，B错误； 对于C，由选项D知平面平面，若平面平面， 在平面内取点，过点作，则可得平面， ，同理，而平面， 则平面，而平面，于是， 又平面平面，同理得， 因此当平面，平面，平面两两垂直时，它们的交线也两两垂直，C正确. 故选：CD 11. 已知函数有大于0的极值，为自然对数的底，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 有两个零点且其乘积大于 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数，按分类，结合函数有大于0的极值推理判断ABC；利用零点存在性定理及零点的意义确定零点个数，再构造函数确定零点所在范围判断D. 【详解】函数的定义域为，求导得， 对于A，当时，，函数在上单调递减，无极值，与已知矛盾，A错误； 对于B，当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值 ，因此，整理得，B正确； 对于C，由选项B知，，，C正确； 对于D，由选项B知，，当从大于0的方向趋近于0时，， 当时，，因此函数有两个零点，不妨令， 则，即，令，则， 即函数的图象与直线有两个交点，由，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在递减， 则，而，当时，恒成立，因此，，D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正项等比数列中，，则__________. 【答案】16 【解析】 【分析】根据给定条件，列式求出数列公比，进而求出目标值. 【详解】由正项等比数列的公比为， 则，即，则有， 所以. 故答案为：16 13. 计算的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用降幂公式及两角和的余弦公式计算可得. 【详解】 故答案为： 14. 一个箱子中有大小质地完全相同的小球共5个，其中红球2个，蓝球3个.现依次不放回地从箱子中取球，直到取完所有红球为止.设取球次数为，则的数学期望__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【详解】依题意的可能取值为、、、， 所以，，， ， 所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角满足. （1）求； （2）若的角平分线交线段于点，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式求解. （2）由（1）的结论，利用正弦定理及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 在中，由，得， 则，而，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由的角平分线交线段于点，得， ，， 在中，由正弦定理得， 所以的面积为. 16. 已知等差数列的公差，前项和为，若. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式得到关于、的方程组，解得即可； （2）首先表示出，从而得到，再由错位相减法求和即可. 【小问1详解】 因为，，又， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 因为，即，所以， 所以， 所以， 则， 所以 ， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，，. （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点在的中点 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明、，从而得到平面，即可得证； （2）取的中点，连接，即可得到，建立空间直角坐标系，设，求出平面与平面的法向量，设平面与平面的夹角为，则，利用空间向量法得到方程，解得即可. 【小问1详解】 取的中点，连接、， 因为， 所以，， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 所以，所以，即， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 依题意四边形为等腰梯形，取的中点，连接，则且， 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 当与点重合时，平面与平面重合，显然不符合题意； 设，则， 设平面的一个法向量为， 所以，取， 取平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，若， 由，解得（负值舍去）， 又， 解得或（舍去）， 解得， 所以存在点，在的中点时，平面与平面的夹角的正切值为. 18. 已知抛物线上一点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. （1）求的方程； （2）点为的准线上一动点，直线（为坐标原点）与交于另一点，过点作轴的垂线与交于点. ①求证：直线过定点； ②若，求的面积. 【答案】（1）； （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）设点，由已知及抛物线定义建立方程求出值，即可得到抛物线的方程. （2）①由（1）求出抛物线焦点坐标及准线方程，再设出点的坐标，并表示出点坐标，求出直线的方程即可得证；②由①中信息，利用数量积的定义，结合三角形面积公式求解. 【小问1详解】 设点，由，得， 由点到轴的距离为，得，又，则，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 ①由（1）得抛物线：的焦点，准线方程为， 设，由轴，且点在抛物线上，得， 直线方程为，由，得点， 当时，直线的斜率，其方程为， 整理得，因此直线过定点，当时，直线过点， 所以直线过定点. ②由①知，， 因此，， 所以的面积. 19. 已知函数. （1）是否可以为的极值点？请说明理由； （2）证明：若在上单调，则在上单调； （3）若有三个零点，证明：. 【答案】（1）否，理由见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）假设是的极值点，则，由此求得，代回检验，得到无极值点，所以不可以为的极值点； （2）由在上单调，得到的取值范围，由此推得恒成立，从而证得在上单调； （3）根据有三个零点得到有两个零点，通过构造函数证得其关系，从而证得. 【小问1详解】 不可以为的极值点.理由如下： 函数的定义域为：. . 若是的极值点，则，即，解得. 此时，，. 令，则. 令，则. 所以在上单调递增. 因为，所以当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 所以在上恒成立，所以在上恒成立. 所以在上单调递增，无极值点. 故不可以为的极值点. 【小问2详解】 函数的定义域为：. . 当时，恒成立，所以在上单调递增，满足题意； 当时，令. 因为，当且仅当时，等号成立. 所以若在上单调，则只能单调递增.所以在上恒成立，即在上恒成立. 所以恒成立. 因为，当且仅当时，等号成立. 所以，即. 则， 令，则由（1）得在上恒成立， 所以在上恒成立，所以在上恒成立. 所以在上单调递增. 【小问3详解】 有三个零点，所以. 不妨设. 由（2）知，且在上不单调.所以. 函数的定义域为：. . 令，则， 令，则由（1）得在处取得极小值，即最小值，最小值为. 所以. 当时，；当时，. 令，则. 令，则. 所以在和上各存在一个零点，分别记为，则，即. 所以当时，；当时，；当时，. 所以在和上各存在一个零点，分别为且. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 不妨设，则， 若，则； 若，则. 令， 则. 由知，. 所以. 令，则. 由，得， 令，则. 所以单调递增，即单调递增.所以. 所以单调递增，且，所以. 所以单调递增，所以，即. 所以，即，所以，即. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $