精品解析：江苏省徐州市沛县第五中学2025-2026学年上学期九年级数学期中模拟 试题

九年级期中模拟调研 数 学 试 题 一、选择题：（每题3分，共24分） 1. 用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程， 先将常数项移项，再方程两边加上一次项系数一半的平方，形成完全平方式即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 故选：D． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 等弧所对的圆心角相等 B. 三角形的外心到这个三角形的三边距离相等 C. 经过三点可以作一个圆 D. 相等的圆心角所对的弧相等 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了圆的相关性质，根据圆的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 等弧所对的圆心角相等，选项正确，符合题意； B. 三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，选项错误，不符合题意； C. 经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，选项错误，不符合题意； D. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，选项错误，不符合题意； 故选：A 3. 已知的半径是，线段的长为，则点P（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的大小关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：∵的半径是，线段的长为， ∴点P到圆心的距离小于圆的半径， ∴点P在内． 故选：C． 4. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理即可得． 【详解】解：∵， ∴由圆周角定理得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 5. 坐标平面上，若移动二次函数 的图像，使其与 轴交于两点，且此两点的距离为个单位，则移动方式可为（ ） A. 向上平移 个单位 B. 向右平移个单位 C. 向下平移 个单位 D. 向下平移 个单位 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数平移与交点距离的关系，通过顶点式简化计算，垂直平移改变交点距离．原函数可化为顶点式 ，其与轴交点距离为 ，通过垂直平移改变函数，使平移后与轴交点距离为，设垂直平移个单位，新函数为，令 得交点距离 ，解得，即向下平移 个单位． 【详解】解： 原函数 ， 可化为， 当时， 可得：， 解得：，， 抛物线与轴两交点距离为， 设垂直平移个单位，新函数为， 令 ，则 ， 解得：， 交点距离为 ， 令 ， 解得：，即， ∴ ， 故向下平移 个单位，与轴交点距离为 ． 故选： C ． 6. 如图1，点M表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆．若被水面截得的弦长为，则在水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作半径于E，如图，利用垂径定理得到再利用勾股定理计算出，然后计算出的长即可． 【详解】解：过点作半径于E， m， 在中，， ． 答：水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度为． 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理，关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 7. 对二次函数的图象下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为 C. 当时随增大而增大 D. 最小值是4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数顶点式的性质分析各选项。顶点坐标为，对称轴为，开口方向由a的正负决定。当时，开口向上，有最小值k，且在对称轴右侧y随x增大而增大． 【详解】解：函数为， 故顶点坐标为，选项A的顶点坐标错误， 对称轴为，选项B中“”错误． ，开口向上，当时，y随x增大而增大，选项C正确． 开口向上时最小值为，选项D中“最小值是4”错误． 故选：C． 8. 如图，二次函数的图象与轴正半轴相交，其顶点坐标为，且抛物线与轴的一个交点的横坐标在与之间，下列结论①；②；③；④；⑤．其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①根据图示知，抛物线开口方向向下，则． 对称轴，则， 抛物线与轴交于正半轴，则， ． 故①正确； ②抛物线与轴有两个交点， ， 故②正确； ③，即时，，对称轴为直线， 当时， 故③不正确； ④顶点坐标为，则抛物线的对称轴直线， ， ． 故④正确； 根据图象，抛物线与轴的一个交点的横坐标在与之间， ∴当时，则，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有个． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数的系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为____________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可，设是一元二次方程的两个根，则，． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：12． 10. 若二次函数的图像与轴没有公共点，则的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与x轴的交点，解题的关键在于掌握：的图象与x轴没有交点，即无解． 由二次函数的图象与x轴没有交点，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图像与轴没有公共点， ∴， 解得． 故答案为： ． 11. 抛物线先沿轴向右平移4个单位长度，再沿轴向上平移2个单位，则平移后抛物线对应的函数表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移；根据“左加右减、上加下减”的规律，进行解答即可． 【详解】抛物线先沿轴向右平移4个单位长度，再沿轴向上平移2个单位，则平移后抛物线对应的函数表达式是， 故答案为：． 12. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式大于零有两个不相等实数根，即可解出答案． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根 ∴ 解得 故答案：且． 【点睛】本题主要考查了根的判别式知识点，准确记住判别式的公式是解题关键． 13. 若圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为__________度． 【答案】160 【解析】 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．圆锥的底面半径为，则底面圆的周长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是，母线长为即侧面展开图的扇形的半径长是．根据弧长公式即可计算． 【详解】解：根据弧长的公式得到： ， 解得． 即侧面展开图的圆心角为160度． 故答案为：160． 14. 如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】设的内切圆切三边于点，连接，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，得四边形是正方形，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、， 由切线长定理可知，，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 则四边形是正方形， ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质． 15. 如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则______°． 【答案】33 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，三角形的外角以及等腰三角形的性质，已知圆的切线常用的辅助线是连接圆心和切点． 连接，根据切线的性质可得是直角三角形，则的度数即可求得，然后根据等腰三角形的外角的性质即可求得． 【详解】解：连接， ∵是圆的切线， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：33． 16. 如图，是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点，若C为的中点，，则的最小值是______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称的性质、垂径定理、弧、圆心的关系及含30度直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、垂径定理、弧、圆心的关系及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 由题意易得则有，然后可得，过点C作，并延长，交于点H，则有当点O与点P重合时，有最小值，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ， ∵点C为的中点， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点C作，并延长，交于点H，如图所示： ， ∴点C与点H关于对称， ∴， ∴， ∴点E、O、H三点共线， 由轴对称的性质可知：的最小值为点O与点P重合时，如图，即最小值为， ∴， 即C为的中点，时，的最小值为18； 故答案为：18． 三、解答题（本大题共10题，共92分） 17. 解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程， （1）利用因式分解法法求解即可． （2）利用因式分解法法求解即可． 熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键． 【小问1详解】 ∵， ∴， 解得． 【小问2详解】 ∵, ∴， ∴， 解得． 18. 如图，在中，． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， ∴； （2） 证明：在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由得出，即，即可得证； （2）证明，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为50元个，测算在市场中，当售价为60元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？ 【答案】（1） （2）70 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔6月份的销售量=该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，则每个该品牌头盔的销售利润为元，月销售量为个，利用总利润=每个该品牌头盔的销售利润月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，则每个该品牌头盔的销售利润为元，月销售量为个， 根据题意得：， 解得，， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． ∴该品牌头盔的实际售价应定为70元/个． 20. （1）如图，在方格纸中，A、B两点在圆上，且均为格点，仅用无刻度的直尺按要求完成做图．请在图①作出该圆的圆心O； （2）尺规作图：请在图2中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N． 【答案】（1）如图，圆心O即为所求作； （2）如图，即为所求作． 【解析】 【分析】本题考查网格作图，圆周角定理推论，的圆周角所对弦是直径、角平分线的性质及切线的判定； （1）取格点E，连接并延长与圆交于点C，得到，连接得到为直径，与格线的交点即为圆心； （2）作的角平分线，过点M作的垂线交于点O，以点O为圆心，长为半径作圆，则与相切于点N． 【详解】解：（1）连接， ， ， ， 是圆的直径， 与格线的交点即为圆心O，圆心O即为所求作； （2）平分， ∴点O到的距离等于， 则与分别相切于点M、N． 21. 已知二次函数抛物线经过，． （1）求抛物线的表达式，并画出这个函数的图像； （2）根据图像，直接写出： ①当函数值时，自变量的取值范围； ②当时，函数值的取值范围． 【答案】（1），图像如下： ． （2）① ② 【解析】 【分析】(1)把坐标代入解析式转化方程组计算即可． (2) ①计算抛物线与轴的交点坐标，根据题意计算即可． ②利用数形结合思想计算即可．熟练掌握抛物线的性质，待定系数法是解题的关键． 【小问1详解】 ∵二次函数抛物线经过，． ∴ 解得， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 ①根据题意，得， 解得， 当函数值时，自变量的取值范围是． ②∵， ∴对称轴为直线， ∴在自变量范围内， ∴函数值的最大值为； ∵抛物线开口向下， ∴距离对称轴越近，函数值越大， ∵， ∴，函数值最小，， 故函数值的取值范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法，函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 22. 如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 直线与相切，理由：如图，连接， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； （2）图中阴影部分的面积 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据圆周角定理得到，解直角三角形得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如（1）中图， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形 的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 23. 用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的菜园，有如下两种方案． 方案一：如图①，围成一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边，， 用篱笆，其中； 方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径是墙，其余用篱笆； 小明同学认为方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积，请你通过计算说明小明同学说法是否正确？ 【答案】 解：小明同学说法不正确，理由如下： 方案一：设边长为，矩形面积为，则边长为， ， ， ∴当时，有最大值为， 此时，满足题意； 方案二：设，扇形菜园面积为，则弧长为， ， ， ∴当时，有最大值为， ∴两种方案最大面积相等，小明同学说法不正确． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确列出函数解析式是解答本题的关键．方案一：设边长为，矩形面积为，则边长为，列出二次函数解析式并求出最大值；方案二：设，扇形菜园面积为，则弧长为，列出二次函数解析式并求出最大值；比较两个最大值得出结论即可． 【详解】略 24. 【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 【答案】（1）①；②；（2） 【解析】 【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用含角的直角三角形的性质求解即可． （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明，则，进一步证明，当是直径时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， 故答案为：60． ②作圆的直径，连接， 则 ∵圆的半径为5， ∴， ∵， ∴. ∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值， 即的最大值是． 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 25. 如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线上方抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，的面积有最大值？并求的面积的最大值； （3）抛物线上是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式 （2）当时，的面积有最大值，最大值为 （3）点M的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）作轴于点D，交于点E，根据列出二次函数解析式，并求出最值即可； （3）过点M作轴于点F，交直线于点K，作于点E，求出，设，则，可求出，，根据题意有，解出m的值可得答案． 【小问1详解】 解：把代入，则， 解得：， ， 把代入， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：作轴于点D，交于点E， 设，则， ， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， ； 综上所述，当时，的面积有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下： 过点M作轴于点F，交直线于点K，作于点E， 在中，当时，， 解得：， ， ， ， ， 设，则， ， ， ∵的面积等于面积的一半， ， ， 或， 解得：或， ∴点M的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中模拟调研 数 学 试 题 一、选择题：（每题3分，共24分） 1. 用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 等弧所对的圆心角相等 B. 三角形的外心到这个三角形的三边距离相等 C. 经过三点可以作一个圆 D. 相等的圆心角所对的弧相等 3. 已知的半径是，线段的长为，则点P（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不能确定 4. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 坐标平面上，若移动二次函数 的图像，使其与 轴交于两点，且此两点的距离为个单位，则移动方式可为（ ） A. 向上平移 个单位 B. 向右平移个单位 C. 向下平移 个单位 D. 向下平移 个单位 6. 如图1，点M表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆．若被水面截得的弦长为，则在水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度为（ ） A. B. C. D. 7. 对二次函数的图象下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为 C. 当时随增大而增大 D. 最小值是4 8. 如图，二次函数的图象与轴正半轴相交，其顶点坐标为，且抛物线与轴的一个交点的横坐标在与之间，下列结论①；②；③；④；⑤．其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为____________． 10. 若二次函数的图像与轴没有公共点，则的取值范围是___________． 11. 抛物线先沿轴向右平移4个单位长度，再沿轴向上平移2个单位，则平移后抛物线对应的函数表达式是________． 12. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 13. 若圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为__________度． 14. 如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为_________． 15. 如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则______°． 16. 如图，是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点，若C为的中点，，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共10题，共92分） 17. 解下列方程． （1）； （2）． 18. 如图，在中，． 求证： （1）； （2）． 19. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为50元个，测算在市场中，当售价为60元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？ 20. （1）如图，在方格纸中，A、B两点在圆上，且均为格点，仅用无刻度的直尺按要求完成做图．请在图①作出该圆的圆心O； （2）尺规作图：请在图2中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N． 21. 已知二次函数抛物线经过，． （1）求抛物线的表达式，并画出这个函数的图像； （2）根据图像，直接写出： ①当函数值时，自变量的取值范围； ②当时，函数值的取值范围． 22. 如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 23. 用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的菜园，有如下两种方案． 方案一：如图①，围成一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边，， 用篱笆，其中； 方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径是墙，其余用篱笆； 小明同学认为方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积，请你通过计算说明小明同学说法是否正确？ 24. 【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 25. 如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线上方抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，的面积有最大值？并求的面积的最大值； （3）抛物线上是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $