精品解析：福建省莆田市第十五中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题

莆田第十五中学2025-2026学年九年级上数学第一次月考 满分：150分；考试时间：120分钟 一、单选题 1. 下面关于x的方程中一元二次方程是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为． 【详解】、中没有说明，原选项不符合题意； 、中等号左边是分式，原选项不符合题意； 、是一元二次方程，原选项符合题意； 、是一元一次方程，原选项不符合题意； 故选：． 2. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是  （ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，关键是理解一元二次方程的定义，正确求出二次项系数，一次项系数和常数项．先化为一般式，再根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， ，，， 故选：． 3. 将一元二次方程配方成的形式，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 使用配方法，通过添加一次项系数一半的平方来完成配方即可． 【详解】解：∵原方程为， ∴添加到两边， 得， 即． 故选：C． 4. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向下，则解析式中对应的二次项系数为负数，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴， 故选：A． 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式，进而可得出原方程有两个不相等的实数根．牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键． 【详解】解：∵，即 ∴，，， ∴， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 6. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】A 【解析】 【分析】主要考查了函数图象的平移，抛物线的顶点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据抛物线顶点的变换规律得到正确的选项 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是， 所以将顶点向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到顶点， 即将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到函数的图象． 故选：A． 7. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式即可得到答案，熟练掌握的顶点是是解题的关键 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：A 8. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象等知识．熟练掌握二次函数图象，一次函数图象是解题的关键．分别确定各选项中一次函数的的取值范围，然后判断各选项中对应的二次函数图象的正误即可． 【详解】解：A中的，此时的图象应该开口向下，此时矛盾，故不符合要求； B中的，此时的图象应该开口向上，对称轴，故符合要求； C中的，此时的图象应该开口向上，此时矛盾，故不符合要求； D中的，此时的图象应该开口向下，对称轴，此时矛盾，故不符合要求； 故选：B． 9. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 或2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的解的定义得到，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值． 【详解】解：把代入一元二次方程，得 ， 解得， 而，即． 所以k的值为． 故选A． 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．则下列结论①点，，是该抛物线上的点，则；②；③；④；⑤（为实数），其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，根据抛物线的开口向下且对称轴为直线知图像上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断①；根据抛物线的对称轴可判断②；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断③；由时可判断④；由时函数取得最大值可判断⑤．解题的关键是掌握：对于二次函数，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；当与同号时（即），对称轴在轴左侧；当与异号时（即），对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线， ∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大， ∵点，，是该抛物线上的点，且， ∴，故结论①错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，故结论②正确； ∵抛物线与轴的一个交点在和之间， ∴由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间， ∴抛物线与轴的交点在轴的负半轴，即，故结论③正确； ∵由③知，时，且， ∴，故结论④正确； 由函数图像知：当时，函数取得最大值， ∴（为实数）， 即（为实数），故结论⑤错误； ∴正确的是②③④． 故选：B． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程x2﹣2x=0的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】方程整理得：x(x﹣2)=0 可得x=0或x﹣2=0 解得：x1=0，x2=2 故答案为：x1=0，x2=2． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到判别式大于零，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：一元二次方程 的判别式为； 由题意，，即， 解得或； 故答案为：或． 13. 抛物线的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 ． 【详解】解：由抛物线可知， ∴当时，有最大值， 故答案为：． 14. 抛物线过，，三点，，，大小关系是（用 < 连接）________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数值的大小比较，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先判断抛物线开口向下，那么点远离抛物线的对称轴，则纵坐标越小，即函数值越小，据此求解即可． 【详解】解：，则， 那么抛物线开口向下， ∴点远离抛物线的对称轴，则纵坐标越小，即函数值越小， ∵对称轴为直线 ∴ ∴， 故答案为：． 15. 已知是方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分式的加法，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得，，再对通分化简，代入即可． 【详解】解：，是方程的两个根， ，， ． 故答案为：． 16. 二次函数自变量的部分取值和对应的函数值如下表所示： ... ... ... ... 下列说法正确的是__________．（填写序号） ①抛物线的对称轴为直线；②函数图像开口向上； ③当时，随的增大而增大；④当时，的取值范围是． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像与性质，结合表格中的数据逐一分析即可． 【详解】解析：∵当或时，函数值相等， 抛物线的对称轴为直线 ，①正确． ②当时的函数值大于当时的函数值， 当时的函数值是该函数的最小值， 函数图象开口向上，②正确． ③由①②得：当时，随的增大而增大， ③显然正确． ④当时，的取值范围为或， ④不正确． 综上所述， 正确的是①②③． 三、解答题 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用直接开平方法解方程即可． 【小问1详解】 解： 或 ∴； 【小问2详解】 解： ∴． 18. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解： 或 ∴； 【小问2详解】 解： 或 ∴． 19. 某市为减少汽车尾气污染，改善空气质量，鼓励市民选择新能源汽车作为出行的交通工具，并大力推进新能源汽车充电基础设施建设．据统计，该市2020年新建100座充电站，2022年新建169座，求该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程，难度不大． 设该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率为，，根据该市2020年底和2022年底的充电站数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设新建充电站的数量的年平均增长率为， 根据题意得：． 解得：，（舍去）． 答：该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率为． 20. 在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次，若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数． 【答案】参加聚会的人数是8人 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设参加聚会的人数是x人，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设有x个人参加聚会， 根据题意可得：， 所以， 解得，（不合题意舍去）， 所以参加聚会的人数是8人． 21. 某学校计划建一个长方形种植园，如图，种植园的一边靠墙，其余边用周长为的篱笆围成，已知墙a长为，设这个种植园垂直于墙的一边长为x（），种植园面积为y（）． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）根据实际需要，要求这个种植园的面积为，求篱笆的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意可知，则，再利用长方形的面积公式求出与的函数关系式，再结合题意可得，即可求出自变量的取值范围； （2）根据题意，代入到（1）中的函数关系式，求出的值，再结合的取值范围即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，， 则， ∴， 由题意得，， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：令，则， 解得：，， 由（1）得，， ∴， 答：篱笆的长为． 22. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：在方程中， ， 方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于1，即可得出关于的一元一次不等式，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，． 方程有一根小于1， ，解得：， 的取值范围为． 23. 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，平均每天可卖出80件．如果每件商品的售价每下降1元，则每天可多卖出10件．设每件商品的售价下降元（为正整数），每天的销售利润为元． （1）求销售利润（元）与下降价格（元）的函数关系式； （2）每件商品的售价下降多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）每件商品的售价下降6元时，每天的销售利润最大，最大利润是1960元 【解析】 【分析】（1）根据利润（原售价降价）销售量进行求解即可； （2）根据（1）所求，结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ； 【小问2详解】 解：由（1）得 ， ∵， ∴当时，y最大，最大值为1960， ∴每件商品的售价下降6元时，每天的销售利润最大，最大利润是1960元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系是解题的关键． 24. 综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）． 目标： （1）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． （2）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 【答案】（1）剪去的小正方形的边长为； （2）玩具机械狗不能完全放入该收纳盒，理由： 设小长方形的宽为，长，由题意得： ， 解得：， ∴小长方形的宽为， 当和两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为， ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，合理将实际问题转化成方程（组）是解题的关键． （1）设剪去的小正方形的边长，则无盖收纳盒的长为，宽为，列出方程求解即可； （2）设小长方形的宽为，长，列出方程组求解即可． 【小问1详解】 解：设剪去的小正方形的边长，则无盖收纳盒的长为，宽为，依题意得： ， 整理得： 解得：，（舍去）， ∴剪去的小正方形的边长． 【小问2详解】 略 25. 已知抛物线C：，顶点为． （1）求b，c的值； （2）若，抛物线与直线L：相交，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线轴交x轴于点N，交直线L于M点，设P点的横坐标为m，当时，求m的值； （3）点为y轴正半轴上一定点，点A、B均为y轴右侧抛物线C上两动点，若，求证：直线经过一个定点． 【答案】（1）， （2）m的值是或 （3） 证明：作点A关于y轴的对称点M，连接，如图： ∵抛物线关于y轴对称， ∴点M在抛物线上， ∵， ∴M、P、B三点共线， 设点，则点， 联立方程组， 可得，即， ∴此方程的两根是B、M两点的横坐标， 不妨设， 则， ∴， 代入，得， ∴， 设直线的解析式是， ∴，解得：， ∴直线的解析式是， ∴时，， ∴直线过定点． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的顶点式即可解答； （2）设点P的坐标为，则点，根据构建关于m的方程求解即可，注意取舍； （3）作点A关于y轴的对称点M，连接，如图，先证明M、P、B三点共线，设点，则点，联立方程组利用根与系数的关系求出，再利用待定系数法求出直线的解析式是，进而可得结论． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为， ∵顶点为， ∴，， ∴，即，； 【小问2详解】 解：时，抛物线的表达式为，如图： ∵P为y轴右侧抛物线C上一动点， ∴设点P的坐标为，则点， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）或或或（舍去）， ∴m的值是或； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特点、二次函数与一次函数的交点、二次函数与一元二次方程的关系等知识，熟练掌握二次函数的相关知识，灵活应用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第十五中学2025-2026学年九年级上数学第一次月考 满分：150分；考试时间：120分钟 一、单选题 1. 下面关于x的方程中一元二次方程是（     ） A. B. C. D. 2. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是  （ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 将一元二次方程配方成的形式，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 6. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 7. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 或2 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．则下列结论①点，，是该抛物线上的点，则；②；③；④；⑤（为实数），其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ③④⑤ 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程x2﹣2x=0的解是_____． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 13. 抛物线的最大值为______． 14. 抛物线过，，三点，，，大小关系是（用 < 连接）________． 15. 已知是方程的两个根，则______． 16. 二次函数自变量的部分取值和对应的函数值如下表所示： ... ... ... ... 下列说法正确的是__________．（填写序号） ①抛物线的对称轴为直线；②函数图像开口向上； ③当时，随的增大而增大；④当时，的取值范围是． 三、解答题 17. 解方程 （1） （2） 18. 解方程： （1） （2）． 19. 某市为减少汽车尾气污染，改善空气质量，鼓励市民选择新能源汽车作为出行的交通工具，并大力推进新能源汽车充电基础设施建设．据统计，该市2020年新建100座充电站，2022年新建169座，求该市这两年新建充电站的数量的年平均增长率． 20. 在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次，若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数． 21. 某学校计划建一个长方形种植园，如图，种植园的一边靠墙，其余边用周长为的篱笆围成，已知墙a长为，设这个种植园垂直于墙的一边长为x（），种植园面积为y（）． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）根据实际需要，要求这个种植园的面积为，求篱笆的长． 22. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 23. 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，平均每天可卖出80件．如果每件商品的售价每下降1元，则每天可多卖出10件．设每件商品的售价下降元（为正整数），每天的销售利润为元． （1）求销售利润（元）与下降价格（元）的函数关系式； （2）每件商品的售价下降多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 24. 综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）． 目标： （1）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． （2）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 25. 已知抛物线C：，顶点为． （1）求b，c的值； （2）若，抛物线与直线L：相交，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线轴交x轴于点N，交直线L于M点，设P点的横坐标为m，当时，求m的值； （3）点为y轴正半轴上一定点，点A、B均为y轴右侧抛物线C上两动点，若，求证：直线经过一个定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $