专题1.2 集合的基本关系（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

本讲义聚焦集合的基本关系核心知识点，系统梳理子集、真子集、集合相等的定义与性质，明确有限集合子集个数公式及易混符号辨析，构建从概念理解到性质应用的递进式学习支架。 资料通过即学即练、典例与变式分层设计，结合空集讨论、符号辨析等易错点突破，配套思维导图辅助直观理解。以分类讨论参数范围培养推理意识，规范解题步骤提升数学语言表达，课中助力教师高效授课，课后便于学生巩固查漏。

专题1.2 集合的基本关系 教学目标 1.理解子集、真子集、相等集合的定义，区分符号； 2.掌握空集、任意集合、全集之间的包含关系核心性质； 3.会写出有限集合的全部子集、真子集、非空子集、非空真子集并熟记个数公式； 4.能根据集合包含关系求解参数取值范围，分类讨论空集情况； 5.能利用集合相等、真包含关系综合求值，规范书写解题步骤。 教学重难点 1.重点 子集、真子集概念与符号； 有限集子集个数公式； 由求参数范围。 2.难点 含参数集合包含关系分类讨论（勿忘空集）； 区分从属符号与包含符号 知识点 01 子集（包含关系） 定义：若集合A中任意一个元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作，读作 “A包含于B”。 逻辑判定：。 基础性质： ① 任何集合是自身子集：； ② 空集是任意集合的子集：； ③ 传递性：。 【即学即练】 集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的子集的定义即可求解． 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为，所以，不是的子集，故BC错误； 因为，所以不是的子集，故D错误. 故选：A. 知识点 02 真子集（真包含关系） 定义：，且存在元素属于B但不属于A，则A是B的真子集，记作。 判定：。 性质： ① 空集是任意非空集合的真子集：； ② 传递性：； ③ 一个集合不能是自身的真子集：。 【即学即练】 集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据真子集的概念可知为的一个真子集． 知识点 03 集合相等 等价条件：； 含义：两个集合元素完全相同，与元素顺序无关。 【即学即练】 已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【分析】根据集合相等的关系求解． 【详解】∵集合，，若， ∴，得. 知识点 04 有限集合子集个数公式 设集合A含有n个元素： 子集总数：和集合本身）； 真子集个数：个（去掉集合自身）； 非空子集个数：个（去掉空集）； 非空真子集个数：个（去掉空集、集合自身）。 【即学即练】 已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【分析】应用元素和集合关系及集合的包含关系判断求解. 【详解】已知，，且，所以的个数为. 知识点 05 易混符号辨析（高频易错） ：元素属于集合，连接元素与集合； ：集合包含于集合，连接两个集合； 【即学即练】 已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解集合的元素，再根据元素与集合、集合与集合的关系逐一分析选项. 【详解】由，得或，因此集合， 选项A，是集合中的元素，所以，选项A正确； 选项B，是一个集合，集合与集合之间的关系应为包含（），而非属于（），选项B错误； 选项C，是集合中的元素，元素与集合的关系是属于（），而非包含（），选项C错误； 选项D，集合，而只包含元素，不包含，选项D错误. 故选：A. 题型 01 判断集合间包含、真包含、相等关系 【典例1】 已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 【变式1】 设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】集合A为所有奇数组成的集合，集合B为所有整数组成的集合，故A是B的子集. 【详解】， ， 集合A为所有奇数组成的集合，集合B为所有整数组成的集合，故A是B的子集. 故选：A 【变式2】 已知集合，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别化简集合，利用集合相等的概念、集合间的包含关系以及交集运算即可求解． 【详解】， ， 则，，故B正确；A、C错误； ，故D错误； 故选：B． 【变式3】 已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用列举法表示集合，再根据元素与集合的关系和集合与集合的关系判断结论. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以集合不是集合的子集，A错误 因为可视为集合的一个元素，但集合中不含该元素，所以集合不是集合的子集，C错误； 因为集合的元素中含有元素，所以，B错误，D正确. 题型 02 写出有限集合的所有子集、真子集、非空真子集 【典例1】 满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】满足条件的集合有， ，共7个. 【变式1】 满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定，再由题意可得，其中集合为集合的子集，从而可得结果. 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 【变式2】 已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的子集直接求解即可. 【详解】由题知，的所有非空子集为， 所以以上集合所有元素之和为. 【变式3】 利用列举法求集合的子集的过程中，含有三个元素的子集共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【答案】C 【分析】列举出集合含有三个元素的子集即可求出答案. 【详解】集合含有三个元素的子集有，，，，，，，，，. 所以集合含有三个元素的子集共有个. 故选：C. 题型 03 空集参与包含关系辨析 【典例1】 下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用集合的基本关系与概念：集合间的包含关系（子集、相等集合）；空集的定义与性质；元素与集合、集合与集合的区别. 【详解】①： 子集的定义是：若集合的所有元素都属于集合，则， 中的元素属于，因此是的子集，①正确； ②： 集合具有“无序性”，和是同一个集合；而任何集合都是自身的子集，故②正确； ③： 空集的性质：空集是任何集合的子集，因此是的子集，③正确； ④： 空集是“不含任何元素的集合”，而是包含元素的集合，二者元素不同，因此，④错误； ⑤： 是“包含两个数、的集合”，而是“包含一个有序数对的集合”，元素类型不同，因此，⑤错误； ⑥： 是“元素”，是“包含元素的集合”，元素和集合不能相等，因此⑥错误. 故选C. 【变式1】 下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集、点集、数集的定义判断集合是否相等及元素与集合的关系. 【详解】对于A，由表示没有元素的集合，则不相等，A错， 对于B，由是点集，是数集，则不相等，B错， 对于C，由表示仅含有空集的单元素集合，则不相等，C错， 对于D，由于是自然数，故，D对. 故选：D 【变式2】 下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的性质和子集的概念得到答案. 【详解】由于是的一个子集，故，B正确，AD错误，C选项，空集不是的元素，故C错误. 故选：B 【变式3】 下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以， 【变式4】 下列各选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义和空集的定义逐项判断. 【详解】对于A，空集不含任何元素，故，故A错误； 对于B，空集不含任何元素，而集合含有一个元素0，二者不相等，故B错误； 对于C，空集是任何集合的子集，故C正确； 对于D，0是一个元素，而是一个集合，元素和集合是不同的概念，不能相等，故D错误. 故选：C. 题型 04 已知，求参数取值（必考大题，含空集讨论） 【典例1】 已知集合，，若，则a的取值可以是（   ） A． B．0 C．2 D． 【答案】BC 【分析】由集合子集的关系和元素互异性求解. 【详解】因为，又，， 所以或， 解得或或， 当时，，，满足要求， 当时，，，满足要求， 当时，，与元素互异性矛盾，不满足要求, 所以或2. 【变式1】 集合，．若，则实数（   ） A．0 B．2 C．3 D．-1 【答案】D 【详解】由知是的子集，若，则中有重复元素0，不合题意舍去； 若，则无解；若，则，经检验符合题意. 所以 【变式2】 已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 【变式3】 若集合，，且，则的值为（    ） A．4 B．2或4 C．或4 D．或4 【答案】C 【详解】当时，满足； 当时，因为，所以， 此时，满足． 题型 05 已知求参数范围 【典例1】 已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由子集的定义，解不等式可得结果. 【详解】由，可得，解得. 故选：D. 【变式1】 已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分、，结合进行求解． 【详解】当时，，符合； 当时，，，又， ， 综上，． 【变式2】 设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 【变式3】 记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件，列不等式求的范围； （2）分，两种情况，结合条件列不等式求的范围； 【详解】（1）由，得，解得或， 故的取值范围是. （2）当时题设显然成立，此时有，解得； 当时，有，解得或. 综上的取值范围是. 题型 06 由（集合相等）求参数 【典例1】 1.若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 【答案】 【分析】两个集合相等且都有三个元素，又都含有元素 ，所以除去公共元素 后，剩余两个元素组成的集合也相等．对两个二元集合的元素对应关系分类讨论，并结合集合元素的互异性检验所得结果． 【详解】因为集合 和集合 中都恰有三个元素，所以 与各自集合中的另外两个元素均不相同． 又因为 ，且 是两个集合的公共元素，所以 ． 两个二元集合相等，分以下两种情况讨论． ① 若 ，，则 ，解得 或 ． 当 时，，其中只有两个不同的元素，不符合“集合 中有三个元素”的条件，舍去． 当 时，，符合题意． ② 若 ，，则由第一个等式得 ． 代入第二个等式，得 ，所以 ． 但将 代入 ，得到 ，矛盾，因此此种情况无解． 综上，． 2.设集合，，若，则的值为________． 【答案】 【分析】首先由集合元素的特征得，再由集合相等分和两种情况解得. 【详解】由集合，，得， 又因为，则或， 当时，，，， 于是，得，因此； 当时，集合，，有，则，解得与矛盾，舍去. 因此． 【变式1】 设a，，若集合，则______． 【答案】0 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 【变式2】 设集合，若，则__________. 【答案】 【分析】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解. 【详解】，，且且且， 或， 当时，且，，. 当时，解得，且，不成立. 综上可得，. 故答案为：. 【变式3】 设，，其中，若，则________． 【答案】1 【分析】由集合元素互异性、和集合相等的概念，分类讨论求解. 【详解】，由元素互异性得：，且． ，由元素互异性得：． 若集合中，则，此时，， 由得，所以，此时，符合要求； 若集合中，则，此时， ，这与矛盾，故这种情况不成立， 综上可知，，故． 1．集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 【答案】B 【详解】因为， 所以集合有5个元素，故的非空子集个数是． 2．若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据集合子集的性质可得 【详解】因为集合共含有个元素， 因此A的子集个数为 3．由数字2，0，2，6组成的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】由已知， 其子集为，，，，，，，，共计8个. 4．若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为个 5．下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确. 6．集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知， 所以与的关系为 7．已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合中元素的特征，对集合中的元素逐一判断即可. 【详解】因为集合，且， 所以，对集合中的元素逐一判断， ，所以； ，所以； ，所以； ，所以； ，所以. 综上，. 8．已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【详解】由，得或，解得或． 当时，，，，符合题意， 当时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以. 9．已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由可知中元素必属于，故或；分别求解后，结合集合元素的互异性排除，最终得或． 【详解】由，得或， 若，则，，满足， 若，则或， 时，，，满足， 时，，不满足集合元素的互异性， 综上，或． 10．下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【分析】对于A，根据集合元素的无序性判断；对于B，根据特征元素判断；对于C，根据集合相等的定义判断；对于D，根据集合相等的定义判断. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C. 11．已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 12．已知集合,. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解分式不等式，确定集合； （2）根据集合的包含关系，求参数的取值范围. 【详解】（1）由题意得，解得， 则. （2）因为， 当时，，解得，满足题意； 当时，因为，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 1．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2,3,4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为，，； 当集合中含有四个元素时，可为，，； 综上所述满足条件的集合的个数为个. 2．已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 3．设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合， ， 所以. 5．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合， ， 所以. 6．已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合分析，当为偶数时，比较它与集合的描述得到与集合的关系；通过整理集合与集合的描述，得到集合与集合的关系，从而得出集合的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 7．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得，进而可得所求值. 【详解】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为​，则： ，， 所以，即，因此 8．已知集合，若，则（   ） A．－2 B．0 C．2 D．4 【答案】B 【详解】由于集合，， 则，故 ，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. 9．已知集合，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据集合的定义，分别分析集合与集合的元素特征，再据此对各选项进行判断. 【详解】集合集合． 集合表示抛物线的点的坐标组成的集合， 故，A错误； 由知时，，当时，，故CD正确； 由知，故B正确． 故选：BCD. 10．已知集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据真子集定义列出不等式组即可求解； （2）根据子集定义，对集合是否为空集进行分类讨论，列出对应不等式组即可求解. 【详解】（1）由可得：，且等号不能同时取得 解得， 即a的取值范围是. （2）若，则，即，解得； 若，则 解得， 综上所述，a的取值范围是. 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 集合的基本关系 教学目标 1.理解子集、真子集、相等集合的定义，区分符号； 2.掌握空集、任意集合、全集之间的包含关系核心性质； 3.会写出有限集合的全部子集、真子集、非空子集、非空真子集并熟记个数公式； 4.能根据集合包含关系求解参数取值范围，分类讨论空集情况； 5.能利用集合相等、真包含关系综合求值，规范书写解题步骤。 教学重难点 1.重点 子集、真子集概念与符号； 有限集子集个数公式； 由求参数范围。 2.难点 含参数集合包含关系分类讨论（勿忘空集）； 区分从属符号与包含符号 知识点 01 子集（包含关系） 定义：若集合A中 都属于集合B，则称A是B的子集，记作 读作 “A包含于B”。 逻辑判定：。 基础性质： ① 任何集合是自身子集： ② 空集是任意集合的子集： ③ 传递性：。 【即学即练】 集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 知识点 02 真子集（真包含关系） 定义：，且存在元素属于B但不属于A，则A是B的真子集，记作。 判定：。 性质： ① 空集是任意非空集合的真子集：； ② 传递性：； ③ 一个集合不能是自身的真子集：。 【即学即练】 集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 知识点 03 集合相等 等价条件： 含义：两个集合元素完全相同，与元素顺序无关。 【即学即练】 已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 知识点 04 有限集合子集个数公式 设集合A含有n个元素： 子集总数 和集合本身）； 真子集个数 个（去掉集合自身）； 非空子集个数 个（去掉空集）； 非空真子集个数 个（去掉空集、集合自身）。 【即学即练】 已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 知识点 05 易混符号辨析（高频易错） ：元素属于集合，连接元素与集合； ：集合包含于集合，连接两个集合； 【即学即练】 已知集合，则（   ） A． B． C． D． 题型 01 判断集合间包含、真包含、相等关系 【典例1】 已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】 设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】 已知集合，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 【变式3】 已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 题型 02 写出有限集合的所有子集、真子集、非空真子集 【典例1】 满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式1】 满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】 已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 【变式3】 利用列举法求集合的子集的过程中，含有三个元素的子集共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 题型 03 空集参与包含关系辨析 【典例1】 下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】 下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】 下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】 下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】 下列各选项正确的是（    ） A． B． C． D． 题型 04 已知，求参数取值（必考大题，含空集讨论） 【典例1】 已知集合，，若，则a的取值可以是（   ） A． B．0 C．2 D． 【变式1】 集合，．若，则实数（   ） A．0 B．2 C．3 D．-1 【变式2】 已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式3】 若集合，，且，则的值为（    ） A．4 B．2或4 C．或4 D．或4 题型 05 已知求参数范围 【典例1】 已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】 已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】 设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【变式3】 记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 题型 06 由（集合相等）求参数 【典例1】 1.若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 2.设集合，，若，则的值为________． 【变式1】 设a，，若集合，则______． 【变式2】 设集合，若，则__________. 【变式3】 设，，其中，若，则________． 1．集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 2．若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 3．由数字2，0，2，6组成的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 4．若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 5．下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 6．集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 8．已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 9．已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 11．已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．已知集合,. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 1．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 2．已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 3．设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，若，则（   ） A．－2 B．0 C．2 D．4 9．已知集合，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 10．已知集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $