精品解析：黑龙江省绥化市第八中学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

初三数学期中测试题 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 二次根式中的x的取值范围是（　　） A. x＜﹣2 B. x≤﹣2 C. x＞﹣2 D. x≥﹣2 2. 下列计算正确的是（　　　） A. B. C. D. 3. 在三边分别为下列长度的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，， B. ，， C. 6，7，8 D. 2，3，4 4. 如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 6. 如图，在中，，．下列四个判断不正确的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 如果，那么四边形是矩形 C. 如果平分，那么四边形是矩形 D. 如果，且，那么四边形是菱形 7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 0 8. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（ jiā）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（ ） A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺 10. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为．，则的长为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在正方形中，M、N分别是的中点，交于点O，连接的延长线交的延长线于点P，下列四个结论，其中正确的有（ ） ①；②；③为等边三角形；④． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每题3分，共30分） 13. 化简：____ 14. 已知，，则______． 15. 如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为______元． 16. 如图，在平行四边形中，，平分交于点，交于点，则∠1＝______度． 17. 如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC. 在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是________． 18. 一个四边形的边长依次为a，b，c，d，且满足a2+b2+c2+d2＝2ac+2bd，则这个四边形为________． 19. 如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P和点Q的速度分别为和，则最快_____s后，四边形成为矩形． 20. 如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为___________． 21. 如图，正方形的边长为8，，N 为上一点，则的最小值为_______． 22. 如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为_____． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 计算： （1）； （2）． 24. 已知：，，求下列各式的值： （1）； （2）． 25. 如图，四边形是平行四边形，与交于点．点，点在上，且． 求证：四边形是平行四边形． 26. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE.过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF. 求证：（1）△ODE≌△FCE; （2）四边形OCFD是矩形． 27. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形； （3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积． 28. 如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若为中点，则当________时，四边形是正方形（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学期中测试题 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 二次根式中的x的取值范围是（　　） A. x＜﹣2 B. x≤﹣2 C. x＞﹣2 D. x≥﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】根据“二次根式有意义满足的条件是被开方数是非负数”，可得答案． 【详解】由题意，得 2x+4≥0， 解得x≥-2， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键． 2. 下列计算正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式的运算法则进行判断即可． 【详解】A. ，不是同类二次根式，不能合并，原答案错误； B. ，正确； C.，原答案错误； D. ，原答案错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算法则，熟悉相关运算法则是解题的关键． 3. 在三边分别为下列长度的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，， B. ，， C. 6，7，8 D. 2，3，4 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理，若三角形三边满足（其中c为最长边），则该三角形为直角三角形．依次验证各选项即可． 【详解】解：A：∵ ，∴ 能构成直角三角形． B：∵ ，∴ 不能构成直角三角形． C：∵，∴ 不能构成直角三角形． D：∵ ，∴ 不能构成直角三角形． 故选：A． 4. 如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE． 【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6， ∴AB==10， ∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合， ∴AE=BE，AD=BD=AB=5， 设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x， 在Rt△BCE中 ∵BE2=BC2+CE2， ∴x2=62+（8-x）2，解得x=， ∴CE==， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理． 5. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，且周长为28， ∴， ∵H为边的中点， ∴． 6. 如图，在中，，．下列四个判断不正确的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 如果，那么四边形是矩形 C. 如果平分，那么四边形是矩形 D. 如果，且，那么四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理和正方形的判定定理等知识点．两组对边分别平行的平行四边形是平行四边形；有一个角是的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；四个角是直角且四个边都相等的四边形是正方形，据此逐个判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故A选项正确，不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形，故B选项正确，不符合题意； C、∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，但是不能证明四边形是矩形，故C选项错误，符合题意； D、∵且， ∴平分， ∴同理可得四边形是菱形，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简．先根据数轴判断出a、b和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：由数轴可知：，，， ∴ ， 故选：B． 8. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐一分析选项，找出不符合条件的选项即可． 【详解】解：A．，，两组对边分别相等，符合平行四边形的判定定理，能判定为平行四边形，故A不符合题意； B．，，两组对边分别平行，符合平行四边形的定义，能判定为平行四边形，故B不符合题意； C．，，仅一组对边平行且另一组对边相等，无法保证四边形是平行四边形，例如，等腰梯形满足此条件，但不是平行四边形，故C符合题意； D．，，一组对边平行且相等，符合平行四边形的判定定理，能判定为平行四边形，故D不符合题意． 故选：C． 9. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（ jiā）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（ ） A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可. 【详解】设水池里的水深为x尺，由题意得： 解得：x=12 故选：C. 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理并能根据勾股定理正确的列出对应的方程式解题的关键. 10. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作DE⊥BC，交x轴于点E，根据题中已知条件：四边形ABCD为菱形，，可得，在中，利用三角函数即可求得AB、AO，进一步即可确定CE、DE长，即可求得D点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥BC，交x轴于点E， ∵， ∴， ∵四边形ABCD为菱形，， ∴，， 在中， ，， ∴，， ∴菱形ABCD边长为2，， ∴， 点D坐标为：， 故选：D． 【点睛】题目主要考查菱形的性质、运用特殊角的三角函数求边长等，难点主要是在坐标系中灵活运用这些性质． 11. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为．，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质得出，由已知条件得出，，由线段垂直平分线的性质得出，最后由勾股定理即可求出的长． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得： ， 故选：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 12. 如图，在正方形中，M、N分别是的中点，交于点O，连接的延长线交的延长线于点P，下列四个结论，其中正确的有（ ） ①；②；③为等边三角形；④． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质证明，即可证明①；根据和，运用等量代换即可证明②；根据M是的中点，运用直角三角形的性质即可证明③；根据条件证明即可证明④． 【详解】∵四边形是正方形 ∴ ∵M、N分别是的中点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故①正确； ∵ ∴， 由①知 ∴，故②正确； ∵M是的中点， ∴ ∴ ∴ ∴不可能为等边三角形，故③错误； ∵N是的中点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，故④正确 故选：B． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共30分） 13. 化简：____ 【答案】 【解析】 【详解】此题先把二次根式化简，再进行合并即可求出答案． 解： -=2-=． 故填：． 14. 已知，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】该题考查了因式分解的应用，将所求代数式因式分解后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ ，， ∴． 故答案为：6． 15. 如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为______元． 【答案】72000 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是知道在什么时候距离最短． 首先得出，然后利用其逆定理得到，根据垂线段最短确定最短距离，然后利用面积相等求得的长，最终求得最低造价． 【详解】解：∵， ， ， 要使公路的造价最低，则， ， ， 故这条公路的最低造价为：（元）， 故答案为：72000． 16. 如图，在平行四边形中，，平分交于点，交于点，则∠1＝______度． 【答案】50 【解析】 【分析】先利用平行四边形的性质，得，求得，再利用角平分线定义求，利用平行线性质，即可找到∠1与关系，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故填：50． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是通过平行线的性质找到角与角之间的关系． 17. 如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC. 在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是________． 【答案】（或或）（说明：答案有三类:一是一个内角为直角；二是相邻两角相等；三是对角互补） 【解析】 【详解】试题分析：根据平行四边形的判定先推出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可得出答案． 试题解析：添加的条件是∠A=90°， 理由是：∵AB∥DC，AB=DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠A=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形， 考点：1．矩形的判定；2．平行四边形的判定． 18. 一个四边形的边长依次为a，b，c，d，且满足a2+b2+c2+d2＝2ac+2bd，则这个四边形为________． 【答案】平行四边形 【解析】 【分析】等号右边有2ac和2bd，可移到等号的左边，作为完全平方式的第二项，把等号左边整理为两个完全平方式相加等于0的形式，让底数为0可得四边形边长的关系，进而可得四边形的形状． 【详解】解：∵a2+b2+c2+d2=2ac+2bd， ∴（a2-2ac+c2）+（b2-2bd+d2）=0， ∴（a-c）2+（b-d）2=0， ∴a-c=0，b-d=0， ∴a=c，b=d． ∴四边形是平行四边形， 故答案为平行四边形． 【点睛】本题主要考查利用完全平方公式来判定平行四边形，解题关键是结合因式分解. 19. 如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P和点Q的速度分别为和，则最快_____s后，四边形成为矩形． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，掌握有一个角是直角的平行四边形叫做矩形是解题的关键．根据矩形的判定定理，可知当时，四边形成为矩形，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∴当时，四边形为矩形 由题意得： ∴ ∴ 解得： 故答案为：4． 20. 如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC的长，再根据中位线性质，求出OF的长． 【详解】已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分， ∴AC⊥BD，在Rt△AOE中， ∵OE=3，OA=4， ∴根据勾股定理得， ∵AE=BE， ∴， 在Rt△AOB中， 即菱形的边长为， ∵点F为的中点，点O为DB中点， ∴ ． 故答案为 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键． 21. 如图，正方形的边长为8，，N 为上一点，则的最小值为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】连接交于，连接交于，根据正方形的性质推出关于对称，求出，在中勾股定理求出即可． 【详解】解：连接交于， ∵四边形是正方形， ， 即关于对称， ， 连接交于，则此时最小， ， ， ∵四边形是正方形， ， 由勾股定理得：， 的最小值为． 22. 如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为_____． 【答案】（）n﹣1 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=1，∠B=90°， ∴AC=； 同理可求：AE=，HE=，…， ∴第n个正方形的边长an=． 故答案为． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；正确进行计算是关键． （1）先根据平方差公式，二次根式的乘法计算，再计算加减即可； （2）先化简二次根式，再计算加减即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 24. 已知：，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，二次根式的混合运算，根据公式对原式进行化简是解题关键． （1）根据完全平方公式对原式进行变形，然后代入计算即可； （2）根据平方差公式对原式进行变形，然后代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， 则 ． 【小问2详解】 解：∵，， 则 ． 25. 如图，四边形是平行四边形，与交于点．点，点在上，且． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， 设与相交于点， ∴． ∵点，点在上，且， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定， 根据平行四边形的性质得，进而说明，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得出答案. 【详解】略 26. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE.过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF. 求证：（1）△ODE≌△FCE; （2）四边形OCFD是矩形． 【答案】 证明：（1）， ，. E是CD中点，， 又 (AAS) （2）， ，. ， 四边形OCFD是平行四边形， 平行四边形ABCD是菱形， . 平行四边形OCFD是矩形. 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，，根据AAS即可证明； （2）由（1）可得到，再根据菱形的性质得出，即可证明平行四边形OCFD是矩形. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题关键在于利用全等三角形的性质进行解答. 27. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形； （3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积． 【答案】（1） 证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）； （2） 证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB． ∵AD为BC边上的中线， ∴DB=DC， ∴AF=CD． ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC=90°，D是BC的中点， ∴AD=DC=BC， ∴四边形ADCF是菱形； （3）10． 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论； （2）由（1）可得AF=BD，结合条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形； （3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接DF， ∵AF∥BD，AF=BD， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF=AB=5， ∵四边形ADCF是菱形， ∴S菱形ADCF=AC▪DF=×4×5=10． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键，注意菱形面积公式的应用． 28. 如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若为中点，则当________时，四边形是正方形（直接写出答案）． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2） 四边形是菱形，理由如下： ∵是中点，， ∴， 由（）知，且，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，利用平行四边形对边相等得． （2）先证四边形是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线性质得，从而判定为菱形． （3）结合正方形的判定求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，四边形是正方形，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵是中点， ∴，即， 由（）知四边形是菱形， ∴菱形是正方形， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理与直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $