精品解析：四川省绵阳市涪城区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年九年级上学期期中（数学）试卷 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， 故选：C． 3. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，符合题意； B、，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、， 未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； D、，当时，原方程不是一元二次方程，不符合题意． 故选：A． 4. 将一元二次方程化成一般形式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式成为解题的关键． 先运用平方差公式计算等式的左边，然后移向整理成一元二次方程的一般式即可． 【详解】解：， ， ． 故选B． 5. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解题时要熟悉一元二次方程的两根满足是关键．据此进而可以判断得解． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴． 故选：A． 6. 某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（ ） A. x(x-11)=180 B. 2x+2(x-11)=180 C. x(x+11)=180 D. 2x+2(x+11)=180 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可． 【详解】设宽为x米，则长为（x+11）米，根据题意得：x（x+11）=180． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积公式列出方程． 7. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式，直接确定对称轴即可. 本题考查了抛物线顶点式确定对称轴，熟练掌握顶点式是解题的关键. 【详解】解：抛物线的解析式为， 故抛物线对称轴为直线. 故选：D. 8. 如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确结论的个数为(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由水面宽时，拱顶离水面，可知点在函数图象上， 将代入中，得， 解得， 故抛物线的解析式为， 故①错误； 当水面宽度为时，即，把代入得： ． 原来水面宽时，则水面下降的高度为， 所以②正确． 当水面下降时，即，把代入得： ，则，解得，此时水面宽度为， 原来水面宽，水面宽度增加了， 所以③正确． 综上，正确结论②③，共2个， 故选：C． 9. 已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据当时和当时，然后结合一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由题意得： 当时，即，方程变为，该方程有实数根，符合题意； 当时，即，方程要有实数根，则需满足： ， 解得：； 故选：A． 10. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为，即， 故选：A． 11. 抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】直接观察图象，抛物线与x轴交于，对称轴是直线，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而求得关于x的一元二次方程的解． 【详解】观察图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为， ∴一元二次方程的解为，． 故选：D． 【点睛】本题考查了用函数图像解一元二次方程的方法．一元二次方程的解实质上是抛物线与x轴交点的横坐标的值． 12. 若二次函数的图象经过，，三点，则y1，y2，y3的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴图象的开口向上，对称轴是直线，则当时，y随x的增大而减小， 关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：D． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 13. 关于x的方程是一元二次方程，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，二次项指数必须为2且系数不为零计算即可． 【详解】解：由一元二次方程的定义，得且， 解方程，得或， 因为，所以， 因此． 故答案为：． 14. 已知关于x的二次函数，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到二次函数开口向上，对称轴为直线，则在对称轴左侧y随x的增大而减小，然后根据题意得到，求解可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系、代数式求值，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此得到，即可求解． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故答案为：5． 16. 已知拋物线的对称轴是直线，若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称轴是直线，得到，设另一根为m，根据根与系数的关系得，然后求出另一根即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， 设另一根为m， 根据根与系数的关系得， 解得， 即方程的另一个根为． 故答案为：． 17. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为_____m． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点， 则：O为原点，，； 设函数解析式为，把A点坐标代入得， ∴抛物线解析式为， 当水面上升1.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴此时的水面宽度为m 故答案为2． 18. 如图，二次函数的图象，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，由二次函数的图象的对称性得抛物线与轴的一个交点为，由轴的上方的图象对应的函数值大于，即可求解；会利用二次函数图象解不等式是解题的关键． 【详解】解：由图像得，对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点为， 抛物线与轴的一个交点为， 轴的上方的图象对应的函数值大于， 当时，； 不等式的解集为， 故答案：． 三．解答题（共7小题，共46分） 19. 解方程 （1）； （2）； （3）（配方法）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法． （1）先移项，再提取公因式，因式分解即可求解； （2）将方程左边进行因式分解，化为，再解一元一次方程即可求解； （3）先移项得，再把方程两边都加上4得，左边配成完全平方式，然后利用直接开平方法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ∴或， 解得：，； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ∴， ∴，． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）求证：无论k为何值，方程总有一个固定的根． 【答案】（1） 证明：， ， 方程总有两个实数根； （2） 解：， ， ∴无论k为何值，方程总有一个固定的根是2． 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，解方程． （1）计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）利用公式法解方程得，，进而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某超市需购进某种商品，每件的进价为元．该商品的销售单价不低于进价，且不高于元，在销售过程中发现，该商品的日销售量件与销售单价元之间存在一次函数关系，，之间的部分数值对应关系如下表： （1）求与之间的函数关系式； （2）设该商品的日销售利润为元，求与之间的函数关系式．当该商品的销售单价为多少元时，销售这种商品的日销售利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1） （2）当定价为元时，日销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求一次函数的表达式即可； （2）根据日销售利润单件利润日销售量，列出与之间的函数关系式，进一步求解即可； 【小问1详解】 解：设，由题意得： 解得： ∴ 【小问2详解】 解：由题意得： 此二次函数的对称轴为直线： ∵ ∴当时，w随x的增大而增大； ∴时， ∴当定价为元时，日销售利润最大，最大利润是元 【点睛】本题考查了求一次函数的表达式、二次函数的实际应用、二次函数的性质；熟练根据题意列出相对应的函数表达式是解题的关键． 22. 已知二次函数． （1）画出这个函数的图象； （2）根据图象，求出当时，的取值范围？ 【答案】（1） 函数图象如下所示： （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数与不等式之间的关系： （1）先列表，再描点画出对应的函数图象即可； （2）找到二次函数图象在x轴下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：列表如下： … 0 1 2 3 … … 0 2 0 … 【小问2详解】解：由函数图象可知，当二次函数图象在x轴下方时，或， ∴当时，或 23. 在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 （1）根据上表，请确定抛物线的表达式； （2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 【答案】（1）抛物线的表达式 （2）水火箭距离地面的竖直高度米 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质， 根据题意可设抛物线的表达式，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为，代入求解即可； 由题意知，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度． 【小问1详解】 解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式， 由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得， 则抛物线的表达式， 【小问2详解】 解：由题意知，则， 那么，水火箭距离地面的竖直高度米． 24. 如图，各顶点的坐标分别是，，． （1）在图中画出绕原点O逆时针转后的； （2）在（1）的条件下，边扫过的面积是_________． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质确定A、B、C对应的的位置，然后顺次连接即可得到答案； （2）根据题意可知边扫过的面积可表示为，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得，，， ∵边扫过的面积为闭合区域的面积，而， ∴边扫过的面积可表示为 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，画旋转图形，勾股定理，求不规则图形面积，正确画出旋转后的图形是解题的关键． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的解析式，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用待定系数法将A，B两点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可求得结论； （2）利用抛物线解析式求得点C坐标，利用点的坐标表示出线段，，的长度，根据三角形的面积公式即可求得结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：令，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中（数学）试卷 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 4. 将一元二次方程化成一般形式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 6. 某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（ ） A. x(x-11)=180 B. 2x+2(x-11)=180 C. x(x+11)=180 D. 2x+2(x+11)=180 7. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 8. 如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确结论的个数为(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 10. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 11. 抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A. B. ， C. ， D. ， 12. 若二次函数的图象经过，，三点，则y1，y2，y3的关系是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 13. 关于x的方程是一元二次方程，则____． 14. 已知关于x的二次函数，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_______． 15. 若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_________． 16. 已知拋物线的对称轴是直线，若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 17. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为_____m． 18. 如图，二次函数的图象，则不等式的解集是________． 三．解答题（共7小题，共46分） 19. 解方程 （1）； （2）； （3）（配方法）． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）求证：无论k为何值，方程总有一个固定的根． 21. 某超市需购进某种商品，每件的进价为元．该商品的销售单价不低于进价，且不高于元，在销售过程中发现，该商品的日销售量件与销售单价元之间存在一次函数关系，，之间的部分数值对应关系如下表： （1）求与之间的函数关系式； （2）设该商品的日销售利润为元，求与之间的函数关系式．当该商品的销售单价为多少元时，销售这种商品的日销售利润最大?最大利润是多少? 22. 已知二次函数． （1）画出这个函数的图象； （2）根据图象，求出当时，的取值范围？ 23. 在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 （1）根据上表，请确定抛物线的表达式； （2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 24. 如图，各顶点的坐标分别是，，． （1）在图中画出绕原点O逆时针转后的； （2）在（1）的条件下，边扫过的面积是_________． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $