精品解析：四川省绵阳市安州区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025－2026学年九年级上学期期中试卷 （数学） 本试卷分为试题卷和答题卡两部分 ．满分100分，考试时间90分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案：非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后将答题卡收回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．将正确选项填在答题卡上） 1. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是，常数项是的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟知一元二次方程的特点． 根据一元二次方程的一般式及变形即可求解． 【详解】∵一元二次方程二次项系数是3，一次项系数是，常数项是， ∴方程为：， 通过变形可得：，，， ∴只有D选项符合题意； 故选：D． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此进行解答即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不项符合题意； C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列方程一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程可以直接选出答案．． 【详解】解： A. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. ，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； C. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； D. ，当时，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. 7 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】关于原点对称的点，其横纵坐标互为相反数，由此可得出的值，然后代入求解即可． 【详解】由题意，，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标的特征，熟记基本结论是解题关键． 5. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式． 【详解】解：， 移项得，， 等式两边同时加上4得，， ∴． 故选：A． 6. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，不正确的是(    ) A. 图象的开口向下 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减少 D. 图象与轴有交点 【答案】C 【解析】 【分析】先利用配方法得到，根据二次函数的性质可对选项A，B，C进行判断；通过解方程可对选项D进行判断． 【详解】解：， 抛物线的开口向下，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，当 时，随的增大而增大， 故A，B正确，C不正确； 令，则， ， 抛物线与轴有两个交点，故D正确． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，能够通过解析式判断图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性． 7. 已知方程的两个根为，，若两个根互为相反数，则该方程的两个根为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，相反数的定义，解一元二次方程，根据的两个根，互为相反数，得到，进而得到方程为，对其求解，即可解题． 【详解】解：的两个根，互为相反数， ，即， ， 解得， 方程的两个根为， 故选：C． 8. 已知二次函数的图象经过点．若，则之间的大小关系是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，通过确定二次函数的对称轴和开口方向，结合各点横坐标的范围，计算关键点的函数值，从而比较纵坐标的大小． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为． ∵，且函数在时随的增大而增大， 当时，； 当时，； ∴． ∵，且函数在时随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． ∵，且函数在时随的增大而减小， 当时，； ∴． 综上，，即． 故选：C． 9. 将抛物向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 10. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般． 11. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好为的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．作于点，由，为中点，得，由旋转得，所以，再根据勾股定理得，即可求出的长． 【详解】解：如图， 作于点，则， ，为中点， ， 由旋转得， ， ， ， ． （舍去负值）． 故选：A． 12. 如图，抛物线交x轴于，两点，则下列判断中，错误的是（ ） A. 图象的对称轴是直线 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 若图象上两点为，则 D. 一元二次方程的两个根是和3 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称轴的求解，二次函数的增减性，抛物线与x轴的交点求法对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、对称轴为直线，正确，故本选项不符合题意； B、对称轴是直线，当时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，故本选项符合题意； D、∵抛物线交x轴于，两点， ∴一元二次方程的两个根是和3，正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点问题，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填答题卡上） 13. 抛物线的顶点坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】用配方法将抛物线的一般式化为顶点式，可求得顶点坐标． 【详解】∵ ∴抛物线的顶点坐标为： 故答案为： 【点睛】此题考查了抛物线的顶点式，将抛物线的解析式化为顶点式，则顶点坐标是，熟练掌握配方法是解决问题的关键． 14. 已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的最小值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用二次函数的性质判断即可得出m的值. 【详解】解：， 对称轴为：x=2， ∵抛物线开口向上， ∴当x＞2时， y随着x的增大而增大， ∴m最小值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是用m表示出函数的对称轴，此题难度不大． 15. 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元，若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，设该校共购买了棵树苗，则可列出方程__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“总售价=每棵的售价×棵数”列方程即可． 【详解】解：根据题意可得： 故答案为：． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． 16. 已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的两根之和为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、一元二次方程根与系数的关系，由二次函数的性质得出，从而得出关于x的方程可以化为，最后根据一元二次方程根与系数的关系即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴关于x的方程可以化为， ∴关于x的方程的两根之和为， 故答案为：． 17. 已知抛物线与x轴交于两点A，B（A在B的左侧），抛物线与x轴交于两点C，D（C在D的左侧），且．下列四个结论：①与交点为；②；③；④A，D两点关于对称．其中正确的结论是_______．（填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，数形结合是解题的关键．解析式联立解方程即可判断①；由抛物线与抛物线的开口方向和大小相同，且，则两抛物线的关于直线对称，即可判断②④；由题意可知，，或，，故不一定成立，即可判断③． 【详解】解：令， 解得， 把代入得，， ∴与交点为， 故①正确； 如图， ∵抛物线与抛物线的开口方向和大小相同，且， ∴两抛物线沿直线对折能够重合， ∴两抛物线的图象关于直线对称， ∴A，D两点关于对称， 故④正确； ， ∴， 故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，与交点为， ∴，或，， ∴不一定成立，故③错误． 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 18. 小明在一次投篮过程中，篮球在空中的高度h （单位：米）与在空中飞行的时间 t （单 位：秒）满足函数关系：，当篮球在空中的飞行时间____________秒时，篮球距离地面最高． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，篮球距离地面最高，则此时篮球处于二次函数的顶点处，把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，h有最大值，即此时篮球距离地面最高， ∴当篮球在空中的飞行时间为秒时，篮球距离地面最高， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）运用配方法求解即可； （2）方程去括号整理后运用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1） 方程可化为： 解得: ∴ （2） 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 因式分解得： 于是得：或 ∴ 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法． 20. 如图是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B都在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算． （1）以点为中心，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，在图中画出线段； （2）在（1）的条件下，以为一边画四边形，使其是中心对称图形，且点E，F均在小正方形的顶点上； （3）直接写出你画的四边形的周长． 【答案】（1） 如图所示，线段即为所求； （2）如图所示，四边形即为所求； （3）四边形的周长 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质找出对应点即可求解； （2）以为一边作四边形即可； （3）根据勾股定理求出 即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∴四边形的周长． 【点睛】本题考查了旋转变换的性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求实数m的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1） （2） 证明：∵ ， 又∵无论m取何值，恒大于0， ∴原方程总有两个不相等的实数根； 【解析】 【分析】（1）将代入原式，得到关于m的方程，求解即可； （2） 求出该方程根的判别式，再证明其结果为正数即可． 【小问1详解】 解：将代入原式，得， 解得：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 22. 已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）求抛物线与x轴的交点坐标； （3）当时，请直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，化为顶点式，二次函数与x轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把一般式化为顶点式，即可得出顶点坐标； （2）当时，，解得，，即可作答． （3）运用二次函数的图象性质，即可得出当时，x的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：依题意，当时，， 则， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点坐标分别为； 【小问3详解】 解：∵中的 ∴开口向上， 由（2）得抛物线与x轴的交点坐标分别为； 当时，x的取值范围为． 23. 某跳台滑雪运动员进行比赛，起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图所示），已知标准台的高度为，当运动员在距标准台水平距离处达到最高，最高点距地面，建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设抛物线解析式为，根据题意得到顶点坐标为，与y轴交点为，将两点代入求解即可得到答案. 【详解】解：设抛物线解析式为，由题意可得， 抛物线顶点坐标为，与y轴交点为，代入可得， ，解得：， ∴； 【点睛】本题考查抛物线实际应用的投球问题，解题的关键是根据题意找到所过的点，特别是顶点． 24. 如图，是正方形的对角线，将绕着点A逆时针旋转得到． （1）求证：B，D，E三点共线； （2）连接，交于点G，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图，连接，，， ∵由旋转可得：，， ∴为等边三角形， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴三点共线． （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，，，证明为等边三角形，可得，证明，，可得是的垂直平分线，可得，进一步可得结论． （2）由旋转可得：，，，可得，，求解，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵正方形， ∴，，， 由旋转可得：，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，线段的垂直平分线的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键． 25. 如图，抛物线经过A，B，C三点．已知点B的坐标为，且． （1）求A，C两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的值． 【答案】（1）， （2） （3）最大值为， 此时点 【解析】 【分析】（1）根据点B的坐标得出，则，即可得出点的坐标，结合当时，，可得点C的坐标； （2）将，，代入，利用待定系数法即可求解； （3）先求出直线的解析式，过点P作y轴的平行线交于点H，设点，则点，利用勾股定理可得，则，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴； 【小问2详解】 将，，代入得： ，解得：， ∴该抛物线的解析式为：； 【小问3详解】 设直线函数表达式为：， 将点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 过点P作y轴的平行线交于点H，    ∵， ∴， ∵轴， ∴， 则， 由，得， 设点，则点， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，其最大值为， 此时点． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数，勾股定理，用二次函数关系表示是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年九年级上学期期中试卷 （数学） 本试卷分为试题卷和答题卡两部分 ．满分100分，考试时间90分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案：非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后将答题卡收回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．将正确选项填在答题卡上） 1. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是，常数项是的方程是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. 7 D. 5 5. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，不正确的是(    ) A. 图象的开口向下 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减少 D. 图象与轴有交点 7. 已知方程的两个根为，，若两个根互为相反数，则该方程的两个根为（　　） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象经过点．若，则之间的大小关系是（） A. B. C. D. 9. 将抛物向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 10. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好为的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，抛物线交x轴于，两点，则下列判断中，错误的是（ ） A. 图象的对称轴是直线 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 若图象上两点为，则 D. 一元二次方程的两个根是和3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填答题卡上） 13. 抛物线的顶点坐标为____________． 14. 已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的最小值是______． 15. 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元，若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，设该校共购买了棵树苗，则可列出方程__________． 16. 已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的两根之和为_____． 17. 已知抛物线与x轴交于两点A，B（A在B的左侧），抛物线与x轴交于两点C，D（C在D的左侧），且．下列四个结论：①与交点为；②；③；④A，D两点关于对称．其中正确的结论是_______．（填写序号） 18. 小明在一次投篮过程中，篮球在空中的高度h （单位：米）与在空中飞行的时间 t （单 位：秒）满足函数关系：，当篮球在空中的飞行时间____________秒时，篮球距离地面最高． 三、解答题（本大题共7小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 20. 如图是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B都在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算． （1）以点为中心，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，在图中画出线段； （2）在（1）的条件下，以为一边画四边形，使其是中心对称图形，且点E，F均在小正方形的顶点上； （3）直接写出你画的四边形的周长． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求实数m的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 22. 已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）求抛物线与x轴的交点坐标； （3）当时，请直接写出x的取值范围． 23. 某跳台滑雪运动员进行比赛，起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图所示），已知标准台的高度为，当运动员在距标准台水平距离处达到最高，最高点距地面，建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式． 24. 如图，是正方形的对角线，将绕着点A逆时针旋转得到． （1）求证：B，D，E三点共线； （2）连接，交于点G，求的度数． 25. 如图，抛物线经过A，B，C三点．已知点B的坐标为，且． （1）求A，C两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $