精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市克东县第三中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

克东三中九年级期中数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，本大题满分30分．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．判断一个图形是否既是轴对称图形又是中心对称图形，需要分别依据这两个定义去分析图形的特征，逐项分析选项即可求解． 【详解】、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b＝（　　） A. ﹣1 B. 4 C. ﹣4 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，然后再计算a+b 即可． 【详解】∵点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称， ∴a=4，b=﹣3， ∴a+b=1， 故选D． 【点睛】考查关于原点对称的点的坐标特征，横坐标、纵坐标都互为相反数． 3. 如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（　　） A. AE=BE B. C. OE=DE D. ∠DBC=90° 【答案】C 【解析】 【详解】∵CD⊥AB， ∴AE=BE，， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DBC=90°， 不能得出OE=DE． 故选C． 4. 已知抛物线过，，，四点，则与的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性．根据，两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，C、D两点与对称轴的远近，判断与的大小关系． 【详解】解：∵抛物线过，两点， ∴抛物线的对称轴为， ∵，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小， ∵，， 比较可知C点比点D离对称轴远， ∴对应的纵坐标值小， 即， 故选：C． 5. 如图，的直径过弦的中点G，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理及垂径定理．根据垂径定理得出，再利用圆周角定理得出． 【详解】解：∵的直径过弦的中点G， ∴ ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根、根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由方程根的定义和根与系数的关系，整体代入求值． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴ ， 即 ， 又∵ 、是方程的两个实数根， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 7. 下列命题中正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于这条弦 B. 两个相等的圆心角所对的弧一定相等 C. 直径是一个圆中最长的弦 D. 同圆中两条等弦所对的弧相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质． 根据圆的基本性质逐一分析即可． 【详解】解：A．平分弦（直径除外）的直径垂直于这条弦，原命题错误； B．同圆或等圆中，两个相等的圆心角所对的弧一定相等，原命题错误； C．直径是一个圆中最长的弦，正确； D．若一条是劣弧，另一条是优弧，则弧长不等，原命题错误； 故选：C． 8. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握好旋转的性质是解题关键． 由旋转的性质可得，，根据推断出，利用等腰三角形的性质计算出即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，面积为8的正方形中，点为对角线上一点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接．当时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形性质可得，，，由旋转的性质可得，， 证明，从而得到，，继而得到，再由勾股定理可得，然后设设，则，，，然后根据勾股定理，再解方程即可求解． 【详解】解：连接， 正方形的面积为8，设正方形的边长为， ， 解得， 则正方形的边长为， 对角线， 绕点顺时针旋转90°得到， ， 又， 所以， 又， 所以， 且，设，则， 在中，，，， 由，得， 解得，（负值舍去）， ， 故选：A． 10. 如图，已知二次函数的图象经过点，，其中，，对称轴为，则下列结论：①；②（为任意实数）；③方程的两根为，；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，包括对称轴、函数值、方程的根以及函数图象与系数的关系．解题的关键是熟知二次函数的对称轴公式、函数图象的性质以及方程的根与函数图象的关系． 对于①根据对称轴公式为，以及对称轴为，即可得出结论； 对于②根据对称轴为，函数图象开口向下，所以当时，二次函数取得最大值，对任意实数，有，可得，将该不等式进行变形，即可得出结论； 对于③方程的根就是二次函数与直线交点的横坐标，因为二次函数过点，结合对称轴为，可得该二次函数过另一点，由此得出结论； 对于④根据二次函数的图象经过点，所以，又因为对称轴为，且图象经过点，，可得，结合图象，即可得出结论． 【详解】对于二次函数，其对称轴公式为，已知对称轴为，则，变形可得，故①错误； 因为对称轴为，函数图象开口向下，所以当时，二次函数取得最大值，最大值为，对于任意实数，，则，两边同时减去，得到，故②正确； 方程的根就是二次函数与直线交点的横坐标，因为二次函数过点，且对称轴为，所以另一个交点的横坐标为，即方程的两根为，，所以③正确； 已知二次函数的图象经过点，所以，又因为对称轴为，且图象经过点，，根据二次函数图象的对称性，与轴的另一个交点的横坐标满足，，由，可得，那么，因为，所以，结合图象，当时，，所以④正确． 综上所述，②③④正确，正确的结论有个． 故选：． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根可以得到判别式大于零，从而求出结果． 【详解】解：根据题意，得且， 解得且， 所以m的取值范围为且 故答案为：且． 12. 的半径是10，弦，，，则与的距离是______． 【答案】2或14 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，    过点作，垂足为，交于点，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图，    过点作于点，反向延长交于点，连接， 同理， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 13. 三角形两边长分别是4和2，第三边长是2x2﹣9x+4＝0的一个根，则三角形的周长是_____． 【答案】10． 【解析】 【分析】先利用因式分解法求出方程的解，再由三角形的三边关系确定出第三边，最后求周长即可． 【详解】解：方程2x2﹣9x+4＝0， 分解因式得：（2x﹣1）（x﹣4）＝0， 解得：x＝或x＝4， 当x＝时，+2＜4，不能构成三角形，舍去； 则三角形周长为4+4+2＝10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，正确使用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键. 14. 如图，直径，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．连接，由，得到是等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵直径， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转，所得到的对应点的坐标为______． 【答案】和##和 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的变换-旋转，根据旋转中心为点O，旋转角度，有两种情形，作出点P的对应点，可得所求点的坐标． 【详解】解：如图所示，点的坐标为和． 故答案为：和． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点处．点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点、，则点的横坐标为________． 【答案】12152 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的变换．然后通过旋转发现，每两个偶数之间的B相差12个单位长度，根据这个规律可以求得的横坐标，再求得点的横坐标． 【详解】解：∵点、， ∴， ∴， ∴， 观察图象可知，点的纵坐标为4， ∵， ∴点的横坐标为， ， ∴点的横坐标为12152． 故答案为：12152． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 用适当的方法解下列方程： ． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 先移项，再利用因式分解法解方程． 【详解】解： 或 ∴，． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 【答案】（1）证明：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证； （2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 19. 如图，中，为的直径，交于点，交于点，．求证：． 【答案】 证明：如图，连接， 是的直径， ， ， 又， 是的垂直平分线， ． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直径所对的圆周角是直角．连接，根据圆周角定理可知，根据可知是的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等可证结论成立． 【详解】略 20. 如图，已知二次函数过点，． （1）求此二次函数的解析式； （2）将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标； 【答案】（1） （2）平移后函数的解析式为，顶点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质、待定系数法、二次函数图象的平移，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）根据平移方式将平移后的解析式写出，用配方法即可求出其顶点坐标． 【小问1详解】 解：将，代入二次函数解析式，有： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：平移后的函数解析式为： ， 化简得：， ， ∴顶点坐标为：； 综上，平移后函数的解析式为，顶点坐标为． 21. 如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好过圆心，连接． （1）若，，求的半径． （2）若，求的度数． 【答案】（1）的半径为10； （2）． 【解析】 【分析】（1）设，利用勾股定理构建方程求解； （2）证明，可得结论． 【小问1详解】 解：设， ∵，是直径， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的半径为10； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 22. 如图，在矩形中，，，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形（旋转角大于0°且小于）． （1）如图①，当点F落在的延长线上时，则的长为______； （2）如图②，当点E在上时，连接、，求证：四边形是平行四边形； 【答案】（1）1 （2） 证明：连接，如图， 四边形是矩形， ， 根据旋转可得， ． 将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质和矩形的性质可得，再根据勾股定理即可得解； （2）连接，根据矩形的性质和旋转的性质可证，再证明，可得，即可得证． 【小问1详解】 解：将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形， ， ， ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，综合应用相关知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 23. 综合与实践 探究方法：如图1，在正方形中，已知，，点E、F分别在、上，． （1）如图1，把绕点A逆时针旋转至，直接写出线段、和之间的数量关系； 方法迁移： （2）如图2，在四边形中，已知，，点E、F分别在、上，，若、都不是直角，但满足，（1）的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； 问题应用与拓展： （3）如图1，若，，则______； （4）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，若，则的长为______． 【答案】（1）； （2）成立， 理由：如图，把绕点旋转到，使和重合， 则，，， ， ， 、、在一条直线上， 与（1）同理得，， 在和中， ， ， ， ， ； （3）6；（4）5 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，，求出，证，根据全等三角形的性质得出，即可求出答案； （2）结合（1）中证明过程即可求解； （3）设，则，，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （4）作旋转后的三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出，，根据旋转的性质得出，，，求出，证，根据全等得出，设，则，，根据勾股定理得出方程，求出即可． 【详解】解：（1）把绕点逆时针旋转至，使与重合， ，，，， ， 、、共线， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （2）略 （3）设，则，，由（1）得， 在中，，即， 解得，（舍去）； 即； （4）中，，， ， 由勾股定理得：， 如图，把绕点旋转到，使和重合，连接． 则，，， ， ， ， 在和中， ， ， 设，则， ， ， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用．运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高． 24. 如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与直线和抛物线交于、两点，连接、、． （1）求抛物线的解析式； （2）当的面积为时，求点的坐标； （3）当时，的值为______； （4）当的值最大时，的值为______． 【答案】（1） （2）或 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）将点、、的坐标代入即可； （2）利用点、的坐标求出直线的解析式，推出点，点的坐标，根据的面积列出方程，求出的值，即可求解； （3）根据等腰三角形的判定和性质推得。结合题意得出，过点作，则，，，根据等角的余角相等得出，结合三角函数的定义得出，求得，即可列出方程，解方程求出的值，结合题意即可求解； （4）根据两点间的距离公式求出，结合二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：将点、、代入，得， 解得：， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为：， 将、坐标代入，得， 解得：， 故直线的解析式为：； ∵点是线段上的一个动点，，点、分别是抛物线和直线上的点， 故点坐标为，点坐标为， ∴， ∵， 且，的面积为， ∴， 解得或， 当时，， 故点的坐标为； 当时，， 故点的坐标为． 故当的面积为时，点的坐标为或． 【小问3详解】 解：根据题意可得， 即是等腰直角三角形， ∴； 当时，， 即， 过点作，则，，， ∵，， ∴， 在中，， 故在中，， ∴，， 由（2）可得点坐标为， 即， 解得或， 当时，此时点坐标为，即此时点与点重合，不符合题意，舍去； 故答案为：． 【小问4详解】 解：由（2）可得点坐标为，， 故， 故， 即当时，的值最大． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，求一次函数的解析式，解一元二次方程，等腰三角形的判定和性质，等角的余角相等，三角函数的定义，两点间的距离公式，二次函数的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 克东三中九年级期中数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，本大题满分30分．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b＝（　　） A. ﹣1 B. 4 C. ﹣4 D. 1 3. 如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（　　） A. AE=BE B. C. OE=DE D. ∠DBC=90° 4. 已知抛物线过，，，四点，则与的大小关系是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，的直径过弦的中点G，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 1 7. 下列命题中正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于这条弦 B. 两个相等的圆心角所对的弧一定相等 C. 直径是一个圆中最长的弦 D. 同圆中两条等弦所对的弧相等 8. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（　）． A. B. C. D. 9. 如图，面积为8的正方形中，点为对角线上一点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接．当时，的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象经过点，，其中，，对称轴为，则下列结论：①；②（为任意实数）；③方程的两根为，；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 12. 的半径是10，弦，，，则与的距离是______． 13. 三角形两边长分别是4和2，第三边长是2x2﹣9x+4＝0的一个根，则三角形的周长是_____． 14. 如图，直径，，则______． 15. 在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转，所得到的对应点的坐标为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点处．点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点、，则点的横坐标为________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 用适当的方法解下列方程： ． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 19. 如图，中，为的直径，交于点，交于点，．求证：． 20. 如图，已知二次函数过点，． （1）求此二次函数的解析式； （2）将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标； 21. 如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好过圆心，连接． （1）若，，求的半径． （2）若，求的度数． 22. 如图，在矩形中，，，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形（旋转角大于0°且小于）． （1）如图①，当点F落在的延长线上时，则的长为______； （2）如图②，当点E在上时，连接、，求证：四边形是平行四边形； 23. 综合与实践 探究方法：如图1，在正方形中，已知，，点E、F分别在、上，． （1）如图1，把绕点A逆时针旋转至，直接写出线段、和之间的数量关系； 方法迁移： （2）如图2，在四边形中，已知，，点E、F分别在、上，，若、都不是直角，但满足，（1）的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； 问题应用与拓展： （3）如图1，若，，则______； （4）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，若，则的长为______． 24. 如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与直线和抛物线交于、两点，连接、、． （1）求抛物线的解析式； （2）当的面积为时，求点的坐标； （3）当时，的值为______； （4）当的值最大时，的值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $