1.1.3 第2课时 全集与补集-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

第2课时　全集与补集

1．全集的含义是什么？

2．补集的含义是什么？

3．如何理解“∁UA”的含义？

4．如何用Venn图表示∁UA？

1．全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示．全集包含所要研究的这些集合．

1．在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？

[提示]　全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．

2．补集：(1)定义：设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作∁UA．

(2)符号：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．

(3)Venn图

(4)补集的性质

①A∪(∁UA)＝U．

②A∩(∁UA)＝∅．

③∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A．

④(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)．

⑤(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．

2．∁UA，A，U三者之间有什么关系？

[提示]　A⊆U，∁UA⊆U，A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)数集问题的全集一定是R． (　　)

(2)集合∁BC与∁AC相等． (　　)

(3)A∩∁UA＝∅． (　　)

(4)一个集合的补集中一定含有元素． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，则∁UM＝________．

{2，4，6}　[因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，所以∁UM＝{2，4，6}．]

类型1　补集运算

【例1】　【链接教材P10例7】

已知全集U，A＝{x|2<x≤3}，∁UA＝{x|x>3}，B＝{x|4≤x＜6}，求∁UB．

[解]　因为A＝{x|2<x≤3}，∁UA＝{x|x>3}，如数轴：

所以U＝A∪(∁UA)＝{x|x>2}，

所以∁UB＝{x|2<x<4，或x≥6}．

【教材原题·P10例7】

例7　设全集U＝{x|x是小于10的正整数}，A＝{2，4，6，8}，B＝{2，3，5，7}，求∁UA，∁UB．

[解]　依题意知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，因为A＝{2，4，6，8}，B＝{2，3，5，7}，所以∁UA＝{1，3，5，7，9}，∁UB＝{1，4，6，8，9}．

　求集合补集的两种方法

(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；

(2)当集合是用描述法表示的连续实数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．

[跟进训练]

1．(1)设集合A＝，B＝，则∁AB＝(　　)

A． 　 B．

C． 　 D．

(2)设全集U＝{1，2，6，8，9}，集合A＝{1，|a－6|，9}，∁UA＝{6，8}，则a的值是(　　)

A．4 　 B．8

C．－4或8 　 D．4或8

(1)C　(2)D　[(1)因为A＝，所以∁AB＝，故选C．

(2)A＝∁U(∁UA)＝{1，2，9}＝{1，|a－6|，9}，

∴|a－6|＝2，解得a＝4或8，故选D．]

类型2　交、并、补的综合运算

【例2】　【链接教材P10例8】

设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B．

[解]　把全集R和集合A，B在数轴上表示如下：

由图知，A∪B＝{x|2<x<10}，

∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}，

∵∁RA＝{x|x<3，或x≥7}，

∴(∁RA)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}．

【教材原题·P10例8】

例8　设全集U＝R，A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞3}，求：

(1)∁R(A∩B)；

(2)∁R(A∪B)；