1.3 集合的基本运算（题型专练）数学北师大版2019必修第一册

1.3集合的基本运算 题型一：交集的运算 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．若集合，则（ ） A． B． C． D． 题型二：并集的运算 1．已知集合，，则（ ）． A． B． C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．若集合，则（ ） A． B． C． D． 题型三：补集的运算 1．已知全集，则（ ） A． B． C． D． 2．设全集，集合，则的值为（ ） A． B．和 C． D． 3．（多选）设全集，集合，若，则（ ） A． B． C． D．， 题型四：交、并、补的运算 1．已知全集，集合，则为（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C．或 D．或 3．（多选）设全集，集合，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．集合的真子集个数为8 4．（多选）已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（ ） A． B．A的不同子集的个数为8 C． D． 题型五：有限集合交、并、补的运算 1．已知集合，，若，则（ ） A． B．6 C．5 D． 2．已知集合，若，则所有符合条件的实数组成的集合是（ ） A． B． C． D． 3．设集合，，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，集合，若，则实数的取值集合为___________________. 5．已知集合，且，若，. (1)求集合A、B； (2)求p，q，r. 题型六：韦恩图 1．如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A． B． C． D． 2．如图所示，全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 3．（多选）如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（ ） A． B． C． D． 4．（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A． B． C． D． 题型七：无限集合交、并、补的运算 1．已知集合，若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，.若，则实数a的取值范围是_____________. 5．已知集合. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 题型八：容斥定理 1．．已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（ ） A．25 B．23 C．21 D．19 2．某学校举办了第60届运动会，期间有教职工的趣味活动“你追我赶”和“携手共进”．数学组教师除5人出差外，其余都参与活动，其中有18人参加了“你追我赶”，20人参加了“携手共进”，同时参加两个项目的人数不少于8人，则数学组教师人数至多为（ ） A．36 B．35 C．34 D．33 3．学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有____________人. 4．“六一儿童节”到了！某演出团在电影院安排了3场演出．已知第一场有19人出演，第二场有20人出演，第三场有18人出演，且前两场同时出演的人数是10人，后两场同时出演的人数是8人，那么参加此次演出活动的人数至少有_______________人． 题型一：无限集合交集的运算（空集陷阱） 1．已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 2．已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数t的取值范围. 3．设全集，集合. (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围. 题型二：无限集合并集的运算（空集陷阱） 1．设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数的取值范围． 2．已知集合，且. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 3．已知集合，. (1)当时，求，： (2)若，求m的取值范围. 题型三：无限集合补集的运算（空集陷阱） 1．已知集合 (1)若，求； (2)在①，②，③中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 2．已知集合，或． (1)当时，求和； (2)若，且，求实数a的取值范围． 3．已知集合，集合. (1)求； (2)设，若，求实数的取值范围. 4．已知集合，或． (1)当时，求； (2)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在（2）问中的横线上，并求解，若__________，求实数的取值范围． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 1．设集合. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 2．已知集合，. (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围. 3．设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 4．已知集合，， (1)若，求； (2)是否存在自然数k，b，使得？若存在，求出k，b的值；若不存在，说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3集合的基本运算 题型一：交集的运算 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程求集合，再由集合的交运算求集合. 【详解】由题设，，则. 故选：B 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合交集的运算可得. 【详解】由题可知，所以， 故选：A 3．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得，再结合集合的运算，即可得到结果. 【详解】，且， 所以，则. 故选：C 4．若集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的定义，联立方程即可求解. 【详解】由，解得， 故， 故选：C 题型二：并集的运算 1．已知集合，，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据自然数集的定义和并集的概念与运算直接得出结果. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：C 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的并集运算即可求解． 【详解】集合，， 则． 故选：B． 3．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出表示的数集，再由交集，并集的定义求解即可. 【详解】,, 因为表示所有的整数，，表示所有的偶整数， 所以，， 故选：B. 4．若集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合，再根据集合交集与并集的定义求解即可. 【详解】因为， ， 所以，，故ACD错误，B正确. 故选：B. 题型三：补集的运算 1．已知全集，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用列举法表示集合，根据补集的概念可得结果. 【详解】∵全集，∴. 故选：A. 2．设全集，集合，则的值为（ ） A． B．和 C． D． 【答案】C 【分析】利用补集的定义即可求解. 【详解】由题知，因为， 所以，，. 故选：C 3．（多选）设全集，集合，若，则（ ） A． B． C． D．， 【答案】BC 【分析】分析可知，根据元素满足互异性可求得的值，可确定集合，由此可得出合适的选项. 【详解】若，则，则集合不满足元素的互异性，不合乎题意. 所以，，解得，故，所以，， 故或，则，则AD选项错误，BC选项正确. 故选：BC. 题型四：交、并、补的运算 1．已知全集，集合，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的补集与并集运算即可. 【详解】因为全集，， 所以，又， 则. 故选：A. 2．已知集合，，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据交集、补集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以或. 故选：C 3．（多选）设全集，集合，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．集合的真子集个数为8 【答案】AC 【分析】对于ABC，根据交集，补集和并集的定义结合已知条件分析判断，对于D，根据公式求解判断. 【详解】因为全集，集合，， 所以，，， 因此选项A、C正确，选项B不正确； 因为集合的元素共有3个，所以它的真子集个数为， 因此选项D不正确， 故选：AC. 4．（多选）已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（ ） A． B．A的不同子集的个数为8 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意利用韦恩图逐项分析判断. 【详解】由题意可知：，， 所以，故A正确； 集合A有3个元素，所以A的不同子集的个数为，故B正确； ，故C正确； 因为，所以，故D错误； 故选：ABC. 题型五：有限集合交、并、补的运算 1．已知集合，，若，则（ ） A． B．6 C．5 D． 【答案】D 【分析】若，则，代入集合可得答案. 【详解】若，则，即， 解得，此时， 满足，故. 故选：D. 2．已知集合，若，则所有符合条件的实数组成的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得到，分和两种情况讨论，即可求解 【详解】等价于， 当时，，此时，符合； 当时，，因为，故或，即或． 所以符合条件的实数组成的集合是． 故选：D 3．设集合，，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：因为集合，，且， 所以1,4是方程的根，所以p=1×4=4，故选B． 4．已知集合，集合，若，则实数的取值集合为___________________. 【答案】 【分析】求出集合，分析可得，然后分、、、，可得出关于的等式与不等式，综合可得出实数的取值集合. 【详解】因为，， 且，则， 对于方程，， 当时，有，解得， 当时，有，解得； 当时，有，方程组无解； 当时，有，方程组无解. 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 5．已知集合，且，若，. (1)求集合A、B； (2)求p，q，r. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据集合交集的性质和并集的性质，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系，结合（1）的结论进行求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以有且，或， 当且且时，此时，因为，所以； 当且且时，因为，所以， 因为，所以不存在， 综上所述： （2）由（1）可知：， 所以有，，， 即. 题型六：韦恩图 1．如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据韦恩图得出阴影部分表示的集合是，利用集合的交并补运算即得. 【详解】由图知阴影部分表示的集合是, 因，， 则，故. 故选：D. 2．如图所示，全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定图中阴影部分表示的集合为，再根据题目条件求解. 【详解】由图知，阴影部分表示的集合为. 因为全集，，， 所以，. 故选：D. 3．（多选）如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的交并补运算即可求解. 【详解】根据图中阴影可知：阴影中的元素属于集合但不属于集合，故符合要求， 故选：BD 4．（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 故选：AD. 题型七：无限集合交、并、补的运算 1．已知集合，若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由，分析集合的端点值，知，求解即可 【详解】由题意可得，且，解得． 故选：B. 2．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合是否为空集进行分类讨论，由此求得的取值范围. 【详解】当时，，满足， 当时，，由， 可知， 综上所述，. 故选：D 3．已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，再利用集合的包含关系即求. 【详解】解：由题知，得，则， 故选：A． 4．已知集合，.若，则实数a的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】根据交集结果确定参数范围即可. 【详解】由题设交集不为空，即即可，故. 故答案为： 5．已知集合. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用并集、补集、交集的定义求解即可. （2）利用交集的结果直接求出的范围. 【详解】（1）由，得； 又或，所以. （2）由，，得. 题型八：容斥定理 1．．已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（ ） A．25 B．23 C．21 D．19 【答案】C 【分析】根据进行求解. 【详解】设高三（1）班有51名学生组成的集合为，参加田赛项目的学生组成的集合为A， 参加径赛项目的学生组成的集合为， 由题意集合A有17个元素，有22个元素，中有9个元素， 其中， 所以有个元素. 所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为. 故选：C. 2．某学校举办了第60届运动会，期间有教职工的趣味活动“你追我赶”和“携手共进”．数学组教师除5人出差外，其余都参与活动，其中有18人参加了“你追我赶”，20人参加了“携手共进”，同时参加两个项目的人数不少于8人，则数学组教师人数至多为（ ） A．36 B．35 C．34 D．33 【答案】B 【分析】利用韦恩图运算即可. 【详解】 如图所示，设两种项目都参加的有人，“你追我赶”为集合A，“携手共进”为集合B， 则数学组共有人，显然人. 故选：B 3．学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有____________人. 【答案】6 【分析】根据韦恩图计算得到答案. 【详解】如图所示，设同时参加田径和球类比赛有人， 可得，解得． 易知只参加趣味比赛一项的有6人， 故答案为：6 4．“六一儿童节”到了！某演出团在电影院安排了3场演出．已知第一场有19人出演，第二场有20人出演，第三场有18人出演，且前两场同时出演的人数是10人，后两场同时出演的人数是8人，那么参加此次演出活动的人数至少有_______________人． 【答案】 【分析】利用venn图分析求解 【详解】解：如图，记三场演出的人员构成的集合分别为，集合由的相应运算得到，各集合中元素的个数分别为集合对应的小写字母， 则由题意得，， ， 所以 ， 当且仅当时取等号， 当时，可以取到，所以至少30人， 故答案为：30 题型一：无限集合交集的运算（空集陷阱） 1．已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）先计算，再计算； （2）由得，再分类讨论. 【详解】（1）当时，，则或， 则或. （2）若，则, 当时，，即； 当时，，得， 则实数m的取值范围为. 2．已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数t的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）先求出集合B，然后结合集合的补集及交集运算即可求解； （2）结合集合的交集运算即可求解． 【详解】（1）当时，，，则或， 故； （2）若， 当时，，即， 当时，，解得， 综上，t的范围为或 3．设全集，集合. (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用并集，补集与并集的概念求解； （2）由得，分为与两种情况讨论，列出不等式求解. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以； 因为或， 所以. （2）因为，所以. 若，即，可得，符合题意； 若，则，无解， 综上，的取值范围是. 题型二：无限集合并集的运算（空集陷阱） 1．设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据交集并集概念计算；在求取值范围时， （2）根据集合间的包含关系构造不等式组，来确定参数的取值范围. 【详解】（1）若，则， 所以， （2）因为，所以， 当时，满足，此时； 当时，要使，则，解得 综上，实数的取值范围为 2．已知集合，且. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用给定交集的结果，列式计算并验证得解. （2）由（1）求出集合D，再利用并集的结果，结合集合的包含关系求解. 【详解】（1）由，得，解得或， 当时，，不符合题意；当时，符合题意， 所以. （2）由（1）得，，由，得， ①若，此时，即，符合题意； ②若，由，则，解得：， 所以实数的取值范围是. 3．已知集合，. (1)当时，求，： (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1)；或； (2) 【分析】（1）代入，再由交并补的混合运算可得结果； （2）根据并集结果可得，得出对应不等式可求得m的取值范围. 【详解】（1）当时，可得，或； 又，所以； 或； （2）由可得， 当时，，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，m的取值范围为. 题型三：无限集合补集的运算（空集陷阱） 1．已知集合 (1)若，求； (2)在①，②，③中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集的概念求出答案； （2）选①②③均可得到，从而得到不等式组，求出答案. 【详解】（1）时，， 故； （2）选①，，则， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是； 选②，，故， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是； 选③，，故， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是. 2．已知集合，或． (1)当时，求和； (2)若，且，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，或； (2) 【分析】（1）利用交集和并集概念求出答案； （2）先得到，，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）时，，又或， 故或， 或或； （2），故， ， 当时，，解得，与矛盾，舍去， 当时，，解得， 综上，实数a的取值范围为. 3．已知集合，集合. (1)求； (2)设，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据补集、交集的知识求得正确答案. （2）根据列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）依题意，集合，集合， 所以或，. （2）由（1）得或， 而且， 所以，解得，所以的取值范围是. 4．已知集合，或． (1)当时，求； (2)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在（2）问中的横线上，并求解，若__________，求实数的取值范围． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1) (2)条件选择见解析， 【分析】（1）当时，利用补集和并集可求得集合； （2）若选①，分、两种情况讨论，根据可得出关于的不等式组，综合可得出实数的取值范围； 若选②，分、两种情况讨论，在时直接验证即可，在时，根据可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； 若选③，分析可得，同①. 【详解】（1）解：当时，，或， 所以，，因此，. （2）解：若选①，当时，则时，即当时，成立， 当时，即当时，即当时， 由可得，解得，此时. 综上，； 若选②，当时，则时，即当时，成立， 当时，即当时，即当时， 由可得，解得，此时. 综上，； 若选③，由可得， 当时，则时，即当时，成立， 当时，即当时，即当时， 由可得，解得，此时. 综上，. 1．设集合. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）且且 【分析】（1）由条件可知集合中包含元素2，所以代入求，并验证是否满足条件；（2）由条件得，分和三种情况讨论，得到的取值范围. 【详解】（1）， 由可知，， 即，解得：或， 当时，，此时，满足， 当时，，此时，满足. 所以实数的值是或； （2）U=R，A∩(B)=A，，则 ①当，即时，此时，满足条件； ②当时，，即，，不满足条件； ③当时，即时，此时只需，， 将2代入方程得或，将1代入方程得，得， 综上可知，的取值范围是且且 2．已知集合，. (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先求出集合B，再求；（2）由，对集合B分类讨论，求解. 【详解】（1）. 当时，. 所以. （2）因为，所以. 因为，所以集合B可能为，，或. 当时，只需，解得：； 当或，则必有，所以或. 若，有，不符合题意；若，有，不符合题意； 当时，则1和2是的两根. 所以，无解. 故实数的取值范围为. 3．设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求； （3）由得，转化为均不是方程的根，解不等式可得. 【详解】（1），. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为. （3）若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 若，则实数a的取值范围为. 4．已知集合，， (1)若，求； (2)是否存在自然数k，b，使得？若存在，求出k，b的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【分析】（1）根据题意得到，解得答案。 （2）题目转化为且，联立方程，考虑和两种情况，计算，得到，再联立方程得到，考虑两个不等式有解的情况，计算得到答案。 【详解】（1）当时，，联立方程得，解得或； 故. （2），故且， 联立方程得，消去y得，， 由知， 当时，方程有解，故不符合题意； 当时，，即； 联立方程得，消去y得，， ，，即； 若有解，则，即； 若有解，则，即； ，，代入得，且，故且， 故； 综上所述，当，时， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$