精品解析： 内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼中旗2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度上学期期中测试数学试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 以下是清华大学、北京大学、浙江大学、上海交通大学校徽的内部图案，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点和点关于x轴对称，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 无法确定 4. 如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A. B. C. D. 5. 某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示．已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，为边上的一点，，为边上一点，垂直平分，若，则的周长为（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 14 8. 已知：如图，在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①；②；③，④． 其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 若在中，，，．则的取值范围是_________． 10. 如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有______条． 11. 已知，用两把完全相同的直尺按如图方式摆放，直尺甲的一边与射线重合，另一边交射线于点，直尺乙靠在直尺甲的处，且另一边与射线重合，作射线．若，则的大小为______． 12. 如图，，，，且，点P从点B向点A以的速度运动，点Q从点B向点D以的速度运动，点P，Q同时出发，运动_______s后，与全等． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. （1）在网格中画出关于轴对称的，并分别写出点、、的坐标； （2）求出的面积． 14. 如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，，． （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 15. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，2，伞圈D沿着伞柄滑动时，且，， （1）求证：平分； （2）如图2，当油纸伞撑开时，伞的边缘，与点在同一直线上，若，，求的度数． 16. 已知，如图，，，点E、F分别为垂足，，． （1）证明：； （2）求证平分 （3）延长、相交于点D，连接．证明：垂直平分线段． 17. 如图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 18. 在中，，点是射线上一动点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上时，与的数量关系是___________． （2）在（1）的条件下，当时，那么___________． （3）设，． ①如图2，当点在线段上，时，请探究与之间的数量关系．并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请直接写出此时与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期中测试数学试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 以下是清华大学、北京大学、浙江大学、上海交通大学校徽的内部图案，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不合题意； D．不是轴对称图形，不合题意； 故选：B 2. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 3. 已知点和点关于x轴对称，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列方程求解a和b，再计算． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴横坐标相等：，纵坐标互为相反数：， 由得， 由得，即， ∴， ∴． 故选：A． 4. 如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 本题要判定，已知，，得，具备了一组边一对角对应相等，根据判定方法对选项一一分析，即可选出正确答案． 【详解】解：∵，， ∴， 即， A、添加，根据有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，故不能判断，该选项符合题意； B、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； C、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； D、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意． 故选：A． 5. 某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示．已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于，根据两直线平行，同位角相等，可得，再根据三角形外角性质，即可得到． 【详解】解：如图，延长交于， ，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 6. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，作角平分线；根据角平分线的尺规作图可得平分．作，再根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点E作，如图所示： 由题意可知：平分， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，在中，为边上的一点，，为边上一点，垂直平分，若，则的周长为（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，先由线段垂直平分线的性质得，结合，，故，即可作答． 【详解】解：∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 则的周长为， 故选：D 8. 已知：如图，在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①；②；③，④． 其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的证明以及全等的性质．因为且有公共角，所以，结合，，由SAS可知；在与中，有为公共边，，但没有，所以无法证明；由全等三角形对应角相等，可得，，所以=，． 【详解】解：，中，，，， ，都为等腰直角三角形， ， , ， 在与中 （SAS）， 所以①正确； 由可得，， =， ， ， 所以③，④正确； 在与中，有为公共边，，但不能证明，所以无法证明与全等，即不能证明， 所以②错误； 综上，正确的有①，③，④三个， 故选：C． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 若在中，，，．则的取值范围是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出关于a的不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为： 10. 如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有______条． 【答案】4 【解析】 【分析】结合题意，根据轴对称的性质分析，即可得到答案． 【详解】如图，此图形的对称轴有4条 故答案为：4． 【点睛】本题考查了轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，从而完成求解． 11. 已知，用两把完全相同的直尺按如图方式摆放，直尺甲的一边与射线重合，另一边交射线于点，直尺乙靠在直尺甲的处，且另一边与射线重合，作射线．若，则的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，过点P作于F，可证明，，据此求出的度数，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于F，则， ∵两把直尺完全相同， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 如图，，，，且，点P从点B向点A以的速度运动，点Q从点B向点D以的速度运动，点P，Q同时出发，运动_______s后，与全等． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论． 设运动x秒钟后与全等；则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果． 【详解】解：∵于A，于， ∴， 设运动x秒钟后与全等； 则，，则， 分两种情况： ①若，则， ∴，， ∴， ∴； ②若，则， 解得：， ∴， 此时与不全等； 综上所述：运动6秒钟后与全等； 故答案为：6． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. （1）在网格中画出关于轴对称的，并分别写出点、、的坐标； （2）求出的面积． 【答案】（1）图形见解析，；（2） 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标表示、轴对称图形以及三角形面积的计算： （1）先确定三点的坐标，由于是关于轴对称的点，所以纵坐标不变，横坐标互为相反数； （2）采用割补法，用一个大的矩形面积减去三个直角三角形的面积来计算的面积． 【详解】（1）解：由图可知， 点、、的坐标与点、、的坐标关于轴对称， ， 如图所示，连接后，即为所求． （2）解：． 14. 如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，，． （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高线和角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题关键． （1）由三角形高线可得，再利用三角形内角和定理，先求出，再求出即可； （2）由角平分线的定义，得到，再利用三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：是的高线， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：平分，， ， ， ． 15. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，2，伞圈D沿着伞柄滑动时，且，， （1）求证：平分； （2）如图2，当油纸伞撑开时，伞的边缘，与点在同一直线上，若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及三角形的外角定义． （1）利用“”证明，得到，进而得出结论； （2）根据角的平分线定义得到的度数，再根据三角形的外角定义得出的度数，最后利用得到结果． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【小问2详解】 解：由（1）得，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 16. 已知，如图，，，点E、F分别为垂足，，． （1）证明：； （2）求证平分 （3）延长、相交于点D，连接．证明：垂直平分线段． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义及垂直平分线的定义． （1）利用“”证明得出； （2）利用“”证明得出，随即可得出平分； （3）由得出，再根据利用线段的等量关系得到，随即得出点A和点D都在的垂直平分线上，即可证明结果． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴ ∴平分． 【小问3详解】 证明：由（2）得， ∴， ∵， ∴， 即， ∴点D在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 17. 如图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 【答案】（1） 解：与全等，理由如下： 由题意知，，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，，，由，可得，证明即可； （2）由（1）知，则，由题意知，，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， 由题意知，， ∴， ∴爸爸是在距离地面的地方接住小明的． 18. 在中，，点是射线上一动点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上时，与的数量关系是___________． （2）在（1）的条件下，当时，那么___________． （3）设，． ①如图2，当点在线段上，时，请探究与之间的数量关系．并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请直接写出此时与之间的数量关系． 【答案】（1） （2） （3） ①， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定： （1）首先证明，再证明后即可得到； （2）根据得到，利用三角形内角和求解即可； （3）当在线段上时，证明，利用全等三角形的性质和角的和差关系得到；当点在线段的延长线上，证明，利用全等三角形的性质和角的和差关系得到．　 【小问1详解】 解：． 理由如下：， ， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， 故答案为：． 【小问3详解】 解：①略 ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $