精品解析：辽宁省锦州市凌海市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

凌海市2025~2026学年度上学期九年级期中质量检测 数学试卷 （考试时间90分钟，试卷满分100分） 注意事项：考生答题时，必须将答案涂（写）在答题卡（纸）上，答案写在卷纸上无效． 一、选择题（本题包括10道小题，每题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，每小题只有一个最符合题目要求的选项．） 1. 已知，下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，垂足为D，E是的中点，连接，则的度数是（    ） A. B. C. D. 4. 如图，在下面的三个矩形中，相似的是（ ） A 甲、乙和丙 B. 甲和乙 C. 甲和丙 D. 乙和丙 5. 如图，四边形是正方形，，P是正方形对角线上一点，，，E、F分别为垂足，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 6. 如图，菱形的对角线相交于点O，若，，则菱形的周长是（ ） A 12 B. 16 C. 18 D. 20 7. 《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七文，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，平分，平分，、在上，与相交于点，若，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 9. 对于实数a，b，如果定义新运算，则下列结论正确的有（ ） ①；②；③若是一元二次方程的两个根，且，则m的值为3或． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，在矩形中，，，O是对角线的交点，过C作于点E，的延长线与的平分线相交于点H，与交于点F．给出下列四个结论，①；②；③；④．其中正确结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题包括5道小题，每题3分，共15分） 11. 若，则______． 12. 已知关于一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 13. 在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有______个白球． 14. 2025年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）掀起足球热，“苏超”常规赛采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，若该联赛有队伍x支，预计常规赛共比赛78场，则______． 15. 如图，在中，，．点D是边上的一点（点D不与点B、C重合），作射线，在射线上取点P，使，以为边作正方形，使点M和点C在直线同侧．若点N到直线的距离是点M到直线距离的3倍，则正方形的边长为______． 三、计算题（本题共1小题，共8分） 16. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 四、解答题（本题包括7小题，17题6分，18-21题8分，22题9分，23题10分，共57分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 如图，△ABC中，D是AB的中点，E是AC上任意一点，EF∥AB，DF∥BE． （1）求证：DF与AE互相平分． （2）当四边形ADEF是矩形，若∠C＝90°，AC＝8，BC＝4时，求CE的长． 18. 2024年12月17日，神舟十九号乘组完成首次出舱活动，用时9小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时长纪录．为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，校团委以此为契机，组织了“航空航天知多少”知识竞赛．随机抽查七、八年级各15名同学成绩进行分析，相关信息如图表所示： 成绩x/分 七年级 4 3 5 3 八年级 0 0 5 10 平均数 中位数 众数 方差 七年级 154 a 16 8 八年级 18.2 18 b 说明：七年级抽取的15名同学的竞赛成绩在分数段内的具体成绩为14，16，17，16，15，16，15，16．根据以上信息，解答下列问题． （1） ； ； （2） （填“”“”或“”）．你认为哪个年级同学掌握有关“航天”的知识更好？请说明理由； （3）学校从“”范围内随机抽取了4名学生，其中有3名男生和1名女生，若从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求所选取的2名学生恰好是2名男生的概率． 19. 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即． （1）“全整根方程的“最值码”是 ； （2）关于x的一元二次方程（m为整数、且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； 20. 请根据以下素材，完成探究任务： 【汽车盲区与行车安全实践】 素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故、如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点M在上，． 问题解决 任务一 （1）如图2，求车头盲区EF的长度； 任务二 （2）如图2，在M处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 21. 某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元之间的关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？ 22. 如图1，矩形中，，，动点E，F分别从点B，D同时出发，以每秒1个单位长度速度沿向终点A，C运动，过点A作直线的垂线，垂足为G． （1）当时，与的数量关系为_______； （2）如图2，若平分，运动时间为t秒，求的长及t的值； （3）当运动时间时，直接写出的长． 23. 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： （1）【初探猜想】如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的点，连接、，若，则线段与的数量关系为_____； （2）【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上的点，点是边上一点，连接、，若，求的值； （3）【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若，，求的值； （4）【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点、分别在边、上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凌海市2025~2026学年度上学期九年级期中质量检测 数学试卷 （考试时间90分钟，试卷满分100分） 注意事项：考生答题时，必须将答案涂（写）在答题卡（纸）上，答案写在卷纸上无效． 一、选择题（本题包括10道小题，每题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，每小题只有一个最符合题目要求的选项．） 1. 已知，下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质逐项判断即可． 【详解】解： 即，故A选项变形正确； 左右两边同时乘以得，不能得出，故B选项变形错误，D选项变形正确； 将左右两边同时除以得，故C选项变形正确； 故选：B． 2. 用配方法解方程，配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方可得． 【详解】∵x2＋4x＋1＝0， ∴x2＋4x＝−1， ∴x2＋4x＋4＝−1＋4，即（x＋2）2＝3， 故选：D． 【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键． 3. 如图，在中，，，，垂足为D，E是的中点，连接，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．先由直角三角形锐角互余求出，再由直角三角形斜边上中线的性质得到，然后由等腰三角形的性质以及三角形的外角定理求解即可． 【详解】解：， ，点E是的中点， ． 故选：B． 4. 如图，在下面的三个矩形中，相似的是（ ） A. 甲、乙和丙 B. 甲和乙 C. 甲和丙 D. 乙和丙 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查相似图形性质，关键要找出矩形相邻两边的比例．甲图形长宽比为，乙图形长宽比为，丙图形长宽比为，然后观察比较就可得出答案． 【详解】解：由于三个图形都为矩形，所以角都是，只看它们的边长比例即可， 甲图形长宽比为，乙图形长宽比为，丙图形长宽比为， ∴相似的是甲和丙， 故选：C． 5. 如图，四边形是正方形，，P是正方形对角线上一点，，，E、F分别为垂足，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，由正方形的性质得出，由勾股定理求出，由全等三角形的判定与性质得出，由，得出四边形是矩形，由矩形的性质得出，即可得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，菱形的对角线相交于点O，若，，则菱形的周长是（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，由菱形的面积可求出，由菱形的性质得，，，，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴菱形的周长． 故选：D． 7. 《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七文，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练运用实际问题列一元二次方程是解题的关键．由题意可得这匹锦卖掉三尺后的长和一尺锦的价格，再列出方程即可． 【详解】这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为尺，一尺锦的价格为文， 根据题意，得． 故选：D． 8. 如图，在中，平分，平分，、在上，与相交于点，若，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，要求与的面积之比，只要证明即可，然后根据面积之比等于相似比的平方即可求出答案． 【详解】解：在平行四边形中，，，， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ，，， ， ， ∵， ， ， ， 故选：D． 9. 对于实数a，b，如果定义新运算，则下列结论正确的有（ ） ①；②；③若是一元二次方程的两个根，且，则m的值为3或． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义进行运算，整式的混合运算及一元二次方程根与系数的关系，即可一一判定． 【详解】解：，故①正确； 当时，即时，， 当时，即时，，故②正确； ∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴，解得：； 当时，， ∵， ∴或，解得：或； 综上所述：m的值为3或，故③错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数及整式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系，理解题意，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 10. 如图，在矩形中，，，O是对角线的交点，过C作于点E，的延长线与的平分线相交于点H，与交于点F．给出下列四个结论，①；②；③；④．其中正确结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】求出，求出，求出，得出等边三角形，求出，推出，求出，求出，根据以上结论推出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，与不垂直， ∴点F不是的中点，即，∴①错误； ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，∴②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，∴③正确； ∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，∴④正确； 所以其中正确结论有②③④，3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，角平分线定义，三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的综合运用． 二、填空题（本题包括5道小题，每题3分，共15分） 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，可以用一个数分别表示出a和b，代入原式即可得出结果． 解此类题目最常用的解法是设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元． 【详解】解：根据题意， 可设， 则， 故答案为：． 12. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】且##且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．直接利用一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义求解即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ， 解得且． 故答案为：且． 13. 在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有______个白球． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，首先根据红球的个数和摸到红球的频率求出球的总个数，然后减去红球的个数即可得到白球的个数． 【详解】解：∵有3个红球，摸到红球的频率稳定在0.2左右， ∴这个盒子中大约有个球， ∴（个）， ∴这个盒子中大约有12个白球． 故答案为：12． 14. 2025年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）掀起足球热，“苏超”常规赛采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，若该联赛有队伍x支，预计常规赛共比赛78场，则______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题，设该联赛有队伍x支，则比赛场数为，列出方程并解方程即可得到答案． 【详解】解：设该联赛有队伍x支，则每支球队会与除本身外的支球队进行比赛，故总共有场比赛，但考虑到重复计数问题（如“A队与B队比赛”和“B队与A队比赛”重复计算），故实际的比赛场数为， 由题可知， 解得，（不符合题意，舍去）， 故答案为：13． 15. 如图，在中，，．点D是边上的一点（点D不与点B、C重合），作射线，在射线上取点P，使，以为边作正方形，使点M和点C在直线同侧．若点N到直线的距离是点M到直线距离的3倍，则正方形的边长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论，①M、N在同侧时，作于点E，则，过M作于点Q，证明，利用利用锐角三角函数得到边角关系，设参数建立方程即可；②M、N在两侧时，利用锐角三角函数得到的边角关系，设参数建立方程即可． 【详解】解：①M、N在同侧时，如图，作于点E，则，过M作于点Q，则， ， ， ， ， ， ， 设，，， ， ， 解得：， ； ②M、N在两侧时，如图， 同理可得，， 设，，， ， ， 解得：， ； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、解直角三角形的相关计算、正方形的性质等内容，熟练掌握相关知识和建立方程思想是解题的关键． 三、计算题（本题共1小题，共8分） 16. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解： 移项，得， 两边同除以4，得， 配方，得，即， ∴， ∴，． 四、解答题（本题包括7小题，17题6分，18-21题8分，22题9分，23题10分，共57分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 如图，△ABC中，D是AB中点，E是AC上任意一点，EF∥AB，DF∥BE． （1）求证：DF与AE互相平分． （2）当四边形ADEF是矩形，若∠C＝90°，AC＝8，BC＝4时，求CE的长． 【答案】（1）见解析；（2）3． 【解析】 【分析】（1）通过证明四边形ADEF是平行四边形，可得DF与AE互相平分； （2）由矩形的性质可得DE⊥AD，由线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，在Rt△BEC中，由勾股定理可求解． 【详解】证明：（1）如图，连接DE，AF， ∵EF∥AB，DF∥BE， ∴四边形BDFE是平行四边形， ∴BD＝EF， ∵D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∴AD＝EF， 又AD∥EF， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∴DF与AE互相平分； （2）∵四边形ADEF是矩形， ∴DE⊥AD， 又∵AD＝BD，AC＝8， ∴AE＝BE=AC-CE=8-CE， ∵BE2＝EC2+BC2，BC＝4 ∴（8-CE）2＝EC2+16， ∴EC＝3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 18. 2024年12月17日，神舟十九号乘组完成首次出舱活动，用时9小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时长纪录．为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，校团委以此为契机，组织了“航空航天知多少”知识竞赛．随机抽查七、八年级各15名同学成绩进行分析，相关信息如图表所示： 成绩x/分 七年级 4 3 5 3 八年级 0 0 5 10 平均数 中位数 众数 方差 七年级 15.4 a 16 8 八年级 18.2 18 b 说明：七年级抽取的15名同学的竞赛成绩在分数段内的具体成绩为14，16，17，16，15，16，15，16．根据以上信息，解答下列问题． （1） ； ； （2） （填“”“”或“”）．你认为哪个年级同学掌握有关“航天”的知识更好？请说明理由； （3）学校从“”范围内随机抽取了4名学生，其中有3名男生和1名女生，若从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求所选取的2名学生恰好是2名男生的概率． 【答案】（1）16，19 （2），八年级同学掌握有关“航天”的知识更好，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将七年级15名同学的成绩按照从小到大的顺序排列，中间第8名同学的成绩即为中位数，八年级15名同学中出现次数最多的成绩即为众数； （2）方差的计算公式：；中位数、众数越大，掌握情况越好，方差越小，越稳定，只需比较这三个数即可； （3）列表可知所有可能的情况共有n种，其中选取的2名学生恰好是两名男生的结果有m种，； 本题主要考查了中位数、众数和方差的定义与计算，列表法或树状图法求概率等知识点，熟练掌握方差的计算和列表法或树状图法求概率是解题的关键． 【小问1详解】 解：将七年级抽取的15名同学的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第8名的成绩为16， ∴． 由八年级抽取的15名同学的竞赛成绩统计图可知成绩为19的人数最多， ∴． 故答案为：16，19； 【小问2详解】 由图表信息可知， ∵七年级成绩的方差为8，八年级成绩的方差为1.76， ∴． 故答案为：． 八年级同学掌握有关“航天”的知识更好． 理由：∵八年级成绩的平均数、中位数、众数都大于七年级，且八年级成绩的方差小于七年级， ∴八年级同学掌握有关“航天”的知识更好； 小问3详解】 列表如表： 男 男 男 女 男 —— (男，男) (男，男) (男，女) 男 (男，男) —— (男，男) (男，女) 男 (男，男) (男，男) —— (男，女) 女 (女，男) (女，男) (女，男) —— 共有12种等可能的结果，其中所选取的2名学生恰好是两名男生的结果有6种， ∴所选取的2名学生恰好是2名男生的概率为． 19. 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即． （1）“全整根方程的“最值码”是 ； （2）关于x的一元二次方程（m为整数、且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； 【答案】（1） （2）一元二次方程的“最值码”为 【解析】 【分析】本题考查新定义，一元二次方程根的判别式，正确理解全整根方程、最值码的定义是解题的关键． （1）根据“最值码”定义求解即可． （2）求出方程的判别式，再根据“全整根方程”得的值是一个完全平方数时，求出的值，从而求得b与c的值，代入中，即可求出最值码． 【小问1详解】 解：由条件可知：，，， ∴， ∴“全整根方程”的“最值码”是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：由条件可知，，， ． 由条件可知是完全平方数， 又∵，且m为整数，m， ∴， ∴完全平方数为36、49、64， 当时，m不为整数，不符合， 当时，m为整数且，符合， 当时，不为整数，不符合． ∴只有当时，才是完全平方数， ∴，， ∴， ∴一元二次方程的“最值码”为． 20. 请根据以下素材，完成探究任务： 【汽车盲区与行车安全实践】 素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故、如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点M在上，． 问题解决 任务一 （1）如图2，求车头盲区EF的长度； 任务二 （2）如图2，在M处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 【答案】（1）；（2）不能，理由见解析； 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形应用，掌握相似三角形的判定与性质是关键． （1）根据题意可证，然后根据相似三角形的对应边成比例，得到，结合题中已知条件和线段的运算求得，即可求解； （2）过点M作，交于点N，可证，得到，即可求得，然后和点M处物体的高度比较可得结论． 【详解】解：（1）由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）不能，理由如下： 如图，过点M作，交于点N， 由（1）可知，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在M处有一个高度为的物体，驾驶员不能观察到物体． 21. 某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元之间的关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】（1） （2）这种干果每千克应降价25元或5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用；由题意列出方程组或方程是解题的关键． （1）设一次函数解析式为：由题意得出：当，；当，；得出方程组，解方程组即可； （2）由题意得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：（1）设一次函数解析式为： 当，；当，， ， 解得， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意得，， 整理得， 解得：，， 答：商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价5元或25元． 22. 如图1，矩形中，，，动点E，F分别从点B，D同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点A，C运动，过点A作直线的垂线，垂足为G． （1）当时，与的数量关系为_______； （2）如图2，若平分，运动时间为t秒，求的长及t的值； （3）当运动时间时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明可得结论； （2）过E作于P，则四边形 为矩形，可得，，证明为等腰直角三角形．则，；由求解即可； （3）如图2，先根据勾股定理求得，，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：． 证明：连接， ∵四边形是矩形，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， 过E作于P，则． ∴四边形 为矩形， ∴，， ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴； 由题意得：． ∴， 即； 【小问3详解】 解：如上图2，则， ，， ∴，， ∵， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的性质求解线段长是解答的关键． 23. 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： （1）【初探猜想】如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的点，连接、，若，则线段与的数量关系为_____； （2）【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上的点，点是边上一点，连接、，若，求的值； （3）【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若，，求的值； （4）【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点、分别在边、上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为_____． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）令与的交点为，根据正方形的性质证明，即可求解； （2）过点作于点，与的交点为，证明四边形是矩形， 得到，，再证明，即可求出的值； （3）由勾股定理，得出，再根据三角形的面积，得出，然后证明，即可求出的值； （4）连接、，利用折叠的性质，证明，得到，同（2）理可得：，即，则，作点关于的对称点，连接、、，则当、、三点共线时，有最小值为的长，利用勾股定理求出，即可得到的最小值． 【小问1详解】 解：如图，令与的交点为， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，与的交点为， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，与的交点为， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ； 【小问4详解】 解：如图，连接、， 由折叠性质可知，，，，， ， ，即， 在和中， ， ， ， 同（2）理可得：，即， ， 作点关于的对称点，连接、、， ，，， ， 当、、三点共线时，有最小值为的长， ， 有最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $