精品解析：吉林省吉林市第二十九中学2025-2026学年 八年级上学期期中考试数学试卷

吉林省吉林市第二十九中学2025-2026学年 八年级上学期期中考试数学试卷 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下面四个图案可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 2. 在中，，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，理解并掌握三角形内角和定理是解题关键．根据题意，设，结合三角形内角和定理解得的值，进而确定的值，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴，解得， ∴， ∴是直角三角形． 故选：B． 3. 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解： 如图， ∵是等腰底边上的高， ∴平分， ∴点F到直线，的距离相等， ∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：C． 4. 如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（ ） A. A B. B C. C D. D 【答案】C 【解析】 【分析】本题围绕最短路径问题展开，掌握利用轴对称性质，将折线转化为线段求最短路径是解题的关键． 要在直线上找一点使最短，根据两点之间线段最短及轴对称的性质，需作出其中一点关于直线l的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求点． 【详解】解：作出点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为使最短的点； 通过观察图形，可知该交点为点． 故选：C． 5. 如图，与关于直线对称，连接交对称轴于点，若，，则下列说法不正确的是（   ） A. 三角形与三角形的周长相等 B. 且 C. D. 连接，，则，，三条线段不仅平行而且相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图形的对称，熟练掌握对称图形的性质是解题的关键． 由与关于直线对称，三角形与三角形的周长相等，且，再利用三角形内角和定理可求得的度数，从而可判断并得到答案． 【详解】解：与关于直线对称， 三角形与三角形的周长相等，，且， 故A、B正确； ∵，， ， 故C正确； 与关于直线对称， ∴，但， 故D错误， 故选：D． 6. 如图，中，点、分别在、的延长线上，、的角平分线、交于点，过点作于点，于点，连结．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】对于①，利用角平分线的性质证明，从而得出平分；对于②，通过四边形内角和定理进行角度推导，得到；对于③，通过证明得到，，从而得出结论；对于④，利用和角平分线性质进行角度关系的推导． 【详解】①过点作于点 平分平分 又 平分．故①正确； ② ．故②错误； ③平分 在和中， , 同理可得 ．故③正确； ④是的外角， ， ．故④正确． 故答案选D 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、四边形内角和定理及三角形外角性质．通过作辅助线，构造全等三角形，利用角平分线性质进行角度和线段关系的推导是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，阴影部分是一个喷水池，现要修建两条通向水池的小道和，要求和所在的直线互相垂直．为了检验和是否垂直，小亮同学在水池外的平地上选定一个可直接到达点P和Q的点C，然后测得，，．请问：这样做和的位置关系是否垂直______（填是或否）． 【答案】是 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，延长，交于点，的延长线与交于点，根据三角形外角的性质结合已知条件得出，即可求解． 【详解】解：延长，交于点，的延长线与交于点，如图所示： 则． ． ． 故答案为：． 8. 若，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形概念，非负数的性质，以及三角形的三边关系，注意利用分类讨论思想解题． 根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a，b的值，根据等腰三角形的概念进行分类讨论，可得答案． 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得：，， 当4为等腰三角形的腰长，5为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为， 当5为等腰三角形的腰长，4为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为， 故答案为：或． 9. 命题：“如果两个图形成轴对称，那么这两个图形全等”的逆命题是________，这个逆命题是________（填“真”或“假”）命题． 【答案】 ①. “如果两个图形全等，那么这两个图形成轴对称” ②. “假” 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理．逆命题即将原命题的结论变为条件，原命题的条件变为结论． 【详解】解：逆命题是“如果两个图形全等，那么这两个图形成轴对称”，该命题是假命题． 故答案为：“如果两个图形全等，那么这两个图形成轴对称”，“假”． 10. 在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点到直线的距离，再根据对称性求出对称点到直线的距离，从而得到点的横坐标，即可得解． 【详解】∵点， ∴点到直线的距离为，∴点关于直线的对称点到直线的距离为3， ∴点的横坐标为， ∴对称点的坐标为. 故答案为． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，根据轴对称性求出对称点到直线的距离，从而得到横坐标是解题的关键，作出图形更形象直观． 11. 如图所示，，点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点、，连接交于M，交于N，则___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关定理和性质是解题的关键． 根据轴对称的性质得到，进而得到，可得到，再由三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】∵P点关于的对称是点，P点关于的对称点， ∴， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（每小题6分，共18分） 12. 如图，分别是的对应角的平分线，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定．根据全等三角形的性质得出，，，根据角平分线的定义求出，根据推出，即可证明结论成立． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵分别是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 13. 如图，四边形中，，平分，．求证：是等边三角形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握等边三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 14. 如图，在中，是中点，，，垂足分别是、，，求证：是的角平分线． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查学生对角平分线的判定，全等三角形的判定与性质等知识点的灵活运用． 先证明，再根据全等三角形的性质可得，证明，得到，最后根据角平分线的判定即可求解． 【详解】证明：是中点， ， ， ， ， 在和中， ， ， 即是的角平分线． 四、解答题（每小题7分，共21分） 15. 如图，在中，，，平分交于点D．若，求的长度． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理以及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据题意得到，证明，得到即可得到答案． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 16. 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁的中点，立柱、垂直于横梁，，立柱、要多长？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握并应用含30度角的直角三角形的性质；根据30度角所对的直角边是斜边的一半求解即可． 【详解】解：立柱、垂直于横梁， ， D是中点， ， ， ，． 17. 某高铁站入口的双翼闸机如图所示，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为．双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．一名旅客携带一件长方体行李箱进站，行帮箱规格为（长×宽×高，单位：cm）．当双翼收回进闸机箱内时，该旅客的行书箱是否可以通过闸机？请说明理由． 【答案】可以通过，见解析 【解析】 【分析】过点作垂直于点，过点作垂直于点，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：如图1，过点作垂直于点，过点作垂直于点． ∵，， ∴，． 当双翼收回进闸机箱内时，闸机入口宽度． ∵长方体行李箱长为，且， ∴当双翼收回进闸机箱内时，该旅客的行李箱可以通过闸机． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 五、解答题（每小题8分，共16分） 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴成轴对称的图形，并写出、、的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）画出图形见解析，、、的坐标为、、；（2）的面积为 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，写出坐标即可； （2）利用割补法求面积即可求解． 【详解】解：（1）画出图形如下： , 、、的坐标为、、； （2）的面积为． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中图形的对称、割补法求面积，根据轴对称的定义画出图形是解题的关键． 19. 如图，和均为等边三角形，连接、交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的应用，正确进行分类讨论是解决此题的关键． （1）由等边三角形的性质得，，，得出，即可证明； （2）根据是等边三角形得，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； 【小问1详解】 证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ， ∴， 【小问2详解】 解：是等边三角形， ， ， ， ． 六、解答题（每小题10分，共20分） 20. 如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，作于，由角平分线性质定理可得，结合题意推出，再由角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：如图，作于，    ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分． 21. 如图，点A，B分别在射线上运动（不与点O重合），分别是和的平分线，延长交于点G． （1）若，求的度数； （2）若，则= °；（用含的代数式表示） （3）如图，若，过点作交于点，求与的数量关系． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义、三角形外角的性质计算，得到答案； （2）仿照（1）的解法解答； （3）根据平行线性质得到，根据（2）的结论解答． 【小问1详解】 解：， ． 分别是和的平分线， ， 是的外角， ； 【小问2详解】 ， ． 分别是和的平分线， ， 是的外角， ， 故答案为：； 【小问3详解】 ， ． ． 由（）得． ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 22. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1 图2 图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； 【小问3详解】 第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当时，，如图③， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ②当时，，如图④， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ③当时，，如图⑤， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，解得， ∴； 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省吉林市第二十九中学2025-2026学年 八年级上学期期中考试数学试卷 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下面四个图案可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 3. 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4. 如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（ ） A. A B. B C. C D. D 5. 如图，与关于直线对称，连接交对称轴于点，若，，则下列说法不正确的是（   ） A. 三角形与三角形的周长相等 B. 且 C. D. 连接，，则，，三条线段不仅平行而且相等 6. 如图，中，点、分别在、延长线上，、的角平分线、交于点，过点作于点，于点，连结．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，阴影部分是一个喷水池，现要修建两条通向水池小道和，要求和所在的直线互相垂直．为了检验和是否垂直，小亮同学在水池外的平地上选定一个可直接到达点P和Q的点C，然后测得，，．请问：这样做和的位置关系是否垂直______（填是或否）． 8. 若，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为______． 9. 命题：“如果两个图形成轴对称，那么这两个图形全等”的逆命题是________，这个逆命题是________（填“真”或“假”）命题． 10. 在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标是_____． 11. 如图所示，，点P为内的一点，分别作出P点关于、的对称点、，连接交于M，交于N，则___． 三、解答题（每小题6分，共18分） 12. 如图，分别是的对应角的平分线，求证：． 13. 如图，四边形中，，平分，．求证：是等边三角形． 14. 如图，在中，是中点，，，垂足分别是、，，求证：是的角平分线． 四、解答题（每小题7分，共21分） 15. 如图，在中，，，平分交于点D．若，求的长度． 16. 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁的中点，立柱、垂直于横梁，，立柱、要多长？ 17. 某高铁站入口的双翼闸机如图所示，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为．双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．一名旅客携带一件长方体行李箱进站，行帮箱规格为（长×宽×高，单位：cm）．当双翼收回进闸机箱内时，该旅客的行书箱是否可以通过闸机？请说明理由． 五、解答题（每小题8分，共16分） 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴成轴对称图形，并写出、、的坐标； （2）求的面积． 19. 如图，和均为等边三角形，连接、交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 六、解答题（每小题10分，共20分） 20. 如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 21. 如图，点A，B分别在射线上运动（不与点O重合），分别是和的平分线，延长交于点G． （1）若，求度数； （2）若，则= °；（用含的代数式表示） （3）如图，若，过点作交于点，求与数量关系． 22. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1 图2 图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $