精品解析：吉林省长春市德惠市第八中学2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试题

德惠八中九年级上学期数学期中试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 用长分别为、、的三条线段围成三角形的事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 以上都不是 2. 将一元二次方程化成一般形式后，其一次项系数是（ ） A. －4 B. 2 C. －2 D. 4 3. 如图，在中，，，则边上的高的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，分别是的边，上的点，且，交于点．，则的值为（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 7. 如图，两建筑物水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图是画在方格纸上的江西部分旅游景点简图，建立平面直角坐标系后，三清山的坐标为，明月山的坐标为，则滕王阁的坐标是（ ） 如图，这是画在方格纸上的江西部分旅游景点简图，建立平面直角坐标系后，明月山的坐标为 A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 在平面直角坐标系中，点P(-3，7)关于原点对称的点的坐标是______． 10. 从“”中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为______． 11. 如图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高是______m．     12. 一个长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为__________． 13. 如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为的球网，而且落在离球网远的位置上，则球拍击球的高度为___________m． 14. 如图，在正方形中，点F是边上一点（不与点C和点D重合），连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③当点F在边上运动时的大小随之变化； ④当点F是边的中点时，点H是边的中点． 上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 用配方法解方程：2x2﹣4x＝1. 16. 计算：tan30°cos30°+sin260°- sin245°tan45° 17. 如图，在中，，，． （1）求； （2）求的值． 18. 某社区计划将一个长米、宽米的矩形花坛扩建为公共休息区．扩建方案是在花坛四面修建一条宽度相同的小道，使扩建后的矩形公共休息区的总面积为平方米．求这条小道的宽度． 19. 陕西波浪谷景区是级景区，是摄影爱好者的天堂．如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D （1）甲停放在C位置的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的图形； （2）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标． 21. 如图①，这是一个绿道休息凉棚，其侧面示意图大致为图②，点、、在一条直线上，，，与地面平行．求点到地面的距离（参考数据：，，）． 22. 如图，在中，是角平分线，点在边上，且．连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 综合实践， 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． （1）探究发现 旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （2）性质应用 如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． （3）延伸思考 如图4，在中，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值． 24. 如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接． （1）求证：； （2）当时，的面积为 ； （3）当为等腰直角三角形时，求线段的长； （4）作点关于的对称点，连接．当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德惠八中九年级上学期数学期中试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 用长分别为、、的三条线段围成三角形的事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 以上都不是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形了．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件． 根据三角形的三边关系定理，判断是否围成三角形即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系， ，所以用长为、、的三条线段一定能组成三角形，所以是必然事件． 故选：B． 2. 将一元二次方程化成一般形式后，其一次项系数是（ ） A. －4 B. 2 C. －2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，b为一次项系数，据此即可求解． 【详解】解：∵原方程，移项得， ∴ 一次项系数为． 故选：A． 3. 如图，在中，，，则边上的高的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质求出，进而得到即可． 【详解】解： ，， ． ， ． 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟知运算法则是解题的关键．根据算术平方根的定义和二次根式的运算法则，逐一计算或比较各选项，判断其正确性即可． 【详解】对于A：∵，∴ A错误； 对于B：∵不可合并，且，∴ B错误； 对于C：∵，∴ C错误； 对于D：∵，∴D正确． 故选：D． 5. 如图，，分别是的边，上的点，且，交于点．，则的值为（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， 故选：C. 6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．根据一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有没有实数根；列出不等式，求出的取值范围，再结合一元二次方程中二次项系数不等于零，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又∵， 故的取值范围是且． 故选：B． 7. 如图，两建筑物水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查锐角三角函数的实际应用，矩形的判定和性质，正确理解俯仰角是解题关键．过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，米，，，在直角三角形中，利用正切值，求出，米， 在中，米，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，米，，， 米，， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， （米）， 故选：D． 8. 如图是画在方格纸上的江西部分旅游景点简图，建立平面直角坐标系后，三清山的坐标为，明月山的坐标为，则滕王阁的坐标是（ ） 如图，这是画在方格纸上的江西部分旅游景点简图，建立平面直角坐标系后，明月山的坐标为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标表示位置以及直角坐标系中点的坐标，准确找到原点的位置是解题的关键． 根据题意可建立平面直角坐标系，根据滕王阁在坐标系中的位置即可得出坐标． 【详解】解：根据三清山的坐标为，明月山的坐标为，可建立如图所示的坐标系， ∴滕王阁的坐标是， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 在平面直角坐标系中，点P(-3，7)关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】(3，-7) 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点P（-3，7）关于原点对称的点的坐标是（3，-7）， 故答案为：（3，-7）． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 10. 从“”中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，利用概率公式：概率=所求情况数与总情况数的比值，即可求解． 【详解】解：从“”中随机抽取一个字母，共有8种等可能的结果，其中抽中字母的结果有2种， 因此抽中字母g的概率为， 故答案为． 11. 如图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高是______m．     【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的坡度问题，牢记坡度的定义是解题的关键．根据题意可得∶在中，，从而可得，进行计算即可解答． 【详解】解：滑坡的坡度是， 在中，． ， ． 故答案为：3． 12. 一个长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查二次根式的除法的应用，根据题意，用长方形的面积除以长即可得到宽． 【详解】解：一个长方形的面积为，长为， 则该长方形的宽为， 故答案为． 13. 如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为的球网，而且落在离球网远的位置上，则球拍击球的高度为___________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ， ， ， ， ， 解得： 球拍击球的高度为， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，点F是边上一点（不与点C和点D重合），连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③当点F在边上运动时的大小随之变化； ④当点F是边的中点时，点H是边的中点． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由正方形的性质得，那么，则，即可判断①；先由正方形的性质得，借助勾股定理得出，结合，证明，则，即可判定②③，再运用点F是边的中点，设，根据勾股定理得出，，故，则，再证明，列式运算，即可作答． 【详解】解：∵四边形和都是正方形， ∴， ∴， ∴， 则①的说法是正确的； ∵四边形和都是正方形， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②的说法是正确的； ∵四边形是正方形， ∴， 由②得，， ∴， 故③的说法是不正确的； ∵四边形和都是正方形， ∴， ∵点F是边的中点， ∴设 ∴， 在中， ， 在中， ， ∴， 在中， ， ∵在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点H是边的中点． 故④的说法是正确的； 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 用配方法解方程：2x2﹣4x＝1. 【答案】x1＝1+，x2＝1﹣. 【解析】 【分析】利用配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数. 【详解】二次项系数化为1，得x2﹣2x＝， 配方得x2﹣2x+1＝+1， 即(x﹣1)2＝， 开方得：x﹣1＝±， ∴x1＝1+，x2＝1﹣. 【点睛】此题考查解一元二次方程配方法，解题关键在于掌握运算法则. 16. 计算：tan30°cos30°+sin260°- sin245°tan45° 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊三角函数值即可求解. 【详解】原式= = 【点睛】本题考查了特殊的三角函数值,属于简单题,熟记特殊三角函数值是解题关键. 17. 如图，在中，，，． （1）求； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的计算、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据，设，，利用勾股定理可得，解方程求出，从而可知； 由可知，根据余弦的定义求出． 【小问1详解】 解：， ， 设，， 在中，， ， ， 解得：或(负值舍去)， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知， ，， ． 18. 某社区计划将一个长米、宽米的矩形花坛扩建为公共休息区．扩建方案是在花坛四面修建一条宽度相同的小道，使扩建后的矩形公共休息区的总面积为平方米．求这条小道的宽度． 【答案】米． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设小道的宽度是米，则扩建后长方形的长为米，宽为米，可列方程，解方程即可求出小道的宽． 【详解】解：设小道的宽度是米， 则扩建后长方形的长为米，宽为米， 根据题意可得：， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：这条小道的宽度是米． 19. 陕西波浪谷景区是级景区，是摄影爱好者的天堂．如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D （1）甲停放在C位置的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 【答案】（1） （2）甲、乙两车停放在相邻车位的概率为 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）用画树状图法得出所有等可能的结果数以及甲和乙两车恰好都停放在相邻车位的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵一个有4个空闲的停车位，且每个停车位被选择的概率相同， ∴甲停放在位置的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下所示： 由树状图可以得所有等可能的情况共有12种，其中甲、乙两车停放在相邻车位的有6种， ∴甲、乙两车停放在相邻车位的概率为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的图形； （2）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标． 【答案】（1） 如图，即为所作， （2） 如图，即为所作， 【解析】 【分析】（1）利用点关于y轴对称的性质得出的坐标，顺次连接点即可得出所求图形； （2）利用关于原点位似图形的性质得出，的坐标，顺次连接点即可得出所求图形． 【小问1详解】 利用点关于y轴对称的性质得出坐标， 顺次连接点即可得； 【小问2详解】 ∵位似比为， 又要求在y轴的左侧， ∴得到点， 顺次连接点即可得． 【点睛】本题考查了作图—位似变换和轴对称变换，理解轴对称图形与位似图形的画法是解题的关键． 21. 如图①，这是一个绿道休息凉棚，其侧面示意图大致为图②，点、、在一条直线上，，，与地面平行．求点到地面的距离（参考数据：，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，平行的性质，三角形外角性质，掌握知识点的应用是解题的关键．过C作于点M，由平行可求得，又，在中，，然后代入求值即可求出． 【详解】解：过C作于点M， ． ， ． 与地面平行， ． ， ． 在中， ， ． ． 答：点C到地面的距离为． 22. 如图，在中，是角平分线，点在边上，且．连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：是的平分线， ． ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据是的平分线可得，由可得出，进而即可证出； （2）证明可得出，根据三角形内角和定理及平角等于，即可得出，结合公共角相等可得出，再利用相似三角形的性质即可求出的长度，则可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ，， ． 又， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 23. 综合实践， 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． （1）探究发现 旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （2）性质应用 如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． （3）延伸思考 如图4，在中，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤． （1）根据中点的定义得出，进而得出，易得，通过证明，即可得出结论； （2）根据题意推出当所在直线经过点B时，，根据勾股定理可得，根据（1）可得，即可求解； （3）令相交于点Q，过点E作于点G，根据直角三角形斜边中线的性质得出，则，根据相似三角形的性质得出，进而推出，则，求出，，则，即可解答． 【小问1详解】 解：∵点D和点E为分别为中点， ∴由图1可知，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由图1可知∵点D和点E为分别为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴当所在直线经过点B时，， 根据勾股定理可得：， 由（1）可得：， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：令相交于点Q，过点E作于点G， 根据题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵边平分线段，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 24. 如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接． （1）求证：； （2）当时，的面积为 ； （3）当为等腰直角三角形时，求线段的长； （4）作点关于的对称点，连接．当时，直接写出的值． 【答案】（1） 证明：∵，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由同角的余角相等可以证明，再根据有两个角分别对应相等的两个三角形相似得出， （2）先求出，，再由，可得，列比例方程求出，由此即可求出的面积， （3）当为等腰直角三角形时，即，由得出，设，则，，，在中，列方程即可求解， （4）解：延长、交于点，延长、交于点，、是关于对称，由此得出点在上，进而可得，再利用当时，四边形是矩形，得出，由此可知，设，，利用列比例式即可求出，于是可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴的面积． 【小问3详解】 解：当为等腰直角三角形时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴ ∵在中，， ∴， 解得：，（不合题意舍去）， 即． 【小问4详解】 解：延长、交于点，延长、交于点， ∵线段的垂直平分线， ∴、是关于对称， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴点、相互重合， ∴、是关于对称， ∵作点关于的对称点， ∴点在上，如图所示， ∴， 当时，，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设，， 则， ∴，， 由（3）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判断和性质，三角函数，熟练掌握三角形相似的判定定理．难点是问题（4）证明点关于的对称点在上，进而得出． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $