精品解析：天津滨海新区部分校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

2025－2026学年度期中学业质量调查九年级数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A B. C. D. 3. 若一元二次方程化成一般形式后二次项系数是3，则一次项系数是（ ） A B. 2 C. D. 7 4. 用配方法解，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为 6. 要由抛物线得到抛物线，则抛物线（ ） A. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 7. 抛物线的图象经过点，，，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为（ ） A. ①③④ B. ①③⑤ C. ②③⑤ D. ③④⑤ 11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园．其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏．若设的长度为米，矩形菜园面积为平方米．下列说法错误的是（ ） A. 与的关系式为 B. 当时， C. 当时， D. 当时，的最大值为 第Ⅱ卷 主观题（共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸上的横线处） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_____ 14. 二次函数的顶点坐标是__________． 15. 若关于的方程是一元二次方程，则___________． 16. 在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为___________． 17. 如图，点在的边上，，，以为圆心为半径的圆交于点，且，则的度数是________°． 18. 如图，在正方形中，，O是中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接． （1）点E到距离的最小值为_____． （2）线段长的最小值为_____． 三、解答题（本大题共7个小题，19题，20题每题8分，21-25题每题10分，共66分．请将答案直接填在答题纸上的对应位置） 19. 用适当的方法解方程： （1） （2） 20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）在方格纸中作出与关于原点对称的； （2）写出点，点，点的坐标． （3）的面积是______． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）试判断此一元二次方程根的存在情况； （2）若方程有两个实数根x1和x2，且满足，求的值． 22. 如图，为直径，为弦的中点，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）连接，若，四边形的面积为，求的长． 23. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元． （1）当商品降价元时，用含的代数式表示下列各量． ①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件． （2）降价多少元时，商家每星期获得利润5280元？ （3）降价多少元才能使每星期的利润最大，其最大值是多少？ 24. 解答下列各题． （1）[发现证明]如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），连接AD，将AD绕着点D逆时针旋转90°，得到DE，连接BE，过点D作DF∥AC交AB于点F、可知______≌______，则∠ABE大小为______度． （2）[类比探究]如图②，在△ABC中，∠C＝α（0°＜α＜90°），AC＝BC，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），连接AD，将AD绕着点D逆时针旋转α，得到DE，连接BE，求证：∠ABE＝α． （3）[实践应用]设图②中α＝60°，AC＝3，连接AE，当∠BAE＝30°时，求△ABE的面积． 25. 如图，二次函数图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值， （3）若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度期中学业质量调查九年级数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B选项图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D选项图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【详解】解：A．含2个未知数，不是关于的一元二次方程，故不符合题意； B．是关于的一元二次方程，故符合题意； C．当时，变为，不是关于的一元二次方程，故不符合题意； D．整理得，不是关于的一元二次方程，故不符合题意； 故选B． 3. 若一元二次方程化成一般形式后二次项系数是3，则一次项系数是（ ） A. B. 2 C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先将方程化为一般形式，然后写出一次项系数解答即可． 将方程整理为一般形式，确定一次项系数。 【详解】解：原方程化为一般式为 此时二次项系数为3，一次项系数为， 故选：A． 4. 用配方法解，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于明确将一元二次方程配成的形式． 移项得到，方程两边同时加上一次项系数一半的平方得到，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解： ∴ ∴ 故选：B． 5. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐一判断即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：A、抛物线开口向下，则A错误，故不符合题意； B、对称轴是直线，则B正确，故符合题意； C、当时，随的增大而增大，则C错误，不符合题意； D、顶点坐标为，则D错误，故不符合题意； 故选B． 6. 要由抛物线得到抛物线，则抛物线（ ） A 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据抛物线的平移规律：“上加下减，左加右减”，分析原函数到目标函数的平移方向和单位数。 【详解】解：∵原抛物线为，目标抛物线为， ∴抛物线，向左平移1个单位得， 再将抛物线向下平移3个单位得， 故选A． 7. 抛物线的图象经过点，，，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴以及函数的单调性． 先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的单调性以及点到对称轴的距离来比较函数值的大小． 【详解】解：抛物线，其对称轴为， 因为，所以抛物线开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 距离对称轴越远，函数值越大，因为，所以． 故选：D． 8. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．由题意知，4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，进而可列方程． 【详解】解：依题意得，， 故选：B． 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 由旋转可得，，再证明是等边三角形，即可求出的度数． 【详解】解：， ． 将绕点顺时针旋转角至， ，， 是等腰三角形，且， 是等边三角形， ． 故选：D． 10. 下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为（ ） A. ①③④ B. ①③⑤ C. ②③⑤ D. ③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是对圆的认识，弦，直径，弧，半圆，等弧的概念，对每个说法进行判断，然后作出选择． 【详解】解：①直径是弦，故原说法正确； ②弦不一定直径，故原说法错误； ③半圆是弧，但弧不一定是半圆，故原说法正确； ④在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故原说法错误； ⑤直径是圆中最长的弦，故原说法正确． 综上所述，正确的说法有①③⑤． 故选：B． 11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象，能发现一次函数和二次函数过定点且根据a的正负进行分类讨论是解题的关键．根据函数表达式的特征，可发现一次函数和二次函数都过定点，再由a的正负进行分类即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴一次函数过定点， 当时，， ∴二次函数过定点， 当时，一次函数中y随x的增大而减小， 此时抛物线的开口向上，且对称轴在y轴左侧， 所以A、B、C都不符合，D符合； 当时，一次函数中y随x的增大而增大， 此时抛物线的开口向下，没有符合条件的选项， 故选：D． 12. 如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园．其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏．若设的长度为米，矩形菜园面积为平方米．下列说法错误的是（ ） A. 与的关系式为 B. 当时， C. 当时， D. 当时，的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数应用、一元二次方程应用，正确列出方程是解题的关键． 对于A，由，可得，再根据三边一共用了米木栏建立方程，可得，最后由矩形的面积公式即可得； 对于B，由可知，，将代入中可得，解方程即可得的值； 对于C，由可知，，将代入中即可求解； 对于D，由可知，，将化为顶点式，可知二次函数图象开口向下，且对称轴为，进而可知当，随的增大而增大，故时，取得最大值，最后将代入求解即可． 【详解】由题意可知，四边形为矩形， ，，且， A、， ， ， ， ， ． 故选项A正确； B、， ， ， ， 整理得，， 因式分解得，， 或， 解得，，， ， ． 故选项B正确； C、， ， 当时，． 故选项C正确； D、， ， 由A选项可知，， 二次函数的二次项系数，二次函数图象开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大， 当时，取得最大值， 把代入中得，， 当时，的最大值为． 故选项D错误． 故选：D． 第Ⅱ卷 主观题（共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸上的横线处） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系下点关于原点对称的特征，解决本题的关键是熟练掌握点关于原点对称的特征． 根据直角坐标系下点关于原点对称的特征“横坐标和纵坐标互为相反数”求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为： ． 14. 二次函数的顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据二次函数的顶点式求顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的顶点式的性质． 根据二次函数的顶点式解析式进行求解即可． 【详解】解：根据二次函数的顶点式解析式得， 该二次函数的顶点坐标为：， 故答案为：． 15. 若关于的方程是一元二次方程，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：1． 16. 在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为___________． 【答案】或##7或1 【解析】 【分析】如图，，，过点作于，交于点，连，根据垂径定理得，由于，，则，根据垂径定理得，然后利用勾股定理可计算出，再进行讨论即可求解． 【详解】解：如图，，， 过点作于，交于点，连， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ， 同理可得， 当圆心在与之间时，与的距离； 当圆心不在与之间时，与的距离． 故答案为7或1． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 17. 如图，点在的边上，，，以为圆心为半径的圆交于点，且，则的度数是________°． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质、三角形外角性质，熟记等腰三角形的性质、三角形外角性质是解题的关键． 连接，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，求得，根据三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图，在正方形中，，O是中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接． （1）点E到距离的最小值为_____． （2）线段长的最小值为_____． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，先证明四边形是矩形，得到，然后根据，得到当三点共线时，最小，此时，为点E到距离，从而求得答案； （2）连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，先证明，得到，然后根据勾股定理，求得，然后利用，求得答案． 【详解】解：（1）取的中点，连接，如图所示： 四边形是正方形， ，， 是的中点，是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， 当且仅当三点共线时，等号成立，此时，为点E到距离， 点E到距离的最小值为； 故答案为：； （2）如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，， ， ， ，， ， ， 正方形中，，是边的中点， ，， ， ，， ， ， ，当且仅当共线时，等号成立， 线段长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，19题，20题每题8分，21-25题每题10分，共66分．请将答案直接填在答题纸上的对应位置） 19. 用适当的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用公式法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， 解得，； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 解得，． 20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）在方格纸中作出与关于原点对称的； （2）写出点，点，点的坐标． （3）的面积是______． 【答案】（1）见解析； （2）点，点，点； （3）. 【解析】 【分析】本题主要考查了作图——旋转变换、关于原点对称的点的坐标特征以及三角形面积的计算，熟练掌握关于原点对称的点的坐标规律和割补法求面积是解题的关键． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征，确定、、三点关于原点对称的点、、的位置，再连接成三角形． （2）根据平面直角坐标系，直接读取、、的坐标． （3）利用三角形的面积公式来计算三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：由（1）作图可知点，点，点． 【小问3详解】 解：的面积为：， 故答案为：． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）试判断此一元二次方程根的存在情况； （2）若方程有两个实数根x1和x2，且满足，求的值． 【答案】（1）有两个不相等的实数根 （2） 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程的根的判别式，判断其符号，即可求解， （2）根据一元二次方程根与系数关系，代入，即可求解， 本题考查了，一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解题的关键是：熟练掌握相关熟练掌握相关知识点． 【小问1详解】 解：， 有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 由一元二次方程根与系数的关系可知：，， ， ，解得：． 22. 如图，为直径，为弦的中点，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）连接，若，四边形的面积为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． （1）由垂径定理得，，然后由线段垂直平分线的性质可得答案； （2）连接，由，四边形的面积为，得，在中，由勾股定理求出，然后根据即可求解． 【小问1详解】 证明：为弦的中点，为直径， ，， ， 为等腰三角形； 小问2详解】 如图，连接， ，四边形的面积为， ， ， ， ，则， 在中，， ． 23. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元． （1）当商品降价元时，用含的代数式表示下列各量． ①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件． （2）降价多少元时，商家每星期获得利润5280元？ （3）降价多少元才能使每星期的利润最大，其最大值是多少？ 【答案】（1）； （2）降价元时，商家每星期获得利润5280元 （3）降价元才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）①根据题意和题目中的数据，可以用含的代数式表示出每件商品的利润；②根据每降价1元，每星期可多卖出30件，可以写出每星期卖出商品的件数； （2）根据总利润单件利润销售量列方程求解即可； （3）根据总利润单件利润销售量，可以写出关于的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少． 【小问1详解】 ①每件商品的利润为元， 故答案为：； ②每星期卖出商品的件数为：， 故答案为：； 【小问2详解】 设每件商品降价元，依题意得： 关于的函数关系式是：， 解得：（不合题意，舍去），， 答：降价元时，商家每星期获得利润5280元． 【小问3详解】 解：设总利润为，依题意得： ， ∴， 当时，取得最大值6750，此时售价为（元， 答：降价元才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元． 24. 解答下列各题． （1）[发现证明]如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），连接AD，将AD绕着点D逆时针旋转90°，得到DE，连接BE，过点D作DF∥AC交AB于点F、可知______≌______，则∠ABE的大小为______度． （2）[类比探究]如图②，在△ABC中，∠C＝α（0°＜α＜90°），AC＝BC，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），连接AD，将AD绕着点D逆时针旋转α，得到DE，连接BE，求证：∠ABE＝α． （3）[实践应用]设图②中α＝60°，AC＝3，连接AE，当∠BAE＝30°时，求△ABE的面积． 【答案】（1）△ADF；△EDB；90；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】证明：根据全等三角形的判定方法、三角形外角的性质，即可求解； 探究：过点D作DF∥AC交AB于点F，证明△ADF≌△EDB，根据全等三角形的性质、三角形的外角的性质解答； 应用：根据全等三角形的性质求出∠ABE，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∵DF∥AC， ∴∠FDB＝∠C＝90°， ∴∠AFD＝∠FDB+∠FBD＝135°， ∴ 由旋转的性质可得：， ∴ ∴△ADF≌△EDB（SAS）， ∴∠DBE＝∠AFD＝135°， ∴∠ABE＝135°﹣45°＝90°， 故答案为：△ADF；△EDB；90； （2）过点D作DF∥AC交AB于点F，如下图： 则∠DFB＝∠CAB， ∵CA＝CB， ∴∠CAB＝∠CBA， ∴∠DFB＝∠DBF， ∴DF＝DB， 由旋转变换的性质可知，∠ADF＝∠EDB， 在△ADF和△EDB中， ， ∴△ADF≌△EDB（SAS）， ∴∠DBE＝∠AFD， ∴∠ABE＝∠C＝α； （3）∵α＝60°，CA＝CB， ∴△ABC是等边三角形， ∴BA＝AC＝3， ∵∠ABE＝∠C＝60°，∠BAE＝30°， ∴∠AEB＝90°， ∴BE＝AB＝ ∴， ∴△ABE的面积＝． 【点睛】此题考查了旋转的性质，涉及了全等三角形的判定及性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 25. 如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值， （3）若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为 （3）Q的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，点B的坐标为，得点A的坐标为，故二次函数解析式为； （2）连接，设，则，得，根据二次函数的性质可得答案； （3）由，得直线解析式为，设，则，，由，知是一组对边；分两种情况：①当为对角线时，的中点重合，且，②当为对角线时，的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【小问1详解】 解：抛物线对称轴是直线，点B的坐标为， 点A的坐标为， 二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：连接，如图： 设，则， 在中，令得， ， ， ， ， 当时，取得最大值，且最大值为； 【小问3详解】 解：在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： 由，得直线解析式为， 设，则，， ， 当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，是一组对边； 当为对角线时，中点重合，且， ， 解得：（此时M，N与C重合，舍去）或， ； ②当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或或， 或； 综上所述，Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，菱形性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $