精品解析：山东省淄博市沂源县某校2025-2026学年九年级上学期第一次测试数学试题

2025－2026学年初四上学期数学核心素养检测 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是反比例函数，则a的取值为 A. 1 B. ﹣l C. ±l D. 任意实数 3. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，点是反比例函数图像上的点，点分别在x轴，y轴正半轴上．若四边形为菱形，轴，，则k的值（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 7. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 与的函数表达式是 C. 当时， D. 当时，则 8. 在中，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为(－3，4)，反比例函数的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，的面积为1，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 在中，，，则______． 12. 在反比例函数的图象每一条分支上，都随的增大而增大，则的取值范围是_______． 13. 已知一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中图象如图所示，则当时，x的取值范围是 _______________． 14. 如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上且BC：CA＝1：2，双曲线y＝（x＞0）经过点C，则k＝_____． 15. 如图，在四边形中，，，，，则线段AD的长为___________. 三、解答题 16 计算： （1）； （2）． 17. 已知两点A（，2），B（n，）是一次函数和反比例函数图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）求△AOB面积． 18. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求线段的长． 19. 如图，在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点在第一象限内，，． （1）求：点的坐标． （2）求：的值． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与x轴相交于N点． （1）求一次函数的表达式： （2）求的面积； （3）在直线AB上是否存在点P，使得，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 21. 如图，已知一次函数y=ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于点C，作CD⊥x轴于D，若OA=OD=OB=3． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象直接写出不等式0＜ax+b≤的解集； （3）在y轴上是否存在点P，使得△PBC是以BC为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于． （1）求m、n的值及反比例函数的表达式； （2）求的面积： （3）将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出﹣x＞的解集； （3）将直线l1：y＝﹣x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年初四上学期数学核心素养检测 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的一般式是是解题的关键． 根据反比例函数的一般式是对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，不符合反比例函数的一般形式，故本选项不合题意； B．属于正比例函数，不符合反比例函数的一般形式，故本选项不合题意； C． 符合反比例函数的一般形式，故本选项符合题意； D．不符合反比例函数的一般形式，故本选项不合题意； 故选：C． 2. 若是反比例函数，则a的取值为 A. 1 B. ﹣l C. ±l D. 任意实数 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵是反比例函数， ∴． 故选A． 3. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除A，C选项； 当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键． 4. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的图象与性质，结合各点的纵坐标求出对应的横坐标，再比较大小即可． 【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上， ，，， ，，， ， 故选：A． 5. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作于点D，在中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可． 【详解】解：如图，过点A作于点D，则， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 6. 如图，点是反比例函数图像上的点，点分别在x轴，y轴正半轴上．若四边形为菱形，轴，，则k的值（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过点作轴于点，由菱形的性质及面积可得出，证得四边形为矩形，得出，则可得出答案． 【详解】解：连接，过点作轴于点， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 轴，轴， ， 四边形为矩形， ， ， ， 故选：B 【点睛】本题考查反比例函数图象点的特点，菱形的性质和面积．熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 7. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 与的函数表达式是 C. 当时， D. 当时，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，求反比例函数的表达式是解决问题的关键，根据题意求出函数表达式，根据函数表达式结合图象逐个分析选项即可完成求解． 【详解】设反比例函数的解析式为， 把点坐标代入得：，解得：， 即函数解析式为：，故B不正确； 当时，即，解得：；故A不正确； 当时，， 由图象知，当时，，故C不正确； 当时，，当时，， 图象表明当时，则，故D正确； 故选：D． 8. 在中，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，绝对值的非负性，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 解得：，， ∴， ∴是钝角三角形， 故选B． 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为(－3，4)，反比例函数的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E ， ∵ 顶点 C 的坐标为 (−3,4) ，∴OE=3,CE=4 ，∴OC=5 ， ∵ 四边形 ABOC 是菱形，∴OB=OC=AC=5, ∴点A（-8,4），∴直线AO的解析式为：y= x,∵DB⊥x 轴，点D为直线AO 与BD交点，点B和点D的横坐标都为-5，∴ 点 D 的坐标为： (−5， ) ， ∵ 反比例函数 y=kx 的图象与菱形对角线 AO 交 D 点， ∴k=， 故选B. 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，的面积为1，则k的值为（ ） A B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设D点坐标为，表示出E、F、B点坐标，求出的面积，列方程即可求解． 【详解】解：设D点坐标为， ∵四边形ABCD是矩形，则A点坐标为，C点纵坐标为， ∵点E为AC的中点，则E点纵坐标为， ∵点E在反比例函数图象上，代入解析式得，解得，， ∴E点坐标为， 同理可得C点坐标为， ∵点F在反比例函数图象上，同理可得F点坐标为， ∵点E为AC的中点，的面积为1， ∴，即，可得，， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质和矩形的性质，解题关键是设出点的坐标，依据面积列出方程． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 在中，，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．根据特殊锐角三角函数的概念，求得，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 在反比例函数的图象每一条分支上，都随的增大而增大，则的取值范围是_______． 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质和图象可以得到，即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象每一条分支上，都随的增大而增大， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型． 13. 已知一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中图象如图所示，则当时，x的取值范围是 _______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．根据图象知，两个函数的图象的交点是，，由图象可以直接写出当时所对应的x的取值范围． 【详解】解：根据图象知，一次函数与反比例函数的交点是，， 故当时，或． 故答案为：或． 14. 如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上且BC：CA＝1：2，双曲线y＝（x＞0）经过点C，则k＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论． 【详解】解：连接OC， ∵点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B， ∴S△OAB＝×6＝3， ∵BC：CA＝1：2， ∴S△OBC＝3×＝1， ∵双曲线y＝（x＞0）经过点C， ∴S△OBC＝|k|＝1， ∴|k|＝2， ∵双曲线y＝（x＞0）在第一象限， ∴k＝2， 故答案为2． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 15. 如图，在四边形中，，，，，则线段AD的长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】连结AC，先在Rt△ABC中，根据正切函数的定义求得tan∠ACB，进而求得∠ACB=30，于是AC=2AB=4，由∠BCD=120，得出∠ACD=∠BCD-∠ACB=90．然后在Rt△ADC中，利用勾股定理即可求出AD的长． 详解】如图，连接AC， 在中，，， ， ， ∵， ， ， ， ， 在中，，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，根据题意作出辅助线，得出∠ACD=90是解答此题的关键． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，二次根式的性质，立方根的定义，特殊角的三角函数值，零指数幂，掌握二次根式的性质，立方根的定义，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值直接计算即可； （2）根据二次根式，立方根，特殊角的三角函数值，零指数幂即负指数幂计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 17. 已知两点A（，2），B（n，）是一次函数和反比例函数图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）求△AOB的面积． 【答案】（1）， （2）6 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求反比例函数解析式，再将点B（n，）代入反比例函数解析式，求出B点坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）先求出一次函数图象与x轴的交点坐标，再利用三角形的面积进行求解即可． 【小问1详解】 将点A（，2）代入反比例函数，得， 解得， 反比例函数解析式为； 把点B（n，）代入反比例函数，得， 解得，即， 把A、B坐标代入一次函数，得， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 当时，， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握知识点并运用数形结合的思想是解题的关键． 18. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求线段的长． 【答案】（1）反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的表达式为，再分别求得的坐标，据此即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴直线的表达式为， ∵时，， 解得，则， ∵时，， 解得，则， ∴． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法是求函数解析式的基本方法． 19. 如图，在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点在第一象限内，，． （1）求：点的坐标． （2）求：的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作轴，垂足为，根据，求出，根据勾股定理求出，即可作答； （2）由（1）得出，根据勾股定理求出，根据勾股定理求出，根据锐角三角函数的定义求出即可． 本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的应用，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键，主要培养了学生的计算能力和推理能力，题目较好，难度适中． 【小问1详解】 解：作轴，垂足为， ，， ， 由勾股定理得：， ∴ 【小问2详解】 解：点的坐标为， ， ∵ ， ， ． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与x轴相交于N点． （1）求一次函数的表达式： （2）求的面积； （3）在直线AB上是否存在点P，使得，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）3 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标； （2）将△AOB的面积转化为的面积即可； （3）设，结合，，列出方程，求出y值，进而即可确定点P坐标． 【小问1详解】 解：∵点A在反比例函数上， ∴， 解得， ∴点A的坐标为， 又∵点B也在反比例函数上， ∴， 解得． ∴点B的坐标为， 又∵点A、B在的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 直线与x轴的交点为N， 当时，， ∴点N的坐标为， ∴； 小问3详解】 设，由（2）知，则， ∵， ∴， ∴， 则或， 将代入中，得， 解得， 将代入中，得， 解得， 故点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键． 21. 如图，已知一次函数y=ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于点C，作CD⊥x轴于D，若OA=OD=OB=3． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象直接写出不等式0＜ax+b≤的解集； （3）在y轴上是否存在点P，使得△PBC是以BC为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由 【答案】（1）；（2）-3≤x＜0；（3）存在满足条件的点P，其坐标为（0，-1）或（0，9）或（0，12） 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例性质可得，求出A（3，0），B（0，4），C（-3，8），再用待定系数法求解；（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围：0＜-x+4≤-；（3）△PBC是以BC为一腰的等腰三角形，有BC=BP或BC=PC两种情况. 【详解】解：（1）∵CD⊥OA， ∴DC∥OB， ∴， ∴CD=2OB=8， ∵OA=OD=OB=3， ∴A（3，0），B（0，4），C（-3，8）， 把A、B两点的坐标分别代入y=ax+b可得 ，解得， ∴一次函数解析式为， ∵反比例函数y=的图象经过点C， ∴k=-24， ∴反比例函数的解析式为y=- （2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围， 即线段BC（包含C点，不包含B点）所对应的自变量x的取值范围， ∵C（-3，8）， ∴0＜-x+4≤-的解集为-3≤x＜0 （3）∵B（0，4），C（-3，8）， ∴BC=5， ∵△PBC是以BC为一腰的等腰三角形， ∴有BC=BP或BC=PC两种情况， ①当BC=BP时，即BP=5， ∴OP=BP+OB=4+5=9，或OP=BP-OB=5-4=1， ∴P点坐标为（0，9）或（0，-1）； ②当BC=PC时，则点C在线段BP的垂直平分线上， ∴线段BP的中点坐标为（0，8）， ∴P点坐标为（0，12）； 综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，-1）或（0，9）或（0，12） 【点睛】考核知识点：相似三角形，反比例函数.数形结合分类讨论是关键. 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于． （1）求m、n的值及反比例函数的表达式； （2）求的面积： （3）将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． （1）将，代入求出，的值，再把点坐标代入反比例函数，求出的值即可； （2）先求出的长，再利用即可得出结论； （3）先得出直线平移后的解析式，再与反比例函数的解析式联立得出关于的一元二次方程，由直线与反比例函数的图象有唯一交点得出的值，再由即可得出结论． 【小问1详解】 解：将，代入得， ，， 解得，， 将代入，得，即； 【小问2详解】 解：，当时，， 即， ， ， ； 【小问3详解】 解：直线向下平移个单位得新直线， 与联立得， 消得，化简得， 直线与反比例函数的图象有唯一交点， ， 解得或， ， （舍去）， 即． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出﹣x＞的解集； （3）将直线l1：y＝﹣x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式． 【答案】（1） ；（2）y=﹣x+； 【解析】 【分析】（1）直线l1：y= - x经过点A，且A点的纵坐标是2，可得A（-4，2），代入反比例函数解析式可得k的值；(2)根据图象得到点B的坐标，进而直接得到﹣ x＞ 的解集即可;（3）设平移后的直线 与 x 轴交于点 D，连接 AD，BD，由平行线的性质可得出S△ABC=S△ABF，即可得出关于OD的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）∵直线 l1：y＝﹣x 经过点 A，A 点的纵坐标是 2， ∴当 y＝2 时，x＝﹣4， ∴A（﹣4，2）， ∵反比例函数 y＝的图象经过点 A， ∴k＝﹣4×2＝﹣8， ∴反比例函数的表达式为 y＝﹣； (2)∵直线 l1：y＝﹣x 与反比例函数 y＝的图象交于 A，B 两点， ∴B（4，﹣2）， ∴不等式﹣ x＞ 的解集为 x＜﹣4 或 0＜x＜4； (3)如图，设平移后的直线 与 x 轴交于点 D，连接 AD，BD， ∵CD∥AB， ∴△ABC 的面积与△ABD 的面积相等， ∵△ABC 的面积为 30， ∴S△AOD+S△BOD＝30，即 OD（|yA|+|yB|）＝30， ∴×OD×4＝30， ∴OD＝15， ∴D（15，0）， 设平移后的直线 的函数表达式为 y＝﹣x+b， 把 D（15，0）代入， 可得 0＝﹣×15+b， 解得 b＝， ∴平移后的直线 的函数表达式为 y＝-. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征．三角形的面积公式以及平行线间的距离公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $