精品解析：辽宁省营口市盖州市2025-2026学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2025-2026学年度（上）期中教学质量检测 八年级数学试题 （考试时间：90分钟 试卷总分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A. 5、8、2 B. 2、5、4 C. 4、3、5 D. 8、14、7 2. 下列数字图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知三角形三个内角的比为，则这个三角形三个外角的比为（ ） A. B. C. D. 4. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中与一定相等的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图所示，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，那么∠A＋∠P的度数为(　　) A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 7. 如图，已知，要使，则可以添加下列哪一个条件（　　） A. B. C. D. 8. 如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在中，，，的平分线交于点，若．则（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 10. 如图，中，，的角平分线相交于点，延长至，使，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点关于轴的对称点，则_____． 12. 已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角是_____________． 13. 如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在直线上的点_____． 14. 如图，在中，的垂直平分线交、于点E、D，，的周长为24，则_____． 15. 如图，在等腰中，，，，，，交于点，点为中点．连接交于点，若，则_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）在中，，比大，求的度数； （2）如图，已知，点为上一点．尺规作图：作直线，（保留作图痕迹，关于直线对称，直线交直线于，交直线于．（保留作图痕迹．不写作法） 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）画出关于轴对称的图形． （2）已知为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 18. 如图，在中，，于点，且，求的度数． 19. 如图，是的平分线，是上一点，于，于，是上的另外一点，连接，．求证：． 20. 如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21. 如图，在中，分别是外角和的平分线，它们交于点． （1）求证：为的平分线． （2）求证：． 22. 如图1，在中，，点在上，点为延长线上一点，连接，． （1）初步探究：当时，求证：； （2）解决问题：如图2，在（1）的条件下，当为等边三角形时，求证：； （3）类比探究：如图3，在（2）的条件下，过点作，交延长线于点，延长至点，使，连接、．请你猜想的形状并证明你的猜想． 23. 通过对下面图形的学习，解决下列问题： [模型建立]（1）如图1，在直线上有一点，作，且，分别过点、作、，由，得，又，可以推理得出．我们把这个模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． [模型应用]（2）如图2，在（1）得条件下，在上取点，当时，求证：． （3）如图3，在平面直角坐标系中，，，，过点作且，连接，求证：． [模型拓展]（4）如图4，在中，，延长至点，使，过点作，在上找一点，连接，过点作交延长线于点，当，，时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）期中教学质量检测 八年级数学试题 （考试时间：90分钟 试卷总分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A. 5、8、2 B. 2、5、4 C. 4、3、5 D. 8、14、7 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析． 【详解】A．2+5<8，不能组成三角形，故此选项符合题意； B．2+4＞5，能组成三角形，故此选项不符合题意； C．3+4＞5，，能组成三角形，故此选项不符合题意； D．8+7＞14，，能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 2. 下列数字图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.是轴对称图形，符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C 3. 已知三角形三个内角的比为，则这个三角形三个外角的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角与内角和定理，先设三角形三个内角分别为，，，再根据三角形的内角和定理列式，得出每个具体的角，再算出对应的外角，最后化简，即可解答． 【详解】解：三角形三个内角的比为， 设这三个内角分别为，，， ， 解得， 这三个内角分别为，，， 这三个内角的外角分别为，，， 这个三角形三个外角的比为，即， 故选：B 4. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：点P（-1，3）关于x轴对称的点的坐标是（-1，-3）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 5. 将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中与一定相等的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、同角或等角的余角（补角）相等，互余和互补的概念等知识，掌握这些知识是解题的关键． 利用两块三角板的三个已知角，再根据摆放方式，利用同角或等角的余角（补角）相等、平行线的性质即可确定答案． 【详解】解：由图①知，根据同角的余角相等得：； 由图②知，根据等角的补角相等得：； 由图③知，根据两直线平行，内错角相等得：； 由图④知，，则，故与不一定相等； ∴图中与一定相等的有3个， 故选：C． 6. 如图所示，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，那么∠A＋∠P的度数为(　　) A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线性质得∠ABC=40°,∠ACM=100°,利用三角形外角性质即可求解. 【详解】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°， ∴∠ABC=2∠ABP=40°,∠ACM=2∠ACP=100°, ∴∠A=∠ACM-∠ABC=100°-40°=60°, ∠ACB=180°-∠ACM=80° ∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130° ∵∠PBC=20° ∴∠P=180°-∠PBC-∠BCP=30°, ∴∠A＋∠P=90°. 故答案为90°. 【点睛】本题考查了三角形的角平分线性质、外角性质,中等难度,熟悉概念是解题关键. 7. 如图，已知，要使，则可以添加下列哪一个条件（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定，已知两边，若要证明，只需添加夹角相等，由此可求解． 【详解】A．∵， 若，则， ∵， ∴， 故A正确； B．当时， ∵， ∴已知两边对应相等，一个角对应相等，但不是夹角， ∴不能判断， 故B不正确； C，当时， ∵， ∴已知两边对应相等，一个角对应相等，但不是夹角， ∴不能判断， 故C不正确； D．当与不可能相等， ∴不能判断， 故D不正确； 故选：A． 8. 如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，，，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质得出，，根据，，即可求出线段的长． 【详解】解：， ，， 在和中， , ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质的应用，能判定是解此题的关键． 9. 如图，在中，，，的平分线交于点，若．则（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，由直角三角形锐角互余可得，又平分，则，通过直角三角形性质可得，最后通过等角对等边即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 10. 如图，中，，的角平分线相交于点，延长至，使，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，可证明得到，则可判断①；由角平分线的定义和三角形内角和定理可推出，则由三角形外角的性质可得，进而可求出，由周角的定义可得，据此可判断②；证明，得到，据此可判断④；根据现有条件无法证明，故③错误． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵的角平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 根据现有条件无法证明，故③错误； ∴正确的有3个， 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点关于轴的对称点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的点的坐标特征，关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同． 根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相同，列出方程求解m和n，再计算它们的和即可． 【详解】解：∵点关于轴的对称点， ∴，， ∴． 故答案为：． 12. 已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角是_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．分两种情况：若角为顶角或角为底角，即可求解． 【详解】解：若角为顶角，此时它的顶角是； 若角为底角，此时它的顶角是； 综上所述，它的顶角是或． 故答案为：或 13. 如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在直线上的点_____． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用轴对称求最短路径问题． 利用轴对称的性质，将其中一点关于直线对称，根据“两点之间线段最短”确定点的位置． 【详解】解：①作对称点： 作点关于直线l的对称点． ②确定点： 连接，与直线交于点，由“两点之间线段最短”可知，此时最短．观察图形可知，点应选在点处． 故答案为：． 14. 如图，在中，的垂直平分线交、于点E、D，，的周长为24，则_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质可得：，，再利用周长公式即可求解． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴，， ∵的周长为24， ∴，即， ∴． 故答案为：7． 15. 如图，在等腰中，，，，，，交于点，点为中点．连接交于点，若，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，根据等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理求出，，，根据三角形内角和定理求出，根据等角对等边得出，根据三线合一的性质得出，则是的垂直平分线，连接，则，根据等边对等角求出，进而求出，根据等角对等边得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又点为中点， ∴， ∴是的垂直平分线， 连接， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， 故答案为：6． 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）在中，，比大，求的度数； （2）如图，已知，点为上一点．尺规作图：作直线，（保留作图痕迹，关于直线对称，直线交直线于，交直线于．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】（1）； （2）如图所示，直线即为所作： 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和，作线段的垂直平分线． （1）根据三角形内角和作答即可； （2）要使得点与点关于直线对称，则应连接，使直线为的垂直平分线即可，所以作的垂直平分线即可． 【详解】（1）解： 比大 ． （2）略 17. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）画出关于轴对称的图形． （2）已知为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，画轴对称图形，解题的关键是数形结合． （1）根据关于轴轴对称的特点，找到各个点的对应点，再依次连接即可； （2）根据三角形的面积公式求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 点的坐标为或． 18. 如图，在中，，于点，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的证明及基本性质，能够正确作出辅助线是解题关键； 在上截取，连接，可证得，再通过全等三角形性质以及线段的和差关系得到，进而，再利用三角形的内角和即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 19. 如图，是的平分线，是上一点，于，于，是上的另外一点，连接，．求证：． 【答案】 证明：是的平分线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，证明，推出，证明，即可推出． 【详解】略 20. 如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）8 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，证明，即可得证； （2）证明为等边三角形．得出，由直角三角形的性质可得，求出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 21. 如图，在中，分别是外角和的平分线，它们交于点． （1）求证：为的平分线． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：如图，过点作，，， 分别是外角和的平分线， ，， ， ，， 为的平分线； （2） 解：是的外角，是的外角， ，， 分别是外角和的平分线， ，， ， 为的平分线， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质性质，三角形外角的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． （1）过点作，，，根据角平分线的性质，得出，即可证明结论； （2）由三角形外角的性质和角平分线的定义，得到，，进而得到，再结合，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图1，在中，，点在上，点为延长线上一点，连接，． （1）初步探究：当时，求证：； （2）解决问题：如图2，在（1）的条件下，当为等边三角形时，求证：； （3）类比探究：如图3，在（2）的条件下，过点作，交延长线于点，延长至点，使，连接、．请你猜想的形状并证明你的猜想． 【答案】（1） 证明：， ， ∴， ， ， ， ， ； （2） 证明：如图，过点作交于点， ，， 为等边三角形， ， ，， ， ，， ， ， ； （3） 是等边三角形，证明如下： 证明：， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，结合三角形的外角性质推出，根据可得，即可得证； （2）过点作交于点，得到，，根据等边三角形的性质推出，证明，得到，即可得证； （3）证明得到，，推出，得到，，即可判定． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 23. 通过对下面图形的学习，解决下列问题： [模型建立]（1）如图1，在直线上有一点，作，且，分别过点、作、，由，得，又，可以推理得出．我们把这个模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． [模型应用]（2）如图2，在（1）得条件下，在上取点，当时，求证：． （3）如图3，在平面直角坐标系中，，，，过点作且，连接，求证：． [模型拓展]（4）如图4，在中，，延长至点，使，过点作，在上找一点，连接，过点作交延长线于点，当，，时，求的面积． 【答案】 [模型应用] （2）证明：由（1）， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：过点作于点 则， ∴， ， ， ， ，， ， ，， ，，， ，，， ， ， ， ， ； [模型拓展]（4）8 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： [模型应用] （2）由（1）可得，，证明是等腰直角三角形，得出，则，根据等式性质可得出，即可得证； （3）过点作于点，证明，得出，，然后证明和都是等腰直角三角形，则可得出，即可得证； [模型拓展]（4）过点作，垂足为点，证明，得出，证明，，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】[模型应用]（2）略 （3）略 [模型拓展]（4）解：过点作，垂足为点， 同理可证， 同理可证 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $