第1章直角三角形的边角关系 单元综合达标测试题 2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年北师大版九年级数学下册《第1章直角三角形的边角关系》 单元综合达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．计算的值是（　　） A．1 B．2 C． D． 2．在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，的三个顶点都在的正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在等腰中，，，则点B到直线的距离是（   ） A．5 B． C．3 D． 5．如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（   ）米． A． B． C． D． 7．如图，一根3米长的竹竿斜靠在墙边（），倾斜角为，当竹竿的顶端A下滑到点时，底端B向右滑到了点，此时倾斜角为，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．如图，在菱形中，，它的一个顶点C在反比例函数的图象上，若点，则反比例函数表达式为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．已知∠A是锐角，且满足，则的大小为 ． 10．在中，则边的长为 ． 11．四边形是正方形，对角线与相交于点O，点P在上，若，，则的长为 ． 12．如图，在矩形中，，垂足为点，若，，则的长为 ． 13．某防洪大堤的横断面如图所示，背水坡坡面的长度为，坡度为（坡度为坡面的铅直高度与水平宽度的比），汛期来临前要对背水坡进行加固，改造后的背水坡坡面的坡度为，改造后背水坡的长度为 ． 14．如图，给出了一种机器零件的示意图，其中米，米，则 ． 15．如图，已知点与某建筑物底端相距米（点与点在同一水平面上），某同学从点出发，沿同一剖面的斜坡行走米至坡顶处，斜坡的坡度（或坡比），在处测得该建筑物顶端的俯视角为，则建筑物的高度约为 （精确到米，参考数据：，，） ． 16．宁夏红寺堡风能资源丰富，风力发电发展迅速．在风力发电机组中，“风电塔筒”的高度是一个重要的设计参数．某校数学兴趣小组利用无人机测量风电塔筒的高度（如图2），具体测量方案如下：先将无人机垂直上升至距水平地面的点，测得风电塔筒顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得风电塔筒底端的俯角为，则风电塔筒的高度约为 ． （结果精确到，参考数据：，） 三、解答题（满分72分） 17．计算： 18．在Rt中，． (1)若，解这个直角三角形． (2)若，解这个直角三角形（边长精确到0.1）． 19．如图，在中，，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 20．如图，、区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F为视线与车窗底端的交点，，，．若点A到点B的距离． (1)求的长度； (2)求的长度． 21．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（，垂足为H），在B，C处与篮板连接（），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）． 已知，，，测得时，点C离地面的高度为.调节伸缩臂，将由调节到． 请判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：，．） 22．渠县賨人谷是国家级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形，想法测出了尾部看头顶的仰角为，从前脚落地点看上嘴尖的仰角刚好．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是．请你算下： (1)的长度； (2)的长度．（结果精确到．参考数据：；） 23．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：）； ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 24．阅读理解题：阅读材料： 如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为α、为β，若，则． 证明：设，∵，∴，易证． ∴，∴，∴， 若时，当，则． 同理：若时，当，则． 根据上述材料，完成下列问题： 如图2，直线与反比例函数（）的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线绕点A顺时针旋转后的直线与y轴交于点E，过点A作轴于点M，过点A作轴于点N，已知． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出的值并求直线的解析式． (3)已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，求的长． 参考答案 1．解： ． 故选：C． 2．解：在中，， 根据锐角三角函数的定义： 正切：； 正弦：； 余弦：， 对式子逐一分析： 因为可得，并非，所以①不成立； 因为，等式两边同乘，可得，所以②成立； 因为，等式两边同乘，得到，所以③成立； 因为，等式两边同乘，有，所以④成立； 因为可得，不是，所以⑤不成立． 综上，②③④成立，能成立的个数有3个． 故选：B． 3．解：如图， ∵，，， ∴， 故选：． 4．解：如图，过点B作于点D， ∵，， ∴， ∴， 即点B到直线的距离是． 故答案为：B． 5．解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是： 故选：A． 6．解：∵ ， ∴ ， 故选：D． 7．解：由题意，得：，， 在中，， 在中，， ∴； 故选D． 8．解：过点C作轴于D， ∵点， ∴菱形的边长为6， ∵在菱形中，， ∴， 在中，，， 则， ∵顶点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为， 故选：D． 9．解：， ， ， 故答案为：． 10．解：在中，， ， 在中，，，， ， 分两种情况讨论： ①，设，如图所示： 在中，，，， 则， 在中，，，， 则， ； ②，令，如图所示： 在中，，，， 则， 在中，，，， 则， ； 综上所述，的长为或， 故答案为：3或5． 11．或 【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握正方形的性质． 先根据正方形的性质得到，然后解求出，再分两种情况讨论，根据正切的定义求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在线段上时，， ∴， ∴； 当点在线段延长线上时，同理可得， ∴的长为或． 故答案为：或． 12． 【分析】本题考查矩形的性质、解直角三角形；在中，由正弦定义解得，再由勾股定理解得的长，根据同角的余角相等，得到，最后根据正弦定义解得的长即可解题． 【详解】解：在中， ∵，在中， ∵在矩形中，，， 又， ∴ 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了三角函数的应用，坡比的计算，勾股定理，熟练掌握坡比的计算是解题的关键．过点A作于点E，利用坡比的定义得出的长，再得出的长，利用勾股定理得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵背水坡坡面的长度为，坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵背水坡坡面的坡度为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．米 【分析】作于，利用三角函数求出，再根据得出的长即可． 本题主要考查解直角三角形的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：作于， 由图知，与水平方向成夹角，米， （米， 与水平方向呈夹角， 是等腰直角三角形， 米， 米， （米， 故答案为：米． 15． 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，需要用到坡度坡角、三角函数、矩形的性质相关知识，解题可先根据斜坡的坡度求出斜坡的垂直高度和水平距离，再结合三角函数求出相关线段长度，进而求出建筑物的高度． 【详解】作于点，作于点，作，如图， 设，， 由勾股定理，得， 解得：， 不合题意，舍去， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴． 故答案为：． 16．109 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 延长交的延长线于点E，在中，根据，得出为等腰直角三角形，说明，在中根据，，进而求出结果即可． 【详解】解：延长交的延长线于点E，则，． 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， 在中，，， ， ， 故答案为：109． 17． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 18．(1)， (2)， 【分析】本题考查解直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）分别根据正弦，正切得到长度. （2）分别根据的正弦，余弦得到长度. 【详解】（1）解：， ，即 . （2） ，即 . 19．(1)， (2) 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用含有度的直角三角形的性质求出和的长； （2）先利用线段差求出，再求． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴，； （2）∵，， ∴， ∵， ∴． 20．(1)的长度为 (2)的长度为 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合，，得，即可作答． （2）先证明四边形是矩形，故，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：在中，，， 则， 答：的长度为； （2）解：∵，，． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， 则， 答：的长度为． 21．点离地面的高度升高了，升高了． 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，，当时，则，，从而可得答案． 【详解】解：，， 如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形， ∴，    ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当时，则， 此时，， ∴， 当时，则， ∴， 而，， ∴点离地面的高度升高了，升高了． 22．(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确作垂线，构造直角三角形是解题的关键． （1）解直角三角形即可； （2）过点作于点，过点作于点，解，求出，，则，那么，而，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴， 答：的长度为； （2）解：过点作于点，过点作于点， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 答：的长度为． 23．(1) (2)①；② 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）直接解即可得到答案； （2）①分别在和中求出和的长，即可求解；②过点作，垂足为．则四边形是矩形．得出，可得．在中， 利用，列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴； 答：的长为； （2）解：①在中，， ． 在中，， ∴． ．即的长为． ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， 四边形是矩形． ． ∴． 在中，， ， ∴． ． 答：塔的高度约为． 24．(1)y（） (2)， (3) 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是读懂阅读材料，掌握待定系数法． （1）设，由，得，可解得，再用待定系数法得反比例函数的解析式为（）； （2）求出，由，得，即知，而，故，由阅读材料得；由 ，，得，从而，再用待定系数法得直线解析式为． （3）在上找到一点M，使，连接，则，易证，继而得到是等腰直角三角形，再利用平行四边形判定得到，由勾股定理求出就可得到的长． 【详解】（1）解：设， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴或（此时A在第四象限，不符合题意，舍去）， 把代入（）得： ， 解得， ∴反比例函数的解析式为（）； （2）解：在中，令得， 解得， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由若时，当，则可得： ； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得： ， 解得， ∴直线解析式为． （3）解：在上找到一点M，使，连接，则， 在矩形中，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $