精品解析：河南省南阳市九师联盟2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册第一章～第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 3. 已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 7. 某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地（边长为8米）如图所示，，，分别是，，的中点，在场地中设置了一个半径为米的圆，圆与直线相切于点.比赛中，机器人从点出发，经过线段上一点，然后再到达圆，则机器人走过的最短路程是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 已知点A是椭圆C：（）的下顶点，F是C的右焦点，延长AF交C于点B，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线（其中为常数），则曲线可能为（ ） A. 平行于轴的两条直线 B. 单位圆 C. 焦点在轴上的双曲线 D. 焦点在轴上的椭圆 10. 已知直线与，则下列说法正确的是（ ） A. 若上恰有1个点到直线的距离为2，则 B. 若上恰有2个点到直线的距离为2，则的取值范围是 C. 若上恰有3个点到直线的距离为2，则 D. 若上恰有4个点到直线的距离为2，则的取值范围是 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是的右支上一点，过点作的切线与的两条渐近线分别交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为8 B. 存在点，使得 C. 点，的纵坐标之积为定值 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线：，直线：，若，则_____. 13. 已知抛物线C：的焦点为F，点，点M是抛物线C上一个动点，当取最小值时，点M的坐标为______． 14. 已知为坐标原点，，点是直线：上一点，若以为圆心，2为半径的圆上存在点，使得，则线段长度的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 直线与直线相交于点P，直线l经过点P. （1）若直线，求直线l的方程； （2）若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 16. 已知抛物线的焦点为F，P是C上一点，线段PF的中点为． （1）求C的方程； （2）若，O为原点，点M，N在C上，且直线OM，ON的斜率之积为2024，求证：直线MN过定点． 17. 已知双曲线的离心率是，焦距是6． （1）求的方程； （2）若直线与相交于A，B两点，且（为坐标原点），求的值． 18. 已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． （1）求圆的标准方程； （2）已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率； （3）判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 19. 已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4． （1）求椭圆C的方程； （2）若MA，NB的斜率分别为，，且 ①证明：直线MN过定点； ②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册第一章～第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直于轴即可得解. 【详解】直线垂直于轴，故所求倾斜角是. 故选：C. 2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的方程求得焦点和准线，即得答案. 【详解】由题意知该抛物线的焦点为， 准线方程为， 故焦点到准线的距离为2． 故选：B． 3. 已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程得到，从而根据焦距得到方程，求出，求出答案. 【详解】双曲线中，， 又焦距为4，故，解得，故，解得， 所以的渐近线方程为. 故选：B 4. 已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两圆方程作差即可求得公共弦的方程. 【详解】根据已知条件， ：，化为：， ：，化为：， 因为两圆相交，所以两圆方程相减得：， 所以直线的方程为：. 故选：A 5. 已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，求出直线、的斜率，观察直线在绕着点旋转时，直线的倾斜角的变化，即可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示： ，， 当直线从的位置旋转至与的位置靠近时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则； 当直线从靠近的位置旋转至的位置时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：A. 6. 已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆的定义知，利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动， 所以. 所以，所以（当且仅当时等号成立）. 所以. 即的最小值为1. 故选：A 7. 某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地（边长为8米）如图所示，，，分别是，，的中点，在场地中设置了一个半径为米的圆，圆与直线相切于点.比赛中，机器人从点出发，经过线段上一点，然后再到达圆，则机器人走过的最短路程是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出直线方程为，得到点关于直线的对称点，连接，与交于点，与圆交于点，所以即为机器人走过的最短路程，利用两点间距离公式求出答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设直线的方程为，将代入得，故直线方程为， 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 故， 连接，与交于点，与圆交于点， 则， 所以即为机器人走过的最短路程， 其中， 故. 故选：A 8. 已知点A是椭圆C：（）的下顶点，F是C的右焦点，延长AF交C于点B，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，用表示点B的坐标，代入椭圆C的方程结合，利用椭圆的离心率求解即可. 【详解】设椭圆C的焦距为2c，，则，， 所以，， 因为，所以，即，即， 因为点B在椭圆C上，所以， 则，得到C的离心率为． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线（其中为常数），则曲线可能为（ ） A. 平行于轴的两条直线 B. 单位圆 C. 焦点在轴上的双曲线 D. 焦点在轴上的椭圆 【答案】BC 【解析】 【分析】根据圆，双曲线，椭圆的方程特征，依次分析各选项即可. 【详解】对于A，当，即时，，表示平行于轴的两直线，故A错误； 对于B，当时，，表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，故B正确； 对于C，当，即或时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对于D，当，且时，则，所以， 因此曲线表示焦点在轴上的椭圆，故D错误. 故选：BC. 10. 已知直线与，则下列说法正确的是（ ） A. 若上恰有1个点到直线的距离为2，则 B. 若上恰有2个点到直线的距离为2，则的取值范围是 C. 若上恰有3个点到直线的距离为2，则 D. 若上恰有4个点到直线的距离为2，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆上点的个数到直线的距离为2，数形结合得到圆心到直线的距离或距离范围，得到方程或不等式，求出答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， A选项，要想圆上恰有1个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离为， 即，解得，A正确； B选项，要想圆上恰有2个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离大于，小于， 即，解得，B错误； C选项，圆上恰有3个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离等于1， 即，解得，C正确； D选项，圆上恰有4个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离小于1， 即，解得，D正确. 故选：ACD． 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是的右支上一点，过点作的切线与的两条渐近线分别交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为8 B. 存在点，使得 C. 点，的纵坐标之积为定值 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，由，可判定A正确；假设存在点，，可判断B；设直线的方程为，求得切点的纵坐标，与渐近线联立方程组求得交点的坐标，计算可判断C，利用中点坐标公式可判断D. 【详解】由题意，双曲线，可得，，则， 所以焦点，，设，则，且，即， 由，故A正确； 假设存在点，设，则，且，即， 所以， 所以不存在点，使得，故B错误； 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由,得， 又直线与相切，所以，整理得， 所以，即0，解得， 即点的纵坐标为. 不妨设直线与的交点为，与的交点为， 由，解得，即点的纵坐标为， 由，解得，即点的纵坐标为， 则点，的纵坐标之积为，故C正确； 因为， 所以点是线段的中点，所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：设切线方程与椭圆方程联立，求得切点坐标的纵坐标，与渐近线交点的纵坐标，进而利用代数运算求得结果，体现了平面解析几何的坐标法解决几何问题的特点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线：，直线：，若，则_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用两直线平行的充要条件列式求解. 【详解】由直线：与直线：平行，得，解得， 所以. 故答案为：2 13. 已知抛物线C：的焦点为F，点，点M是抛物线C上一个动点，当取最小值时，点M的坐标为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合图象，转化，利用数形结合，求最小值，即可求点的坐标. 【详解】分别过M，A作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为，，则，当且仅当A，M，三点共线时，等号成立，所以的最小值为，此时点M的坐标为． 故答案为： 14. 已知为坐标原点，，点是直线：上一点，若以为圆心，2为半径的圆上存在点，使得，则线段长度的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求得点的轨迹方程，从而可得圆与圆相交，列出不等式，可得的范围，再由两点间距离公式代入计算，即可得到范围. 【详解】由题意可设， 则圆的方程为， 若圆上存在点，使得，设， 则，化简可得， 故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点也在圆上，所以圆与圆有交点， 所以，即，解得， 又， 所以，即线段长度的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 直线与直线相交于点P，直线l经过点P. （1）若直线，求直线l的方程； （2）若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）先求点坐标，由垂直关系得斜率后求解， （2）由题意得过原点或斜率为后求解 【小问1详解】 联立得即. 因为，不妨设直线l的方程为， 将点代入，得， 所以直线l的方程为. 【小问2详解】 当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是，即； 当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为， 将点代入，得， 所以直线l的方程为，即. 综上所述，直线l的方程是或. 16. 已知抛物线的焦点为F，P是C上一点，线段PF的中点为． （1）求C的方程； （2）若，O为原点，点M，N在C上，且直线OM，ON的斜率之积为2024，求证：直线MN过定点． 【答案】（1），或 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，根据线段PF的中点坐标得到，，然后代入到抛物线方程中，解方程得到即可得到抛物线的方程； （2）设直线的方程，然后与抛物线方程联立，利用直线OM，ON的斜率之积为2024和韦达定理列方程得到，即可得到直线MN过定点. 【小问1详解】 解：由题意得，设， 因为线段PF的中点为， 所以，，所以，， 代入C的方程得， 解得，或， 所以C的方程为，或． 【小问2详解】 证明：因为，所以C的方程为， 设，，直线MN的方程为， 与联立，得， 则，， 因为直线OM，ON的斜率之积为2024， 所以， 所以． 直线MN的方程为，故直线MN过定点． 17. 已知双曲线的离心率是，焦距是6． （1）求的方程； （2）若直线与相交于A，B两点，且（为坐标原点），求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意求出、，即可求出，从而求出方程； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，再根据数量积的坐标表示得到方程，代入，求出的值. 【小问1详解】 因为双曲线：（，）的离心率是，焦距为6， 所以，，其中，解得，， 所以. 所以的方程为. 【小问2详解】 如图， 设，， 联立方程消去得， 因为直线：与相交于，两点， 所以，即且， 由韦达定理得， 又，， 所以， 所以， 将韦达定理代入上式，得， 即，解得，满足且. 18. 已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． （1）求圆的标准方程； （2）已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率； （3）判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，理由如下： 设的方程为， 由题意得，圆心到的距离，解得， 圆心到的距离，解得， 故， 由垂径定理得， 解得或，均不满足要求， 故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且. 【解析】 【分析】（1）设出圆心，由得到方程，求出，得到圆心，进而求出半径，得到圆的标准方程； （2）设，则，设出切线方程，由到切线的距离为1得到方程，又，化简得到，解得，代入切线方程，化简得到，根据到的距离得到或，联立，求出，舍去不合要求的解，求出，故的斜率为； （3）设的方程为，由直线与两圆的位置关系得到不等式，求出，由垂径定理和，解得或，均不满足要求，故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且. 【小问1详解】 设圆的圆心为，由得 ，解得， 故圆心为，半径为， 故圆的标准方程为； 【小问2详解】 设，则， 显然过点的切线斜率存在， 过点的切线方程设为， 圆心到切线的距离为1，即， 即， 又，故，即，解得， 故，即，即， 圆心到的距离为2，即， 故或，解得或， 若，联立，解得，与矛盾，舍去， 若，联立，解得或0（舍去）， 故，所以， 故的斜率为； 【小问3详解】 略 【点睛】过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 19. 已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4． （1）求椭圆C的方程； （2）若MA，NB的斜率分别为，，且 ①证明：直线MN过定点； ②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值． 【答案】（1） （2）①证明见解析 ；② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性，即可结合面积公式求解； （2）①联立直线与椭圆的方程，得韦达定理，进而根据斜率公式，代入化简即可求解；②求解两直线的方程，联立可得，，，，继而根据两点距离，代入韦达定理化简即可求解. 【小问1详解】 根据椭圆的对称性知，仅当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形AMBN为菱形， 由，，得，， 所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 ①证明：依题意，直线MN的斜率不为零，设直线MN的方程为，，， 由消去x整理得， 则，，， 而，，则，， 因此 ， 解得， 所以直线MN：恒过定点． ②解：由（ⅰ）知，，，得， 直线AM的方程为，直线BN的方程为， 则， 即，解得， 即可得点有，， 同理可得点有， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $