1.1.3 第1课时 交集与并集-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦集合的交集与并集运算，承接集合的基本概念与关系，通过文字、符号、图形语言（Venn图）及运算性质构建知识支架，结合例题与训练实现从概念理解到运算应用的过渡。 该资料以直观想象与数学运算素养为核心，用Venn图、数轴将抽象概念可视化，如用Venn图呈现交集并集含义，数轴解决连续数集运算。母题探究与分层作业设计，助力课堂教学效率提升，也便于课后学生自主巩固，弥补知识薄弱点。

1.3　集合的基本运算 第1课时　交集与并集 学习任务 核心素养 1．理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集．(重点、难点) 2．能用Venn图表达集合的关系与运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点) 1．借助Venn图培养直观想象素养． 2．通过并集与交集的运算，提升数学运算素养． 1．两个集合的并集与交集的含义是什么？ 2．如何用Venn图表示集合的并集与交集？ 3．并集与交集有哪些性质？ 知识点1　交集 文字语言 一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 运算性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A⊆B⇔A∩B＝A 1．(1)当集合A，B无公共元素时，A与B有交集吗？ (2)若A∩B＝A，则A与B有什么关系？ [提示]　(1)有，交集为空集． (2)若A∩B＝A，则A⊆B． 1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－1，0，3}，则A∩B＝________． [答案]　{－1，0} 2．若集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|x>2}，C＝{x|x≤－3}，则A∩B＝________，A∩C＝________． [答案]　{x|2<x<4}　∅ 知识点2　并集 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 运算性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A⊆B⇔A∪B＝B 2．(1)在什么条件下，集合A∪B的元素个数等于集合A与B的元素个数之和？ (2)若已知A∪B＝B，则集合A与B之间有何关系？ [提示]　(1)A∩B＝∅． (2)A⊆B． 3．设集合M＝{4，5，6，8}，N＝{3，5，7，8}，则M∪N＝________． [答案]　{3，4，5，6，7，8} 4．已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝________． [答案]　{x|x>0} 类型1　交集运算 【例1】　【链接教材P8例5】 (1)设集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　) A．{2} 　 B．{2，3} C．{3，4} 　 D．{2，3，4} (2)已知集合A＝，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B元素的个数为(　　) A．5 　 B．4 C．3 　 D．2 (1)B　(2)D　[(1)由集合的基本定义可知A∩B＝{2，3}，故选B． (2)因为8＝3×2＋2；14＝3×4＋2， 所以A∩B＝．] 【教材原题·P8例5】 例5　求下列每一组中两个集合的交集： (1)A＝{x|x是不大于10的正奇数}，B＝{x|x是12的正因数}； (2)C＝{x|x是等腰三角形}，D＝{x|x是直角三角形}． [解]　(1)因为A＝{x|x是不大于10的正奇数}＝{1，3，5，7，9}， B＝{x|x是12的正因数}＝{1，2，3，4，6，12}， 所以A∩B＝{1，3，5，7，9}∩{1，2，3，4，6，12}＝{1，3}； (2)依题意知C∩D＝{x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形} ＝{x|x是等腰直角三角形}． 　1．在进行集合的交集运算时，要根据交集的定义进行运算，尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时要用Venn图表示；集合元素是连续时用数轴表示，但要注意端点值的取舍． 2．恰当地运用交集的交换律与结合律，可简化运算过程． [跟进训练] 1．(1)集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　) A．{1，2，3，4} 　 B．{2，3，4} C．{2，4} 　 D．{1} (2)设集合A＝，B＝．若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是(　　) A．－1<a≤2 　 B．a>2 C．a≥－1 　 D．a>－1 (1)B　(2)D　[(1)因为集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}， 所以A∩B＝{2，3，4}．故选B． (2)在数轴上表示两集合， 由上图可知，当a>－1时，A∩B≠∅．] 类型2　并集运算 【例2】　【链接教材P9例6】 (1)设集合A＝{x|x2＋2x＝0}，B＝{x|x2－2x＝0}，则A∪B＝(　　) A．{0} 　 B．{0，2} C．{－2，0} 　 D．{－2，0，2} (2)已知集合M＝，N＝，则M∪N＝(　　) A． B． C． D． (3)已知集合A＝，B＝，且A∪B＝{1，4，x2}，则满足条件的实数x的个数为(　　) A．1 　 B．2 C．3 　 D．4 (1)D　(2)A　(3)A　[(1)因为A＝，B＝{0，2}，所以A∪B＝{－2，0，2}． (2)如图，在数轴上表示两集合， 所以M∪N＝． (3)由A∪B＝，得x＝x2，又x≠1，所以x＝0．] 【教材原题·P9例6】 例6　已知集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|0≤x≤3}，求A∩B，A∪B． [解]　在数轴上表示出集合A，B(如图1-10)，则 A∩B＝{x|－1≤x＜2}∩{x|0≤x≤3}＝{x|0≤x＜2}； A∪B＝{x|－1≤x＜2}∪{x|0≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}． 　在进行集合的并集运算时，(1)若集合是用列举法表示的，可以直接用并集的定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)若集合是连续的数集，可以借助数轴进行运算． [跟进训练] 2．(1)设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝(　　) A．{2} 　 B．{1，2} C．{2，4，6} 　 D．{1，2，4，6} (2)设集合A＝，B＝，则A∪B＝________． [答案]　(1)D　(2) 类型3　由集合的并集、交集求参数 【例3】　已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围． [解]　由A∪B＝A得B⊆A． ①当B＝∅时，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A． ②当B≠∅时，要使A∪B＝A， 只需 解得2≤k≤． 综合①②可知k≤． [母题探究] 1．(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围． [解]　由A∩B＝A可知A⊆B． 所以即 所以k∈∅． 所以k的取值范围为∅． 2．(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3<x≤5}”，求k的值． [解]　由题意可知解得k＝3． 所以k的值为3． 　利用集合交集、并集的性质解题 (1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理． (2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉． [跟进训练] 3．已知M＝{1，2，a2－3a－1}，N＝{－1，a，3}，M∩N＝{3}，则实数a的值为________． 4　[因为M∩N＝{3}，所以a2－3a－1＝3， 解得a＝－1或a＝4． 又N＝{－1，a，3}， 所以a≠－1，所以a＝4．] 1．{x|x是矩形}∩{x|x是菱形}＝(　　) A．{x|x是平行四边形} 　 B．{x|x是矩形} C．{x|x是菱形} 　 D．{x|x是正方形} [答案]　D 2．集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x＋1∈A}，则A∩B＝(　　) A．{1，3，4} 　 B．{2，3，4} C．{1，2，3，4} 　 D．{0，1，2，3，4，9} C　[依题意得，对于集合B中的元素x，满足x＋1＝1，2，3，4，5，9， 则x可能的取值为0，1，2，3，4，8，即B＝{0，1，2，3，4，8}， 于是A∩B＝{1，2，3，4}．故选C．] 3．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，则(A∩B)∪C等于(　　) A．{1，2，3} 　 B．{1，2，4} C．{2，3，4} 　 D．{1，2，3，4} D　[因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3}， 所以A∩B＝{1，2}．又C＝{2，3，4}， 所以(A∩B)∪C＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}．] 4．(教材P10练习T3改编)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，则A∪B＝(　　) A．{x|－1<x<1} 　 B．{x|1<x<2} C．{x|x>－1} 　 D．{x|x>1} C　[由题可知A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，则A∪B＝{x|x>－1}．] 5．设集合A＝，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则集合A∩B＝________． {(1，－1)}　[A∩B＝＝{(1，－1)}．] 课时分层作业(四)　交集与并集 一、选择题 1．已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|－1≤x<4}，则M∪N＝(　　) A．{x|－1≤x<1}　　　 B．{x|x>－3} C．{x|－3<x<4} 　 D．{x|x<4} C　[由集合的并运算，得M∪N＝{x|－3<x<4}．] 2．若集合A＝，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． A　[根据交集的定义可知，A∩B＝{x|－2<x<－1}．故选A．] 3．已知集合A＝，B＝{-2，0，2，4}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　) A．{－2，0，2，4} 　 B．{0，2，4} C． 　 D． C　[阴影部分所表示的集合是A∩B，又A∩B＝，故选C．] 4．已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝(　　) A．0或 　 B．0或3 C．1或 　 D．1或3 B　[由A∪B＝A，得A⊇B，所以m∈A，又m≠1，所以m＝3或，所以m＝0或3，故选B．] 5．设S＝，T＝，则(　　) A．S∪T＝S 　 B．S∪T＝T C．S∩T＝S 　 D．S∩T＝∅ A　[S＝＝{(x，y)|x>0且y>0，或x<0且y<0}，所以S∪T＝S．] 二、填空题 6．已知A＝，B＝，若A∩B＝，则A∪B＝________． 　[由A∩B＝，得m＝3， 所以A∪B＝．] 7．已知A＝，B＝，则A∩B＝________． 　[由已知，得B＝，所以A∩B＝．] 8．设集合A＝，B＝，C＝，则B∩C的元素个数为________． 24　[由已知，得B＝，C＝， 所以B∩C＝， 所以，B∩C的元素个数为24．] 三、解答题 9．(教材P12习题1—1B组T5改编)已知集合A＝，B＝{x|x－m<0}． (1)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围； (2)若A∪B＝B，求实数m的取值范围． [解]　(1)B＝， 由A∩B＝∅，得m≤－2． (2)由A∪B＝B，得A⊆B，所以m≥4． 10．设集合A＝，B＝{x|2x－4≥x－2}． (1)求A∩B； (2)若集合C＝，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围． [解]　(1)由题意得，B＝， 又A＝{x|－1≤x＜3}，如图． ∴A∩B＝{x|2≤x＜3}． (2)由题意得，C＝， 又B∪C＝C，故B⊆C， ∴－＜2， ∴a＞－4． ∴实数a的取值范围为{a|a＞－4}． 11．(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值为(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 ABC　[A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}， ∵A∩B＝B，∴B⊆A． 当B＝∅时，ax－2＝0无解，∴a＝0． 当B≠∅时，此时a≠0，x＝， ∴＝1或＝2，解得a＝2或a＝1． ∴实数a的值为0或1或2． 故选ABC．] 12．设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}．已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|x≥1}，则A*B＝(　　) A．{x|1≤x<3} B．{x|1≤x≤3} C．{x|0≤x<1，或x>3} D．{x|0≤x≤1，或x≥3} C　[由题意，知A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1≤x≤3}，则A*B＝{x|0≤x<1，或x>3}．] 13．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1，7}，且A∩B＝C，则x＋y＝______，A∪B＝________． 　{－1，－4，2，7}　[由A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1，7}，且A∩B＝C，得7∈A，7∈B且－1∈B， 所以在集合A中x2－x＋1＝7， 解得x＝－2或3． 当x＝－2时，在集合B中，x＋4＝2， 即2∈B，又2∈A， 但2∉C，故x＝－2不合题意，舍去； 当x＝3时，在集合B中，x＋4＝7， 故有2y＝－1， 解得y＝－， 经检验满足A∩B＝C． 综上知，所求x＝3，y＝－． 所以x＋y＝． 此时A＝{2，－1，7}，B＝{－1，－4，7}， 故A∪B＝{－1，－4，2，7}．] 14．已知集合A＝{x|5x－a≤0}，B＝{x|6x－b＞0}，a，b∈N，且A∩B∩N＝{2，3，4}，则整数对(a，b)的个数为 ________． 30　[5x－a≤0⇒x≤；6x－b＞0⇒x＞． 要使A∩B∩N＝{2，3，4}， 则 即 所以整数对(a，b)的个数为30．] 15．设集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}． (1)若A∩B＝A∪B，求实数a的值； (2)若∅⫋A∩B，且A∩C＝∅，求实数a的值； (3)若A∩B＝A∩C≠∅，求实数a的值． [解]　(1)B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}， 因为A∩B＝A∪B，所以A＝B，则A＝{2，3}，所以解得a＝5． (2)因为∅⫋A∩B，且A∩C＝∅，B＝{2，3}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4，2}， 所以－4∉A，2∉A，3∈A，所以32－3a＋a2－19＝0， 即a2－3a－10＝0，解得a＝5或a＝－2． 当a＝－2时，A＝{－5，3}，满足题意； 当a＝5时，A＝{2，3}，不满足题意，舍去． 综上可知，a＝－2． (3)因为A∩B＝A∩C≠∅， B＝{2，3}，C＝{－4，2}， 所以2∈A，则22－2a＋a2－19＝0， 即a2－2a－15＝0，解得a＝5或a＝－3． 当a＝5时，A＝{2，3}，不满足题意，舍去； 当a＝－3时，A＝{－5，2}，满足题意． 综上可知，a＝－3． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $