第1章直角三角形的边角关系 单元达标测试题 2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册《第1章直角三角形的边角关系》 单元达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．在中，，则（    ） A．1 B． C． D．2 4．如图，施工队在斜坡上栽了两棵树，它们之间的水平距离为，斜坡的坡度为，则这两棵树之间的坡面的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，则中线的长为（    ） A． B．2 C． D． 6．伊通河作为长春市的“母亲河”全长约公里．某数学兴趣小组为测量伊通河某段河道的宽度，利用无人机在岸边点处垂直上升60米到达点处悬停，测得河对岸点的俯角为，则此处的河道宽度为（   ） A． B． C． D． 7．如图，直线与、轴分别交于、两点，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，将沿折叠到的位置，交于点，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．中，，，，则 ． 10．已知在中，，a，b，c分别为所对的边． （1）已知，则 ． （2）已知，则 11．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东，则此时轮船与小岛P的距离 海里． 12．如图所示，在四边形中，，则的长为 ． 13．如图，在四边形中，，，，，若四边形的面积为10，则线段的长为 ． 14．如图，四边形中，若，，，，．则 ． 15．如图，已知中，，将绕O点旋转至的位置，且在中点，在反比例函数图象上，则k的值为 ． 16．如图，点P为矩形的对角线上一动点，点E为的中点，连接，若，则的最小值为 ． 三、解答题（满分72分） 17．计算： (1) (2) 18．如图，在中，，于点D，点E是上的一点，，，，求的长和的值． 19．某维护人员为测量我校号教学楼高度，用无人机在“正行楼”前测量（如图），此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得楼顶处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼距离为米，求教学楼的高度．（结果保留整数参考数据：，，） 20．小杰要用自己学过的知识，测量自家居住的居民楼高度．在居民楼前方有一斜坡，坡长米，斜坡的坡比，小杰在C点处测得楼顶端A的仰角为，在D点处测得楼顶端A的仰角为，求楼高．（点A，B，C，D在同一平面内，结果精确到， 21．某学校开展综合实践活动，如图，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到 E 点的距离为．楼房底层窗台P 处至地面C 处的高度为，在点P 处观察点B 的仰角为，底部C 距 F处距离为．图中所有点均在同一平面内，． (1)求山坡的垂直高度； (2)求楼房的高度．（参考数据：，，结果精确到） 22．如图，，是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在点处遇险发出求救信号，此时测得点位于观测点的北偏东方向上，同时位于观测点的北偏西方向上，且测得点与观测点的距离为海里． (1)求观测点与点之间的距离； (2)有一艘救援船位于观测点的正南方向且与观测点相距海里的点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为海里小时，求救援船到达点需要的最少时间． 23．现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 24．如图，点为矩形边上一点，将沿折叠得到△，点的对应点为，且落在内部，延长分别交对角线与边于点、． (1)求证：． (2)当时， ①若，求的度数． ②若，，求的长度． 参考答案 1．B 【分析】本题考查的是利用锐角三角函数求解直角三角形的边长，直接利用锐角的三角函数计算即可． 【详解】解：在中，，设，，所对的边分别为，，， ，，， ，，，， 故选：B 2．D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，非负性，根据非负性求出，特殊角的三角函数值，求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 3．C 【分析】题目考查了特殊角的三角函数值和直角三角形的性质，关键是掌握特殊三角函数值．因为，可得，所以，即为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，勾股定理，根据坡度求出的长，再通过勾股定理即可求解，解题的关键是掌握解直角三角形的方法． 【详解】解：∵斜坡的坡度为， ∴，即， ∴， ∴， 故选：． 5．D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． 过点A作于点，得到，然后解，得到，然后根据线段和差以及三角形中线得到，则，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作于点， ， 是等腰直角三角形， ， ∵， ， ， ， 是中线， ， 中，． 故选：D． 6．C 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据题意得到，，米，根据正切的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，在中，，，米， ∴ 故选：C 7．A 【分析】本题考查了求角的正切值，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先分别求得、两点的坐标，再求得，，从而可求得的值． 【详解】解：∵直线与、轴分别交于、两点， 令，得， ∴， ∴， 令，得， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．B 【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．由矩形的性质可得、，再根据折叠的性质可得、，即，；由勾股定理可得 ，易证可得，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：矩形中，， ∴、， ∵将沿折叠到的位置， ∴、， ∴，， ∵， ∴， 在，和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9． 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，根据题意，利用锐角三角函数可以设，，然后根据勾股定理列方程即可求得的长．解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和勾股定理解答． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴，， 设，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查解直角三角形、含30度角的直角三角形、勾股定理，熟练掌握正弦以及余弦的定义是解此题的关键。 【小题1】， ， ． 故答案为：． 【小题2】 ， ， . 故答案为：. 11． 【分析】本题考查了等角对等边，三角形外角的性质定理，解决本题的关键是找出相等的角． 利用直角三角形求出相关角的度数，然后利用三角形的外角求出，得出，利用等角对等边即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则， 由图可得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 12． 【分析】本题考查了三角函数的应用，延长相交于点，利用角的性质求出相关线段长度，再利用勾股定理求解. 【详解】如图，延长，交于点． ， ． ， ， ． 故答案为：. 13． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．过作于点，过作于点，证明，推出，设，由，得到，，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过作于点，过作于点， 则． ． ， ， ， ， ． 设， 在Rt中，， ，，， ， ． （舍去）或，即， ， ． 或（舍去）． ． ． ． ． 故答案为：． 14．55 【分析】此题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，勾股定理，完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．过点C作于点E，，交的延长线于点F，证明，得，则，由勾股定理得，整理得①，由，则，由勾股定理得，整理得②，进而得，由此即可得出的值． 【详解】解：过点C作于点E，，交的延长线于点F，如图所示： ， ， 设， 在中，， ，， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 整理得：， ， ①， 在中，， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 整理得：， ， ②， 由①②得：， ， ， ， ， ， 由①②得：， ， ， ， ． 故答案为：55． 15． 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化-旋转、解直角三角形等知识点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 先根据图形旋转的性质得出，可得、、，再由点在中点得出，再解直角三角形可得，即，再求出，即；再解直角三角形得到、，即，进而求得k的值． 【详解】解：如图：过点作轴于点D，则， 将绕O点旋转至的位置，， ， ，，， 点在中点， ， ∴， ∴， ， ∵ ∴， ∴，， ∴， 在反比例函数图象上， ． 故答案为：． 16．6 【分析】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，线段之和最小问题，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，利用锐角三角函数解直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活构造辅助线． 点是点关于的对称点，连接，交于点，此时，值最小，即为的值，过点作，交于点，先求出，确定为等边三角形，再判定为等腰三角形，最后利用锐角三角函数求出，利用三线合一即可求解． 【详解】解：如图所示，点是点关于的对称点，连接，交于点， 此时，值最小，即为的值，过点作，交于点， 在矩形中，， ∴， ∴， 根据轴对称的性质得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∴为等腰三角形，又， ∴， ∴， 根据三线合一得，， 故答案为：6． 17．(1)3 (2) 【分析】本题考查了特殊三角函数的混合运算，有理数的四则混合运算，二次根式的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先代入特殊角的三角函数值，化为有理数的四则混合运算计算； （2）先代入特殊角的三角函数值，化为二次根式的四则混合运算计算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 18．， 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，由同角的余角相等可得，从而得出，解直角三角形得出，由勾股定理可得，设，则，再由勾股定理计算得出，从而得出，最后由正切的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：， ∴， ∴． 19．教学楼高约米 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系求解是解题关键． 作于点，作于点，由，求得米，由米知米，再根据四边形是矩形知米．由知米，从而得米． 【详解】解：过点作于点，过点作于点． 由题意得，米，米，，． 在中，， ， 米， 米， 米， 四边形是矩形， 米． 在中，， ． 米， 米． 答：教学楼高约米． 20．居民楼的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，设，则，在中，由勾股定理求得，求得，据此得出，过点作，垂足为，根据题意可得：，然后设，则，分别在 和中，利用锐角三角函数定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵斜坡的坡比， ， 设，则， 在中，， ， ， 解得：， ， 过点作，垂足为， 由题意得：， 设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ∴居民楼的高度约为． 21．(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）直接解求出的长即可得到答案； （2）过点B 作交直线于点Q， 过点P 作于点G，则四边形和四边形都是矩形，由矩形的性质得到，，解得到，则可得到，解求出的长，进而可求出的长． 【详解】（1）解：由题意得，在中，， ∴， ∴山坡的垂直高度约为； （2）解：如图所示，过点B 作交直线于点Q， 过点P 作于点G，则四边形和四边形都是矩形， ∴，， 由题意知， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：楼房的高度约为． 22．(1)海里 (2)小时 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义． （1）过点作于点，根据题意可得，海里，根据勾股定理可得海里，由，即可得结论； （2）作于点，证明四边形是矩形，可得海里，海里，根据勾股定理求出的长，进而可得救援船到达点需要的最少时间． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 根据题意可知：，海里， 海里， ， 海里， 海里． 答：观测点与点之间的距离为海里； （2）解：如图，作于点， ，，， 四边形是矩形， 海里，海里， 海里， 在中，根据勾股定理，得 海里， 小时． 答：救援船到达点需要的最少时间是小时． 23．(1)64；53； (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）过点C作，根据平行线的判定和性质求角度即可； （2）过点D作，过点E作，利用矩形的判定得出四边形为矩形，四边形为矩形，再结合图形，利用三角函数求解即可． 【详解】（1）解：过点C作， ∵垂直于， ∴， ∴， ∵与水平线平行， ∴， ∴， ∴， 故答案为：64；53； （2）解：过点D作，过点E作，如图所示： ∴四边形为矩形， 同理得：四边形为矩形， ∴， ∵为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．(1)见解析 (2)①② 【分析】（1）连接，利用折叠的性质得到，由矩形的性质得到，推出，即可得到，即可证明结论； （2）①根据矩形的性质以及折叠的性质得到，，进而推出，利用等腰三角形性质得到，最后结合三角形内角和即可得到； ②连接，过点作于点，结合矩形的性质证明四边形为矩形，利用勾股定理得到，设，则，，进而推出，，由折叠的性质可得，，结合建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）证明：利用折叠的性质得到， 矩形中，， ， ， ； （2）解①矩形沿折叠，点与点重合，， ，， ， ，， ， ， ； ②过点作于点， 四边形为矩形， ， 四边形为矩形， ，， ，， ， ，， ， ， 设，则，， ， ， 由折叠的性质可得，， ， ， ， ， ， 解得，经检验是方程的解， ． 学科网（北京）股份有限公司 $