精品解析：山东省威海市荣成市实验学校（五四制）2025-2026学年七年级上学期第一次阶段测试数学试题

初二数学第一次质量检测 一、选择题（共10小题） 1. 下列长度的根小木棒不能搭成三角形的是（　　） A. B. C. D. 2. 、和是一个三角形的三个内角．如果，那么这个三角形一定是（ ）． A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 3. 如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A. B. C. D. 4. 如图为正方形网格，则（　　） A. B. C. D. 5. 如图，用无刻度的直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，分别为的中线和高，，，，则面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( )． A. ∠A=∠1+∠2 B. 2∠A=∠1+∠2 C. ∠A=∠1+∠2 D. ∠A=2∠1+2∠2 8. 如图所示，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 无法计算 9. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. 平分 C. D. 10. 如图，，若的面积为3，的面积为2，则的面积为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 二、填空题（共6小题） 11. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是________． 12. 在和中，已知，，请补充一组相等的边，使两个三角形全等，可以是______． 13. 当三角形中一个内角是另一个内角的时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角称为“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为______． 14. 如图，、分别是的内角、外角平分线，若，则______°． 15. 如图，，垂足为E，与相交于，，，则_____________． 16. 如图，点是的三条中线，，的交点，若阴影部分的面积，则的面积为______. 三、解答题（共8小题） 17. 如图，已知，从下列条件中选择一个：，，，证明． 18. 如图，在中，点在上，，是的角平分线，，，求的度数． 19. 已知：如图，点C，D在上，，，．求证：． 20. 如图，直线交的边、于，交延长线于，若，，，求的度数． 21. 如图，已知在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点，连接． （1）若，求的度数； （2）若平分，求的度数． 22. 1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线PQ恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线AO恰好落在他刚刚站立的点O处，让士兵丈量他所站立位置B与O点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．，，，点、在同一水平直线上，试问：法军能命中目标吗？请说明理由． 23. 在中，是的中点． （1）如图1，在边上取一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：． （2）如图2，将一直角三角板的直角顶点与点重合，另两边分别与相交于点，，求证：． 24. “一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ （1）如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ （2）如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学第一次质量检测 一、选择题（共10小题） 1. 下列长度的根小木棒不能搭成三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的两条较小的边之和大于最大的边，可以知道项，项，项的三条线段可以构成三角形的，项的三条线段不能构成三角形． 【详解】解：，能构成三角形，不合题意； ，不能构成三角形，符合题意； ，能构成三角形，不合题意； ，能构成三角形，不合题意． 故选： 【点睛】本题考查了三角形三边关系的定理：三角形两边之和大于第三边．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 2. 、和是一个三角形的三个内角．如果，那么这个三角形一定是（ ）． A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及三角形的分类．解题的关键是利用三角形内角和为，结合已知角的关系求出最大角的度数，进而判断三角形类型． 根据三角形内角和定理可知；结合已知，通过等量代换求出，从而确定三角形为直角三角形． 【详解】解：∵三角形三个内角的和为， ∴． 又∵， ∴将替换为，得，即． 解得． 有一个角是直角的三角形是直角三角形． A、锐角三角形三个角都小于，此选项不符合题意； B、直角三角形有一个角是，此选项符合题意； C、钝角三角形有一个角大于，此选项不符合题意； D、可确定为直角三角形，此选项不符合题意． 故选：B． 3. 如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得：，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； 由题意得：，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 故选：A． 4. 如图为正方形网格，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等是解题的关键． 首先证明，然后证明，再根据等腰直角三角形的性质可得，进而可得答案． 【详解】如图所示： ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 5. 如图，用无刻度的直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图——作一个角等于已知角，根据尺规作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可知，，的，， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，，分别为的中线和高，，，，则面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高与中线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质，由，得，所以，则有，再通过中线的性质得，再根据三角形的面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∴面积为， 故选：． 7. 如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( )． A. ∠A=∠1+∠2 B. 2∠A=∠1+∠2 C. ∠A=∠1+∠2 D. ∠A=2∠1+2∠2 【答案】B 【解析】 【分析】过点D、E分别作反向延长线交于A’点，设值，根据折叠的性质、三角形的内角和定理及平角的定义即可得出两者的关系. 【详解】 设∠A’ED＝x，∠A’DE＝y， ∵△ABC纸片沿DE折叠， ∴∠AED＝x，∠ADE＝y， ∵∠A’＋x＋y＝180，∠2＋2x＝180， ∠1＋2y＝180， ∴∠2＋∠1＋2（180－∠A）＝2×180， ∴∠2＋∠1－2∠A＝0， 2∠A＝∠1＋∠2. 故选B. 【点睛】本题考查了折叠问题和三角形内角和定理，熟练掌握翻折变换和三角形的内角和定理是本题解题的关键. 8. 如图所示，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 无法计算 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角性质．先由，就可以得出，就可以得出，就可以得出，就可以由三角形的外角与内角的关系求出结论． 【详解】解：， ， ． 在和中， ， ， ． ． ． 故选：B． 9. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据全等三角形的判定方法判断即可． 【详解】A．∵，，，根据可判定； B．∵平分，∴，∵，，根据可判定； C．∵，，，根据不能判定； D．∵，，，根据可判定； 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 10. 如图，，若的面积为3，的面积为2，则的面积为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形中线的性质，先计算出，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分得到接着根据全等三角形的性质得到，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（共6小题） 11. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是________． 【答案】 【解析】 【分析】由图形可知三角形的两边和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形． 【详解】解：已知三角形的两角和夹边， ∴两个三角形全等的依据是， 故答案为：ASA． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 12. 在和中，已知，，请补充一组相等的边，使两个三角形全等，可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，添加可利用证明． 【详解】解：添加，证明如下： ∵，，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 当三角形中一个内角是另一个内角的时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角称为“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分角是α或是β或既不是α也不是β三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论． 【详解】解：依题意，①角是α，则“希望角”度数为； ②角是β，则， ∴ ∴“希望角”度数为； ③角既不是α也不是β， 则， ∴ 解得， ∴“希望角”度数为； 综上所述，“希望角”度数为或或 故答案为：或或 14. 如图，、分别是的内角、外角平分线，若，则______°． 【答案】80 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义和三角形外角的性质，熟练利用角平分线的定义和三角形外角的性质是解题的关键． 首先根据平分线的概念得到，．然后利用三角形外角的性质得到，进而得到，即可求解． 【详解】∵、分别是的内角、外角平分线， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：80． 15. 如图，，垂足为E，与相交于，，，则_____________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】此题主要考查三角形的角度计算，三角形内角和定理，根据，可得，则，再根据三角形内角和为180度可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，点是的三条中线，，的交点，若阴影部分的面积，则的面积为______. 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，根据中线的性质可得，由此得到，，，，即可求解． 【详解】解：∵点是的三条中线，，的交点， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴， 故答案为：6． 三、解答题（共8小题） 17. 如图，已知，从下列条件中选择一个：，，，证明． 【答案】 解：选择， 在和中， ， ∴； 选择不能证明； 选择， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法即可得解，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】略 18. 如图，在中，点在上，，是的角平分线，，，求的度数． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，垂直定义，直角三角形两锐角互余，三角形外角性质，由角平分线定义可得，又，则，所以，从而可得，然后根据三角形的外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 19. 已知：如图，点C，D在上，，，．求证：． 【答案】 证明：在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得证． 【详解】略 20. 如图，直线交的边、于，交延长线于，若，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【详解】根据三角形内角和定理可求出中的值，再结合三角形外角的定义和性质，由求出的度数即可． 【分析】解：∵，， ∴在中，， 又∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，解题关键是熟练运用三角形内角和定理和三角形外角的性质． 21. 如图，已知在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点，连接． （1）若，求的度数； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． （）先由三角形内角和定理得，又平分，则，然后通过平行线的性质即可求解； （）由平分，平分，则，，又，则有，然后通过即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分，平分， ∴，， 即，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线PQ恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线AO恰好落在他刚刚站立的点O处，让士兵丈量他所站立位置B与O点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．，，，点、在同一水平直线上，试问：法军能命中目标吗？请说明理由． 【答案】 解：法军能命中目标．理由如下： 由题意可知，， 所以． 又因为，， 所以． 在和中， ，，， 所以， 所以， 故按照BO的距离炮轰德军时，炮弹恰好落入德军Q处，即法军能命中目标． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 先根据证明，利用全等的性质可得，再作答即可． 【详解】略 23. 在中，是的中点． （1）如图1，在边上取一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：． （2）如图2，将一直角三角板的直角顶点与点重合，另两边分别与相交于点，，求证：． 【答案】（1） 证明：是的中点， ． ， ， ， ． （2） 证明：如图，过点作交延长线于点，连接． 由（1）知． ． ， ， ． 在中，， ． 【解析】 【分析】（1）运用证明即可解题； （2）如图，过点作交延长线于点，连接．推导，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的不等关系，能作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24. “一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ （1）如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ （2）如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） 解：（1）中结论仍然成立，理由如下： ∵，， ， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴， ∴（1）中结论仍然成立； （3）7 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． （1）证明，得到，利用，即可得到； （2）证明，得到，利用，即可得到； （3）证明，推出即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $