精品解析：四川省绵阳市江油市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋季九年级教学质量过程监测 数学试题 注意事项： 1．本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成，试题卷4页，答题卷4页，共8页．满分100分．考试时间：90分钟． 2．答卷前请将答题卷的密封线内项目填写清楚．考试结束后请将答题卷交回． 第Ⅰ卷选择题（36分） 一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个符合题目要求，请用2B铅笔在答题卷对应小方框内把你认为正确的选项填涂） 1. 如果一个圆的面积为，那么这个圆的半径为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列图案是部分国产新能源车的车标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在抛物线上的一个点是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 或2 5. 抛物线具有相同的（ ） A. 形状大小 B. 开口方向 C. 对称轴 D. 顶点坐标 6. 如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 方程的根的情况是（ ） A. 有4个实数根 B. 有3个实数根 C. 有2个实数根 D. 没有实数根 8. 如图，顶点为的抛物线与轴交于两点，将抛物线向右平移个单位后，阴影部分图形的面积为（ ） A. B. 8 C. D. 4 9. 满足两条直角边的和等于12的直角三角形，它们的面积都不会超过（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 10. 如图，梯形是由一个小梯形经过旋转和轴对称形成，若，那么对角线的长是（ ） A. B. C. D. 11. 有一组数据：，要使式子的值最小，应取这组数据的（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 极差 12. 抛物线（其中是常数，且）与轴交点的横坐标分别是，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共64分） 二、填空题：（每小题3分，共18分．将答案填写在答题卷中对应的横线上） 13. 在美术字中，有些汉字是中心对称图形．请列举3个是中心对称图形的汉字：_____． 14. 一元二次方程化为一般形式后，一次项系数是_____． 15. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为__________． 16. 一个菱形两条对角线长的和是，面积是．菱形的周长_________________． 17. iasudu物体从空中下落时，受重力影响速度会匀速加快，实验测得重力加速度米/秒2（下落速度以每秒10米/秒的速率增加）．一个距地面30米（相当于10层楼高）的砖块从静止状态自然落下，触地瞬间的速度约为_____米/秒（保留一位小数）． 18. 二次函数的图像如图所示，对称轴是直线．下列结论： ；；；；（为任意实数） 正确的有_____（填编号）． 三、解答题：（共46分，解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤） 19. 解下列方程 （1） （2） 20. 在如图的网格中，画有． （1）选择适当的网格线作为坐标轴，建立平面直角坐标系，然后画出关于原点对称的、画出关于轴对称的． （2）观察（1）题所画图形，分别列出图中3个三角形顶点的坐标，写出你发现的结论（至少两条）． 21. 如图所示，二次函数的图像交轴于、两点． （1）若，即：，那么的取值是_____；若，即：，那么的取值范围是_____． （2）当取何值时，代数式的值最小？求出这个最小值． 22. 关于的一元二次方程（是常数）． （1）写出“无论取何值，这个方程总有两个不相等的实数根”的理由； （2）若方程两根的平方和为5，求的值． 23. 如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面，水面宽，水面下降，水面宽度增加多少？ 24. 如图，为等边内一点；将绕点顺时针旋转至的位置，连接． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若，求的长与的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为第三象限内抛物线上一动点，设点的横坐标为的面积为；求与的函数关系式； （3）若是抛物线上的动点，是直线上的动点；是否存在以四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点与点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季九年级教学质量过程监测 数学试题 注意事项： 1．本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成，试题卷4页，答题卷4页，共8页．满分100分．考试时间：90分钟． 2．答卷前请将答题卷的密封线内项目填写清楚．考试结束后请将答题卷交回． 第Ⅰ卷选择题（36分） 一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个符合题目要求，请用2B铅笔在答题卷对应小方框内把你认为正确的选项填涂） 1. 如果一个圆的面积为，那么这个圆的半径为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要是考查了算术平方根的实际应用，圆的面积的计算公式在生活中的灵活应用，解答此题的关键是熟记圆的面积的计算公式． 根据圆的面积公式，已知面积为，代入公式求解半径r． 【详解】解：∵ 圆的面积， ∴， ∴（负值已舍去）． 因此，半径为， 故选：B．． 2. 习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列图案是部分国产新能源车的车标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意，选项正确； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 故选：B． 3. 在抛物线上的一个点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把各点的横坐标代入函数式，比较纵坐标是否相符，逐项检验即可． 【详解】解：A. 当时，，所以点不在该抛物线上，不符合题意； B. 当时，，所以点不在该抛物线上，不符合题意； C. 当时，，所以点不在该抛物线上，不符合题意； D. 当时，，所以点在该抛物线上，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了点与抛物线的位置关系，熟练掌握图像过点，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键． 4. 一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 或2 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式等于零求解即可． 【详解】解：∵方程 有两个相等的实数根， ∴判别式， ∴， ∴， 即的值为或． 故选：D． 5. 抛物线具有相同的（ ） A. 形状大小 B. 开口方向 C. 对称轴 D. 顶点坐标 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数的性质．通过分析三个抛物线解析式，比较其开口方向、形状大小、对称轴和顶点坐标的异同点，即可得出答案． 【详解】解：因为抛物线、、均无一次项（即）， 所以对称轴均为（y轴），它们具有相同的对称轴； 而值分别为4、4、，所以形状大小不同； a 的符号分别为正、负、正，所以开口方向不同； 顶点坐标分别为，所以顶点坐标也不同． 故选：C． 6. 如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，然后分别作这两条线段的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：连接，， 分别作这两条线段的垂直平分线，如图所示： 则交点D即为旋转中心， 故答案选：D． 【点睛】本题考查了旋转图形的性质，解题的关键是旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上． 7. 方程的根的情况是（ ） A. 有4个实数根 B. 有3个实数根 C. 有2个实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，方程由两个因式的乘积为零，需分别求解每个因式．第一个因式无实数根，第二个因式有两个实数根． 【详解】解：∵， ∴或， 对于，即 ，无实数根． 对于，因式分解得，解得： 或 ，均为实数根． ∴方程有2个实数根． 故选：C． 8. 如图，顶点为的抛物线与轴交于两点，将抛物线向右平移个单位后，阴影部分图形的面积为（ ） A. B. 8 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象平移的性质，掌握函数图象平移规律，求根公式计算出两根，系数的关系，二次函数与x轴两交点的距离是解题的关键． 过点F作轴于点C．根据平移，可得四边形是矩形，由，求出．得，由抛物线向右平移个单位，得，由曲边三角形与曲边三角形全等，即得． 【详解】解：过点F作轴于点C． 由平移知，轴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 对， 令，则； 令，则． 解得或． ∴． ∴． ∵抛物线向右平移个单位， ∴． ∴． ∵曲边三角形与曲边三角形全等， ∴． 故选：A． 9. 满足两条直角边的和等于12的直角三角形，它们的面积都不会超过（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的应用，设一条直角边为x，三角形的面积为S，，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：设一条直角边为x，三角形的面积为S， 则， 所以当时，S最大，此时， 所以当两条直角边都是6时，此直角三角形的面积最大，最大为18． 故面积都不会超过18． 故选：B． 10. 如图，梯形是由一个小梯形经过旋转和轴对称形成，若，那么对角线的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，轴对称和旋转的性质，连接，根据题意易得为顶角为的等腰三角形，，得到，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，，且上底和腰的夹角为， ∵梯形的上底和下底平行， ∴， ∴， ∴， ∴，； 故选A． 11. 有一组数据：，要使式子的值最小，应取这组数据的（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 极差 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了方差和平均数，二次函数的最值，把所给的式子转化为二次函数，用二次函数的性质解题是关键．先设，然后整理成二次函数的一般形式，求出其对称轴即可． 【详解】解：设 ， ∵， 这是一个关于的二次函数，且二次项系数 ， ∴ 当 时，取得最小值， 即应取这组数据的平均数． 故选：C． 12. 抛物线（其中是常数，且）与轴交点的横坐标分别是，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利用数形结合解决问题是解题的关键． 依照题意画出二次函数及的大致图象，观察图象即可得出结论． 【详解】解：二次函数与轴交点的横坐标为，将其图象往上平移3 个单位长度可得出二次函数的图象． 观察图象，可知：． 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题共64分） 二、填空题：（每小题3分，共18分．将答案填写在答题卷中对应的横线上） 13. 在美术字中，有些汉字是中心对称图形．请列举3个是中心对称图形的汉字：_____． 【答案】中，田，口（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查中心对称．根据中心对称图形的概念，即图形绕某一点旋转180度后能与原图形重合，判断汉字是否为中心对称图形． 【详解】解：中心对称图形是指绕图形中心点旋转180度后能与自身重合的图形．汉字“中”以中心点旋转180度后，形状不变；汉字“田”以中心点旋转180度后，结构完全重合；汉字“口”以中心点旋转180度后，也与原图一致．因此，这三个汉字都是中心对称图形． 故答案为：中，田，口． 14. 一元二次方程化为一般形式后，一次项系数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，将一元二次方程化为一般形式后，识别一次项系数． 【详解】解：展开方程，得， 故一次项系数为． 故答案为：． 15. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”进行变换即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，得；再向下平移3个单位，得 ． 故答案为：． 16. 一个菱形两条对角线长的和是，面积是．菱形的周长_________________． 【答案】 【解析】 【分析】设菱形的一条对角线长为，则另一条对角线长为，由菱形的性质可知：，然后根据勾股定理及菱形的性质可求解． 【详解】解：设菱形的一条对角线长为，则另一条对角线长为，由菱形的性质可知：， 整理，得， 解得． 当时，； 当时，， ∴这个菱形的两条对角线长分别为6cm和4cm． 由菱形的性质和勾股定理得菱形的边长为， ∴菱形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理的应用和一元二次方程的解法，熟练掌握菱形的性质及一元二次方程的解法是解题的关键． 17. iasudu物体从空中下落时，受重力影响速度会匀速加快，实验测得重力加速度米/秒2（下落速度以每秒10米/秒的速率增加）．一个距地面30米（相当于10层楼高）的砖块从静止状态自然落下，触地瞬间的速度约为_____米/秒（保留一位小数）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数解析式，物体从静止开始自由落体，已知重力加速度、下落高度，利用速度与位移的关系公式求解末速度． 【详解】解：由自由落体运动公式，其中初始速度，加速度 ，下落高度． 代入得， 所以，保留一位小数约为． 故答案为：． 18. 二次函数的图像如图所示，对称轴是直线．下列结论： ；；；；（为任意实数） 正确的有_____（填编号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系．解题关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向，对称轴位置，与轴交点位置，与轴交点位置，取特殊值时函数表达式值的正负性质． 由抛物线开口向下，对称轴以及拋物线交轴正半轴，得，即可判断①；由对称轴，可得，即可判断②：当时，，结合，得，即可判断③；由时，，得，得，即可判断④；由时，函数取得最大值，得，得，即可判断⑤． 【详解】解：∵拋物线开口向下， ， ∵拋物线的对称轴，， ， ∵拋物线与轴交于正半轴， ， ， ∴①正确； ∵， ， ， ∴②正确： ∵当时，， ， 把代入， 得， ∴③错误； ∵当时，， ， ， 即， ∴④正确； ∵时，函数取得最大值， ， 即， ∴⑤正确． ∴有①②④⑤共 4 个正确． 故答案为：①②④⑤． 三、解答题：（共46分，解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤） 19. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用直接开平方法和公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接运用直接开平方法求解即可； （2）直接运用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ． 【小问2详解】 解：, ， ， ． 20. 在如图的网格中，画有． （1）选择适当的网格线作为坐标轴，建立平面直角坐标系，然后画出关于原点对称的、画出关于轴对称的． （2）观察（1）题所画图形，分别列出图中3个三角形顶点的坐标，写出你发现的结论（至少两条）． 【答案】（1） 解：平面直角坐标系建立正确适当；画出关于原点对称的；画出关于轴对称的 （2）； ； ． 结论：①关于原点对称的点，坐标符号相反；②关于轴对称的点，纵坐标符号相反；③与关于轴对称 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，关键是正确作出三角形三个顶点的对应点． （1）先作出点A，B，C关于原点对称的点，点A，B，C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可； （2）先根据图形写出各点的坐标，再总结规律即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图所示，二次函数的图像交轴于、两点． （1）若，即：，那么的取值是_____；若，即：，那么的取值范围是_____． （2）当取何值时，代数式的值最小？求出这个最小值． 【答案】（1），3； （2）当时，最小值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，利用函数图象解不等式． （1）令，解即可求解的取值，那么得到抛物线与轴交点坐标，再由图象即可求解时，的取值范围； （2）设，再由二次函数的图象与性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像交轴于、两点， ∴当时，的取值是，3； ∵抛物线与轴交点为， ∴时，由图象可得，那么的取值范围是， 故答案为：，3；； 【小问2详解】 解：设， 则， ∵， ∴当时，取得最小值，即代数式的值最小，最小值为． 22. 关于的一元二次方程（是常数）． （1）写出“无论取何值，这个方程总有两个不相等的实数根”的理由； （2）若方程两根的平方和为5，求的值． 【答案】（1） 解： ． 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判别式及根与系数的关系： （1）求出方程的判别式，判断判别式恒为正即可； （2）设方程的两根，利用韦达定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两根为，那么． ， ． 解得：或． 23. 如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面，水面宽，水面下降，水面宽度增加多少？ 【答案】水面下降1m,水面宽度增加（）m． 【解析】 【分析】首先建立直角坐标系，设抛物线为，把点（2，-2）代入求出解析式可解． 【详解】解：如图，建立直角坐标， 可设这条抛物线为， 把点（2，-2）代入，得 ， ∴， 当y=-3时，． ∴水面下降1m,水面宽度增加（）m． 【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 24. 如图，为等边内一点；将绕点顺时针旋转至的位置，连接． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若，求的长与的面积． 【答案】（1） 是等边三角形．理由如下： 由旋转可知：． ， 是等边三角形． （2），的面积为 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质． （1）根据旋转的性质得到，可知，即可证明是等边三角形； （2）根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理求出，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，可知，，，最后根据计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是等边三角形， ， ． ． 如图2，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接． ； 同理可得：． ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为第三象限内抛物线上一动点，设点的横坐标为的面积为；求与的函数关系式； （3）若是抛物线上的动点，是直线上的动点；是否存在以四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点与点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）存在；或或或 【解析】 【分析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式． （2）设出点的坐标，利用即可进行解答； （3）当是平行四边形的边时，表示出的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当是对角线时，由图可知点与应该重合． 【小问1详解】 解：设此抛物线的函数解析式为：， 将三点代入函数解析式， 得： 解得：， 所以此函数解析式为：； 【小问2详解】 解：∵点的横坐标为，且点在这条抛物线上， ∴点的坐标为：， 如图，连接， ， ， ∴． 【小问3详解】 解：设． 当为边时，如图，根据平行四边形的性质知，且， ∴的横坐标等于的横坐标， 又 ∵直线的解析式为， 则． 由，得，即， 解，得：（舍去）或， 此时； 解，得：， ∴或． 如图，当为对角线时，， 则与应该重合，． 四边形为平行四边形则的横坐标为 4 ， 代入得出为． 此时； 由此可得或或或． 【点睛】本题是对二次函数的综合考查，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，综合性较强，但难度不大，仔细分析便不难求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $